数值分析第5版第一章课件李庆扬著.
河海大学研究生数值分析课件
若 P(x) 是次数不超过n的多项式，即
P( x) a0 a1 x an x n
则称 P(x)为插值多项式。相应的方法称为多项式插值。 若 P(x) 是分段多项式，则称分段多项式插值。 常用的有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插 值、埃特金插值、三次样条插值等。
定义2 称
f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] x1 x0
为 f (x)关于点
x0 , x1 的一阶均差；称
f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x1
为 f (x)的二阶均差；一般的，称
f ( f ( x ,, x )) | ( ) | ( xk ) xk k 1
1 n n
例3 测量得某场地长 l 的值为 110 0.2 ，宽d m 的值为 80 0.1m ，试求面积 s = ld 的绝对误差限与 相对误差限。 （见黑板）
1.3 误差定性分析与避免误差危害
1 ( n1)
若 x 具有n位有效数字，则相对误差限
r
x 10 (a1 a2 10 an 10
) , a1 0
1 ( n 1) 10 2a1 1 ( n 1) 10 ，则 反之，若 x 的相对误差限 r 2a1
至少具有n位有效数字。 （证明见黑板）
其中数值计算方法是数值分析研究的对象。
主要包括：
（1）函数的数值逼近（包括插值法）；
（2）数值微分和数值积分；
（3）非线性方程（组）数值解； （4）数值线性代数（如线性方程组数值解、矩阵 特征值特征向量的计算）； （5）（偏）微分方程数值解。
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析 李庆扬ppt课件
x xA xA
➢ 定义2.2 绝对误差界、相对误差界
若 x ，x则A 称 为A绝对误差界，简称 误A 差界
称 为A 相对误差界, 记为 . xA
r
；.
数值分析14
数值分析
➢定义2.3 有效数字 /* significant digits */
用|为x科有 学nx计A 位|数 有（法0效即.，5数 记的字10截，k 取精n按确x A 四到 舍 五（a。1 n入其0 k 规中 则0 ）.a ）1 ，a . 则2 若称a n
离散集合（部分有理数），此集合的数称为机器数.
浮点数：
这种允36许.83小=数0.3点68位3×置1浮02动=0的.03表68示3×法1称03为数的 浮点形式。
机器数 x 的二进制浮点形式为: 尾数
x 2k0 .12 t
阶
其中， k 12 s(j { 0 ,1 } )
阶的位数
；.
数值分析19
数值分析
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
；.
4 数值分析
数值分析
实际问题
建立数学模型
数值分析提出算法
程序 设计
分析结果并对实际问题进行解释说明
编程上机计算
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这 些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步 骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
略去高阶项：
A A f( x 1 ,,x n ) f( x 1 ,,x n )
n j1
f
(x) xj
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
数值分析第五版_李庆扬
数值分析第五版_李庆扬数值分析第五版_李庆扬一、课程基本信息课程中文名称：数值分析课程英文名称：Numerical Analysis课程类别：专业基础课开课学期：秋适用专业：信息与计算科学；应用数学总学时：86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时）总学分：5（理论课3学分；上机实习2学分）预修课程（编号）：数学分析，高等代数，常微分方程课程简介：本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。
本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。
是应用数学的重要分支之一。
建议教材：《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书：[1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年；[2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年；[3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年[4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社2008年[5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司20036、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。
二、理论课程教育目标通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。
三、理论教学内容与要求（含学时）第一章：计算方法的一般概念（4学时）本章教学内容：理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。
第二章：解线性方程组的直接法（8学时）本章教学内容：1、高斯消去法；选主元的高斯消去法；2、矩阵的LR分解；解三对角方程组的追赶法；解方程组的平方根法；矩阵的求逆；3、方程组的数；病态方程组的判断。
课件-数值分析(第五版)1-3章
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误 差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
x 0.003
y 1
2017/3/12
1000
1.00314 , y * 1.003
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
注: 有效位数与小数点后有多少位无关； m相同情况下，有效位数越多，误差限越小； 相对误差及相对误差限是无量纲的，绝对误差及误差限是有量纲的。
数值计算 算法设计
数学软件
1.1 数值分析的对象、作用与特点
1 研究对象
用计算机求解数学问题的数值计算方法、理论及软件实现
实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计（数学软件） 上机计算求出结果
应用数学
计算数学即数值分析
数值分析（计算方法） 插值与函数逼近（2、3）数值微分与数值积分（4） 的研究对象
第一章习题
1, 5,７,12,1４
谢
谢 !
2017/3/12
14 第1章 数值分析与科学计算引论
第2章 插值法
引言
拉格朗日（Lagrange）插值 均差与牛顿（Newton）插值 埃尔米特（Hermite）插值 分段低次插值 三次样条插值
李庆扬 数值分析 第五版Cht1
数值分析
数值分析
三、数值问题与算法
数值问题：
算法：
并行算法与串行算法：
什么样的算法是好的算法？
（误差分析，稳定性，收敛性，计算复杂性···）ln(1 x)
ln 2 1 1 1 (1)n1 1 ,
定义2若近似值x *的误差限是某一位数字的半个单位,该位
到x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.
即 x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) (2.1)
其中a1 0 . 并且
x x * 1 10mn1
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
例8 计算A 10（7 1 cos2。）.
又如：当x, y接近时，lg x lg y ？ x 1 x ？
当x, x *接近时，f (x) f (x*) ? ３.防止‘大数’吃‘小数’
例9 仿计算机在3位十进制下，
1 00项 1 00项 123 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01123
1.00
x 105 1105
y 2105 1105
105 )
1.00001 0.9999899
(2) (1) 105 1.00 105 x 1.00 y 1.00
x* 0.00,
y* 1.00
y 1.00
错.为什么,怎么办？
数值分析
数值分析
2.避免两个相近数相减
例7 求解x2 16x 1 0.
一般C p 10认为是病态. 其他计算问题也要考虑条件数, 考虑是否病态.
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）之阳早格格创做1、设0>x ，x 的相对付缺面为δ，供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对付缺面为δε=)(*x r ，千万于缺面为**)(x x δε=，进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%，供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值，则有相对付缺面为%2)(*=x r ε，千万于缺面为**%2)(x x =ε，进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数，即缺面不超出末尾一位的半个单位，试指出它们是几位灵验数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字；0031.0*2=x 有2位灵验数字；6.385*3=x 有4位灵验数字；430.56*4=x 有5位灵验数字；0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式（3.3）供下列各近似值的缺面限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%，问度量半径R 允许的相对付缺面是几？ [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 进而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ，若与982.27783≈（五位灵验数字，）试问预计100Y 将有多大缺面？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根，使它起码具备四位灵验数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位灵验数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x （五位灵验数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ，惟有二位灵验数字，不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时，何如供⎰++1211N N dx x？ [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+，当N 充分大时为二个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα，果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ，应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若央供1))((2**=l ε，则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε，即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =，假定g 是准确的，而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面，道明当t 减少时S 的千万于缺面减少，而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε，***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε，所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位灵验数字），预计到10y 时缺面有多大？那个预计历程宁静吗？[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知，20*1021)(-⨯=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε，果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f，与4.12≈，利用下列公式预计，哪一个得到的截止最佳？6)12(1+，3)223(-，3)223(1+，27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε，所以对付于61)12(1+=f ，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字； 对付于32)223(-=f ，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ，不灵验数字； 对付于33)223(1+=f ，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字；对付于270994-=f ，111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ，不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ，供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表，问供对付数时缺面有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计，供对付数时缺面有多大？[解]果为9833.298991302==-（六位灵验数字），4*1021)(-⨯=x ε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ，假定惟有三位数预计，问截止是可稳当？[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，20π<<c ，且丈量a ，b ，c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,，道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1， 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德受止列式，令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(，道明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步少 )60/1(1='=h ，若函数具备5位灵验数字，钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010，对付应的x cos 值为10,y y ，函数表值为10,y y ，则由题意可知，5001021-⨯≤-y y ，5111021-⨯≤-y y ，近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ，进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k，供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-='，进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=，又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+， 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++， 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+，所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面，供证：1）),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=；[解]1）果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式，所以供证创制. 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式，令x y =，即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3，其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表，若用二次插值供x e 的近似值，要使截断缺面不超出610-，问使用函数表的步少h 应与几？[解]由题意可知，设x 使用节面h x x -=10，1x ，h x x +=12举止二次插值，则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ，令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，进而)(x f 的极值面为h x x 331±=，故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤，而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超出610-，则有63410273-≤h e ，即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=，供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=∆，道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式，而且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证.13、道明：0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ，道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ，故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(，再由好商的本量1战3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j，进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量：1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ，供]2,,2,2[71f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ，并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33，缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ，使它谦脚0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 仄分，试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ，并道明当∞→n 时，)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=，正在55≤≤-x 上与10=n ，按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ，预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值，并预计缺面.[解]由题意可知，1=h ，进而当[]1,+∈k k x x x 时，)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值，并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα，进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试供三次样条函数)(x S ，并谦脚条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=h h h λ，5206.009.006.02122=+=+=h h h λ，7408.006.008.03233=+=+=h h h λ，14509.005.005.01001=+=+=h h h μ，5306.009.009.02112=+=+=h h h μ，7308.006.006.03223=+=+=h h h μ，由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知，7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件，故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ，不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，道明 1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中ix 为插值节面，且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =，试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数，供证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ，b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ，供好商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+⨯+==f f ，167051454)4()2(372=+⨯+==f f ，所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ，826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ，27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，供4次牛顿插值多项式，并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，试预计出此列表函数的好分表，并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表：由好分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计（80-82）1、（a ）利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形，并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(，其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π，其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证：（a ）当Mx f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(；（b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(.[道明]（a ）由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知，∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(，而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ，进而得证. （b ）当x x f =)(时，xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中，供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，进而最小偏偏好为1，接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8，此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组，进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式，可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝，供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=，)(sup x f M bx a ≤≤=，则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -，进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问那个解是可唯一？[解]果为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ，再由定理7可知，当)34(4141333x x T ax x -==-时，坐即43=a ，偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式，并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ，进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ，进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ，使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小？r 是可唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111，r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时，r r =+1，进而21-=r .另解：由定理7可知，正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ，进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ，正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ，则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ，进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ，供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知，令[]1,1,211-∈+=t t x ，则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.？12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知，插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π，即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ，则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ，若∞-nL f 有界，道明对付所有1≥n ，存留常数n n βα,，使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知，[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ，进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α，)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β，则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=，8181244-+=x T x ，所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ，缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式，使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ，与前三项，得到!5!3)(535x x x x L +-=，缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ，又果为 x x T x 16545161355-+=，所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=，此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇（奇）函数，道明不管n 是奇数大概奇数，)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（奇）函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的，再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小，并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ，8220ππ=⎰dx x ，243202ππ=⎰dx x ，1sin 200==⎰πxdx d ，1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈，定义 （a ）()⎰''=aadx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积？[解]（a ）果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ，然而反之不可坐，所以不形成内积. （b ）形成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）预计⎰+161dx xx 的上界，并用积分中值定理预计共一积分的上下界，并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ，所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ，使下列积分与最小值：⎰-1022)(dx ax x ，⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ，进而45=a .当0=a 时，12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ，当0≠a 时，由02=-ax x ，可得接面为ax 1=，若1>a ，则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a，若01>≥a ，则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知，当01<≤-a 时，1112=-⎰-dx ax x ，当1-<a 时，1112>-⎰-dx ax x ，进而当1≤a 时，积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别正在21,ϕϕ上供一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近，并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ，2110=⎰xdx ，31102=⎰dx x ，41103=⎰dx x 可知，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，203110101101=⋅⎰dx x x ，1031102100=⋅⎰dx x x ，1041102101=⋅⎰dx x x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ，即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上，供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ，。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第5版第一章课件李庆扬著.
2
在 m相同的情况下， 越n 大则 10越m小n1，故有效位数越 多，绝对误差限越小.
x x * 1 10 . mn1 2
（2.2）
24
定理1 设近似数 x *表示为
x* 10m (a1 a2 101 al 10(l1) ), (2.1) 其中 ai (i 1,, l) 是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数.
2
介于x, x * 之间，
取绝对值得 f (x) f (x*) f (x*) (x*) f ( ) 2 (x*).
2
30
假定 f (x*) 与 f (x*)的比值不太大，可忽略 (x*)
的高阶项，于是可得计算函数的误差限
( f (x*)) f (x*) (x*).
31
当 f 为多元函数，如计算 A f (x1, xn ) 时. 如果 x1,, xn 的近似值为 x1*,, xn*，则 A 的近似值为
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1， y 1000 5, 则
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
* y
比
*大
x
4
倍，但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y *近似 y的程度比 x *近似 x的程度好.
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受 计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差， 计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
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上界，即
e* x*x *
则 * 叫做近似值的误差限，它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x，读出和该长 度接近的刻பைடு நூலகம் x *，x *是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm， 于是
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数
产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计 问题.
这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
10
1.2.2 误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x *为 x 的一个近似值，称 e* x *x
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像 纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.
数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
4
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
5
1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
*x 10%, *y 0.5%,
x*
y*
可见 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
17
当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 x *，例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1， y 1000 5, 则
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
* y
比
*大
x
4
倍，但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y *近似 y的程度比 x *近似 x的程度好.
第1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术 1.5 数学软件（略）
1
1.1 数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主 要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理 论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
实际问题 数学模型
6
在数学模型中往往还有一些根据 观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差.
实际问题
这种由观测产生的误差称为 观测误差.
数学模型
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.
数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.
此时利用
15
e* e* e*(x * x)
x x*
x*x
(e*)2
x * (x * e*)
(e * / x*)2 1 (e * / x*)
是 er* 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作
* r
，即
* r
*.
x*
16
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
7
实际问题 数学模型 数值计算方法 上机计算求出结果 近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替可微函数 f (x)， 则数值方法的截断误差是
3
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
π 3.1416 1 104. 2
18
定义2 若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效 数字.
所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
14
把近似值的误差 与e *准确值 的比x 值
e* x*x
x
x
称为近似值 x的* 相对误差， 记作 er*.
实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
er*
e* x*
x*x x*
作为 x的* 相对误差，
条件是
er*
e较*小， x*
e* x * x, 知
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受 计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差， 计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
9
例如，用 3.14159近似代替 π，产生的误差 R π 3.14159 0.0000026
x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765mm，则有 765 x 0.5 . 虽然从这个不等式不能知道准确的 x是多少，但可知
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
也可以表示为
x * * x x * *, x x * *.