上海大学数学分析历年考研真题

上海大学2000年度研究生入学考试试题

数学分析

1、 设

122(1)n n x x nx y n n +++=

+，若lim n n x a →∞=，证明：（1）当a 为有限数时，lim 2

n n a

y →∞=；

（2）当a =+∞时，lim n n y →∞

=+∞.

2、设()f x 在[]0,1上有二阶导数（端点分别指左、右导数），(0)(1)0f f ==，且[]

0,1min ()1f x =-

证明：[]

0,1max ()8f x ''≥

3、 证明：黎曼函数[]1

, x= (0,,)()0,10,p q p q q q R x ⎧>⎪=⎨⎪⎩

当为互质整数在上可积当x 为无理数. 4、 证明：1

2210

()

lim (0),t tf x dx f t x π+

-→=+⎰其中()f x 在[]1,1-上连续.

5、 设()1ln 11n n p a n ⎛

⎫=+- ⎪⎝⎭，讨论级数2

n n a +∞

=∑的收敛性.

6、 设

()f x dx +∞

⎰

收敛且()f x 在[]0,+∞上单调，证明：0

1

lim ()()h n h f nh f x dx +

+∞

+∞

→==∑⎰.

7、 计算曲面2

2

2

2

x y z a ++=包含在曲面22

221(0)x y b a a b

+=<≤内的那部分的面积.

8、 将函数()f x x =在[]0,2π上展成Fourier 级数,并计算级数

1

sin k k

k +∞

=∑的值. 上海大学2001年度研究生入学考试试题

数学分析

1、 计算下列极限、导数和积分:

(1) 计算极限1

lim();x

x x +

→ (2) 计算

2

()()x x f t dt ϕ=⎰的导数()x ϕ',其中()f x 2

,(1)

.1,(1)

t t t t ≤

⎧=⎨

+>

⎩ (3) 已知)

211sin x x '

⎤=⎥+⎦

,求积分2011sin I dx x π=+⎰. (4) 计算()()2222

2

()0x y z t f t xyz dxdydz t ++≤=

>⎰⎰⎰的导数()f t '(只需写出()f t '的积分表达

式).

2、 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，若()()0f a f b >且(

)02

a b

f +=，试证明必存在(),a b ξ∈使得()0f ξ'=. 3、 令(),1y F x y y xe =+-

(1)、证明:111311,0,,;,0,,.2121221212F x x F x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤

<∈-

>∈- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

(2)、证明:对任意的11,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,方程(),0F x y >在13,22y ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

中存在唯一的解()y x . (3)、计算(0)y '和(0)y ''. 4、一致连续和一致收敛性

(1)、函数2

()f x x =在[]0,1上是一致连续的,对2

10ε-=,试确定

0δ>,使得当

1201x x ≤<≤,且12x x δ-<时有3321210x x --<.

(2)、设[]2231

(),0,1,1,2,,2n n x f x x n n x

+=

∈=+证明: ()n f x 在[]0,1上是内闭一致收敛的,

但不是一致收敛的.

5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分()221,2L xdy ydx

I x y π-=

+⎰其中L 是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于

L 围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.

(2) 设(),p x y ,(),q x y 除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若

()(),,0,0p q x y y x

∂∂=≠∂∂

()

0,L pdy qdx c +=≠⎰其中(L)的参数方程cos ,(02)sin x t

t y t

π=⎧≤≤⎨=⎩ 证明：存在连续可微函数()()(),,,0,0F x y x y ≠，使得

()()2222,,,22F c y F c x

p x y q x y x x y y x y

ππ∂∂=+=-∂+∂+. 上海大学2002年度研究生入学考试题

数学分析

1、 求α和β使得当x →+∞

等价于无穷小量x βα.

2、 求椭圆2

2

21Ax Bxy Cy ++=所围成的面积S ,其中2

0,0,,,A AC B A B C >->均为常数.

3、 试给出三角级数

01

(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞

=++∑中系数的计算公式(不必求出具体值),使得该级数在[]0,1上一致收敛到2

x ,并说明理论依据。

4、

证明：sin ()x e x x f x x ππ⎧≤⎪=>当时

，当时函数在()-∞+∞，上一致连续

5、 设()f x 在[]0,1上有连续的导函数()f x '，(0)0f =，证明：1

12

2

1()()2f x dx f x dx '≤⎰

⎰.

6、 证明:当x y ≤≤1,1时,有不等式2

22

2

2

()2.x y y x -≤+-

7、 设()f x 在(),a b 上连续,并且一对一,(即当()12,,,x x a b ∈且12x x ≠时有12()()f x f x ≠),

证明: ()f x 在(),a b 上严格单调.

上海大学2003年度研究生入学考试题

数学分析

1、 证明与计算：

（1）对于任意的0a >

，证明：n .

（2）设()11

1,0,1,2,...,n n a k x k n n α

α+==>=∑,证明: lim n n x →∞存在并求之.

2、 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例. （3）存在级数

1

n

n u

∞

=∑,使得当n →+∞时, n u 不趋于0,但

1

n

n u

∞

=∑收敛.

（4）

20

sin xdx +∞

⎰

是收敛的.

(5) 2

1

1

lim sin 0x x e

nxdx --→∞=⎰

(此题只需指明理论依据)

3、 计算

(6)

3

2

2

22

,()

S

xdydz ydzdx zdxdy x y z ++++⎰⎰

其中S 为曲面: ()221,0z x y z -=+≥的上侧.

(7)将把()f x x =在[],ππ-上展成Fourier 级数,并由此计算2

11n

k k

=∑. 4、 证明: