线性代数(哈工大平时作业答案)
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
作业
• A 9（2）， 10（2），13，14 • B 3，5
注意：
（1）最大无关组不唯一; （2）向量组与它的最大无关组是等价的.
一、最大线性无关向量组
定义１ 设有向量组A，如果在A中能选出r个向量
1,2 , ,r，满足 （1）向量组A0 :1, 2 , , r线性无关；
（2）向量组A中任意r 1个向量（如果A中有
r 1个向量的话）都线性相关，那末称向量组A0是 向量组A的一个 最大线性无关向量组 （简称最大 无关组）; 最大无关组所含向量个数r称为向量组
(a1 , ,ar ) (b1 , ,br )K r 1 , 即A0组能由B0组线性表示. 从而A组能由B组线性表示 .
证二 设向量组A和B的秩都为 r. 因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而
成的向量组( A, B)能由A组线性表示. 而A组是( A, B)组的部分组,故A组总能由
( A, B)组线性表示. 所以( A, B)组与A组等价,因此 ( A, B)组的秩也为r.
因B组能由A组线性表示，故B0组能由A0组线性 表示，即有r阶方阵K r使
(b1 , ,br ) (a1 , ,ar )K r
因B0组线性无关，故R(b1 , ,br ) r.
根据定理2推论2，有 R(K r ) R(b1 , ,br ) r
但R(K r ) r，因此R(K r ) r. 于是矩阵K r 可逆，并有
又因B组的秩为r , 故B组的最大无关组B0含r 个向量,因此B0组也是( A, B)组的最大无关组, 从 而( A, B)组与B0组等价.
线性代数课后习题答案全解.pdf
第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102−−−;解 381141102−−−=2×(−4)×3+0×(−1)×(−1)+1×1×8 −0×1×3−2×(−1)×8−1×(−4)×(−1) =−24+8+16−4=−4. (2)b a c a c b cb a ;解 ba c a cb cb a=acb +bac +cba −bbb −aaa −ccc =3abc −a 3−b 3−c 3. (3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2−ac 2−ba 2−cb =(a −b )(b −c )(c −a ). 2(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx −y 3−(x +y )3−x =3xy (x +y )−y 3 3−3x 2 y −x 3−y 3−x =−2(x 3 3+y 3 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:).(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(−n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n −1) (2n ) (2n −2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n −1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n −1)2, (2n −1)4, (2n −1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n −1)(2n −2) (n −1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n −2) (n −1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23 解 含因子a 的项. 11a 23(−1)的项的一般形式为t a 11a 23a 3r a 4s 其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. ,所以含因子a 11a 23 (−1)的项分别是t a 11a 23a 32a 44=(−1)1a 11a 23a 32a 44=−a 11a 23a 32a 44 (−1), t a 11a 23a 34a 42=(−1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42 4. 计算下列各行列式:.(1)71100251020214214; 解 71100251020214214010014231020211021473234−−−−−======c c c c 34)1(143102211014+−×−−−= 143102211014−−=01417172001099323211=−++======c c c c .(2)2605232112131412−; 解 2605232112131412−26053212213041224−−=====c c 041203212213041224−−=====r r 0000003212213041214=−−=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab −−−;解 ef cf bf de cd bd ae ac ab −−−ec b e c b ec b adf −−−=abcdef adfbce 4111111111=−−−=.(4)dc b a 100110011001−−−. 解d c b a 100110011001−−−dc b aab ar r 10011001101021−−−++===== d c a ab 101101)1)(1(12−−+−−=+01011123−+−++=====cd c ada ab dc ccdad ab +−+−−=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a −b )3 证明;1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c −−−−−−=====ab a b a b a ab 22)1(22213−−−−−=+21))((a b a a b a b +−−==(a −b )3 (2) . y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2, c 2−c 1 得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4−c 3, c 3−c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b −−−−−−−−−=)()()(111))()((222a d d a c c a b b dc b ad a c a b +++−−−= ))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c bd b c a d a c a b ++−++−−−−−−= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++−−−−−= =(a −b )(a −c )(a −d )(b −c )(b −d )(c −d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x xn n n+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−− =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+−=, 命题成立. 假设对于(n −1)阶行列式命题成立, 即 D n −1=x n −1+a 1 x n −2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −2x +a n −1则D , n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−+=+−x x a xD D n n n n =xD n −1+a n =x n +a 1x n −1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n −1x +a n 因此, 对于n 阶行列式命题成立. .6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(−−==, D 3 证明 因为D =det(a =D .ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−− )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(−−+−+⋅⋅⋅++−=−=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=− )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(−−−=−=. D D D D D n n n n n n n n =−=−−=−=−−−−)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k (1)为k 阶行列式): aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解 aa a a a D n 010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 000 00 000 0010 000)1(−×−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=n n n aa a )1()1(2 )1(−×−⋅⋅⋅⋅−+n n n a a an n n n n a a a+⋅⋅⋅−⋅−=−−+)2)(2(1)1()1(=a n −a n −2=a n −2(a 2−1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(−1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a aa a x D n −−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n −1)a ](x −a )n −1 (3). 111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=−−−+n a a a n a a a n a a a D n n n n nn n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=−−−++此行列式为范德蒙德行列式.∏≥>≥++++−−+−−=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++−−−=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+−++−⋅−⋅−=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+−=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn −−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n −2−b n c n D 2n −2, 即D 2n =(a n d n −b n c n )D 2n −2于是 . ∏=−=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D −==,所以 ∏=−=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij 解 a =|i −j |; ij =|i −j |, 043214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213−⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(−1)n −1(n −1)2n −2 (6).nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121 nn n n a a a a a a a a a c c c c +−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=====−−100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 −−−−−−+−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=−−−−−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 00010 000 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1) =+++−=−−−−=+−+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为 14211213513241211111−=−−−−=D , 142112105132412211151−=−−−−−−=D , 284112035122412111512−=−−−−−=D , 426110135232422115113−=−−−−=D , 14202132132212151114=−−−−−=D , 所以 111==D D x , 222==D Dx , 333==DD x , 144−==D D x .(2)=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100065000611==D , 114551010651000650000601000152−==D , 703511650000601000051001653==D , 39551601000051000651010654−==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452−=x , 6657033=x , 6653954−=x , 6652124=x .9. 问λ, µ取何值时, 齐次线性方程组 =++=++=++0200321321321x x x x x x x x x µµλ有非零解？解 系数行列式为µλµµµλ−==1211111D .令D =0, 得 µ=0或λ=1.于是, 当µ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组 =−++=+−+=+−−0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ−−+−−=−−−−=101112431111132421D=(1−λ)3 =(1−λ)+(λ−3)−4(1−λ)−2(1−λ)(−3−λ) 3+2(1−λ)2 令D =0, 得+λ−3. λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3 解 由已知:的线性变换.= 221321323513122y y y x x x ,故= −3211221323513122x x x y y y−−−−=321423736947y y y ,−+=−+=+−−=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换++=++−=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,+−=+=+−=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3 解 由已知的线性变换.−= 221321514232102y y y x x x−− −=321310102013514232102z z z−−−−=321161109412316z z z ,所以有 +−−=+−=++−=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设 −−=111111111A ,−−=150421321B , 求3AB −2A 及A T 解 B .−−− −− −−=−1111111112150421321111111111323A AB−−−−= −−− −=2294201722213211111111120926508503,−= −− −−=092650850150421321111111111B A T.4. 计算下列乘积: (1)−127075321134;解 −127075321134 ×+×+××+×−+××+×+×=102775132)2(71112374=49635.(2)123)321(;解123)321(=(1×3+2×2+3×1)=(10).(3))21(312−;解 )21(312−×−××−××−×=23)1(321)1(122)1(2−−−=632142. (4)−−−−20413121013143110412 ; 解−−− −20413121013143110412 −−−=6520876. (5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3321x x x )322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设 =3121A ,=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为=6443AB ,=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2 解 (A +B )吗? 2≠A 2+2AB +B 2 因为.=+5222B A ,=+52225222)(2B A=2914148,但 + +=++43011288611483222B AB A=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2 (3)(A +B )(A −B )=A . 2−B 2 解 (A +B )(A −B )≠A 吗? 2−B 2 因为.=+5222B A ,=−1020B A ,==−+906010205222))((B A B A ,而= −=−718243011148322B A ,故(A +B )(A −B )≠A 2−B 2 6. 举反列说明下列命题是错误的:.(1)若A 2 解 取=0, 则A =0;=0010A , 则A 2 (2)若A =0, 但A ≠0. 2 解 取=A , 则A =0或A =E ;=0011A , 则A 2 (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .=A , 但A ≠0且A ≠E . 解 取=0001A , −=1111X ,=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k 解 . ==12011011012λλλA , ===1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=101λk A k . 8. 设=λλλ001001A , 求A k 解 首先观察. =λλλλλλ0010010010012A=222002012λλλλλ,=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121−−−−. 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，−=⋅=−−−+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A+++=+−+−−+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:−=−−−k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T 证明 因为A AB 也是对称矩阵.T (B =A , 所以T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T 从而B AB ,T 10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .AB 是对称矩阵.证明 充分性: 因为A T =A , B T (AB )=B , 且AB =BA , 所以 T =(BA )T =A T B T 即AB 是对称矩阵.=AB ,必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T AB =(AB )=AB , 所以T =B T A T 11. 求下列矩阵的逆矩阵:=BA .(1)5221; 解=5221A . |A |=1, 故A −1 存在. 因为−−= =1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =−−−=1225. (2)−θθθθcos sin sin cos ; 解−=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A −1 存在. 因为−= =θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以 *||11A A A =−−=θθθθcos sin sin cos . (3)−−−145243121; 解−−−=145243121A . |A |=2≠0, 故A −1 存在. 因为−−−−−= =214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =−−−−−−=1716213213012. (4)n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知=−n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1) −=12643152X ; 解 −=−126431521X − −−=12642153 −=80232. (2) −=−−234311*********X ; 解 1111012112234311−−− −=X−−− −=03323210123431131 −−−=32538122. (3) −= − −101311022141X ;解 11110210132141−− − − −=X− −=210110131142121 =21010366121=04111. (4)−−−= 021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010−−−−− =X −−− =010100001021102341100001010 −−−=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) =++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ; 解 方程组可表示为= 321153522321321x x x , 故 = = −0013211535223211321x x x ,从而有 ===001321x x x . (2) =−+=−−=−−05231322321321321x x x x x x x x x . 解 方程组可表示为=−−−−−012523312111321x x x , 故 =−−−−−= −3050125233121111321x x x , 故有 ===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1 证明 因为A . k =O , 所以E −A k E −A =E . 又因为k =(E −A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1所以 (E −A )(E +A +A ),2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1由定理2推论知(E −A )可逆, 且)=E ,(E −A )−1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.证明 一方面, 有E =(E −A )−1 另一方面, 由A (E −A ).k E =(E −A )+(A −A =O , 有2)+A 2−⋅ ⋅ ⋅−A k −1+(A k −1−A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1故 (E −A ))(E −A ),−1(E −A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1两端同时右乘(E −A ))(E −A ),−1 (E −A ), 就有−1(E −A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k −1.15. 设方阵A 满足A 2−A −2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A −1及(A +2E )−1 证明 由A .2 A −A −2E =O 得2或 −A =2E , 即A (A −E )=2E ,E E A A =−⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A −=−. 由A 2 A −A −2E =O 得2或 −A −6E =−4E , 即(A +2E )(A −3E )=−4E ,E A E E A =−⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A −=+−.证明 由A 2−A −2E =O 得A 2 |A −A =2E , 两端同时取行列式得 2即 |A ||A −E |=2,−A |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2由 A ≠0, 故A +2E 也可逆. 2 ⇒A −A −2E =O ⇒A (A −E )=2E−1A (A −E )=2A −1)(211E A A −=−E ⇒,又由 A 2 ⇒ (A +2E )(A −3E )=−4 E ,−A −2E =O ⇒(A +2E )A −3(A +2E )=−4E所以 (A +2E )−1(A +2E )(A −3E )=−4(A +2 E )−1 ,)3(41)2(1A E E A −=+−.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )−1 解 因为−5A *|.*||11A A A =−, 所以 |||521||*5)2(|111−−−−=−A A A A A |2521|11−−−=A A=|−2A −1|=(−2)3|A −1|=−8|A |−1 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)=−8×2=−16.−1=(A −1 证明 由)*.*||11A A A =−, 得A *=|A |A −1 |A *|=|A |, 所以当A 可逆时, 有n |A −1|=|A |n −1从而A *也可逆.≠0,因为A *=|A |A −1 (A *), 所以−1=|A |−1又A .*)(||)*(||1111−−−==A A A A A , 所以(A *)−1=|A |−1A =|A |−1|A |(A −1)*=(A −1 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:)*.(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n −1 证明.(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)−1 A =A A *(A *)=E , 由此得 −1=|A |E (A *)−1所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.=O ,(2)由于*||11A A A =−, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n 若|A |≠0, 则|A *|=|A |.n −1 若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.;因此|A *|=|A |n −1.19. 设−=321011330A , AB =A +2B , 求B . 解 由AB =A +2E 可得(A −2E )B =A , 故− −−−=−=−−321011330121011332)2(11A E A B −=011321330. 20. 设 =101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2 (A −E )B =A +B 得 2即 (A −E )B =(A −E )(A +E ).−E , 因为01001010100||≠−==−E A , 所以(A −E )可逆, 从而=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, −2, 1), A *BA =2BA −8E , 求B . 解 由A *BA =2BA −8E 得 (A *−2E )BA =−8E , B =−8(A *−2E )−1A =−8[A (A *−2E )]−1 =−8(AA *−2A )−1 =−8(|A |E −2A )−1 =−8(−2E −2A )−1 =4(E +A )−1 =4[diag(2, −1, 2)]−1−1)21 ,1 ,21(diag 4−==2diag(1, −2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵−=8030010100100001*A , 且ABA −1=BA −1+3E , 求B .解 由|A *|=|A |3 由ABA =8, 得|A |=2. −1=BA −1 AB =B +3A ,+3E 得 B =3(A −E )−1A =3[A (E −A −1)]−1 A 11*)2(6*)21(3−−−=−=A E A E−=−−=−1030060600600006603001010010000161. 23. 设P −1 −−=1141P AP =Λ, 其中,−=Λ2001, 求A 11 解 由P . −1AP =Λ, 得A =P ΛP −1, 所以A 11= A =P Λ11P −1 |P |=3, .−=1141*P ,−−=−1141311P ,而−= −=Λ11111120 012001,故−− −−−=31313431200111411111A −−=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中−−=111201111P ,−=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E −6A +A 2 解 ϕ(Λ)=Λ). 8(5E −6Λ+Λ2 =diag(1,1,5)8)[diag(5,5,5)−diag(−6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P )diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).−1 *)(||1P P P Λ=ϕ−−−−−− −−−=1213032220000000011112011112=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A −1+B −1 证明 因为也可逆, 并求其逆阵.A −1(A +B )B −1=B −1+A −1=A −1+B −1而A ,−1(A +B )B −1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A −1(A +B )B −1可逆, 即A −1+B −1 (A 可逆.−1+B −1)−1=[A −1(A +B )B −1]−1=B (A +B )−1 26. 计算A .−−−30003200121013013000120010100121. 解 设 =10211A , =30122A , −=12131B ,−−=30322B ,则 2121B O B E A O E A+=222111B A O B B A A ,而 −= −−+−=+4225303212131021211B B A ,−−= −− =90343032301222B A , 所以 2121B O B E A O E A +=222111B A O B B A A−−−=9000340042102521, 即−−−30003200121013013000120010100121−−−=9000340042102521. 27. 取==−==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021010*********0021010010110100101==−−=−−=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 ||||||||D C B A D C B A ≠. 28. 设 −=22023443O O A , 求|A 8|及A 4解 令. −=34431A ,=22022A , 则=21A O O A A ,故 8218=A O O A A=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .= =464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1−O B A O ; 解 设 =−43211C C C C O B A O , 则O B A O 4321C C C C = =s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得====s n EBC OBC O AC E AC 2143⇒ ====−−121413B C O C O C A C ,所以= −−−O A B O O B A O 111. (2)1−B C O A . 解 设 =−43211D D D D B C O A , 则 = ++= s nE O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.由此得=+=+==s nEBD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒ =−===−−−−14113211B D CA B D O D A D ,所以−= −−−−−11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)2500380000120025; 解 设 =1225A , =2538B , 则−−= =−−5221122511A ,−−==−−8532253811B .于是 −−−−= = =−−−−850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)4121031200210001. 解 设 =2101A ,=4103B ,=2112C , 则−= =−−−−−−1111114121031200210001B CA B O A BC O A−−−−−=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)−−340313021201;解−−340313021201(下一步: r 2+(−2)r 1, r 3+(−3)r 1 ~. )−−−020*********(下一步: r 2÷(−1), r 3 ~÷(−2). )−−010*********(下一步: r 3−r 2 ~. )−−300031001201(下一步: r 3 ~÷3. )−−100031001201(下一步: r 2+3r 3 ~. )−100001001201(下一步: r 1+(−2)r 2, r 1+r 3 ~. )100001000001.(2)−−−−174034301320;解−−−−174034301320(下一步: r 2×2+(−3)r 1, r 3+(−2)r 1 ~. )−−−310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2 ~. )0000310010020(下一步: r 1 ~÷2. )000031005010.(3)−−−−−−−−−12433023221453334311;解−−−−−−−−−12433023221453334311(下一步: r 2−3r 1, r 3−2r 1, r 4−3r 1~. )−−−−−−−−1010500663008840034311(下一步: r 2÷(−4), r 3÷(−3) , r 4~÷(−5). )−−−−−22100221002210034311(下一步: r 1−3r 2, r 3−r 2, r 4−r 2~. )−−−00000000002210032011.(4)−−−−−−34732038234202173132. 解−−−−−−34732038234202173132(下一步: r 1−2r 2, r 3−3r 2, r 4−2r 2~. )−−−−−1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3−8r 1, r 4−7r 1 ~. )−−41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2×(−1), r 4−r 3~. )−−−−00000410001111020201(下一步: r 2+r 3~. )−−00000410003011020201. 2. 设= 987654321100010101100001010A , 求A .解100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(−1))−=100010101.− =100010101987654321100001010A= − =287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵: (1)323513123;解 100010001323513123~−−−101011001200410123~ −−−−1012002110102/102/3023~−−−−2/102/11002110102/922/7003~−−−−2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为−−−−21021211233267.(2)−−−−−1210232112201023.解−−−−−10000100001000011210232112201023~−−−−00100301100001001220594012102321~−−−−−−−−20104301100001001200110012102321~ −−−−−−−106124301100001001000110012102321 ~−−−−−−−−−−10612631110`1022111000010000100021 ~−−−−−−−106126311101042111000010000100001故逆矩阵为−−−−−−−10612631110104211. 4. (1)设 −−=113122214A ,−−=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为−−−−=132231 113122214) ,(B A−−412315210 100010001 ~r ,所以−−==−4123152101B A X .(2)设−−−=433312120A , −=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为−−−−=134313*********) ,(T T B A−−−411007101042001 ~r ,所以−−−==−417142)(1T T T B A X ,从而−−−==−4741121BA X . 5. 设−−−=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A −2E )X =A . 因为−−−−−−−−−=−101101110110011011) ,2(A E A−−−011100101010110001~,所以−−−=−=−011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r −1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r −1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, −1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:−0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式: (1)−−−443112112013;解−−−443112112013(下一步: r 1↔r 2 ~. )−−−443120131211(下一步: r 2−3r 1, r 3−r 1 ~. )−−−−564056401211(下一步: r 3−r 2 ~. )−−−000056401211, 矩阵的2秩为, 41113−=−是一个最高阶非零子式.(2)−−−−−−−815073*********;解−−−−−−−815073*********(下一步: r 1−r 2, r 2−2r 1, r 3−7r 1 ~. )−−−−−−15273321059117014431(下一步: r 3−3r 2~. )−−−−0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223−=−是一个最高阶非零子式.(3)−−−02301085235703273812. 解−−−02301085235703273812(下一步: r 1−2r 4, r 2−2r 4, r 3−3r 4~. )−−−−−−023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1~. )−0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3−16r 2. )~−02301000001000071210 ~−00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=−是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ×n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设−−−−=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 −−−−=32321321k k k A+−−−−−)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =−2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠−2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1) =+++=−++=−++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−212211121211~ −−−3/410013100101,于是 ==−==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为−= 1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2) =−++=−−+=−++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A = −−−−5110531631121~−000001001021,于是 ===+−=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为+−= 10010*********k k x x x x (k 1, k 2 (3)为任意常数).=−+−=+−+=−++=+−+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−7421631472135132~1000010000100001,于是 ====0004321x x x x ,故方程组的解为 ====00004321x x x x .(4) =++−=+−+=−+−=+−+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =−−−−−3127161311423327543~−−000000001720171910171317301,于是 ==−=−=4433432431172017191713173x x x x x x x xx x ,故方程组的解为−−+= 1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1) =+=+−=−+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数习题 1解析【哈工大版】
·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=.(2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n - 的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++= . (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列. 解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613a b b a ； (2) 32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcdde bf cfef---. 解：(1)229182913117(4)26132a b a ba b b a b a=⨯=-.(2) 3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++ 0751840032053004313100=+-=.(3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 111111111002111020abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef ----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xyzx y z x y z +++++； (2) 111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xyzxy zxyzx y z x y z ++===+++. (2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 111302302101111111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345； (2) 010000200001000n n - .解：(1)1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)01n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t nn n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=- 5．用行列式的定义证明：(1) 11121314152122232425343544455455000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)0000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()123431323334414243440000(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=--11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b c d； (2) 121102*********110----； (3) n x a a a x aD a a x=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a = ； (6) 1111111111111111n D -=--.解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)123012000a ab a d b dc abcd c b c d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------. (3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a xa ax aD a ax aa xr r +-+-+-++=+111[(1)]a x an a x a a a a a=-+1111000[(1)]000000x an a x x a x a-=-+--1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010********* 10010001n nnn nc c c c D c c+++++-+=-+-(1)1232n n n +=++++= .(5) 001000000100n a a D a a=·6·11100000000100(1)(1)0000100n a a a a a a a++-+-按第行展开 1112(1)(1)n n n n a a +-+-=+-- 2nn a a-=-.(6) 11111111111102001111002011110002n D --==----111(2)(1)2n n n ---=-=-. 7．证明(1) 22222()111a ab b aa b b a b +=-证：222221223(1) 22222(1)111001a ab b a abab b b c c aa b ba ab a b b bc c --+-+--+-+-33()()(1)a a b b a b a b a b +--=---23()()11a b a b a b =-=- (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++·7·2221223222314322412144692126(1) (2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c cc c c cc c c c c dd d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x xx c xx xx++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=-解：121326(1)3201xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa xmm m m bx b=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bx b b x b b xb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212nn n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn nn a a a a a a a a a ； (2)112112222121nn nn n n a a a a a a a a a；(3)12121212111222n nnnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)nn n nn n n na a a a a a a a a a a a -=- =1112121222(1)(2)2112(1)nnn n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n nn n np p p np p p np p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑ .10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 100011001100011011aaa a a aa a a---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001000k λλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-= 1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式10110011000110001aa a a a a a aa---=-----51001100110011a a a a a a aa---=-+----·10·5100110011001a a a aa a aa ---=-+---541011011a a a a a a a-=-++---- 54101101aaa a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 6111110101010101611116111116111161111161111611111611116= 111111111116111050001010116110050011161000501111600005== 41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000k k λλλλλλλλλλλλλ------=+-----5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+-- 1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m x x x m x x x x x m=-=---∑411111000()000000i i m x m m m=-=---∑431()i i m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3) 1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827xx x 解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式4321100100111110110011011011001001001a a a a -=---+-+-----1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 123121211100010000010n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x------==++++- 证：等式左端123121211000010000000()001000010n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+ 122233312110001000()0000()0010()0001()00n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n xf x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a xa x a --=+++ .(2) 21000121000120010002100012D n ==+证：11n =时，1211D ==+2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111nni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏. 证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++121111100100100na a a -=--121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i n i a a a a a a a a ===++++=+=∑∏ 等式右端.(4) 1100010001000000001n n n x y xy x y xy x y x y D x y x y xy x y+++++-==-++ ，其中x y ≠.证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得 111000100()(1)01000001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++ 阶21000010(1)0101xy x y xy x y x y +++-++ 阶由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n == . 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++ ，依题意有10111110110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩（1） 因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nn na a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k - 的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -===== . 15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。
线性代数习题3解析【哈工大版】
·40·
1 4 x 1 或 x , y 1或 y ， 3 3 1 4 1 即c i k 或c i j k . 3 3 3 14．已知 (a b) c 2 ，求 [(a b) (b c)] (c a) .
又x y z 2
2 2
5 3 . 2
(a b) (a b) (a b) (a b) 0 ，
| a |2 2a b | b |2 | a |2 2a b | b |2 0 .
得 4a b 0 , 所以 a b 0. 6．试证： a b b c c a 0 的必要条件是 a, b, c 共面. 证：由等式 a b b c c a 0 两边与 c 作内积得
2 2 2
得
解： [ ( a b ) ( b c ) ] c ( a ) a [ b a c b c ] ( c a )
a b c a c c b c c a b a a c a b c a
. a b c b c a2 2 4 15．用数量积证明三角形的余弦定理. 证：考察三角形（如图所示） 记 a BC, b CA, c AB ，则
习
题
三
A
1．设 A 、 B 、 C 是任意三点，求 AB BC CA 解：由三角形法则
A B B C CA
线性代数(含全部课后题详细答案)3-2
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2 2
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3
3 32 0 3
由此归纳出
kk 1 k
kk 1k2
2
kk 1
1 3 1 1 2 3 10
2、对称阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
aij a ji i , j 1,2, ,n
那末 A 称为对称阵.
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等. 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
例5
关于A的k次多项式，以下关系式是否成立：
(A B)2 A2 2AB B2
A2 B2 (A B)(A B)
A3 B3 (A B)(A2 AB B2 )
(A B)n
An
C
1 n
线性代数作业及参考答案
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题3
故垂线方程为： ,或
过此直线的平面束方程为： .
因为所求平面的法向量垂直于 ，故 ，所以平面 的方程为：
.
38．求直线 及 与它们的公垂线的交点的坐标，并给出公垂线的方程.
解： 的方向向量
的方向向量
因 与 的交点在 上，可记为
因 与 的交点在 上，可记为
由 ，得
解得 ，故 与公垂线交于 与公垂线交于 公垂线 的方程为：
5．已知 ，试证
证：由 得
，
.
得 ,所以
6．试证： 的必要条件是 共面.
证：由等式 两边与 作内积得
，得 .
所以， 共面.
7．设 是三个向量， 是两个数，试证：
(1) 与 垂直；
(2) 与 垂直.
证：(1)
所以， 与 垂直.
(2)
所以， 与 垂直.
8．已知 为单位向量，且满足 ，计算 .
解： ,
,
.
取和得 .
9．已知
(1) 是否与 平行；
(2)求 ；
(3)求 ；
(4)设 ，求 .
解：(1)
,
所以 与 平行.
(2) .
.
.
(3) ,
(4) ,
,
.
10．已知空间三点 ，
(1)求以 为邻边的平行四边形的面积；
(2)求以 、 、 、 为顶点的四面体的体积.
解：(1)
(2) .
11．已知 ，试利用行列式的性质证明：
证：考察三角形（如图所示）
记 ，则
于是,
.
16．用向量积证明三角形的正弦定理.
证：考察三角形（如图所示）
记 ，则该三角形的面积为
于是, .
线性代数课后习题答案全）习题详解
线性代数课后习题答案全）习题详解前言因能力有限，资源有限，现粗略整理了《工程数学线性代数》课后习题，希望对您的了解和学习线性代数有参考价值。
第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---；（2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ；（4）y x y x x y x yyx y x +++. 解（1）=---381141102811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??-=416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；（5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个（6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个……………… …)12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个……………… …)2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）7110025*********4；（2）-265232112131412；（3）---ef cf bf de cd bd ae ac ab ；（4）---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-?---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=1 11111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22) 1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(+++++++++++++++ +=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边964412964412964412964412241312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+dd d c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)11))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =?---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xa a ax aa a x D n =; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n nn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 000100000000 00001000 =按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-?-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--?-+n n n a a a(再按第一行展开)n n n nn a a a+-?-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?-?-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即∏=-=ni i i iin D c b d22)(而 111111112c b d a d c b a D -==得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0 432111111111111111111111 --------------n n n n ,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n (6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------100 00100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------000 00000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=--- )11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323212 1x x x x x x x x x x x x x上一页下一页。
哈尔滨工程大学线性代数试题与答案
线性代数试题答案一、选择题：(每小题3分，共15分)1、B ；2、D ；3、C ；4、B ；5、A 。
二、填空题：(每小题3分，共15分)1、1>k ；2、12；3、0；4、541453A -⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦； 5、)2(21E A +。
三、计算题：(每小题8分，共32分)1、解答：1214012110130131-=1214012102010131---=121201131--- =052061131=5261=-72、解答：由B C BA 3-= 得 C E A B =+)3(，又01100100013≠=+E A ，知 E A 3+ 可逆，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-110111011，得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-110010001)3(1E A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+=-31602521411`0010001346025214)3(1E A C B 。
3、解答：令),,,,(54321ααααα=A ，则对其进行行的初等变换有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2000000003621011111134536210312311111b a b a A ，由2)(=A r 得2,0==b a ，其中一个极大无关组为：21,αα，此时10152012630000000000A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以3122ααα=-+，31256ααα=-+，31223ααα=-+。
4、解答： 显然()2r A =，AX β=的通解的形式为*X C ηη=+ 由1235βααα=+-，则取()*1,5,1Tη=-为AX β=的一个特解 由31232ααα=-，则取()3,2,1Tη=--为0AX =的一个线性无关解 所以AX β=的通解为()()1,5,13,2,1TTX C =-+--，C 为任意常数四、计算题 (每小题12分，共24分)1、解答：对此方程组的增广矩阵进行初等变换有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0100010100122100111113210101001221001111112323101221001111a b a a b a a b a A 当参数1≠a 时，β能由1,α2,α3,α4α惟一表示；当参数1=a 且1-≠b ，β不能由1,α2,α3,α4α表示。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
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线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题1
·1·习 题 一1．按自然数从小到大的自然次序，求解各题. (1) 求1至6的全排列241356的逆序数. 解：(241356)0021003t =+++++=. (2) 求1至2n 的全排列135(21)246(2)n n -的逆序数.解：(1)(13(21)242)000(1)(2)2102n n t n n n n --=++++-+-+++=. (3) 选择i 与j ，使由1至9的排列，9127456i j 成偶排列.解：由9127456i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或8.当8,3i j ==时，(912748563)01112133618t =++++++++=，是偶排列. 当3,8i j ==时(912743568)01112322113t =++++++++=，是奇排列，不合题意舍去.(4) 选择i 与j ，使由1至9的排列7125489i j 成奇排列.解：由7125489i j 是从1至9的排列，所以,i j 只能取3或6.当3,6i j ==时，(713256489)0112113009t =++++++++=，是奇排列. 当6,3i j ==时，(716253489)01122330012t =++++++++=，是偶排列，不合题意舍去.2．计算下列行列式 (1)9182613abb a； (2)32153320537528475184；(3) 108215123203212； (4) abac ae bdcd de bf cfef---.解：(1) 229182913117(4)26132a ba ba b b ab a=⨯=-.(2)3215332053320531003205332053320531003205375284751847518410075184751847518410075184+==++0751840032053004313100=+-=. (3) 1082222151235433302032124812=⨯=.·2·(4) 11111111100211120abac ae bdcd de abcdef abcdef bfcfef----=-=-- 111204002abcdef abcdef -=-=. 3．已知3021111xy z=，利用行列式性质求下列行列式. (1) 33332222xy zx yz x y z +++++； (2)111302413x y z +++. 解：(1) 3333230223022222222111xy z xy zxyzx y z x y z ++===+++.(2)111111302302302413413413x y z x y z +++=+ 1113023********111xy z=+=+=.4．用行列式定义计算：(1)12345；(2)0100002000010n n-.解：(1) 1234512345()1234512(1)345t p p p p p p p p p p a a a a a =-∑(54321)1524334251(1)t a a a a a =-10(1)12345120=-⨯⨯⨯⨯⨯=.·3·(2)1212()120102(1)010n n t p p p p p np a a a n n=∑--(231)1223(1)1(1)t n n n n a a a a -=-11(1)123(1)!n n n n --=-⨯⨯⨯⨯⨯=-5．用行列式的定义证明：(1) 111213141521222324253435444554550000000000a a a a a a a a a a a a a a a a =； (2)11122122333411123132333443442122414244450000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⋅. 证：(1) 123451234511121314152122232425()12345343544455455(1)00000000t p p p p p p p p p p a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a ==- 假设有12345123450P P P P P a a a a a ≠，由已知345,,p p p 必等于4或5，从而345,,p p p 中至少有两个相等，这与12345,,,,p p p p p 是1,2,3,4,5的一个全排列矛盾，故所有项12345123450P P P P P a a a a a =，因此0D =.(2)1234123411122122()1234313233344142434400(1)t p p p p p p p p a a a a a a a a a a a a a a a a =-∑，由已知，只有当12,p p 取1或2时，123412340p p p p a a a a ≠，而1234,,,p p p p 是1,2,3,4的一个全排列，故34,p p 取3或4，于是·4·(1234)(1243)(2134)112233441122344312213344(2143)12213443(1)(1)(1)(1)t t t t D a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-+-+-11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ 从而33341112112212213344344343442122()()a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅=-- 11223344112234431221334412213443a a a a a a a a a a a a a a a a =--+ D = 6．计算(1)305002123000a b cd； (2)121102111214421110----；(3) n x aa a xa D a ax=； (4) 123110010101001n n D -=--； (5) 001000000100n a a D a a=； (6) 1111111111111111n D -=--. 解：(1)4433305304 3 0023(1)00(1)1230120a ab a d b dcabcd c bc d++--=按第按第行展开列展开.(2)12111211121102111021110211121440366036621110033120036==-----·5·12111211121101220122012233390211100370037003600360001=-=-=-=------.(3) 12131 (1)(1)(1) n n r r x a a n a x n a x n a xr r a x a a xaD a ax a axrr +-+-+-++=+111[(1)]ax a n ax aaa aa=-+ 1111000[(1)]0000x an a x x a x a -=-+-- 1[(1)]()n n a x x a -=-+-.(4) 12131123123231100010010100010 10010001n nnn n c c c c D c c+++++-+=-+- (1)1232n n n +=++++=.(5) 001000000100n a a D aa=1110000000 100(1)(1)0000100naaaaaaa++-+-按第行展开1112(1)(1)n n n na a+-+-=+--2n na a-=-.(6)11111111111102001111002011110002nD--==----111(2)(1)2n n n---=-=-.7．证明(1)22222()111a ab ba ab b a b+=-证：222221223(1)22222(1)111001a ab b a ab ab b bc ca ab b a a b a b b bc c--+-+--+-+-33()()(1)a ab b a ba b a b+--=---23()()11a ba b a b=-=-(2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a ab b b bc c c cd d d d++++++=++++++证：等式左端2222222222222222214469214469214469214469a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c cd d d d d d d++++++++++++=++++++++++++·6··7·2221223222314322412144692126(1)(2) 21446921260(1)2144692126(3)(1)2144692126a a a a a a c c c cb b b b b bc c c c c c c c c c c cd d d d d d +++++-+-++++=+-+++++-+-++++(3)2322311111211121311123223212122212223222232233131323132333332322341414241424344411111111x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x x x x a x b x b x c x c x c x xx++++++++++++=++++++++++++证：等式左端2321111111212112322212212222323213313313232324314414414241() 1()1()1x x b x x c x c x c a c x x b x x c x c x c b c x x b x x c x c x c c c x x b x x c x c x ++++-++++-++++-+++232231111111123223312413222122222322333313333422232234441444411()()1111()11x x x c x x x x c b c c c c xx x c x x x x x x x c x x x x c c c x x x c x x x x ++-+-+=++-+等式右端.8．解关于未知数x 的方程(1) 12326001xx x -=- 解：121326(1)321xx x x x x -=---2(1)[(2)3](1)[23](1)(3)(1)0x x x x x x x x x =---=---=--+= 所以1231,3, 1.x x x ===-(2) 0(0)aa x mm m m bxb=≠·8·解：00111111aa x a a x x amm m m m bxbbx bbxb-==11()()()0m x a m x a x b b x=-=--=因0m ≠，所以12,x a x b ==.9．设111212122212n n n n nn a a a a a a a a a a =，求下列行列式：(1)122122211121n n nn n n a a a a a a a a a ； (2)112112222121n n nnn n a a a a a a a a a ；(3)12121212111222n n nnp p p p p p p p p np np np a a a a a a a a a ∑，其中“∑”是对1,2,,n 的所有全排列12np p p 取和，2n ≥.解：（1）经行的交换得原式111211213132321222(1)n n n nnn n na a a a a a a a a a a a -=-=1112121222(1)(2)2112(1)n n n n n n nna a a a a a a a a -+-+++=-(1)2(1)n n a -=-.(2) 与(1)类似，经列的交换得·9·原式(1)2(1)n n a -=-.(3) 经列的交换，得12121212121111112122221222()()12(1)(1)n n n n np p p n p p p n p p p p p p np np np n n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ=-=-故原式1212()111111(1)0111n np p p p p p a aτ=-==∑.10．计算行列式(1)112233440000000a b a b b a b a ； (2) 10001100110001100011aa a a a aa a a ---------；(3) 6111116111116111116111116； (4) 1000010000100001kλλλλλ----. 解：(1)1111112244443333334422220000000000000000000000a b a b a b a b b a b a b a b a a b b a a b b a =-=1133141423234422()()a b a b a a b b a a b b b a b a ==--.(2) 将前4行依次加到第5行，再按第5行展开得原式100011011000110001aa a a a aa aa---=-----5100110011011a a a a a a a a---=-+----·10·510011001101aa a a a a aa---=-+---541011011aa a a a a a-=-++---- 54101101aa a a a a a-=-++---543111a aa a a a-=-+-+--23451a a a a a =-+-+-(3) 611111*********1611116111116111161111161111611111611116=111111111116111050001010116110050011161000501111600005==41056250=⨯=. (4) 按最后一行展开得10001100010010001000100100010001001000000kk λλλλλλλλλλλλλ------=+----- 5k λ=+11．计算行列式(1)1111111111111111111111111x x x x x --+---+---+--； (2) 1111222233334444x m x x x x x m x x x x x m x x x x x m----解：(1) 依次将第2,3,4,5列加到第1列得原式1111111111111111111111111x x x x x x x x x +--++--=+-+-+--+--1111111111(1)111111111111111x x x x x --+--=+-+----- 10001000(1)1000100010000xx x x x =+4(41)442(1)(1)(1)x x x x -=-+=+(2) 依次将第2,3,4行加到第1行得原式44441111222233334444iiiii i i i x m x m x m x mx x m x x x x x m x x x x x m====-----=--∑∑∑∑422221333344441111()i i x x m x x x m xx x m x x x x x m=-=---∑411111000()0000i i m x m m m=-=---∑431()ii m x m==-∑12．计算行列式(1)11121314212223243132333441424344a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++；(2) 111213142122232431323334414243441111111111111111a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++++++++(3)1234100110011001a a a a ---； (4)2311111231491827x xx解：（1）依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213142121212132323232434343430a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++----==--------(2) 依次将第3,2,1行乘1-加到第4,3,2行得原式111213141212213214211322323324321432433434431111()()()()()()()()()()()()a b a b a b a b b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a ++++----=--------111213141234213243123412341111()()()0a b a b a b a b b b b b a a a a a a b b b b b b b b ++++=---=(3) 按最后一列展开得原式432110010010011011011001101101100111a a a a -=---+-+----- 1234a a a a =+++(4) 由Vandermonde 行列式的计算公式得原式(3)(2)(1)(32)(31)(21)x x x =------ 2(1)(2)(3)x x x =--- 13．证明(1) 12312121110001000000100n n n n n n na a x a x D a x a x a x a a x a x ------==++++-证：等式左端123121211000010000()00100001000n n n n n n a a x a x r x r a x a x a a xx ------+--+1222333121100001000()00()0010()0001()0n n n n n n n n n a a x r x r a x r x r a x r x r a x f x -------++-+-1(1)11(1)()()11n n x f x f x x +---=-=--阶其中111()n n n f x a x a x a --=+++.(2) 2100121000120010002100012D n ==+证：1 1n =时，1211D ==+ 2假设当n k ≤时结论成立，当1n k =+时，若12k +=，22112D =41321=-==+结论成立. 若13k +≥，将1k D +按第一行展开得112112122(1)(11)(1)1112k k k D D D k k k +-==-=+--+=++由数学归纳法，对一切自然数n 结论成立.(3) 1211111111111(1),0,1,2,,1111n ni i i i ina a D a a i n a a ==++==+≠=+∑∏.证：(用加边法)等式左端1211111011110111101111na a a +=++12111110010010na a a -=-- 121211111110000000nna a a a a a ++++=1211121111(1)(1)n nn i i i nia a a a a a a a ===++++=+=∑∏等式右端. (4) 11000100010000001n n n x y xy x y xy x y x y D x yx y xy x y+++++-==-++，其中x y ≠. 证：当1n =时，221x y D x y x y-=+=-，等式成立.假设n k ≤时等式成立，当1n k =+时，若12k +=，则332212k x y D D x xy y x y +-==++=-，等式成立. 若13k +≥，将1k D +按一列展开，得111000100()(1)01001k k x y xy x y xy D x y x y x y ++++=+-++阶210000100(1)01001k xy x y xy x y x y +++-++阶11(1)1(1)11()()k k k k k k k k x y x y x y x y D xyD x y xy x y x y x y++++++----=+-=+-=---由归纳法原理，等式对一切自然数n 都成立.14．设()f x 是一个次数不大于1n -的一元多项式，证明如果存在n 个互不相同的数12,,,n a a a 使()0,1,2,,i f a i n ==. 则()0f x =.证：设121210()n n n n f x k x k x k x k ----=++++，依题意有1011111110n n n n n n k a k a k k a k a k ----⎧+++=⎪⎨⎪+++=⎩ （1）因12,,,n a a a 互不相同，故(1)的系数行列式211112122212111()01n n j i i j nn nnna a a a a a D a a a a a --≤<≤-==-≠∏，所以关于011,,,n k k k -的线性方程组(1)只有零解，所以0110,()0n k k k f x -=====.15．用Cramer 法则解方程组(1) 121254116520x x x x +=⎧⎨+=⎩解：5425241065D ==-=≠，方程组有唯一解.1114558025205D ==-=-，25111006634620D ==-=，由克莱姆法则，1125D x D ==-，2234Dx D ==(2) 121232356 1560 50x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩解：56056305301561519119015010D --==-=--[5(19)(30)1]650=-⨯---⨯=≠，方程组有唯一解.1160560562561915015D ===-=，251016106505005D ==-=-， 356115150101010D ===. 所以由克莱姆法则得，111965D x D ==，22113D x D ==-，3165x =.。
线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题6
习 题 六1．设20011023,24002⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B . 求,A B 的特征值及特征向量. 解：（1）3200||023(2)002λλλλλ--=--=-=-E A ，故1232λλλ===为A 的特征值. 解方程组(2)-=0E A X . 由0000012003000000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行E A ,得基础解系12100,100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，从而A 的特征向量为1122k k +ξξ，其中12,k k 为不同时为零的任意常数. （2）11||(2)(3)024λλλλλ--==--=--E B ，故122,3λλ==为B 的特征值.2λ=时，解方程组(2)-=0E B X ，由111122200⎛⎫⎛⎫-=−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E B 行，得基础解系1(1,1)'=-ξ.所以B 的属于特征值2的特征向量为11k ξ，其中1k 为非零的任意常数.3λ=时，解方程组(3)-=0E B X ，由212132100⎛⎫⎛⎫-=−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E B 行，得基础解系2(1,2)'=-ξ.所以B 的属于特征值3的特征向量为22k ξ，其中2k 为非零的任意常数.2．100212121⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求A 的特征值及属于实特征值的一个特征向量.解：100||212121λλλλ--=-----E A(1)(12)(12)0i i λλλ=--+--=， 故1231,12,12i i λλλ==-=+为A 的特征值.1λ=时，解方程组()-=0E A X ，000101202021120000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行E A ，故1(2,1,2)'=-ξ为属于A 的实特征值1的一个特征向量. 3．设,A B 均为n 阶方阵，且||0≠A ，证明AB 与BA 相似. 证：由||0≠A ,知A 可逆，1-A 存在.注意到11()()--==BA A A BA A AB A ，得BA 与AB 相似.4．求一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角阵：（1）220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭解：（1）220||212(2)(1)(4)002λλλλλλλ--=-=+--=E A ，故1232,1,4λλλ=-==为A 的特征值.当12λ=-时，解方程组(2)--=E A X 0，得基础解系1(1,2,2)'=ξ，单位化得1122(,,)333'=η.当21λ=时，解方程组()-=0E A X ，得基础解系2(2,1,2)'=--ξ，单位化得2212(,,)333'=--η.当34λ=时，解方程组(4)-=0E A X ，得基础解系3(2,2,1)'=-ξ，单位化得3221(,,)333'=-η.令 123122333212()333221333ηηη⎛⎫-⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P , 则P 为所求的正交相似变换矩阵且1diag(2,1,4)-=-P AP .（2） 222220||254251245241λλλλλλλλ-----=--=-----E A 220490241λλλ--=--- 222(1)(1)(10)049λλλλλ--=-=--=--，得1231,10λλλ===为A 的特征值.当121λλ==时，解方程组()-=0E A X ，得基础解系为12(2,2,1),(2,1,2)''=-=ξξ，12,ξξ已经是正交的，进行单位化得1(2/3,2/3,1/3)'=-η，2(2/3,1/3,2/3)'=η.当310λ=时，解方程组(10)-=0E A X ，得基础解系3(1,2,2)'=--ξ，再单位化得3(1/3,2/3,2/3)'=--η.令 123221333212()333122333ηηη⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P , 则P 为所求的正交相似交换矩阵且1diag(1,1,10)-=P AP .5．设λ为n 阶方阵A 的特征值，试证21λλ++是2++A A E 的特征值.证：设X 为A 的属于特征值λ的一特征向量，则≠0X ，且λ=AX X ，故有22λ=A X X ，222()(1)λλ++=++=++A A E X A X AX X X ，而≠0X ，故21λλ++为2++A A E 的特征值.6．设A 是n 阶方阵，且存在自然数m 使m=0A ，试证A 的特征值只能是0. 证：设λ为A 的特征值，X 为相应的一特征向量，则≠0X ，且λ=AX X . 这样m m λ=A X X ，而m =0A ，得m λ=0X . 由≠0X 知，0,0m λλ==，即A 的特征值只能是0.7．设A 可逆，λ为A 的一个特征值，试证||λA 为*A 的一个特征值.证：A 可逆，故||0≠A . 由*||=AA A E 知*1||-=A A A . 设λ为A 的一特征值，则0λ≠，X 为相应的一个特征向量，则≠0X ，11,,λλ-==AX X A X X1||||λ-⋅=A A A X X ，即*||λ=A A X X ，注意到≠0X ，知||λA 为*A 的一个特征值. 8．设,λμ为矩阵A 的两个不同的特征值，,X Y 分别是A 的属于特征值,λμ的特征向量. 试证：,X Y 线性无关，且+X Y 不是A 的特征向量. 证：设12k k +=0X Y （1）用A 在左连乘式（1）两连得12k k λμ+=0X Y （2）用μ乘式（1）两边得12k k μμ+=0X Y （3）由（2）—（3）得1()k λμ-=0X由,λμ≠≠0X 知10k =，再由≠0Y 知20k =，故,X Y 线性无关.反证法，假设+X Y 是A 的特征向量，则存在k 使()()k +=+A X Y X Y ，而,λμ==AX X AY Y ，从而(),()()k k k λμλμ+=+-+-=0X Y X Y X Y ，而,X Y线性无关，0k k λμ-=-=，得k λμ==，矛盾，故+X Y 不是A 的特征向量.9．设方阵12422421x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 与55y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，求,x y .解：因A 与B 相似，所以 tr()tr()||||=⎧⎨=⎩A B A B即 25(38)25x yx y -=⎧⎨--=-⎩解得 11x y =⎧⎨=-⎩.10．设3阶方阵A 的特征值为1231100,1,1,0,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P ，依次为对应的特征向量，求A 及2n A .解：设3阶方阵A 的特征值为1231100,1,1,0,1,1001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P ，依次为对应的特征向量，求A 及2nA .解：设123110(,,)011001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P P P P ，则1111011001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P由已知得diag(0,1,1)=⋅-AP P ，故1diag(0,1,1)-=-P AP . 1diag(0,1,1)-=-A P P110000111011010011001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭011012001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 221diag(0,1,1)nn -=⋅-⋅AP P1diag(0,1,1)-=⋅P P110000111011010011001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭011010001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.11．设四阶实对称阵A 的特征值为1,1,1,1--. 向量12(1,1,0,2),(1,1,2,0)''==-ξξ是A 的属于特征值1-的特征向量，求A 及2n A .解：设1234(,,,)x x x x =α为属于A 的特征值1的特征向量，则α与12,ξξ正交，有 1241232020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩ 即 1342340x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩基础解系为 34(1,1,0,1),(1,1,1,0)''=--=-ξξ. 注意到1234,,,ξξξξ相互正交，单位化得,1,2,3,4||ii i i ==ξηξ. 令 1234()ηηηη=P 33663300330303⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭为正交阵.diag(1,1,1,1)=--D ，则11220333122033322103332210333-⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪-⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭A PDP ，22111diag(1,1,1,1).n n ---====A PD P P P PEP E12．已知A 与B 相似，其中100020001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B求：（1）A 的特征多项式；（2）A 的特征值；（3）||A ；（4）tr()A ；（5）()R A . 解：A 与B 相似，故A 与B 的特征多项式、特征值、行列式、迹与秩分别对应相等，从而有；（1）||||(1)(2)(1)λλλλλ-=-=--+E A E B ， （2）A 的特征值为1231,2,1λλλ===-， （3）||||2==-A B ， （4）tr()tr()2==A B ， （5）()()3R R ==A B .13．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-. 设矩阵325=-B A A . 求： （1）矩阵B 的特征值及与B 相似的对角阵，说明理由； （2）1*-+A A 的特征值； （3）行列式||B 及1*||-+A A .解：（1）由已知A 的特征值互异，故可相似对角化，从而存在可逆阵P 使1diag(1,1,2)-==-P AP D .故113232(5)5diag(4,6,12)--=-=-=---P BP P A A P D D . B 的特征值为4,6,12---. （2）由*||,||||1(1)22===⋅-⋅=-AA A E A D ，知*11*1(2),---=-⋅+=-A A A A A ，从而1*-+A A 的特征值为11,1,2--. （3）||(4)(6)(12)288=-⨯-⨯-=-B , 1*11||(1)1()22-+=-⨯⨯-=A A . 14．设n 阶方阵A 的每一行元素之和均等于a ，试证a 是A 的一个特征值，并且(1,1,,1)'=X 是A 的对应于a 的一个特征向量.证：设 111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A 且1nikk aa ==∑，其中1,2,,i n =.则 111212122212111111n n n n nn a a a a a a a a a a aa a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭AX X ， 故a 是A 的一个特征值，X 为A 的对应于特征值a 的一个特征向量.15．设数列{}n x 满足规律2101,1,3n n n x x x x x ++=+==求n x 及1limn n nx x +→+∞.解：令1,k k k x k x -⎛⎫=∈⎪⎝⎭αN . 则由 11k k k k kx x x x x +-=+⎧⎨=⎩知 1k k +=A αα，其中1110⎛⎫= ⎪⎝⎭A 易知121122λλ+-==为A 的特征值，所以1211,2211⎛⎛+- == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ分别为相应于12,λλ的特征向量.由已知131⎛⎫= ⎪⎝⎭α. 解关于12,k k 的方程，11122k k =+αξξ，即1211322111k k ⎛⎛+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得12k k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而有 11n n -=A αα11122()n k k -=+Aξξ11111222n n k k λλ--=+ξξ112211n n⎛⎛⎫+⎪=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n nn n++⎛⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎝⎭故11111211((22n n n nnxλλ+++++=+=+，1lim nnnxx+→+∞22121112limn nn nnλλλλ++++→+∞+=+11212121(/)lim1(/)nnnλλλλλλ++→+∞+⋅=+1211(|/|1)2λλλ+===<.16．某地区有81000人订阅甲、乙两种报刊（每人均只订其中一种报刊），调查表明每年有40%订甲种报刊的人改订乙种报刊，同时又有20%订乙种报刊的人改订甲种报刊，若订阅甲、乙两种报刊的总人数不变，问10年后该地区大约有多少人订甲种报刊.解设第k年订阅甲、乙两种报刊的人数分别为k x，k y则81000,0,1,2,k kx y m k+===.又由已知110.60.20.40.8k k kk k kx x yy x y++=+⎧⎨=+⎩令0.60.2,0.40.8kkkxy⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αA，则1,0,1,2,k kk+==Aαα.易知A的特征值为121,0.4λλ==，121 1,21⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ分别为相应的特征向量.令12,k k使11122k k=+αξξ，即 0120122x k k y k k =+⎧⎨=-⎩解得 001002323x y k x y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩.这样 0000112233x y x y+-=+αξξ100211(2)33m x y =+-ξξ故 11kk +=A αα100211(2)33k km x y =+-A A ξξ1002111(2)0.433k km x y =+-ξξ000011(2)0.43321(2)0.433k k m x y m x y ⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭，故 10011(2)0.433kk m x y +=+-α9100011(2)0.42700033x m x y =+-≈（人）10年后，该地区大约有27000人订甲种报刊.。
(精选)线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数课后习题答案(共10篇)(共6页)
线性代数课后习题答案(共10篇)[模版仅供参考，切勿通篇使用]感恩作文线性代数课后习题答案（一）:高等数学线性代数,概率统计第二版课后答案姚孟臣版最佳答案: 您好,我看到您的问题很久没有人来回答,但是问题过期无人回答会被扣分的并且你的悬赏分也会被没收!所以我给你提几条建议: 线性代数课后习题答案（二）: 谁知道《线性代数与解析几何教程》(上册)的课后习题答案在哪下?但一定要真实,这本书是大一要学的,樊恽,刘宏伟编科学出版社出版.急不知道线性代数课后习题答案（三）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值答案书上突然冒出一句“显然R(A)=1”,让我非常困惑, R(A) = R(aaT) 线性代数课后习题答案（四）:求线性代数（第三版）,高等教育出版社的习题参考答案华中科技大学数学系的线性代数课后习题答案书店都有卖的,尤其是华科附近的小书店,盗版一大堆~ 线性代数课后习题答案（五）:线性代数：假如一道题目要求某矩阵,如果我求出的矩阵与答案所给的矩阵是等价的,能算是正确答案么?如果只是某两行或某两列位置调换了一下，也不能算是正确答案吗？线性代数课后习题答案应该不正确吧.以我理解矩阵的等价是说 QAP=B A等价到B 是通过了一系列的初等变化,那你求出的矩阵只有一个,要想变成其他还要再变换,就不是原题目的条件了还是不正确啊.行调换或列调换等于在原矩阵左边或右边乘上个初等矩阵线性代数课后习题答案（六）:线性代数第五章的课后习题：设a=(a1,a2,...,an)T,a1≠0,A=aaT,证明λ=0是A的n-1重特征值;求出来对角阵只有一个非零特征值,为什么0就是A的N-1重特征值了?再问一下当0是特征值时对应的特征向量有什么特点么?所求得的对角阵与A 相似,所以A 与对角阵有相同的特征值,看对角阵,有一个非零特征值和0(N –1)重.所以A 也是这样应该懂了吧线性代数课后习题答案（七）:线性代数问题.设A=E-a^Ta,a=[a1,a2,……,an],aa^T=1,则A不能满足的结论是（）.^T=A ^T=A^-1 ^T=E ^2=A只会证A对,不要用排除法.A²=E由A,知A^T=AAA^T=A²=(E-a^Ta)(E-a^Ta)=E-a^Ta-a^Ta+a^Taa^Ta=E-2a^Ta+a^T(aa^T)a=E-2a^Ta+a^Ta==E-a^Ta=A所以C错. 线性代数课后习题答案（八）:线性代数,对称矩阵的证明题如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵答案是这样的,有点不懂的地方：因为A^3=En所以A的特征值一定是x^3=1的实根（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）所以λ1=λ2=λ3=1A相似于单位矩阵必有A=En（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P"*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）第一问：因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵PP"AP=∧∧是A的特征值构成的对角阵A=P∧P"A^3=P∧^3P"=E所以∧^3=E所以λ1^3.λn^3都等于1所以λ1=λ2=..=λn=1第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)所以A相似于这n个特征值构成的对角阵P"*A*P=E所以 A=PEP"=PP"=E刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解线性代数课后习题答案（九）:线性代数线性方程组问题公共解和同解方程组大题,遇到过不少次了答案的作法让人晕作法1：分别求出基础解析方程组1的 k1（）+k2（）方程组2的：k3（）+k4（）然后对比,综合得出一个k（）方法2：先求出方程组1的解,然后代入方程组2..方法3：做一个联合的系数矩阵,很大的,然后说求出来的解就是它们的. 我的问题在于：上面的方法我自己能想到1 2,但是不清楚所谓的公共解和同解的区别在哪里?另外,为什么很错题,这几个方法不论求公共解还是同解都能通用?什么时候用哪个方法啊?两个方程组的公共解,可用方法3.若是两个方程组同解,方法3就不灵了公共解是两个方程组解的交集,包含在两个方程组的解集中同解方程组,两个方程组的解集一样,即基础解系等价(可互相线性表示)这类题目一般综合性强,需根据具体情况来分析使用哪个方法比如:一个方程组可得出明显的基础解系,那么代入另一方程组就方便一些.你可以看看此类的题目,先自己做做看,用什么方法,再与解答比较,最后总结一下,大有好处若有看不透的题目,就拿来问一下,我帮你分析线性代数课后习题答案（十）:一道线性代数的题目题目是判断正误若α1,α2,……αs线性相关,则其中每一个向量都是其余向量的线性组合.我知道答案是错误但是请问反例怎么举拿0和一个非零的放到一起,线性相关,0可以写成非零的那个的线性组合,非零的那个不能写成0的线性组合。
线性代数习题解答-第三版-郑宝东-哈工大习题4
习 题 四1．设123214131,,311121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，试求满足下式的α， 1232()5()2()-++=+αααααα.解：由已知 123225522-++=+αααααα所以 3211152521310-⎛⎫ ⎪-⎪=--= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭αααα. 2．设A 是n 阶实对称矩阵，试证对任意列向量,n∈R αβ，都有（1）''=αββα； （2）()()''=A A αββα.证：（1）注意到'αβ是11⨯矩阵，故有()''''==αβαββα（2）因()'A αβ是11⨯矩阵，故有()[()]()()'''''''====A A A A A αβαββαβαβα.3．设A 是n 阶可逆阵12,,,k ααα是k 个n 维列向量，试证12,,,k ααα线性无关当且仅当12,,,k A A A ααα线性无关.证：⇒若有数12,,,k l l l 使得1122k k l l l +++=0A A A ααα上式两边左乘1A -，则有1122k k l l l +++=0ααα，由12,,,k ααα的线性无关性知120k l l l ====，这表示12,,,k A A A ααα线性无关. ⇐设有数12,,,k l l l 使得1122k k l l l +++=0ααα上式两边左乘A ，则有1122k k l l l +++=0A A A ααα，由12,,,k A A A ααα的线性无关性知120k l l l ====，这表明12,,,k ααα线性无关.4．判定下列向量组是否线性相关，为什么？（1）12362,448-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα;（2）1231202,1,0310⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（3）1231212,1,0131⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（3）1231212,1,0131⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（4）1231122,1,5000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα;（5）123413220273,,,00410050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα;（6）123122121,,003001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα. 解：（1）两向量成比例，所以线性相关. （2）有零向量，所以线性相关.（3）123||||0=≠A ααα，所以线性无关. （4）123||||0==A ααα，所以线性相关. （5）1234||||0=≠A αααα，所以线性无关. （6）12,αα成比例，所以线性相关. 5．判断下列命题是否正确（1）若有常数123,,k k k 使112233k k k ++=0ααα，则向量组123,,ααα线性相关； （2）若β不能表为12,αα的线性组合，则向量组12,,ααβ线性无关；（3）若12,αα线性无关，且β不能由12,αα线性表示，则n 维向量组12,,ααβ线性无关；（4）若向量组123,,ααα线性相关，则123,,ααα中任一向量都可由其余2个向量线性表示；（5）若向量组123,,ααα中任意一个向量都可以由其余2个向量线性表示，则123,,ααα线性相关；（6）若向量组123,,ααα中任两个向量都线性无关，则123,,ααα也线性无关； （7）设有一组数123,,k k k ，使112233k k k ++=0ααα，且3α可由12,αα线性表示，则30k ≠；（8）若向量组123,,ααα线性相关，则1α可表示为其余向量的线性组合. 解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√；（6）×；（7）×；（8）× 6．设123,,ααα线性无关，若β可由123,,ααα线性表示，试证表示式是唯一的.证：由已知112233k k k =++βααα，其中123,,k k k ∈R ，若还有123,,k k k '''∈R ，使得112233k k k '''=++βααα，则11122333()()()k k k k k k ''''=-=-+-+-0ββαα. 由123,,ααα的线性无关性即知112233,,k k k k k k '''===，即112233k k k =++βααα的表示式是唯一的.7．设β可由123,,ααα线性表示，且表示法是唯一的，试证123,,ααα线性无关. 证：由已知112233k k k =++βααα且表示法唯一，设112233λλλ++=0ααα，则112233112233k k k λλλ=+=+++++0ββαααααα111222333()()()k k k λλλ=+++++ααα 由β表示法唯一，故有(1,2,3)i i i k k i λ+==，即0,1,2,3i i λ==这表明123,,ααα线性无关.8．设123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，试证 （1）1α可由23,αα线性表示 （2）4α不能由123,,ααα线性表示证：（1）因为234,,ααα线性无关，所以23,αα线性无关，又因123,,ααα线性相关，所以1α可由23,αα线性表示.（2）（反证法）假设4α可由123,,ααα线性表示，则存在123,,k k k 使4112233k k k =++αααα，由（1）知，1α可由23,αα线性表示，设11223λλ=+ααα，则411223223311221233()()()k k k k k k k λλλλ=+++=+++ααααααα，即4α可由23,αα线性表示，这与234,,ααα线性无关矛盾. 所以4α不能由123,,ααα线性表示.9．已知123,,,αααβ线性无关，令112233,2,3=+=+=+βαββαββαβ试证123,,,ββββ线性无关.证：设112233k k k k +++=0ββββ，则112233()(2)(3)k k k k ++++++=0αβαβαββ即 112233123(23)k k k k k k k ++++++=0αααβ由已知123,,,αααβ线性无关，所以1231230,230k k k k k k k ===+++=，即1230k k k k ====，所以123,,,ββββ线性无关.10．设12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，且12,,,n ααα线性无关，试证：向量组12,,,n βββ线性无关.证法1：由12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，知：秩12()n ≤ααα秩12()n βββ由秩12()n n ≤βββ及12,,,n ααα线性无关，秩12()n n =ααα，得n ≤秩12()n n ≤βββ，所以秩12()n n =βββ，即12,,,n βββ线性无关.证法2：由已知12,,,n ααα可由12,,,n βββ线性表示，即得：11112121212122221122n n n nn n n nn nk k k k k k k k k =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 则 1112121222121212()()n n n n n n nn k k k k kk kk k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 即=A BC ，故n =秩1()n =αα秩()=A 秩()≤BC 秩()=B 秩12()n n ≤βββ.即 秩12)n n ≤βββ.所以12,,,n βββ线性无关.11．设α可由123,,ααα线性表示，但α不能由23,αα线性表示，试证1α可由23,,ααα线性表示.证：由已知α可由123,,ααα线性表示，但α不能由23,αα线性表示得：存在数123,,k k k 使112233k k k =++αααα且10k ≠，则321231111k kk k k =--αααα，即1α可由23,,ααα线性表示.12．设向量组12,,,m ααα与向量组12,,,,m αααβ的秩相等，试证：向量组12,,,m ααα与向量组12,,,,m αααβ等价.证：只需证明β可由12,,,m ααα线性表示即可.不妨设12,,,r ααα是向量组12,,,m ααα的极大无关组，则由已知12,,,mααα与12,,,,m αααβ的秩相等知，向量组12,,,,m αααβ的秩也为r ，从而12,,,rααα也为向量组12,,,,m αααβ的极大无关组，故β可由12,,,r ααα线性表示，进而β可由12,,,m ααα线性表示. 因此向量组12,,,m ααα与12,,,,m αααβ等价.13．确定数a ，使向量组12111,,,111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为n解：记12()n =A ααα, 则1,,n αα线无关的充要条件是||0≠A ，则1111111010111||(1)0010111001a a a a n a aa -==+---A 1(1)(1)n a n a -=+--所以取1a ≠且1a n ≠-即可.14．设A 与B 分别为m p ⨯与p n ⨯矩阵，证明：()min{(),()}R R R ≤AB A B证：由 21()()()0c c m n +⨯−−−−→B A A AB ， 21()0r A r m n +⨯⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B AB知 ()()()()0m n R R R R ⨯==≥A A A AB AB()()m n R R R R ⨯⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0B B B AB AB所以()min{(),()}R R R ≤AB A B . 15．设有向量组12345123012,1,1,2,113401⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααα，试求：（1）该向量组的秩；（2）该向量组的一个极大无关组；（3）用（2）中选定的极大无关组表示该向量组中其余向量. 解：123451230112301()21121035211340101100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==→---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα 110012123011230110110001100010120352100221100112⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭所以（1）向量组的秩为3. （2）123,,ααα为极大无关组.（3）41235123111,222=+-=-+αααααααα. 16．试证：由向量1231110,1,1002⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα所生成的向量空间就是3R .证：设123111()011002⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A ααα，因||20=≠A ，所以123,,ααα线性无关，故向量组123,,ααα是3R 的一个基，其生成的向量空间就是3R .17．由12(1,2,1,0),(1,0,1,0)==αα所生成的向量空间记作1V ，由1(0,1,0,0),=β2(3,0,3,0)β=所生成的向量空间记作2V ，证明：12V V =.证：只须证向量组12,αα与向量组12,ββ等价即可. 容易看出11222112,33=+=αββαβ，而1122211,322=-=βααβα，即向量组12,αα与12,ββ等价，故其所生成的向量空间相等. 18．设11211V {(,,,)|,,,R n n x x x x x x =∈，满足120}n x x x +++=21212V {(,,,)|,,,R n n x x x x x x =∈，满足121}n x x x +++=问12V ,V 是不是向量空间，为什么？解：（1）121121(,,,)V ,(,,,)V n n x x x y y y ∀=∈=∈αβ, 则1122(,,,)n n x y x y x y +=+++αβ，因为12120,0n n x x x y y y +++=+++=， 所以1122()()()0n n x y x y x y ++++++=，即1V αβ+∈.k ∀∈R ,12(,,,)n k kx kx kx =α,而1212()00n n kx kx kx k x x x k +++=+++=⋅=，所以1V k ∈α，即1V 是向量空间.（2）取1(1,0,,0)V =∈α，则22(2,0,,0)V =∉α，故2V 不是向量空间.19．设 123(1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)===ααα, 123(3,1,4),(5,2,1),(1,1,6)===-βββ. （1）验证123123,,;,,αααβββ都是3R 的基； （2）求由前一组基到后一组基的过渡矩阵； （3）求向量(0,2,3)-在这两组基下的坐标.解：（1）令123123123351()237,()121131416⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪''''''==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B αααβββ, 因||10,||40=≠=≠A B ，即向量组123,,ααα及123,,βββ均线性无关，所以它们都是3R 的基.（2）设123123()()'''''=βββαααP ，即=B AP ，所以1-=P A B 由1123351100277141(|)2371210109209(|)1314160014128-⎛⎫⎛---⎫⎪⎪=−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B E A B 行 故前一组基到后一组基的过渡矩阵为27714192094128---⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P（3）设向量(0,2,3)=-α，在这两组基下的坐标分别为,X Y ，即'==AX BY α由 1531004351019(|)1212010(|)24163310014-⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪''=-−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭行B E B αα，得534192314-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭Y . 53427714111992091241281314⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭X PY .20．设12,,,k ααα是互不相同的k 个数，又k n ≤，证明:n 维向量组.12222112211112111,,,k k k n n n k a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性无关证：因为12,,,k a a a 互不相同，因此12111112111()0ki j j i kk k k ka a a a a a a a ≤<≤---=-≠∏,（范德蒙行列式）从而向量组1211112111,,k k k k k a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，进而1211112111,,k n n n k a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也线性无关.21．设向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ的秩相等，且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示，证明这两个向量组等价.证：只须证明12,,,s βββ可由12,,,r ααα线性表示设12,,,()m m r ≤ααα是向量组12,,,r ααα的一个极大无关组，由12,,,rααα可由12,,,s βββ线性表示，所以12112()()r s s R R =αααβββββ 1()r R m ==αα.故12,,,m ααα也是向量组1212,,,,,,,r s αααβββ的极大无关组，从而12,,,s βββ可由12,,,m ααα线性表示，进而12,,,s βββ也可由12,,,r ααα线性表示.22．设向量组121,,,,,,r r m +ααααα的秩为s ，向量组12,,,r ααα的秩是t ，试证t r s m ≥+- 证：12121()()()m r r m s R R R +=≤+αααααααα1()()r m t R t m r +=+≤+-αα故t r s m ≥+-.23．设有n 维列向量组12,,,s ααα和n 维列向量组12,,,s βββ记：12()s =A ααα，12()t =B βββ，则12,,,s ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示的充要条件是存在矩阵C ，使 =A BC .证：⇒设12,,,s ααα可由向量组12,,,s βββ线性表示，则可设11112121212122221122t t t ts s s ts tc c c c c c c c c =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ1112121222121212()()s s s t t t ts c c c c c c cc c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 令 111212122212s s t t ts c c c c c c c c c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ，则=A BC . ⇐设,()ij t s ⨯==A BC C C 即1112121222121212()()s s s t t t ts c c c c c c cc c ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ 11112121212122221122,,.t t t ts s s ts t c c c c c c c c c =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩αβββαβββαβββ 24．设m n ⨯矩阵A 经初等列变换化成矩阵B ，试证A 的列向量组与B 的列向量组等价.证：因A 经初等列变换化成B ，所以存在可逆阵C ，使=B AC ，从而也有1-=A BC . 由上题知，A 的列向量组与B 的列向量组可以互相表示，从而A 的列向量组与B 的列向量组等价. 25．设列向量组12,,,s βββ和列向量组12,,,s ααα满足1212()()r s =βββαααK其中K 为s r ⨯矩阵，且12,,,s ααα线性无关，证明12,,,s βββ线性无关的充要条件是矩阵K 的秩()R r =K .证法1：⇒已知12,,,s βββ线性无关，证()R r =K ，反证，若()R r ≠K ，则K 的列向量组12,,,r γγγ线性相关. 于是存在不全为零的数12,,,r k k k 使11122r r r k k k k k ⎛⎫⎪+++== ⎪ ⎪⎝⎭0γγγK ，于是1121122121()()0r r r r r r k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+++=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββααK与12,,,r βββ线性无关矛盾.⇐若12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数1,,r k k 使12112212()r r r r k k k k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0ββββββ 于是 1121212()()s r r r k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭0αααβββK 由12,,,s ααα线性无关，知112212()r r r k k k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭K 0γγγ，于是1122r r k k k +++=0γγγ故K 的列向量组12,,,r γγγ线性相关，这与()R r =K 矛盾.证法2：记1212(),()s r =A B αααβββ，则=B AK故有 ()()()R R R =≤B AK K另一方面，注意到1,,s αα线性无关，故()R s =A ，则有()()()()()R R R R s R =≥+-=B AK A K K所以 ()()R R =B K 故1,,r ββ线性无关⇔B 列满秩()()R r R r ⇔=⇔=B K .26．设12,,,n ααα是一组n 维向量，证明该向量组线性无关的充要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示. 证：⇒对12,,,,,R n n ∀∈ααααα线性相关. 再由12,,,n ααα线性无关，知α可由12,,,n ααα线性表示.⇐因任一n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，所以n 维标准单位向量组1(1,0,,0),,(0,0,,0,1)n ==εε可由12,,,n ααα线性表示，而向量组12,,,nεεε的秩为n ，所以向量组12,,,n ααα的秩等于n ，故12,,,n ααα线性无关.27．设12,,,n ααα是n R 的一个基，R n ∀∈α，若(,)0,1,2,,i i n ==αα，则=0α.证：因为12,,,n ααα是n R 的一个基，R n ∀∈α，可记11,n n k k =++ααα1111(,)(,)(,)(,)n n n n k k k k =+++++ααααααααα，由已知，(,)0i =αα，1,,i n =，所以(,)0=αα即2||0=α，从而0=α.28．设12,,,n ααα是n R 的一个规范正交基，11122n n x x x =+++βααα，21122n n y y y =+++βααα.试证：121122(,)n n x y x y x y =+++ββ.证：由已知0,(,)1,i j i ji j ≠⎧=⎨=⎩αα 则121111(,)(,)(,)n nn ni ijji i j j i j i j x y x y ======∑∑∑∑ββαααα1111(,)(,)nnnnijiji i i i i i i j i i x y x y x y =======∑∑∑∑αααα1122n n x y x y x y =+++.29．已知123,,ααα是3R 的一个规范正交集，求1123=-+βααα与212322=++βααα的内积.解：由上题知，12(,)12(1)1123=⨯+-⨯+⨯=ββ. 30．将向量组123111101,,011011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα规范正交化.解：（1）正交化，取211122*********(,)11,102(,)22102⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭αββαβαβββ,31323312112211 12111 2(,)(,)2211210 2 1(,)(,)252510 2 1-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαββαββββββ.（2）规范化：1232105,,200510⎛⎫⎛⎪ ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭γγγ 31．设,A B 都是n 阶正交阵，试证：（1）1-A 也是正交阵； （2）AB 也是正交阵.证：（1）由已知,A B 都是n 阶正交阵，则,''==A A E B B E ，从而11111,()()-----''''====A A A A A A AA E ，所以1-A 也是正交阵.（2）()()'''''====AB AB B A AB B EB B B E . 所以AB 也是正交阵. 32．设矩阵P 是nR 的规范正交基12,,,n ααα到n R 的规范正交基12,,,n βββ的过渡矩阵，证明：P 是正交阵. 证：记12()n =P P P P ，其中i P 是P 的第i 列，则由121212()()()n n n =βββαααP P P可知 12(),1,2,,j n j j n ==βαααP 于是由12,,,n ααα是规范正交基知(,),,1,2,,i j i j i j n '==ββP P由12,,,n βββ是规范正交基知1,;(,),1,2,,0,,i j i j i j n i j =⎧==⎨≠⎩ββ于是 1,;,1,2,,0,,i j i j i j n i j =⎧'==⎨≠⎩P P从而1212()()n i j n n n n ⨯'⎛⎫ ⎪' ⎪''=== ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭P PP P P P P P P E P .即P 是正交阵. 33．1,,(2)s s ≥αα线性无关，设11222311,,,,s s s --=+=+=+βααβααβαα1s i =+βαα，试讨论1,,s ββ的线性相关性.解: 221111()()1111s s βββααα11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭因为111112,1(1)10,111s s s +⎧=+-=⎨⎩为奇数,为偶数.故当s 为奇数时，1,,s ββ线性无关；s 为偶数时，1,,s ββ线性相关.34．设,m n n m ⨯⨯A B 为矩阵()m n >满足n =BA E ，问A 的列向量组的线性相关性如何.解: ()()()n n R R R n ==≤≤E BA A()R n =A即A 列满秩，故A 的列向量组线性无关 35．n 维列向量组1,,n αα线性无关⇔1112121222120nn nn nn D ''''''=≠'''αααααααααααααααααα证: 记12()s =A ααα，则12212()||||s nD '⎛⎫ ⎪' ⎪'=== ⎪ ⎪'⎝⎭A A A αααααα故1,,n αα线性无关||00D ⇔≠⇔≠A .36．设A 为n 阶方矩阵，则A 是反对称阵()'=-⇔∀A A 向量X ，有0'=X AX 证法1: ⇒ 若A 反对称，有()200''''''''==-=⇒=⇒=X AX X A X X AX X AX X AX X AX⇐ 若∀向量X ，有0'=X AX ，选取T (0,,0,1,0,,0)i ==X e由 00(1,,)ii a i n '=⇒==X AX再取 ()()i j i j i j '''=+=++X e e X AX e e A e e i i i j j i j j ij ji a a ''''=+++=+e Ae e Ae e Ae e Ae 即 ()ij ji a a i j =-≠ 即A 为反对称阵.37．A 为m n ⨯矩阵，若对任一向量β，有=A 0β，则=A 0. 证: 取i =βe ，则(1,,)i i n ==Ae 0.取12()n =C e e e ，则12()0n ==AC A e e e ，即0=AE ，故0=A .38．求由3R 的基123,,ααα到基底21123,,++ααααα的过渡矩阵，并求12323=++αααα在后一组基下的坐标.解: 21123123123011()()()101001⎛⎫ ⎪++== ⎪ ⎪⎝⎭αααααβββααα所以过渡矩阵为 011101001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P1123123123111()2()2()233 3--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααααββββββP 故α在后一组基下的坐标为(1,2,3)--.。
（精选）线性代数课后作业及参考答案
（精选）线性代数课后作业及参考答案《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.100120013C. 1 3 00 010 00 1 2D. 1 2 00 10013.设矩阵A=312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解2η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< bdsfid="226" p=""></n<>B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
线性代数习题8解析【哈工大版】
·97·习 题 八1．用矩阵表示下列二次型，并求出这些二次型的秩. （1）2224424f x xy y xz z yz =+++++解：121(,,)242121x f x y z y z ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21312121121242000121000r r r r --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A所以()()1R f R ==A .（2）2227244f x y z xy xz yz =+----解：112(,,)112227x f x y z y z --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭213123211211211211200404112270411004r r r r r r ++↔------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=--−−−→-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A所以()()3R f R ==A .（3）22221234122313142426424f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：1212343411211132(,,,)23101201x x f x x x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭21243124121112111211121113200530320231005320532120103200053r r r r r r r r r +↔--⨯+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 324335533112111210320032000160016005200033r r r r r --⨯----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭·98·所以()()4R f R ==A .2．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换. （1）22211221336544f x x x x x x x =++-+解：22222123232323(32)941254f x x x x x x x x x =+---+++ 2221232333(32)4()92x x x x x x =+---+ 作线性变换1123223333232y x x x y x x y x =+-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 即 11232233353232x y y y x y y x y ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩则二次型的标准形为22212349f y y =-+.变换矩阵 51323012001⎛⎫--⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C . （2）122331f x x x x x x =++解：注意到f 不含平方项，但含12x x 项，故令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 即 1122133110110110,110001001x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C将其代入f 得1212123312()()()()f y y y y y y y y y y =+-+-++2212132y y y y =-+ 2221323()y y y y =+--令 1312233y y z y z y z+=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 即1132233y z z y z y z=-⎧⎪=⎨⎪=⎩·99·1122233101101010,010001001y z y z y z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C得222123f z z z =--，所用的可逆线性变换为111222333110101111110010111001001001x z z x z z x z z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12111111001-⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭C C C .3．用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求合同变换矩阵.（1）22221234121314232434422444448f x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++-+-- 解：首先写出f 的矩阵4222222222142242-⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭A 作合同变换21314112131411121212121214212124222100022220111221401032242013310001/21/21/21/2010001000010001000010001r r r r r c c c c c --+⨯--+⨯-⎛⎫⎛⎪ -- ⎪ ⎪ --⎪ -------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ =−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ A E ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭·100·3243423243422210001000010001000012001000240000111100002222011101130010001200010001r r r r r r c c c c c c --+--+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−−−→−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D C则 110022011300120001⎛⎫- ⎪⎪-= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭C 在=X CY 可逆线性变换下222123f y y y =+-.（2）121323f x x x x x x =++解： 110221102211022⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭A 122131212221311222123111000221100001140100220010011102211111121111001110010102001001r r r r r r r c c c c c c c +--⨯+⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎭D C·101·所以合同变换矩阵111111001--⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭C . 在=X CY 可逆线性变换下222123f y y y =--.4．用正交变换将下列二次型化为标准形，并写出所用的正交变换. （1）222123121323444444f x x x x x x x x x =+++++解：112323422422(,,)242242224224x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A422111||242(8)242224224λλλλλλλ----=---=----------E A 2111(8)020(2)(8)002λλλλλ=--=---所以A 的特征值为1232,8λλλ===. 对于122λλ==有2221112222000222000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ，求得基础解系为 12111001--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ 由Schmidt 方法正交化得 1212111201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ββ单位化为121/02⎛⎛⎫-- ⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝P P·102· 对于38λ=有4221018242011224000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ， 求得特征向量为 3111⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ξ，单位化得31/1/1/⎛ = ⎝P令1231/1/()1/1/021/⎛--==- ⎝P P P P在正交变换=X PY 之下有222123228f y y y =++.（2）222123232334f x x x x x =+++解： 200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A200||032(2)(1)(5)0023λλλλλλλ--=--=---=--E A 所以A 的特征值为1231,2,5λλλ===.对于11λ=，1001001022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A , 011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得101/⎛⎫ =- ⎪⎝⎭P .对于22λ=，0000012012010021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，22100⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξ，·103·对于35λ=，3001005022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得30⎛⎫ = ⎝P .令123010()01/1/01/⎛⎫ ==- ⎝P P P P在正交变换=X PY 下有22212325f y y y =++.5．判断下列二次型是否是正定二次型 （1）222123121326422f x x x x x x x =++--解：二次型f 的矩阵 211160104--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A其各阶顺序主子式2120,11016->=>- 211||16038014--=-=>-A 所以A 是正定阵，f 是正定二次型.（2）2222123412132434143919246122f x x x x x x x x x x x x x x =+++-+--+解：二次型f 的矩阵 11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A 其各阶顺序主子式10>，112013-=>-11213060,||24029--=>=>A所以A 是正定阵，f 是正定二次型.·104· 6．求下列二次型中的参数t ，使二次型正定. （1）2221231213235422x x tx x x x x x x +++--解：二次型的矩阵 52121111t -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A其顺序主子式 5250,1021>=>. 5210351351||2110121201211111t t t t t t t----=-=--==->-----A所以2t >时，二次型正定.（2）22212312132322x x x tx x x x ++++解：二次型的矩阵 2110103t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭AA 的顺序主子式22220,2,||531tt t t >=-=-A 欲使二次型正定，t 应满足 2220530t t ⎧->⎪⎨->⎪⎩解之t t ⎧<<⎪⎨<<⎪⎩ , 故t <<时二次型正定. 7．设实对称阵A 是正定的，证明：（1）1-A 是正定的； （2）(0)k k >A 是正定的. 证：（1）因为A 实对称正定，所以'=A A ，且A 可逆. 所以111()()---''==A A A ，这说明1-A 也是实对称阵.设λ是1-A 的任一特征值，则1λ是A 的特征值，由A 正定知10λ>，故0λ>，从而1-A 是正定的.（2）对任意,n ∈≠R 0X X ，由A 正定，0k >，有()0k k ''=>X A X X AX ， 故k A 正定.8．设实对称阵A 是正定的，试证2+A E 是正定的.·105·证：因为A 是正定的实对称阵，所以'=A A .所以(2)22''+=+=+E A E A E A . 即2+E A 是实对称的.任取,n ∈≠X X R 0，有(2)20,'''+=+>X E A X X X X AX所以2+E A 是正定的.9．设A 是实对称矩阵，试证当实数k 充分大时，k +A E 是正定的. 证：因为,()k k ''=∴+=+A A A E A E ，即k +A E 是实对称阵. 设12,,,n λλλ 是A 的n 个实特征值，则存在正交阵P 使21n λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP 于是121()n k k k λλλλ-+⎛⎫⎪+⎪+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭P A E P 当1max{||,,||}n k λλ> 时，k +A E 的特征值全大于0，故k +A E 正定.10．设二次型211()nii j i i j nf xx x =≤<≤'==+∑∑X X AX（1）写出()f X 在正交变换下的一个标准形； （2）判断f 是否正定；（3）当2n =时，求正定阵B ，使2=A B .解：（1）二次型f 的矩阵 1111222111122211112221111222⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A·106· 11112221111222||11112221111222λλλλλ---------=--------E A 12111122211111()222111122111122nj j n c c λλλλ=---+----+------∑11111122210002 11((1000 2,, 2212()212i n r r n i n n λλλλλλ------+=---=+--所以A 的特征值为12111,22n n n λλλλ-+===== . 经过正交变换 222212111112222n n n f y y y y -+=++++. （2）因A 的特征值全大于零，故f 为正定二次型.（3）当2n =时，A 的特征值1211132,,12212λλ⎛⎫⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A·107·对于11111111122,,110012222λ⎛⎫-- ⎪-⎛⎫⎛⎫=-=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭E A ξ单位化得11/⎛-= ⎪⎝⎭P对于22111113322,,110012222λ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫=-=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭E A ξ单位化得2⎛= ⎝P令121/1/()1/⎛-== ⎝P P P ，P 为正交矩阵.于是有 102302⎛⎫⎪'== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP D102302⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P P2000000⎛⎫⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪'''== ⎪ ⎪ ⎝⎝⎝⎝⎭P P P P P P令001/1/1/020⎫⎫⎪⎛⎛--⎪'== ⎪ ⎪⎝⎝ ⎝⎭⎝B P P14=+.显然'=B B ，即B 为实对称阵，则2=A B·108· 又BB合同于⎫⎪⎝，知B 正定的. 故B 为正定阵，且2=A B .11．设、A B 都是n 阶实对称阵，且A 与B 的特征值完全相同，试证存在正交阵C ，使=AC CB .证：设i λ为、A B 的特征值，1,2,,i n = ，因为、A B 都是实对称阵，所以存在正交矩阵、P Q ，使 12n Q λλλ⎛⎫⎪⎪''== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ P AP BQ ''=APQ PQ B令 '=C PQ , 则=AC CB .因为、P Q 都是正交阵，所以C 是正交阵. 12．设A 是n 阶正定矩阵，试证|2|2n +>A E . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以'=A A ，所以存在可逆矩P ，使121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ P AP , 其中1,,nλλ 为A 的特征值， 且0,1,,i i n λ>= .1211122(2)(2)2n λλλ---+⎛⎫ ⎪+⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭P A E P P AP P E P 11|(22)|(2)ni i λ-=+=+∏P E P1|2|(2)2nn i i λ=+=+>∏A E .13．A 是m n ⨯实矩阵，证明'A A 为正定矩阵的充分必要条件是()R n =A .·109·证：先证必要性n∀∈R α，且≠0α，由'A A 为正定阵，有0''>ααA A , 即 ()0'>A A αα, 故(,)0>A A αα,≠0A α.这说明线性方程组=0AX 仅有零解， 故()R n =A ，即A 是实列满秩阵. 再证充分性由()'''=A A A A , 说明'A A 是实对称阵. 由()R n =A ，故线性方程组=0AX 只有零解. 因此n ∀∈R α，且≠0α，则≠0A α，于是()()()(,)0'''==>ααααααA A A A A A这说明'A A 是正定阵.14．指出下列方程在平面直角坐标系与空间直角坐标系中各表示什么图形. （1）2220x y y +-= 解：原方程为22(1)1x y +-=在平面直角坐标系下表示，以(0,1)为圆心、半径为1的圆，在空间直角坐标系下表示，以该圆为准线，母线平等于z 轴的圆柱面 （2）22x y =解：分别表示抛物线与抛物柱面 （3）421x y +=解：分别表示直线及过此直线与z 轴平行的平面（4）5123y x y x =+⎧⎨=-⎩解：分别表示xOy 平面两条直线的交点417(,)33--及两平面51y x =+与23y x =-的交线，即过点417(,33--且平行z 轴的直线.15．将xOy 坐标面上的双曲线224936x y -=分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的两个旋转曲面的方程.解：双曲线方程为： 22194x y -= 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为·110·222194x y z +-=旋转双叶双曲面. 绕y 轴旋转一周所得曲面方程为222194x z y +-=旋转单叶双曲面. 16．求母线平行于x 轴，且通过曲线222222216,x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程. 解：在曲线方程（两个曲面的交线方程）中消掉x 有22316y z -=即为母线平行于x 轴且通过该曲线的柱面方程.17．求球面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在xOy 面上的投影的方程. 解：将球面方程与平面方程联立消掉z 得母线平行于z 轴的投影柱面方程为222(1)9x y x ++-=故交线在xOy 面上的投影的方程为222(1)9,0.x y x z ⎧++-=⎨=⎩18．将下列曲线的一般方程化为参数方程.（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩解：将y x =代入球面方程有2229x z +=221992x z += 令02x θθπ=≤≤ 令, 023sin .x z θθπθ⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩于是得到曲线的参数方程为·111·,, 023sin .x y z θθθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩. （2）222(1)(1)4x y z z ⎧-+++=⎨=⎩解：将0z =代入球面方程有22(1)3x y -+=令1,02,x y θθπθ⎧-=⎪≤≤⎨=⎪⎩ 于是曲线参数方程为1,,020.x y z θθθπ⎧=+⎪⎪=≤≤⎨⎪=⎪⎩. 19．求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在三个坐标面上的投影的直角坐标方程.解：在xOy 面投影为cos ,sin ,0.x a y a z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 消掉θ得222,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩在yOz 面投影为0,sin ,.x y a z b θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 消掉θ得0,sin .x z y a b =⎧⎪⎨=⎪⎩在xOz 面投影为cos ,0,.x a y z b θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩消掉θ得cos ,0.z x a b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩20．求旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在三个坐标面上的投影.解：在xOy 面上的投影为224,0.x y z ⎧+≤⎨=⎩·112· 在yOz 面上的投影为24,0.y z x ⎧≤≤⎨=⎩在xOz 面上的投影为24,0.x z y ⎧≤≤⎨=⎩21．求直线1:011x y zL -==绕Z 轴旋转所生成的旋转曲面的方程. 解：设1(,,)M x y z 是L 上的任意点，(,,)M X Y Z 是旋转曲面上由1M 旋转所生成的点. 则有 2222,z Z x y X Y =+=+ （*）直线L 的一般方程为 1,(1).(2)x y z =⎧⎨=⎩（1）平方+（2）平方得 2221x y z +=+ （3）将（*）代入（3）得2221X Y Z +-=.此即L 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程，为旋转单叶双曲面.22．求以(0,0,0)为顶点，且以22221,x z a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为准线的锥面方程.解：设1(,,)M x y z 是准线上任意点(,,)M X Y Z 是连结1、O M 直线上锥面的任意点. 1//OM OM .显然有 x y zX Y Z== 且y b = 即 ,,.x Xt y Yt t z Zt =⎧⎪=-∞<<+∞⎨⎪=⎩（*）由准线方程有22221,x z a c += y b= 即 1Y t b = 将（*）代入2222221X Z t t a c+=,得22222222(X Z Y t t a c b+=, 即2222220X Y Z a b c-+=, 为过(0,0,0)的锥面方程.·113·23．指出22022y z x +-=所表示的曲面是由xOy 面上什么曲线绕什么轴旋转而成的. 解：22022y y x +-=，即222y z x +=为旋转抛物面. 是由220y x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩绕x 轴旋转而成.24．指出下列方程的图形是什么曲面 （1）22216916144x y z ++=；解：原曲面方程为22219169x y z ++=椭球面. （2）22(1)z y x =-+；解：旋转抛物面（3）2224436144x y z -+=；解：原曲面方程为222136364x y z -+=单叶双曲面. （4）22(1)4z x y =++解：椭圆抛物面.（5）222490x y z +-+=解：原曲面方程为22219994x y z +-=- 双叶双曲面. （6）z =解：圆锥面的上半部分. （7）22220x y z +-= 解：二次锥面. （8）z xy = 解：马鞍面.25．指出下列方程所表示的曲线（1）22225,3;x y z x ⎧++=⎨=⎩解：为平面3x =上圆心为(3,0,0)半径4R =的圆.（2）2224936,1;x y z y ⎧++=⎨=⎩·114· 解：为平面1y =上的椭圆22132329x z +=. （3）222425,3;x y z x ⎧-+=⎨=-⎩解：为平面3x =-上的双曲线221164z y -=. （4）224804y z x y ⎧+-+=⎨=⎩解：为平面4y =上的抛物线 2164x z =+.（5）221191420y z x ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩解：为平面2x =上的双曲线 2211914y z -=.26．画出下列曲面围成的立体的图形. （1）2366,0,0,0x y z x y z ++====；解：平面的截距式方程为 1321x y z++=，平面2366x y z ++=与三个坐标面在第一卦限所围的四面体（如图8.1） （2）0z z ==解：为2221x y z ++=球面的上半球面与xOy 所围的上半球体（如图8.2）.·115·（3）2210,3x y z z +-+==解：旋转抛物面221z x y =++与平面3z =所围的立体（如图8.3）. （4）2,2,0,2y x y z z ====解：由平面0,2,2z z y ===截抛物柱面2y x =的立体（如图8.4）.27．已知二次型222123123121323(,,)553266,f x x x x x x x x x x x x =++-+-问123(,,)1f x x x =表示何种曲面.解：二次型f 的矩阵513153333-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A5130(4)(6)3(4)||15315333303(4)6λλλλλλλλλλ--------=-=----+E A263(4)(4)(9)03(4)6λλλλλλλ-=-=--=-+故A 的特征值为1230,4,9λλλ===.在正交变换下123(,,)1f x x x =化为：2221230491y y y ++=为椭圆柱面. 28．用正交变换和坐标平移将下面的二次曲面方程化为标准方程.22212312132312315284466602x x x x x x x x x x x x +-+--+++-=·116· 解：记 142412222-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭A则 21103314222||4120326222222λλλλλλλλλλ----+---=--=++++E A236(3)14λλλλ++-=-+212(3)14λλ-=-+2(3)(6)0λλ=+-= 故A 的特征值为1236,3λλλ===-.对于16λ=，154210226452012,22280001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-→=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ξ单位化得 12/32/31/3-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P对于233λλ==-11144223442000221000⎛⎫-⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪--=--→⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭E A ，2110-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ 由Schmidt 正交化得 2110-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β， 312122⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭β·117·单位化得21/0⎛- = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，31/1/4/⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎝P令1232/31/()2/31/1/304/⎛⎫-- ⎪==- ⎪ ⎝P P P P 在正交变换112233x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P 下原方程为222123123156336(0)02y y y y y --+-+-= 配方有22212316()33(32y y y ----=作平移变换11223312y z z y z y ⎛⎫-⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ -⎝⎭ ⎝⎭则 2221236333z z z --=标准方程为：22231221111z z z --=为双叶双曲面.29．求曲线2222:2z x yC z y⎧=+⎪⎨=⎪⎩在xOy 坐标面和yOz 坐标面上的投影方程，并画出草图.解：（1）消去z 得柱面方程22(1)1x y +-=故C 在xOy 坐标面的投影方程为22(1)1,0.x y z ⎧+-=⎨=⎩ 如图8.5 表示以(0,1,0)为圆心，半径等于1的圆.zyo x图8.5·118· （2）22z y =是包含C 的母线平行于x 轴的柱面. 曲线220z yx ⎧=⎨=⎩包含C 在yOz 坐标面的投影，C 在yOz 坐标面的投影曲线为22,02,0.z y y x ⎧=≤≤⎨=⎩如图8.6. 30．求曲线222222,: (0)x y a C a y z a⎧+=⎪>⎨+=⎪⎩在各坐标面上的投影方程，并画出草图. 解：（1）222x y a +=是通过C ，母线垂直于xOy 坐标面的柱面方程C 在xOy 坐标面的投影曲线为222,0.x y a z ⎧+=⎨=⎩ （2）与（1）类似C 在yOz 坐标面的投影曲线的方程为222,0.y z a x ⎧+=⎨=⎩ （3）消去y 得通过C ，母线垂直于xOz 坐标面的柱面()()0x z x z +-=这是两个相交平面，于是得C 在xOz 坐标面的投影方程()()0,||0.x z x z x a y +-=⎧≤⎨=⎩. 这是两条相交直线段. 如图8.7.x yz x z=aaao。
线性代数-课后作业及参考答案
9.设矩阵A= ，已知α= 是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.
10.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规形为.
11.若向量组α１＝（１，０，０），α２＝（２，２，４），α３＝（１，３，ｔ）线性相关，则ｔ＝。
A.A=0B.B C时A=0
C.A 0时B=CD.|A| 0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A.1B. 2
C. 3D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
（Ｂ）Ａ中每一行都是其余行的线性组合；
（Ｃ）Ａ中必有一行是零行；
（Ｄ）Ａ的列向量组线性无关；
18.若ｎ维向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，则（ ）。
（Ａ）组中增加一个向量后也线性无关；
（Ｂ）组中去掉一个向量后也线性无关；
（Ｃ）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出；
（Ｄ）ｍ＞ｎ。
19.若方程组 存在基础解系，则λ等于（ ）。
（Ａ）２； （Ｂ）３； （Ｃ）４； （Ｄ）５。
20.若ｍ×ｎ矩阵Ａ的秩ｒ＜ｎ，则方程组ＡＸ＝０的基础解系所含向量个数等于（ ）。
（Ａ）ｒ； （Ｂ）ｍ－ｒ； （Ｃ）ｎ－ｒ； （Ｄ）ｒ－ｎ。
21.设Ａ为ｍ×ｎ矩阵，则非齐次线性方程组ＡＸ＝ｂ有唯一解的充要条件是（ ）。
（Ａ）方程组ＡＸ＝０只有零解；
（Ｂ）Ａ的列向量组线性无关，而 的列向量组线性相关；
工大线性代数期末试卷及参考答案(A)
学院： 专业：班级：姓名： 学号：,,s α线性表示，则下列结论中正确的 2,,s k k 使等式s s k α+成立。
存在一组全为零的数12,,,,s k k k 使等式11s s k α+成立； 2,,,s k k 使等式1s s k k βαα=+成立； 的线性表达式唯一。
的特征值为1,1,2,-则矩阵2A E ++的特征值为1,3,7; C. 1,1,2-; 1,0,3-.二、填空题（每小题3分，共15分）6．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131D =中元素ij a 的代数余子式， 则11122122A A A A =7．设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则1A -=8．设线性方程组1231231232202020x x x x x x x x x λ-+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩有非零解，则λ=9．已知向量组123(3,2,0,1),(3,0,,0),(1,2,4,1)ααλα===--的秩为2，则λ=10．设n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ，则kA （k 为常数）的特征值为三、计算n 阶行列式（本题14分）11. 211112111112n D =四、证明题（每小题8分，共16分）12．已知对于n 阶方阵A ，存在自然数k ，使得0k A =，试证明矩阵E A -可逆，并写出其逆矩阵的表达式。
13. 设向量组12:,,,L A ααα和向量组12:,,,,S B βββ的秩分别为p 和q ，试证明：若A 可由B 线性表示，则p q ≤。
五、解矩阵方程（14分）14．设412221311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，132231B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求X 使AX B =.六、解答题（每小题10分，共20分）15. 设11,11A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭121101B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭， 求AB .16. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量表示成最大无关组的线性组合。