弹性力学基础应力应变
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下式求得：
t
2 n
px2
p
2 y
pz2
s
2 n
第8页/共35页
过一点任意斜面的主应力与主方向
➢问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
面上的主应力s和应力主方向a ？
➢设如图所示的斜面上切应力
为0，则该面上的全应力等于正 应力，也等于主应力，于是有
px sl, py sm, pz sn
Fz 0
第6页/共35页
pz
t xzl
t yzm s zn
过一点任意斜面的全应力
➢特殊情况下，若平面ABC是弹
性体上受面力作用的边界面，则
应力p就成为面力，于是由(7－2)
式可得出 :
(s xl t yxm t zxn)s fx (s) (t xyl s ym t zyn)s f y (s) (t xzl t yzm s zn)s fz (s)
基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。
第3页/共35页
主要内容
空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程
第4页/共35页
§5.2 物体内任一点的应力状态分析
➢一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上
其有非零解的充要条件为系数行列式等于0，即
sx s t yx t zx
t xy sy s
t zy
t xz t yz 0 sz s
第10页/共35页
过一点任意斜面的主应力与主方向
s x s t xy
t xz
t yx s y s t yz 0
t zx
t zy s z s
展开，得：s 3 I1s 2 I2s I3 0
第13页/共35页
过一点任意斜面的应力极值
➢问题4、已知任一点处三个主应力（ s1 ≥ s2 ≥ s3 ），及其应
力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3 最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。
最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用
平面通过s
2
应力主方向，并且平分s
1和s
应力主方向的
3
第2页/共35页
空间问题的基本未知量与方程
➢ 任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为x、y、z
），外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间 问题。
➢ 对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静
力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方 程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。
➢ 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、
主要内容
空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程
第1页/共35页
§5.1 空间问题的基本未知量与方程
➢ 什么空间问题？
一维问题：一个基本坐 标变量，如杆件。是材料力 学的重点内容。 二维问题：二个基本坐 标变量，如平面问题。是本 课程的重点内容。 三维问题：三个基本坐 标变量，即空间问题。是本 课程需了解的内容。
又由于有
px py
s xl t yxm t zxn t xyl s ym t zyn
pz
第9页/共35页
t xzl
t yzm s zn
过一点任意斜面的主应力与主方向
从而有关于方向余弦l,m, n的线性方程组： (s x s )l t xym t xzn 0 t xyl (s y s )m t yzn 0 t xzl t yzm (s z s )n 0
➢上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
第7页/共35页
过一点任意斜面的正应力与切应力
➢问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ ➢平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lpx mpy npz
➢平面ABC上的切应力tn则由
主应力特征方程
其中：
I1 s x s y s z
I2
s
xs
y
源自文库
s
ys
z
s
zs
x
t
2 xy
t
2 yz
t
2 xz
s x t xy t xz I3 t yx s y t yz
t zx t zy s z
第11页/共35页
过一点任意斜面的主应力与主方向
s 3 I1s 2 I2s I3 0
该点的任何斜面上的应力p？
➢取如图所示微分单元体PABC，
当平面ABC无限接近于P点时，该
平面上的应力即为所求应力p 。
➢根据该微分单元的力系平衡条
件，在x、y和z轴方向上合力为0，
从而有：
Fx Fy
0 0
px py
s xl t yxm t zxn t xyl s ym t zyn
第12页/共35页
过一点任意斜面的主应力与方向
➢ 对于主应力方向，将s1，s2，s3分别代入
(s x s )l t xym t xzn 0 t xyl (s y s )m t yzn 0 t xzl t yzm (s z s )n 0
结合 l2+m2+n2=1 则可求主应力方向。 ➢ 可以证明：三个主应力方向，是互相垂直的。
的6个应力分量，求解如下四个问题：
1：求经过该点任何斜面上的应力p？
2：求经过该点的任何斜面上的正应力sn和切应力tn ？ 3：若经过该点的主应力s和应力主方向a ？ 4：求经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小值？
第5页/共35页
过一点任意斜面的全应力
➢问题1：已知任一点处坐标面上的6个应力分量，求经过
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3分别表示这 三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等， 与坐标轴的选取无关。
I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变 量。特征方程的根是确定的，即系数I1、I2、I3的值是不 随坐标轴的改变而变化的。
t
2 n
px2
p
2 y
pz2
s
2 n
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过一点任意斜面的主应力与主方向
➢问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
面上的主应力s和应力主方向a ？
➢设如图所示的斜面上切应力
为0，则该面上的全应力等于正 应力，也等于主应力，于是有
px sl, py sm, pz sn
Fz 0
第6页/共35页
pz
t xzl
t yzm s zn
过一点任意斜面的全应力
➢特殊情况下，若平面ABC是弹
性体上受面力作用的边界面，则
应力p就成为面力，于是由(7－2)
式可得出 :
(s xl t yxm t zxn)s fx (s) (t xyl s ym t zyn)s f y (s) (t xzl t yzm s zn)s fz (s)
基本方程、边界条件和求解方法均是类似的。
第3页/共35页
主要内容
空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程
第4页/共35页
§5.2 物体内任一点的应力状态分析
➢一点应力状态分析：已知任一点处坐标面上
其有非零解的充要条件为系数行列式等于0，即
sx s t yx t zx
t xy sy s
t zy
t xz t yz 0 sz s
第10页/共35页
过一点任意斜面的主应力与主方向
s x s t xy
t xz
t yx s y s t yz 0
t zx
t zy s z s
展开，得：s 3 I1s 2 I2s I3 0
第13页/共35页
过一点任意斜面的应力极值
➢问题4、已知任一点处三个主应力（ s1 ≥ s2 ≥ s3 ），及其应
力主方向，可求得经过该点正应力、切应力的最大和最小值
弹性体内任意一点的最大正应力为s1，最小正应力为s 3 最大切应力可以通过主应力计算，等于(s 1-s3)/2 。
最大切应力作用平面也可以通过主应力方向得到，其作用
平面通过s
2
应力主方向，并且平分s
1和s
应力主方向的
3
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空间问题的基本未知量与方程
➢ 任何一个弹性体是空间物体（坐标变量为x、y、z
），外力为空间力系。实际的弹性力学问题都是空间 问题。
➢ 对于空间问题，在弹性体区域内，仍然要考虑静
力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方 程；并在边界上建立应力边界条件或位移边界条件。
➢ 空间问题与平面问题具有相似性：基本未知数、
主要内容
空间问题的基本未知量与基本方程 物体内任一点的应力状态分析 空间问题的平衡微分方程 空间问题的几何方程和物理方程 空间轴对称问题的基本方程
第1页/共35页
§5.1 空间问题的基本未知量与方程
➢ 什么空间问题？
一维问题：一个基本坐 标变量，如杆件。是材料力 学的重点内容。 二维问题：二个基本坐 标变量，如平面问题。是本 课程的重点内容。 三维问题：三个基本坐 标变量，即空间问题。是本 课程需了解的内容。
又由于有
px py
s xl t yxm t zxn t xyl s ym t zyn
pz
第9页/共35页
t xzl
t yzm s zn
过一点任意斜面的主应力与主方向
从而有关于方向余弦l,m, n的线性方程组： (s x s )l t xym t xzn 0 t xyl (s y s )m t yzn 0 t xzl t yzm (s z s )n 0
➢上式就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分
量的边界值与面力分量之间的关系。
第7页/共35页
过一点任意斜面的正应力与切应力
➢问题2：求经过该点的任何斜面上的正应力和切应力？ ➢平面ABC上的正应力sn即为
上面所求的全应力p向法线方向 n的投影：
s n lpx mpy npz
➢平面ABC上的切应力tn则由
主应力特征方程
其中：
I1 s x s y s z
I2
s
xs
y
源自文库
s
ys
z
s
zs
x
t
2 xy
t
2 yz
t
2 xz
s x t xy t xz I3 t yx s y t yz
t zx t zy s z
第11页/共35页
过一点任意斜面的主应力与主方向
s 3 I1s 2 I2s I3 0
该点的任何斜面上的应力p？
➢取如图所示微分单元体PABC，
当平面ABC无限接近于P点时，该
平面上的应力即为所求应力p 。
➢根据该微分单元的力系平衡条
件，在x、y和z轴方向上合力为0，
从而有：
Fx Fy
0 0
px py
s xl t yxm t zxn t xyl s ym t zyn
第12页/共35页
过一点任意斜面的主应力与方向
➢ 对于主应力方向，将s1，s2，s3分别代入
(s x s )l t xym t xzn 0 t xyl (s y s )m t yzn 0 t xzl t yzm (s z s )n 0
结合 l2+m2+n2=1 则可求主应力方向。 ➢ 可以证明：三个主应力方向，是互相垂直的。
的6个应力分量，求解如下四个问题：
1：求经过该点任何斜面上的应力p？
2：求经过该点的任何斜面上的正应力sn和切应力tn ？ 3：若经过该点的主应力s和应力主方向a ？ 4：求经过该点的正应力sn和切应力tn 的最大和最小值？
第5页/共35页
过一点任意斜面的全应力
➢问题1：已知任一点处坐标面上的6个应力分量，求经过
主应力特征方程有三个实数根，s1，s2，s3分别表示这 三个根，代表某点三个主应力，从而确定弹性体内部任 意一点主应力。
主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等， 与坐标轴的选取无关。
I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变 量。特征方程的根是确定的，即系数I1、I2、I3的值是不 随坐标轴的改变而变化的。