八年级数学一元二次方程,相似三角形人教版知识精讲
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
新人教版八年级上册《相似三角形》知识点归纳总结-(1)
新人教版八年级上册《相似三角形》知识
点归纳总结-(1)
本文档主要介绍了新人教版八年级上册《相似三角形》的相关
知识点总结。
一、相似三角形
1.1 比例
- 全等三角形的对应边长相等，相似三角形的对应边长成比例。
1.2 判定方法
- 两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似。
- 两个三角形有一对对应边成比例，且对应角相等，则这两个
三角形相似。
1.3 性质
- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高成比例。
二、相似三角形的应用
2.1 海拔高度计算
- 利用相似三角形的性质，可以用已知高度和倾角计算出高处物体的距离。
2.2 建筑高度计算
- 利用相似三角形的性质，可以用已知长度和倾角计算出建筑物的高度。
2.3 尺规作图
- 尺规作图中的相似三角形一般用于解决带根式的等分问题。
三、注意事项
- 相似三角形只是形态相似，大小不一定相同。
- 应用相似三角形解题时，注意单位的转换和精度要求。
以上就是新人教版八年级上册《相似三角形》的知识点总结，希望可以帮助大家更好地理解和掌握这一部分的知识。
人教版相似三角形性质PPT教学课件
2. 本实验的结论是什么？
植物吸收二氧化碳，产生氧气； 植物利用二氧化碳制造氧气； 植物的光合作用吸收二氧化碳，产生氧气； 二氧化碳和阳光是影响植物生长的因素。
实 验 一
植物光合作用产生氧气，吸收二氧化碳。
实 验 二
蜡烛燃烧产生的二氧化碳是光合作用 的条件。植物利用二氧化碳制造氧气。
真实的，那就是用心去看这个世界。”
下面请同学们自渎“阅读链接”中的内 容。
海伦·凯勒
世上除了用 眼睛看世界，还 有一种内在的视 觉,那可能是更真 实的，那就是 用 心去看这个世界。
课下延伸 1. 从文中找出自己喜欢的语句或段落，抄写下 来。 2.课下阅读《假如给我三天光明》，写读后感 想。
苏教版六年级上册科学
∴BG •CG=GH •GF
F
B
G
C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A
D
O
1
2
E
B
C
人教新课标小学语文 四年级下册第五组
学习提示
• 1、安静靠什么捉住蝴蝶？你从哪些词句看 出来的？
• 2、作者对安静捉住蝴蝶的感觉是什么？从 哪句话看出来的？
• 品评人物,深化认识 说说通过仔细阅读,你对盲女孩安静有
了怎样的认识,或者说一说你觉得她是个怎 样的孩子?
安静有生活的权利,安静可以创 造一个属于自己的缤纷世界。
我有生活的权利，我可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
你有生活的权利，你可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
理解句子含义的方法： 1、联系上下文。 2、抓重点词语。 3、结合课文插图。
人教版 相似知识点总结
人教版相似知识点总结一、相似三角形1. 定义相似三角形指的是具有相同形状但是大小不一样的三角形。
在相似三角形中，对应的角度相等，对应的边的比例也相等。
2. 判定判定两个三角形相似的方法有三种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角是相等的，那么这两个三角形就是相似的。
（2）AA相似判定法：如果两个三角形的其中一个角相等，并且它们的对边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
（3）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. 性质（1）相似三角形对应边的比例：在相似三角形中，对应边的比例是相等的。
（2）相似三角形内角对应：在相似三角形中，对应角是相等的。
（3）相似三角形内角和的性质：在相似三角形中，每个对应角的和都是180°。
4. 应用相似三角形的性质和判定方法在几何问题中有着广泛的应用。
比如在测量高楼的高度、计算不规则图形的面积等问题中，都会用到相似三角形的知识。
二、三角形的中线、角平分线、中线及高的关系1. 定义中线：三角形中线指的是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
角平分线：三角形角平分线指的是从三角形的一个顶点出发，分别平分相邻的两个角的线段。
高：三角形的高指的是从顶点到对边的垂直距离的线段。
2. 性质（1）三角形的中线：三角形三个顶点的连线的中点所组成的线段是三角形的中线，三角形的三条中线交于一个点，并且相互平分。
（2）三角形的角平分线：三角形的每个内角的角平分线相交于一个点，这个点和三个顶点连线的中点共线。
（3）三角形的高：三角形的三条高交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。
3. 中线、角平分线、高的关系中线长等于底边一半，角平分线分割对边成比例，高的平方等于底边乘以斜边的差的一半。
4. 应用三角形的中线、角平分线、高的性质和关系在解决数学问题中有很多应用，比如证明直角三角形的斜边长度等。
三、勾股定理1. 定理内容勾股定理指的是直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
初二数学相似三角形讲义
相似三角形的判定与性质讲义一、 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE ABAD EAEC ADBD ECAE DBAD ===或或注： ①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB D E AB D E BC EF BC EF AB BC BCEFACD FABD EACD FD EEF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
二、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
三、相似三角形的判定1、平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，2、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，3、如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，4、如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 ，5、直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
初中数学相似三角形定理知识点总结精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版初中数学相似三角形定理知识点总结相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
下面是小编为大家带来的初中数学相似三角形定理知识点总结，欢迎阅读。
相似三角形定理1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的`预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的"对应边相等"的条件改为"对应边成比例"就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。
初二数学必备知识点：相似三角形
初二数学必备知识点：相似三角形在学习的过程中会玉带很多困难，我们要学会克服。
下面是店铺收集整理的初二数学《相似三角形》的必备知识点以供大家学习。
初二数学必备知识点：相似三角形1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号"∽"表示，读作"相似于"。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
、初二数学必备知识点：三角形全等的方法1、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)推论要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：S.S.S. (Side-Side-Side)(边、边、边)：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(边、角、边)：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、边、角)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、边)：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
R.H.S. / H.L. (Right Angle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
初二数学《相似三角形》知识点解读
初二数学《相似三角形》知识点解读相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在数学几何中有着广泛的应用。
本文将对相似三角形的定义、性质以及解题方法进行详细解读，帮助初二学生更好地掌握这一知识点。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有以下两个条件的两个三角形：它们的对应角相等，对应边的比值相等。
简单来说，就是两个三角形的形状相似，只是大小不同。
二、相似三角形的性质1. 角对应相等性质：如果两个三角形相似，它们对应的角一一对应相等。
2. 边对应比例性质：如果两个三角形相似，它们对应边的比值相等。
即两个相似三角形中，任意两条对应边的长度比等于其他两条对应边的长度比。
3. 周长比例性质：如果两个三角形相似，它们的周长之比等于对应边之比。
4. 面积比例性质：如果两个三角形相似，它们的面积之比等于对应边长度之比的平方。
三、相似三角形的解题方法1. 定理证明法：利用已知条件和相似三角形的性质进行推理与证明。
例如，已知两个角分别相等，就可以推导出这两个三角形相似。
2. 比值关系法：利用相似三角形中对应边的比值等于其他对应边的比值的性质，求解未知长度。
可以通过设置变量，建立方程来解决问题。
3. 辅助线法：根据问题的需要，引入辅助线，将问题转化为已知得相似三角形的求解问题。
通过绘制辅助线，可以更好地理解和解决问题。
四、相似三角形的应用相似三角形广泛应用于测量和工程实践中。
以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量已知长度的阴影与未知长度的物体的阴影的长度比来计算物体的高度。
2. 制图和测量距离：在制图和地理测量中，可以利用相似三角形的性质，通过测量已知长度和对应边比值，计算未知距离和角度。
3. 相似比例模型：在建筑和工程设计中，可以使用相似比例模型，根据已知尺寸比例计算未知部分的尺寸。
总结：相似三角形是初中数学中的重要知识点，掌握了相似三角形的定义、性质以及解题方法，可以更好地解决实际问题。
相似三角形完整版PPT课件
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
相似三角形ppt初中数学PPT课件
利用相似三角形进行建筑测量
在建筑测量中，利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的角度和距离，计算出建筑物的高度、宽 度等参数。
利用相似三角形进行建筑施工
在建筑施工中，利用相似三角形原理，根据设计 图纸和比例关系，进行施工和安装。
分析法证明思路及步骤
明确目标
明确需要证明的结论，即两个三角形相似 。
逆向思维
从结论出发，逆向思考如何证明两个三角 形相似，即需要找到两个三角形对应的角
相等或对应边成比例。
寻找突破口
分析题目中的已知条件，寻找与相似三角 形相关的突破口。
验证结论
根据逆向思维找到的证明方法，验证结论 是否正确。
不同方法比较与选择
相似三角形ppt初中数学PPT 课件
目
CONTENCT
录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何图形中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 相似三角形证明方法探讨 • 典型例题解析与练习 • 课堂小结与拓展延伸
01
相似三角形基本概念与性质
定义及判定方法
01
02
03
04
定义
两个三角形如果它们的对应角 相等，则称这两个三角形相似 。
相似三角形的判定方法
详细讲解相似三角形的四种判定方法，包括两角对应相等 、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例以及通过 中间比转化等，并通过实例加以验证。
相似三角形的应用
通过举例和解析，展示相似三角形在解决实际问题中的应 用，如测量高度、计算面积等。
拓展延伸引导学生思考更深层次问题
相似多边形的研究
解析
根据相似三角形的判定定理，结合直角三角形的 性质，当两个直角三角形的一直角边和斜边对应 成比例时，可以判定这两个直角三角形相似。
人教版相似知识点总结
人教版相似知识点总结一、相似三角形在平面几何中，相似三角形是指有相同形状但不一定相同大小的三角形。
相似三角形的性质和判定方法是初中数学重要的知识点之一。
1. 相似三角形的性质a. 性质1：对应角相等两个相似三角形的对应角相等，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
b. 性质2：对应边成比例两个相似三角形的对应边成比例，即如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。
c. 性质3：相似三角形的面积成比例如果两个三角形ABC和A'B'C'相似，则它们的面积之比等于边长之比的平方，即S(ABC)/S(A'B'C')=(AB/A'B')^2=(BC/B'C')^2=(AC/A'C')^2。
2. 相似三角形的判定方法a. 直角三角形的判定方法：两个直角三角形如果有一个角相等，则它们相似；或者两个直角三角形的三条边分别成比例，则它们相似。
b. 三边成比例的判定方法：两个三角形的三条边分别成比例，则它们相似。
c. 边角边（或角边角）的判定方法：两个三角形的两个角分别相等，且夹在两边成比例，则它们相似。
d. 已知相似三角形内部某个角相等的判定方法：如果两个三角形相似且三角形内部有一个角相等，则其他两个角也相等。
相似三角形的性质和判定方法在初中数学中具有重要的理论和实际应用价值，对于几何图形的相似性质和相关计算都有重要的指导作用。
二、比例比例是数学中重要的概念，主要用来描述两个量之间的相对关系。
在人教版初中数学中，比例是一个重要的知识点，包括比例的性质、比例的计算、比例的应用等内容。
1. 比例的性质a. 比例的传递性：如果a:b=c:d，则a/c=b/d；如果a/c=b/d，则a:b=c:d。
《相似三角形》完整版教学课件
易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易 忽略对应角和对应边的关系，导致判 断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单 位统一和比例关系的正确应用，避免 计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质， 可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上 距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离， 可以计算出实际的距离；反之，已知 实际距离和比例尺，也可以计算出地 图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比 例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比 。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比， 面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知 的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正 比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例
八年级数学一元二次方程,相似三角形人教版知识精讲
初二数学一元二次方程，相似三角形人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：一元二次方程，相似三角形【典型例题】代数例1. 方程()x m x m 2170--+-=，m 为何值时，（1）方程有两个正根；（2）有两个异号实根。
解：()()()∆=---=-+=-+>1476293200222m m m m m 设两个根为x x 12、，则x x m x x m 121217+=-=-·（1）有两个正根∴>+>⎧⎨⎩x x x x 121200·，即m m ->->⎧⎨⎩1070 ∴>m 7（2）有两个异号根，∴<x x 120· 即m -<70 ∴<m 7答：略。
例2. 已知：x x 12、是方程()4356022x m x m ---=的两根，且x x 1232=，求m 的值。
解：由题意可得：()()∆=---><>+=-<>=-<<>⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪3516601354232032212122m m x x m x x m ·∴x x 12、异号又x x x x 121232324=∴=-<>， 代入<2>得：-+=-3235422x x m∴=-<>x m25325<5><4>代入<3>：--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-32532532322m m m∴==m m 1215，当m =1时，()()∆=--->3516602当m =5时，()∆=-->101615002∴m 的值为1或5例3. 方程()x k x k k 22250--+--=的两个实根分别为α、β，求αβ22+的最大的值。
解：由题意可得：αβαβ+=-=--≥⎧⎨⎪⎩⎪k k k 2502·∆()()()()∴+=+-=----=--+=-++αβαβαβ22222222225214115k k k k k k ∴当k =-1时，()()()()∆=----=---+-=>k k k 245124115210222∴当k =-1时，αβ22+的最大值为15几何例1. 已知：如图，P 为△ABC 内一点，∠1＝∠3，∠2＝∠4。
新人教版八年级下册相似三角形知识点
新人教版八年级下册相似三角形知识点
相似三角形是几何学中的重要概念，在八年级下册的数学课程中有相关的研究内容。
下面是一些关于相似三角形的知识点：
相似三角形的定义
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
判断相似三角形的方法
判断两个三角形是否相似，可以通过以下方法进行：
- AA判据：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。
- SSS判据：如果两个三角形的三边长度比值相等，则它们是相似三角形。
- SAS判据：如果两个三角形的两个角和边的比值分别相等，则它们是相似三角形。
相似三角形的性质
相似三角形具有以下性质：
- 对应角相等：两个相似三角形的对应角相等。
- 对应边比值相等：两个相似三角形的对应边的比值相等。
- 对应高比值相等：两个相似三角形的对应高的比值等于对应
边的比值。
相似三角形的应用
相似三角形的概念在实际问题中有广泛的应用，例如：
- 海上测距：通过相似三角形可以使用测距仪测量远距离物体
的高度或距离。
- 影像处理：在电脑图像处理中，相似三角形可以用于图像的
放大或缩小。
- 工程模型：在建筑和工程设计中，相似三角形可以用于制作
模型以便于观察和分析。
以上是关于新人教版八年级下册相似三角形知识点的简要介绍。
相似三角形作为重要的几何概念，在学习数学过程中会经常应用到。
希望这份文档对你有所帮助！。
第十二讲 一元二次方程及相似三角形
第十二讲 相似三角形及一元二次方程根系关系一、一元二次方程知识点：1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。
则ab x x -=+21， a c x x =∙21，；(补充公式ax x ∆=-21) 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙++-x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭⎫⎝⎛++=++ 二、典型例题题型一、一元二次方程两根具备特殊关系例1、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的值；例2、在关于x 的方程()()07142=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值例3、已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
题型二、一元二次方程两根正负问题例4、已知关于x 的一元二次方程0123422=-+-+m x m mx )(有两个非零实数根。
（1）求m 的取值范围；（2）若两个非零实数根同为正数，请求出相应的m 的取值范围。
例5、已知方程()()221k x x =--，k 为实数，且k ≠0，不解方程证明： （1）这个方程有两个不相等的实数根；（2）一个根大于1，另一个根小于1。
题型三、构造新的一元二次方程例6、已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
例7、若实数x 、y 、z 满足x ＝6－y ，z 2＝xy －9．求证：x ＝y ．例8、若a b ≠1,且有0520119092011522=++=++b b a a ，求ba 的值。
初二数学相似三角形判定知识点整理
初二数学相似三角形判定知识点整理初二数学相似三角形判定知识点整理相似三角形判定定理(1)平行于三角形一边的直线和两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(简叙为两角对应相等两三角形相似).(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似.)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似。
相似三角形判定定理有上述四点，其中任何一点知识都是要领，都需要我们掌握。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解，们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的'讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
八年级数学相似三角形人教版知识精讲
初二数学相似三角形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：相似三角形【典型例题】例1. 一条河的两岸是平行的，在河的一岸每隔5米有一棵树，在对岸每隔50米有一根电线杆，在离开岸边30米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两树之间还有三棵树，求河宽？解：由题意可知CD ＝20m ，AB ＝50m过M 作MN ⊥CD 于N ，交AB 于N’∵AB ∥CD ，∴MN’⊥AB∴MN m =30∴△MCD ∽△MAB∴=MN MN CD AB' 即：302050MN '= ∴=∴=-=-=MN NN MN MN '''75753045答：河宽45米。
例2. 已知：线段AB 长5cm ，点C 在AB 上，射线CM ⊥AB ，AC ＝1cm ，点P 在射线CM 上，设x CP =。
当x 为何值时，∠APB 为：（1）直角，（2）钝角，（3）锐角。
A C B解：（1）当x cm =2时∵AC ＝1cm ，AB ＝5cm∴CB ＝4cm∴===∴=AC PC PC CB AC PC PC CB 122412， 又∵PC ⊥AB∴∠ACP ＝∠PCB ＝90°∴△ACP ∽△PCM∴∠A ＝∠CPB又∵∠ACP ＝90°，在Rt ACP ∆中∴∠+∠=︒A APC 90∴∠+∠=︒APC CPB 90即当x cm =2时，∠APB ＝90°（2）当02<<x 时，设为P’点∴P’在线段CP 内是不与P 重合∴∠AP’C 为△APP’的外角∴∠AP’C ＞∠APC同理：∠BP’C ＞∠BPC∴+>+∠∠∠∠AP C BP C APC BPC ''即∠∠AP B APB '>=︒90∴当02<<x 时，∠APB 为钝角（3）略。
当x cm >2时，∠APB 为锐角例3. 已知梯形ABCD 中，AD ＝2，BC ＝3，∠B ＝90°，AB ＝7，P 在AB 上，问：当AP 为何值时，△ADP 与△BCP 是相似三角形。
八年级数学相似三角形及其判定人教版知识精讲
初二数学相似三角形及其判定人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形及其判定二. 重点、难点重点：相似三角形的概念，以及判定定理的应用。
难点：相似三角形判定定理的综合应用。
三. 知识结构1. 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
注意：对应顶点写在对应的位置上，△ABC ∽△A’B’C’相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比K 。
如果∆∆ABC A B C AB A B K ~='''''，。
则∆∆∆∆ABC A B C K A B C ABC 与的相似比为，而与''''''的相似比为1K 。
2. 相似三角形的判定定理：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
C△ADE ∽△ABC △ADE ∽△ABC（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单说：两角对应相等，两三角形相似。
A A’C’B’若∠=∠∠=∠A A B B ''，则∆∆ABC A B C ~'''（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
A A’C C’B’若：AB A B AC A C A A '''''=∠=∠， 则∆∆ABC A B C ~''' （4）三边对应成比例，两三角形相似。
A A’C’B’若：AB A B AC A C BC B C ''''''== 则∆∆ABC A B C ~''' （5）两个直角三角形，如果斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。
C ’若：AC A C AB A B ''''= 则∆∆ABC A B C ~'''【典型例题】例1. 两个相似三角形，已知其中一个三角形的边分别为4、5、6，另一三角形的一边长为2，求另一三角形的其他两边？分析：设其他两边分别为x ，y ，由相似三角形的意义：对应边成比例，关键是寻找对应边。
八年级数学一元二次方程根与系数关系;相似三角形判定人教版知识精讲
初二数学一元二次方程根与系数关系；相似三角形判定人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：代数：一元二次方程根与系数关系几何：相似三角形判定［教学目标］1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系。
2. 应用根系关系解题。
3. 掌握相似三角形的六个有关判定的定理。
4. 证明相似三角形及有关命题。
二. 重点、难点：1. 重点：代数：一元二次方程根与系数关系几何：相似三角形判定定理2. 难点：代数：应用根与系数关系解题几何：相似三角形的证明三. 内容概要：1. 根系关系：ax bx c a 200++=≠()的两根为x x 12， 则x x b a x x c a 1212+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪·（注：方程无实根时，根系关系也成立） 2. x px q 20++=两根为x x 12、则x x p x x q 1212+=-=⎧⎨⎩· 3. 相似三角形判定定理【典型例题】代数1. 若x x 12、为ax bx c a 200++=≠()的两个根 则x x b a x x c a 1211+=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪· 2. x x 12、为x px q 20++=的两个根x x p x x q1212+=-=⎧⎨⎩·例1. 已知关于x 的方程2102x kx ++=的一个根是-12，求k 的值及方程的另一个根。
解法一： ∵-12是2102x kx ++=的根 ∴-⎛⎝ ⎫⎭⎪-+=∴=212121032k k ∴方程为23102x x ++=解之得另一根为x 21=-解法二：设另一根为x 2∴-+=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪122121222x k x · 解之得：x k 213=-=⎧⎨⎩ 答：k 值为3，另一根为-1。
例2. 已知x x 12、是方程34502x x +-=的两个实数根，不解方程，求：（1）x x 1222+；（2）x x 1121--+；（3）x x 12-；（4）x x 1323+；（5）()()x x 1222--的值。
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初二数学一元二次方程，相似三角形人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
一元二次方程，相似三角形
【典型例题】
代数
例1. 方程()x m x m 2170--+-=，m 为何值时，（1）方程有两个正根；（2）有两
个异号实根。
解：()()()∆=---=-+=-+>1476293200222m m m m m
设两个根为x x 12、，则
x x m x x m 12121
7+=-=-·
（1）有两个正根
∴>+>⎧⎨
⎩x x x x 121200
·，即m m ->->⎧⎨⎩1070 ∴>m 7
（2）有两个异号根，∴<x x 120· 即m -<70
∴<m 7
答：略。
例2. 已知：x x 12、是方程()4356022x m x m ---=的两根，且x x 1232
=，求m 的值。
解：由题意可得：
()()∆=---><>+=-<>=-<<>⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪3516601354232032212122
m m x x m x x m ·
∴x x 12、异号 又
x x x x 12123232
4=∴=-<>， 代入<2>得：-+=-32354
22x x m ∴=-<>x m 25325 <5><4>代入<3>：
-
-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-3253253232
2m m m ∴==m m 1215， 当m =1时，()()∆=--->3516602
当m =5时，()∆=-->101615002 ∴m 的值为1或5
例3. 方程()x k x k k 22250--+--=的两个实根分别为α、β，求αβ22+的最大
的值。
解：由题意可得：αβαβ+=-=--≥⎧⎨⎪⎩
⎪k k k 2502·∆
()()()
()∴+=+-=----=--+=-++αβαβαβ
22
222222225214
115
k k k k k k ∴当k =-1时，()()()()∆=----=---+-=>k k k 245124115210222
∴当k =-1时，αβ22
+的最大值为15
几何
例1.
求证：△ADE 证明：∵∠1 ∴∴
=∴=∆∆ABP AP AB AD AP
AP AD AB
~2· 同理：AP AE AC 2=·
∴=∴=AD AB AE AC
AD AC AE AB
·· 又∵∠BAC ＝∠EAD
∴∆∆ADE ACB ~
例 ∵AD 平分∠BAC
∴∠BAD ＝∠CAD
∴-=-∠∠∠∠FDA BAD FAD CAD
又 ∠∠∠FDA B BAD =+
∴=-∴=∠∠∠∠∠B FDA BAD
B FAC
又∵∠AFC ＝∠AFB
∴∴=∴=∆∆FAC FBA AF FB FC FA
AF FC FB
~2· 于F 。
又BD ⊥AE
∴+=︒+=︒
∴=∴=∠∠，∠∠∠∠3190249034AB AD
又∵∠1＝∠2
∴AO ⊥BD
∴∠AOD ＝90°，BO ＝DO
又∵BD ⊥DF
∴∠BDF ＝90°
∴∠AOD ＝∠BDF
∴AE ∥DF
∴=CD CF AD EF
∵BO ＝DO ，AE ∥DF
∴BE ＝EF ，又AD ＝AB
∴=CD CF AB BE
∴AB ·CF ＝CD ·BE
【模拟试题】
1. 已知：方程（1）：x mx m 2230-+=的两个实根是x x 12、，且()x x 12216-=，若方程（2）：x mx m 22690-+-=的两个实根都在x 1和x 2两数之间，求m 的值。
2. 求作一个一元二次方程使它的两个根分别为方程24502
x x --=的两根的2倍。
3. 一元二次方程()x m x m 222310--+-=的实数根 （1）能否互为倒数
CB 于F 。
【试题答案】
1. 解：由题意可得：x x m x x m 121223+==，·
()() x x x x x x m m 122
122
1221641641216
-=∴+-=∴-= 解得：m m 1214=-=，
（i ）当m =-1时，方程为x x 2230+-=
∴=-=x x 1231，
方程（2）为x x 22150+-=
解得：x x 1253''=-=，
∵-5，3不在-3和1之间
∴=-m 1舍去
（ii ）当m =4时，方程（1）为：x x 28120-+= ∴==x x 1226，
方程（2）为：x x 28150-+=
解之得：x x 1235''==，
2356
1122<<<∴<<<x x x x ''
即方程（2）两根在方程（1）两根之间
∴=m 4
综合（i ）（ii ）得m =4为所求。
2. 解：设方程24502x x --=两根为α、β
∴+==-αβαβ252
，· 则所求方程两根为22αβ、
()()∴+=+====-⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-222224
22445210αβαβαβαβ()· 又所求方程为：()x x 222220-++=αβαβ· 即为x x 24100--=
3. 解：()()
∆=---=-+3241121322m m m （1）若有倒数根，则应满足-+≥=-=⎧⎨⎩12130
11122m x x m ·
解得：m m ≤=±⎧⎨⎪⎩
⎪13122 ∴=-m 2时有两个倒数实根
（2）若有相反数实根，则应满足-+≥+=-+=⎧⎨⎩1213023012m x x m
∴≤=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪m m 131232无解 ∴此方程不会有两相反数实根
4. 证明：解1：∵∠ACB ＝90°
∴+=︒∠∠ACD DCB 90
∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°
在Rt CDB ∆中，∴∠B ＋∠DCB ＝90°
∴∠ACD ＝∠B
∵AF 平分∠CAB
∴∠CAE ＝∠BAF
∴∆∆ACE ABF ~
∴=AE AF CE BF
另解：∵∠ACD ＝∠B ，∠CAF ＝∠BAF
∴+=+∠∠∠∠ACD CAF B BAF
又∵∠CFA ＝∠B ＋∠BAF
∠ACD ＋∠CAF ＝∠CEF
∴=∴=∴=∠∠CEF CFE
CE CF AE AF CF BF
5. 解：∵∠BCA ＝90°，CD ⊥AB
∴△BCD ∽△BAC
∴
=BC BA BD BC ∴===⎫⎬⎪⎭
⎪BC BD BA
AC AD AB CD DA DB 222···同理：统称射影定理
（1）AD ＝3，BD ＝1
()∴==⨯+=BC BD BA 21134· ∴=BC 2（舍负）
∴==⨯=CD DA DB 2313·
∴=CD 3（舍负）
（2）若BC ＝4，AD ＝6
∴=BC AB BD 2
·
即：()BC AD BD BD 2=+
即：()462=+BD BD ∴+-=BD BD 2
6160
解之得：
∴==-BD BD 1228，（舍负）
∴BD ＝2
()∴==⨯=∴==+⨯=CD BD AD S AB CD ABC ··2623
1212
262383∆ 6. （1）判断：∠BAC ＝90°
证明：∵AD ⊥BC
∴∠BDA ＝∠CDA ＝90°
又 AD BD CD 2
=· ∴=AD CD BD AD
又 ∠∠BDA CDA =
∴∴=∆∆ABD CAD BAD C
~∠∠ 在△ADC 中， ∠ADC =︒90
∴+=︒∴+=︒
∠∠∠∠C CAD BAD CAD 9090 即∠BAC ＝90° （2）①当AD BD CD 20-<·时，∠BAC 为钝角；
②当AD BD CD 2
0->·时，∠BAC 为锐角。
证明略。