数值计算方法 (第3章解线性方程组的数值解法)1

( 2)
14

由（2）式回代得
i n 1,... 2 ,1
xn bn /unn n x (b 1uij x j )/uii i i j i
15
上三角方程组的解法
(2) 式可简写成 Ux b，其中
u11 u12 u1n u 22 u 2 n U u nn
也就是此算法的缺点 .
(k (k 即使 : akk ) 0，但若akk ) 0, 很小 (k 此时, 用akk )做除数易产生解的失真,即数值不稳定.
29
3.1.2 高斯主元素消去法

Gauss列主元消元法 从第一列中选出绝对值最大的元素
a11 a12 ...... a1n b1 a a 22 ...... a11 b2 21 ...... ...... ...... ...... ...... ai1 ai 2 ...... ain bi ...... ...... ...... ...... ...... a n1 a n 2 ...... a nn bn

克莱姆法则在理论上有着重大意义，但 在实际应用中存在很大的困难，在线性 代数中，为解决这一困难给出了高斯消 元法。
6
高斯消元法

例1.用消元法解方程组
x1 x2 x3 6 4 x 2 x3 5 2x 2x x 1 2 3 1
(1) ( 2) (3)
17
高斯顺序消去法
a
( 2) ij
a l a
(1) ij
(1) i1 1 j (1) (1) i1 1 j (1) 11
a
(1) ij
a a a
(i 2,..., n; j 2,..., n)
b
wenku.baidu.com
( 2) i
b b l
(1) i (1) i (1) i1 (1) 11
(1) 1 i1

简记 AX=b
4
高斯消元法

其中
a11 a12 a a22 21 A a n1 a n 2
a1n a2 n (aij )nn ann
T
x x
1
x2 xn ,
b b
1
b2 bn
T
5
高斯消元法
Di Gramer法则：xi i 1,2,..., n， D 其中D det(A) 0，Di det(Ai )， Ai是 A的第i列用b代替所得。
26
高斯顺序消去法算法框图
27
高斯消去法的计算量
( (k 第k步 : lik aikk ) / akk ) (i k 1,..., n )
即做 n k 次除法。
由A( k ) A( k 1)需( n k )( n k 1)次乘法 故总的消元计算量为:
1 [( n k ) (n k )( n k 1)] 6 n(n 1)( 2n 5) k 1
3
3.1 高斯消元法

设线性方程组
a11x1 a12 x2 ...... a1n xn b1 a x a x ...... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ...... an1 x1 an 2 x2 ...... ann xn bn
... ...
... ... ... ... ...
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(n ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
2
引言

关于线性方程组的数值解法一般有两类。


直接法：经过有限步算术运算，可求得方程 组的精确解的方法（若在计算过程中没有舍 入误差） 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方 程组精确解的方法
迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原 始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收敛 性及收敛速度等问题。
2)对i k 1,..., n做 10 20 30 aik l ik aik / a kk； bi bi l ik bk； 对j k 1,..., n做aij aij l ik a kj；
25
高斯顺序消去法
(3)if 1) a nn 0 then 输出算法失败信息, 并停机else做
则有
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk )，i k 1,..., n; j k 1,..., n
bi( k 1) bi( k ) lik bk( k )，i k 1,..., n
20
高斯顺序消去法

最后
(1 a12)
(1 a11) [ A( n ) b ( n ) ]

回代得：x=[1,2,3]T
9
3.1.1 高斯顺序消元法

下三角形方程求解 设
b1 l11x1 l x l x b2 21 1 22 2 ...... ln1 x1 ln 2 x2 ... lnn xn bn 其中，lii 0, i 1,2,..., n
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
( (k akkk ) ... akn )
(n ... ann )
b1(1) (2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
23
高斯顺序消去法
再解 回代法
(n xn b ( n ) / ann) n x (b ( i ) ( ( aiji ) .x j ) / aiii ) 1 i i j i
bn x n bn / a nn；
2)对i n 1,..., 2,1做 bi xi (bi
j i 1
a
n
ij
x j ) / aii；
3)det( A) a11a 22 ...a nn； (4)输出：方程组的解xi (i 1,2,..., n), 系数矩阵A的行列式的值 det(A)
第3章 解线性方程组的数值解法
1
引言
在自然科学和工程技术中很多问题的解决 常常归结为解线性代数方程组。例如电学中的 网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数 问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问 题，解非线性方程组问题，用差分法或者有限 元法解常微分方程，偏微分方程边值问题等都 导致求解线性方程组，而且后面几种情况常常 归结为求解大型线性方程组。 线性代数方面的计算方法就是研究求解线 性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特 征值及特征向量的数值方法。
1 a1(n)
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(k (k ank ) ... ann )
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (k ) bn
19
高斯顺序消去法
则第k次消元: ( aikk ) 令lik ( k ) ， i k 1,..., n，k 1,2,..., n 1 ak
（1）
10
高斯顺序消元法

由（1）得 b1 x1 l 11 x2 ( b2 l21 x1 ) / l22 ...... n 1 x (b lni xi ) / lnn n n i 1
x1 b1 / l11 i 1 即: xi (bi lij x j ) / lii j 1 该法称为向前代入法。
(k 1,2,..., n 1)
22
高斯顺序消去法
得到 A ( n ) x b( n ) 其中
(1 a11) (n) (n) [A |b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ... ...
... ... ...
1 a1(n)
12
j 1,2, , i ) ;
to
n
do
高斯顺序消元法
(1) 式可简写成 l11 l L 21 ln 1 Lx b，其中 lnn
l22 ln 2
13
上三角方程组的解法 设

u11x1 u12 x2 ...... u1n xn b1 u22 x2 ...... u2 n xn b2 ...... unn xn bn 其中，uii 0,i 1,2 ,...,n
7
例题

第一步：-2xr1+r3得
x1 x2 x3 6 4 x 2 x3 5 4 x x 11 2 3
(1) ( 2) ( 4)
8
例题

第二步：1 x r2+r4
(1) ( 2) (5)
x1 x2 x3 6 x 2 x3 5 2 x3 6
21
高斯顺序消去法

也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
( (k lik aikk ) / akk ) ( k 1) ( ( aij aijk ) lik akjk ) b( k 1) b( k ) b( k )l i k ik i
i k 1,..., n j k 1,..., n
1 解A X b 回代时乘除运算量为 n(n 1) 2 1 即总计算量为 N n(n 2 3n 1) 3
(n) (n)
n 1
28
高斯顺序消去法条件
有： det(A) a a
(1) 11 ( 2) 22
...a
(n) nn
0
高斯顺序消去法要求
(k akk ) 0, k 1,2,..., n
A ( n) x b( n )
(i n 1,...,1)
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高斯顺序消去法
(1)输入：aij (i, j 1,2,..., n), bi (i 1,2,..., n) (2)对k 1,2,..., n 1, 做 1)if a kk 0 then 输出算法失败信息，停机；
a (1) b .b1 (i 2,..., n ) a
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高斯顺序消去法

设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中
(1 a12)
(1 a11) (k ) (k ) [A | b ]
... ...
... ... ... ...
... ... ...
30
a11 max a i1
1 i n
i 2,3,..., n
11
高斯顺序消元法

算法：
1、赋初值lij , bi (i 1,2, , n 2、x1 b1 / l11 3、For i2 s 0; For j 1 to i 1 do s s lij x j ; xi (bi s ) / lii ;
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高斯顺序消去法

设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b。设 aii 0
第一行 ( a
(1) 11
1、第一次消元。 a (1) i1
) 第i行（i 2，..., n） 3，
1 ai(1 ) 令li1 (1) , i 2,3,..., n a11 (1 (1 a11) a11) ...... a1(1) n ( 2) ( 2) a22 ...... a2 n （1） ( 2) A A ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( ( b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 2 ) ...... bn 2 ) ]T