北京市丰台区下册万有引力与宇宙单元培优测试卷

一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）
1．如图所示，A 是静止在赤道上的物体，地球自转而做匀速圆周运动。

B 、C 是同一平面内两颗人造卫星，B 位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C 是地球同步卫星。

已知第一宇宙速度为v ，物体A 和卫星B 、C 的线速度大小分别为v A 、v B 、v C ，运动周期大小分别为T A 、T B 、T C ，下列关系正确的是（ ）
A ．T A =T C ＜T
B B ．T A =T
C ＞T B C ．v A ＜v C ＜v B ＜v
D ．v A ＜v B ＜v C ＜v
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB ．由题意，A 是静止在赤道上的物体，C 是地球同步卫星，故有A C T T =，又由于B 、C 是同一平面内两颗人造卫星，由万有引力提供向心力可知
2
224Mm G m r r T
π= 解得
23
4r T GM
π=
即轨道半径越大，周期越大，由于C 的轨道半径大于B 的轨道半径，则C B T T <，联立上式，可得
T A =T C ＞T B
故A 错误，B 正确；
CD ．由于B 、C 是同一平面内两颗人造卫星，由万有引力提供向心力可知
22Mm v G m r r
= 解得
GM
v r
=
也就是说，轨道半径越大，线速度越小，故有B C v v >，又因为A 、C 具有相同的周期和角速度，所以有C A v v >，又因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，故有B v v >，结合以上分析可知
v A ＜v C ＜v B ＜v
故C 正确，D 错误。

故选BC 。

2．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转的速率，如果超出了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤附近的物体随星球做圆周运动,由此能得到半径为R,密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T ，下列表达式正确的是：（ ）
A ．2T =
B ．2T =
C ．T =
D ．T =
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
AB.当周期小到一定值时，压力为零，此时万有引力充当向心力，即
22
24m GMm R
R T
π= 解得：
2T =① 故B 正确，A 错误； CD. 星球的质量
34
3
M ρV πρR ==
代入①式可得：
T =
故C 正确，D 错误．
3．在太阳系外发现的某恒星a 的质量为太阳系质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b 的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ） A ．行星b 的第一宇宙速度与地球相同
B ．行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度
C ．如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的169
D ．行星b 与恒星a 【答案】BC
【解析】 【分析】 【详解】
A ．当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由
22Mm v G m R R
= 得
v =
M 是行星的质量，R 是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为
v v 行地：=
故A 错误；
B ．行星b 绕恒星a 运行的周期小于地球绕太阳运行的周期；根据2T
π
ω= 可知，行星b 绕恒星a 运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，选项B 正确； C ．由2
GM
g R =
，则 2
216
9
M R g g M R =⨯=行地行地地行：
则如果将物体从地球搬到行星b 上，其重力是在地球上重力的16
9
，则C 正确； D ．由万有引力提供向心力：
2
224Mm G m R R T
π= 得：
R = 则
ab R R 日地则D 错误； 故选BC 。

4．中国火星探测器于2020年发射，预计2021年到达火星（火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离），要一次性完成“环绕、着陆、巡视”三步走。

现用h 表示探测器与火星表面的距离，a 表示探测器所受的火星引力产生的加速度，a 随h 变化的图像如图所示，图
像中a 1、a 2、h 0为已知，引力常量为G 。

下列判断正确的是（ ）
A ．火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度
B ．火星表面的重力加速度大小为a 2
C 1021
a a a -
D ．火星的质量为2
2
12
02
12a a h G a a
- 【答案】ABC 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据
22Mm v G m r r
= 知
GM
v r
=
轨道半径越大线速度越小，火星与太阳的距离大于地球与太阳的距离，所以火星绕太阳做圆周运动的线速度小于地球绕太阳做圆周运动的线速度，故A 正确； B ．分析图象可知，万有引力提供向心力知
2
Mm
G
ma r = r 越小，加速度越大，当h =0时的加速度等于火星表面的重力加速度大小，大小为a 2，故B 正确；
CD ．当h =h 0时，根据
12
0()Mm
G
ma R h =+
22Mm
G
ma R
= 得火星的半径
1021a R h a a =
-
火星的质量
2
12
2
021()a a h M G
a a =-
故C 正确，D 错误。

故选ABC 。

5．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( ) A ．地球的向心力变为缩小前的一半 B ．地球的向心力变为缩小前的
C ．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同
D ．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 【答案】BC 【解析】
A 、
B 、由于天体的密度不变而半径减半，导致天体的质量减小，所以有：
3
/
4328
r M
M ρπ⎛⎫==
⎪⎝⎭ 地球绕太阳做圆周运动由万有引力充当向心力．所以有：
//
2
21G
162M M M M G R R =
⎛⎫ ⎪⎝⎭
日日地
地
， B
正确，A 错误；
C 、
D 、由//
2/2
24G
22M M R M T R π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭
日地
地
，整理得：23?4T r GM
π=C 正确；D
错误；
故选BC ．
6．2020年5月24日，中国航天科技集团发文表示，我国正按计划推进火星探测工程，瞄准今年7月将火星探测器发射升空。

假设探测器贴近火星地面做匀速圆周运动时，绕行周期为T ，已知火星半径为R ，万有引力常量为G ，由此可以估算（ ） A ．火星质量 B ．探测器质量 C ．火星第一宇宙速度 D ．火星平均密度
【答案】ACD
【解析】 【分析】
本题考查万有引力与航天，根据万有引力提供向心力进行分析。

【详解】
A ．由万有引力提供向心力
2
224Mm G m R R T
π= 可求出火星的质量
23
2
4R M GT
π= 故A 正确；
B ．只能求出中心天体的质量，不能求出探测器的质量，故B 错误；
C ．由万有引力提供向心力，贴着火星表面运行的环绕速度即火星的第一宇宙速度，即有
22Mm v G m R R
= 求得
2R
v T
π=
=
故C 正确；
D ．火星的平均密度为
23
2234343
R M GT V GT R ππρπ=== 故D 正确。

故选ACD 。

7．行星A 和行星B 是两个均匀球体，行星A 的卫星沿圆轨道运行的周期为T A ，行星B 的卫星沿圆轨道运行的周期为T B ，两卫星绕各自行星的近表面轨道运行，已知
:1:4A B T T =，行星A 、B 的半径之比为A B :1:2R R =，则（）
A ．这两颗行星的质量之比A
B :2:1m m = B ．这两颗行星表面的重力加速度之比:2:1A B g g =
C ．这两颗行星的密度之比A B :16:1ρρ= D
．这两颗行星的同步卫星周期之比A B :T T =【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】
A ．人造地球卫星的万有引力充当向心力
2224Mm R G m R T
π＝ 得
23
2
4
R M GT π＝
所以这两颗行星的质量之比为
32()116(2 811
)A A B B B A m R T m R T ⨯⨯＝＝＝ 故A 正确；
B ．忽略行星自转的影响，根据万有引力等于重力
2Mm
G
mg R ＝ 得
2
GM
g R ＝
所以两颗行星表面的重力加速度之比为
2248 11()1
A A
B B B A g m R g m R ⨯⨯＝＝＝ 故B 错误；
C ．行星的体积为3
4
3
V R π＝ 故密度为
23
2234343
R M GT V GT R ππ
ρπ＝＝＝
所以这两颗行星的密度之比为
2)16 1
(A B B A T T ρρ＝＝ 故C 正确；
D ．根据题目提供的数据无法计算同步卫星的周期之比，故D 错误。

故选AC 。

8．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双是系统设某双星系统A 、B 绕其连线上的某固定点O 点做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L ，运动周期为T ，已知万有引力常量为G ，若AO OB >，则（ ）
A ．星球A 的线速度一定大于星球
B 的线速度 B ．星球A 所受向心力大于星球B 所受向心力
C ．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期增大
D ．两星球的总质量等于23
2
4L GT
π 【答案】AD 【解析】 【分析】 【详解】
A ．双星转动的角速度相等，根据v R ω=知，由于AO O
B >，所以星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度，故A 正确；
B ．双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知向心力大小相等，故B 错误；
C ．双星AB 之间的万有引力提供向心力，有
2A B A A 2m m G
m R L ω=，2
A B B B 2
m m G m m L
ω= 其中
2T
π
ω=
，A B L R R =+ 联立解得
()2233
A B A
B 22
44ππL m m R R GT GT +=+= 解得
T =小，故C 错误； D ．根据C 选项计算可得
23
A B 2
4L m m GT π+=
故D 正确。

故选AD 。

9．2019年2月5日，“流浪地球”在中国大陆上映，赢得了票房和口碑双丰收。

影片讲述的是面对太阳快速老化膨胀的灾难，人类制定了“流浪地球”计划，这首先需要使自转角速度为ω的地球停止自转，再将地球推移出太阳系到达距离太阳最近的恒星（比邻星）。

为了使地球停止自转，设想的方案就是在地球赤道上均匀地安装N 台“喷气”发动机，如图所示（N 较大，图中只画出了4个）。

假设每台发动机均能沿赤道的切线方向提供大小恒为F 的推力，该推力可阻碍地球的自转。

已知地球转动的动力学方程与描述质点运动的牛顿第二定律方程F =ma 具有相似性，为M=Iβ，其中M 为外力的总力矩，即外力与
对应力臂乘积的总和，其值为NFR ；I 为地球相对地轴的转动惯量；β为单位时间内地球的角速度的改变量。

将地球看成质量分布均匀的球体，下列说法中正确的是（ ）
A ．在M=Iβ与F =ma 的类比中，与转动惯量I 对应的物理量是m ，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度
B ．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变小
C ．停止自转后，赤道附近比极地附近的重力加速度大
D ．这些行星发动机同时开始工作，且产生的推动力大小恒为F ，使地球停止自转所需要的
时间为I NF
ω
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
A ．在M=Iβ与F =ma 的类比中，与转动惯量I 对应的物理量是m ，其物理意义是反映改变地球绕地轴转动情况的难易程度，A 正确；
B ．地球自转刹车过程中，赤道表面附近的重力加速度逐渐变大，B 错误；
C ．停止自转后，赤道附近与极地附近的重力加速度大小相等，C 错误；
D ．这些行星发动机同时开始工作，且产生的推动力大小恒为F ，根据
NFR I β=
而
t βω=
则停止的时间
I t NFR
ω=
D 错误。

故选A 。

10．2020年1月7号，通信技术试验卫星五号发射升空，卫星发射时一般需要先到圆轨道1，然后通过变轨进入圆轨道2。

假设卫星在两圆轨道上速率之比v 1∶v 2=5∶3，卫星质量不变，则（ ）
A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2时应减速
B ．卫星在两圆轨道运行时的角速度大小之比12ωω：=125∶27
C ．卫星在1轨道运行时和地球之间的万有引力不变
D ．卫星在两圆轨道运行时的动能之比
E k1∶E k 2=9∶25 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
A ．卫星通过椭圆轨道进入轨道2，需要做离心运动，所以应加速才能进入2轨道，选项A 错误；
B ．根据万有引力提供向心力有
2
2
GMm v m r r
= 解得
GM
v r
=
因为v 1:v 2=5:3，则
r 1:r 2=9∶25
根据万有引力提供向心力有
2
2
GMm mr r
ω= 解得
3GM
r
ω可得卫星在两轨道运行时的角速度大小之比
ω1:ω2=125:27
选项B 正确；
C ．万有引力大小不变，但方向一直变化，选项C 错误；
D ．根据2
12
k E mv =
，则卫星在两轨道运行时的动能之比 E k1∶E k2=25:9
选项D 错误； 故选B 。

11．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。

在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。

若AO >OB ，则（ ）
A ．星球A 的质量一定大于
B 的质量 B ．星球A 的线速度一定小于B 的线速度
C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A ．根据万有引力提供向心力
221122m r m r ωω=
因为12r r >，所以有
12m m <
即A 的质量一定小于B 的质量，选项A 错误；
B ．双星系统角速度相等，因为12r r >，根据v r ω=知星球A 的线速度一定大于B 的线速度，选项B 错误；
CD ．设两星体间距为L ，根据万有引力提供向心力公式得
22121222244m m G mr mr L T T
ππ==
解得周期为
()
3122L T G m m =+
由此可知双星的距离一定，质量越大周期越小，选项C 错误； 总质量一定，双星之间的距离就越大，转动周期越大，选项D 正确。

故选D 。

12．如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，下列说法不正确的是（ ）
A ．轨道半径越大，周期越长
B ．张角越大，速度越大
C ．若测得周期和星球相对飞行器的张角，则可得到星球的平均密度
D ．若测得周期和轨道半径，则可得到星球的平均密度 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A ．根据开普勒第三定律3
2r k T
=，可知轨道半径越大，飞行器的周期越长， A 正确；
B ．根据卫星的速度公式GM
v r
=
，可知张角越大，轨道半径越小，速度越大，B 正确； C ．根据公式222
4Mm r
G m r T π=可得
23
2
4r M GT π=
设星球的质量为M ，半径为R ，平均密度为ρ，飞行器的质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，对于飞行器，由几何关系得
sin
2
R r θ
=
星球的平均密度为
343
M R ρπ=
由以上三式知，测得周期和张角，就可得到星球的平均密度，C 正确；
D ．由222
4Mm r
G m r T
π=可得 23
2
4r M GT
π= 星球的平均密度为
343
M R ρπ=
可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未知，不能求出星球的体
积，故不能求出平均密度，D 错误。

故选D 。

13．一颗距离地面高度等于地球半径R 的圆形轨道地球卫星，其轨道平面与赤道平面重合。

已知地球同步卫星轨道高于该卫星轨道，地球表面重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ）
A
．该卫星绕地球运动的周期4T =B ．该卫星的线速度小于地球同步卫星的线速度 C ．该卫星绕地球运动的加速度大小2
g a =
D ．若该卫星绕行方向也是自西向东，则赤道上的一个固定点连续两次经过该卫星正下方的时间间隔大于该卫星的周期 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A ．对卫星根据牛顿第二定律有
()
2
02
0222Mm
G
m R T R π⎛⎫= ⎪⎝⎭
在地球表面有
2
GMm m g R '
'= 解得
4T = 选项A 错误；
B ．该卫星的高度小于地球同步卫星的高度，则该卫星的线速度大于地球同步卫星的线速度，选项B 错误；
C ．对卫星根据牛顿第二定律有
()
2
02GMm
ma R =
解得
4
g a =
选项C 错误；
D ．由赤道上的一个固定点连续两次经过该卫星正下方，有
1t t
T T -= 得
t T >
选项D 正确。

故选D 。

14．北京时间2019年4月10日，人类首次利用虚拟射电望远镜，在紧邻巨椭圆星系M87的中心成功捕获世界首张黑洞图像。

科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速
倍）超过光速时，该天体就是黑洞。

已知某天体质量为M ，万有引力常量为G ，光速为c ，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（ ）
A ．2
2GM c
B ．22c GM
C ．
2
c
D ．
2
GM
c 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
地球的第一宇宙速度为v 1，根据万有引力提供向心力，有
212v Mm
G m
R R
= 解得
21GM v R =⋅
由题得第二宇宙速度
21v
又由题星体成为黑洞的条件为2v c >，即
c 解得
2
2GM
R c <
选项A 正确，BCD 错误。

故选A 。

15．牛顿发现了万有引力定律以后，还设想了发射人造卫星的情景，若要发射人造卫星并将卫星以一定的速度送入预定轨道。

发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近（ ）
A．地球的引力较大
B．地球自转角速度较大
C．重力加速度较大
D．地球自转线速度较大
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
A．由万有引力定律可知物体在地球表面各点所受的引力大小相等，故A错误；
B．在地球上各点具有相同的角速度，故B错误；
C．赤道处重力加速度最小．故C错误；
D．相对于地心的发射速度等于相对于地面的发射速度加上地球自转的线速度．地球自转的线速度越大，相对于地心的发射速度越大，卫星越容易发射出去．赤道处，半径最大，所以自转线速度最大．故D正确．
故选D。