专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第八篇平面解析几何

专题8.07双曲线及其几何性质

【考试要求】

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

【知识梳理】

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2－

y2

b2＝1(a>0，b>0)

y2

a2－

x2

b2＝1(a>0，b>0)

图形

性质

范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线y＝±

b

a x y＝±

a

b x

离心率e＝

c

a，e∈(1，＋∞)

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做

双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长

【微点提醒】

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2

a .

2.离心率e ＝c

a ＝a 2＋

b 2a

＝

1＋b 2

a

2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2

n

＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )

(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±y

n

＝0.( )

(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1

e 22＝1(此条件中两条

双曲线称为共轭双曲线).( )

【教材衍化】

2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.

3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2

－y 2

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＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个

焦点的距离等于________.

【真题体验】

4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2

＝1的焦点坐标是( )

A.(－2，0)，(2，0)

B.(－2，0)，(2，0)

C.(0，－2)，(0，2)

D.(0，－2)，(0，2)

5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝3

5x ，则a ＝________.

6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为5

2，则a ＝________.

【考点聚焦】

考点一 双曲线的定义及应用

【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.1

4

B.35

C.34

D.45

(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外

切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.

【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.

【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲

线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2

D.15a 2

(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±23

3x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双

曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4＋37 D.3＋317

考点二 双曲线的标准方程

【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆

x 2

12＋y 2

3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2

10＝1 B.x 24－y 2

5＝1 C.x 25－y 2

4＝1

D.x 24－y 2

3

＝1