教案48 正弦函数余弦函数的图像和性质

4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）

（一）教学具准备 直尺、圆规、投影仪． （二）教学目标

1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．

2．掌握五点作图法，并会用此方法作出[]π20，

上的正弦曲线、余弦曲线． 3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．

（三）教学过程（可用课件辅助教学） 1．设置情境

引进弧度制以后，()x x f sin =就可以看做是定义域为()∞+∞-，

的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．

2．探索研究

（1）复习正弦线、余弦线的概念

前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）

设任意角α的终边与单位圆相交于点()y x P ，，过点作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．

（2）在直角坐标系中如何作点()ααsin ，

由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角α的大小，就能用几何方法作出对应

的正弦值αsin 的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点

⎪⎭⎫ ⎝⎛3sin 3

ππ

，C ？

教师引导学生用图2的方法画出点C ．

我们能否借助上面作点C 的方法在直角坐标系中作出正弦函数x y sin =，R ∈x 的图像呢？

图1

①用几何方法作x y sin =，()π20，

∈x 的图像 我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点

的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点⎪⎭⎫ ⎝⎛3sin 3

ππ，C 的几何方法来描点，从而

使图像的精确度有了提高．

（边画图边讲解），我们先作x y sin =在[]π20，

上的图像，具体分为如下五个步骤： a ．作直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧画单位圆．

b ．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，

6π，3π，2

π

，…，π2角的正弦线．

c ．找横坐标：把x 轴上从0到π2（18.62≈π）这一段分成12等分．

d ．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．

e ．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得x y sin =，[]π20，

∈x 的图像．

②作正弦曲线x y sin =，R ∈x 的图像．

图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数x y sin =，()[)ππ122+∈k k x ，，Z

∈k 图2

且0≠k 的图像与函数x y sin =，[)π20，

∈x 的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数x y sin =，[)π20，∈x 的图像向左、右平移（每次π2个单位长度），就可

以得到正弦函数数x y sin =，R ∈x 的图像，如图1．

正弦函数x y sin =，R ∈x 的图像叫做正弦曲线．

③五点法作x y sin =，[]π20，

∈x 的简图 师：在作正弦函数x y sin =，[]π20，

∈x 的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数x y sin =，[]π20，

∈x 与x 轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？

生：（0，0），⎪⎭⎫

⎝⎛12，π，()0，π，⎪⎭

⎫

⎝⎛-132，π，()02，π 师：事实上，只要指出这五个点，x y sin =，[]π20，

∈x 的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，

这种作图的方法称为“五点法”作图．

④用变换法作余弦函数x y cos =，R ∈x 的图像 因为()()⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡--=-==2sin 2sin cos cos ππx x x x y ，所以x y cos =，R ∈x 与

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=2sin πx y 是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移2π个长度单

位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数x y cos =，

[]π20，∈x 的图像上，起关键作用的五个点的坐标．

图1

生：（0，1），⎪⎭

⎫

⎝⎛02，π，()1-，π，⎪⎭⎫ ⎝⎛023，π，()12，π 3．例题分析

【例1】画出下列函数的简图：

（1）x y sin 1+=，[]π20，

∈x ； （2）x y cos -=，[]π20，∈x ． 解：（1）按五个关键点列表

x

0 2

π π

2

3π π2

x sin 0 1 0 －1 0 x sin 1+

1

2

1

1

利用五点法作出简图3

师：请说出函数x y sin 1+=与x y sin =的图像之间有何联系？

生：函数x y sin 1+=，[]π20，

∈x 的图像可由x y sin =，[]π20，∈x 的图像向上平移1个单位得到．

x 0 2

π π

2

3π π2

x cos 1 0 －1 0 1 x cos -

－1

1

－1

利用五点法作出简图4

图2

图3