数值分析第5版第一章课件李庆扬著.
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x * x 0.5mm. 如读出的长度为 765mm，则有 765 x 0.5 . 虽然从这个不等式不能知道准确的 x是多少，但可知
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
也可以表示为
x * * x x * *, x x * *.
4
四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
5
1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
14
把近似值的误差 与e *准确值 的比x 值
e* x*x
x
x
称为近似值 x的* 相对误差， 记作 er*.
实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
er*
e* x*
x*x x*
作为 x的* 相对误差，
条件是
er*
e较*小， x*
e* x * x, 知
7
实际问题 数学模型 数值计算方法 上机计算求出结果 近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替可微函数 f (x)， 则数值方法的截断误差是
第1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术 1.5 数学软件（略）
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1 数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主 要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理 论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1， y 1000 5, 则
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
* y
比
*大
x
4
倍，但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y *近似 y的程度比 x *近似 x的程度好.
为近似值的绝对误差，简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
e* x*x *
则 * 叫做近似值的误差限，它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x，读出和该长 度接近的刻度 x *，x *是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm， 于是
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受 计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差， 计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
9
例如，用 3.14159近似代替 π，产生的误差 R π 3.14159 0.0000026
3
数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
此时利用
15
e* e* e*(x * x)
x x*
x*x
(e*)2
x * (x * e*)
(e * / x*)2 1 (e * / x*)
是 er* 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作
* r
，即
* r
*.
x*
16
根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像 纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.
数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
*x 10%, *y 0.5%,
x*
y*
可见 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
17
当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 x *，例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
π 3.1416 1 104. 2
18
定义2 若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效 数字.
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数
产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计 问题.
这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
10
1.2.2 误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x *为 x 的一个近似值，称 e* x *x
实际问题 数学模型
6
在数学模型中往往还有一些根据 观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差.
实际问题
这种由观测产生的误差称为 观测误差.
数学模型
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.
数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 765.5]内.
12
对于一般情形 x * x *，即
也可以表示为
x * * x x * *, x x * *.
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四、要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要 满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的.
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1.2 数值计算的误差
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题的过程如下：
首先要建立数学模型， 它是对被描述的实际问题进行抽象、 简化而得到的，因而是近似的.
数学模型与实际问题之间出现 的误差称为模型误差.
所以除考虑误差的大小外，还应考虑准确值 x本身的大 小.
14
把近似值的误差 与e *准确值 的比x 值
e* x*x
x
x
称为近似值 x的* 相对误差， 记作 er*.
实际计算中， 由于真值 x总是未知的， 通常取
er*
e* x*
x*x x*
作为 x的* 相对误差，
条件是
er*
e较*小， x*
e* x * x, 知
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实际问题 数学模型 数值计算方法 上机计算求出结果 近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.
8
例如，用泰勒(Taylor)多项式
Pn (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x2 2!
f (n) (0) xn n!
近似代替可微函数 f (x)， 则数值方法的截断误差是
第1章 数值分析与科学计算引论
1.1 数值分析的对象、作用与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.4 数值计算中算法设计的技术 1.5 数学软件（略）
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.1 数值分析研究对象与特点
数值分析的定义： 数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主 要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理 论与软件实现. 数值分析的主要内容： 本课程主要内容包括插值与数据逼近、数值微分与数 值积分、线性方程组的数值求解、非线性方程与方程组求 解、特征值计算、常微分方程数值解等.
需要注意的是误差限的大小并不能完全表示近似值的好坏.
13
例如，有两个量 x 10 1， y 1000 5, 则
x* 10,
* x
1;
y* 1000,
虽然
* y
比
*大
x
4
倍，但
* y
/
y*
5
/1000
0.5%
比
* y
5.
* x
/
x*
1 / 10
10%
要小得多，这说明 y *近似 y的程度比 x *近似 x的程度好.
为近似值的绝对误差，简称误差. 通常准确值 x是未知的，因此误差 e *也是未知的. 若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个
上界，即
e* x*x *
则 * 叫做近似值的误差限，它总是正数.
11
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x，读出和该长 度接近的刻度 x *，x *是 x的近似值，它的误差限是 0.5mm， 于是
Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n) ( ) xn1,
(n 1)!
在0与x之间.
有了计算公式后，在用计算机做数值计算时，还要受 计算机字长的限制，原始数据在计算机上表示会产生误差， 计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差.
9
例如，用 3.14159近似代替 π，产生的误差 R π 3.14159 0.0000026
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数值分析的特点： 一、面向计算机，能根据计算机特点提供切实可行的 有效算法. 二、有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求， 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行
分析. 三、要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时
间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研 究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现.
此时利用
15
e* e* e*(x * x)
x x*
x*x
(e*)2
x * (x * e*)
(e * / x*)2 1 (e * / x*)
是 er* 的平方项级，故可忽略不计.
相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，
记作
* r
，即
* r
*.
x*
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根据定义，上例中 x与 的y 相对误差限分别为
2
虽然数值分析也是以数学问题为研究对象，但它不像 纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧 密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论.
数值分析是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理 论体系的课程.
数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点， 又有应用数学的广泛性与实际试验的高度技术性的特点， 是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.
*x 10%, *y 0.5%,
x*
y*
可见 y近* 似 的y程度比 近x似* 的程x度好.
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当准确值 x位数比较多时，常常按四舍五入的原则得 到 x的前几位近似值 x *，例如
x π 3.14159265
取3位 取5位
x3* 3.14, 3* 0.002, x5* 3.1416, 5* 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
π 3.14 1 102 , 2
π 3.1416 1 104. 2
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定义2 若近似值 x *的误差限是某一位的半个单位， 该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效 数字.
就是舍入误差. 此外由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数
产生的初始误差对数值计算也将造成影响. 分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差.
研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计 问题.
这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论.
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1.2.2 误差与有效数字
定义1 设 x为准确值， x *为 x 的一个近似值，称 e* x *x
实际问题 数学模型
6
在数学模型中往往还有一些根据 观测得到的物理量，如温度、长度、 电压等等，这些参量显然也包含误差.
实际问题
这种由观测产生的误差称为 观测误差.
数学模型
以上两种误差不在“数值分析”的讨论范围.
数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差.
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求 它的近似解.