面面平行的判定和性质

图形语言
符号语言
l∥a a⊂α
l⊄α
⇒l∥α
___l∥__a___ ___l⊂__β___
_α_∩__β_＝__b_
⇒l∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
一个平面内的两条相交直线 与 判定 另一个平面平行，则这两个平 定理 面平行(简记为“线面平行⇒面
面平行”)
如果两个平行平面同时和第三 性质 个平面相交 ，那么它们的交__线__ 定理
练1
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变 为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C，AC1，交于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点，连接MD， ∵D为BC的中点，∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1， 又DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D， 因此平面A1BD1∥平面AC1D.
课堂总结： 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点). (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β). 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
练2 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD， DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点. (1)求证：平面BDM∥平面EFC；
证明 如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN， 又M为棱AE的中点，∴MN∥EC. ∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC， ∴MN∥平面EFC. ∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， ∴BF∥DE且BF＝DE， ∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF. ∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD∥平面EFC. 又MN∩BD＝N，MN，BD⊂平面BDM， ∴平面BDM∥平面EFC.
证明 ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面.
证明 ∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB， ∴A1G∥EB，A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. 又∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
∵MAQQ＝DADD1＝2，∴MQ＝2x. MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，
∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)， ∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.故选C.
练3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 ， AC 与 BD 相 交 于 点 O ， AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝AP＝3，AD=6,过点O 的平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD， PC分别相交于点E，F，G，H，求截面EFGH的周长.
证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
பைடு நூலகம்
例2如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四 棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别 在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN ＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是
解析 过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN. ∵MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1， ∴MQ∥平面DCC1D1， ∵MN∥平面DCC1D1， MN∩MQ＝M，
∴平面MNQ∥平面DCC1D1. 又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC， ∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，
方法二 因为平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF上，平面 PAB∩平面ABCD＝AB， 所以EF∥AB，同理EH∥BP，FG∥AP. 因为BC∥AD，AD＝6，BC＝3， 所以△BOC∽△DOA，且ABDC＝CAOO＝21， 所以EOOF＝12，CE＝31CB＝1，BE＝AF＝2， 同理CPCH＝EPHB＝CCOA＝13，
如图，连接HO，则HO∥PA， 所以HO⊥EO，HO＝1， 所以 EH＝13PB＝ 2， 因为 AD∥BC，所以OAOC＝DOOB＝12. 因为 EF∥AB，所以FDDA＝OBDD＝23. 因为 FG∥AP，所以FAGP＝FDDA＝23， 所以 FG＝23PA＝2，
过点H作HN∥EF交FG于点N， 则 GH＝ HN2＋GN2＝ 5， 又EF＝AB＝3， 所以截面 EFGH 的周长为 EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋ 5＋ 2＝5＋ 5＋ 2.
平行
符号语言
__α_∥__β___
__b_∥__β___ _a_∩__b_＝__P_
⇒α∥β
__a_⊂__α___ __b_⊂__α___
__α_∥__β___ _α_∩__γ_＝__a_
⇒a∥b
_β_∩__γ_＝__b_
师例1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
解 方法一 由题意知平面α∥平面PAB，平面α∩平面ABCD＝EF，点O在EF 上，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 根据面面平行的性质定理，得EF∥AB， 同理EH∥BP，FG∥AP.
因为 BC∥AD，所以△BOC∽△DOA，且ABDC＝COOA＝36＝12. 因为 EF∥AB，所以CBCE＝OACC＝13. 又易知BE＝AF，AD＝2BC，所以FD＝2AF. 因为 FG∥AP，所以FAGP＝FADD＝23，FG＝32AP＝2.
面面平行的判定和性质
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 平面外一条直线与 此平面内 的一 判定 条直线平行，则该直线与此平面平 定理 行(简记为“线线平行⇒线面平行 ”) 一条直线与一个平面平行，则过交这线 性质 条直线的任一平面与此平面的 ____ 定理 与该直线平行(简记为“线面平行⇒ 线线平行”)
因为 EH∥BP，所以EPHB＝EBCC＝13， 所以 EH＝13PB＝ 2. 如图，作HN∥BC，GM∥AD，N∩PB＝N，GM∩PA＝M， 则HN∥GM，HN＝GM， 所以四边形GMNH为平行四边形，所以GH＝MN，
在△PMN 中，MN＝ PN2＋PM2－2×PN×PM×cos∠MPN
＝ 8＋1－2×2 2cos 45°＝ 5， 又EF＝AB＝3， 所以截面 EFGH 的周长为 EF＋FG＋GH＋EH＝3＋2＋ 5＋ 2＝5＋ 5＋ 2.