专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第6节 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质
第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的01绝对值等于非零常数(02小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的03焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的04焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质焦点05F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)06F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距07|F 1F 2|＝2c范围08x ≤－a 或09x ≥a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：10坐标轴；对称中心：11原点顶点12A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)13A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴实轴：线段14A1A2，长：152a；虚轴：线段B1B2，长：162b，实半轴长：17a，虚半轴长：18b离心率e＝ca∈19(1，＋∞)渐近线y＝±bax y＝±abxa，b，c的关系c2＝20a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到两条渐近线的距离为常数abc.2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数a2b2c2.3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min ＝c－a.4．离心率e＝ca＝a2＋b2a＝1＋b2a2.5.双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形，设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－2b2r1r2，S△PF1F2＝12r1r2sinθ＝sinθ1－cosθ·b2＝b2tanθ2.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm ±yn＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±22x D．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y 2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝ 5.故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a ＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________．答案x216－y216＝1解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.考点探究——提素养考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程例1(2024·山东青岛质检)已知动点M(x，y)满足x2＋（y－3）2－x2＋（y＋3）2＝4，则动点M 的轨迹方程为________________．答案y 24－x 25＝1(y ≤－2)解析因为x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示点M (x ，y )到点F 1(0，3)的距离与到点F 2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a ＝2，半焦距c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝5，即动点M 的轨迹方程为y 24－x 25＝1(y ≤－2)．【通性通法】利用双曲线的定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a <|F 1F 2|；③焦点所在坐标轴的位置．提醒：一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．【巩固迁移】1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程为()A ．x 2－y 28＝1B ．x 28－y 2＝1C ．x 2－y28＝1(x ≤－1)D ．x 2－y28＝1(x ≥1)答案C解析设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以圆心M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题例2已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．答案23解析解法一：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝23.解法二：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝2tan30°＝2 3.【通性通法】在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．【巩固迁移】2．(2023·河北邯郸模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，且P 在以F 1F 2为直径的圆上，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则tan ∠POF 2＝()A ．34B ．43C ．35D ．45答案A解析解法一：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m >n .由双曲线的定义知，m －n ＝4，又mn ＝12，故m ＝6，n ＝2，由于P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以PF 1⊥PF 2，故有tan ∠PF 1F 2＝13，从而tan ∠POF 2＝tan2∠PF 1F 2＝2tan ∠PF 1F 21－tan 2∠PF 1F 2＝34.故选A.解法二：同解法一，得到m ＝6，n ＝2，则|F 1F 2|＝210，从而得到双曲线的方程为x 24－y 26＝1.设P (x 0，y 0)(y 0>0)，－y 206＝1，y 20＝10，解得y 0x 0＝34，即tan ∠POF 2＝y 0x 0＝34.故选A.考向3利用双曲线的定义求最值例3(2024·江西南昌外国语学校月考)已知F 1是双曲线x 216－y 29＝1的左焦点，A (4，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF 1|＋|PA |的最小值为________．答案8＋17解析由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5.设双曲线的右焦点为F 2，由P 是双曲线右支上的点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，则|PF 1|＋|PA |＝8＋|PF 2|＋|PA |≥8＋|AF 2|，当且仅当A ，P ，F 2三点共线时，等号成立．又A (4，4)，F 2(5，0)，则|AF 2|＝（5－4）2＋（0－4）2＝17.所以|PF 1|＋|PA |的最小值为8＋17.【通性通法】在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式|PF 1|＝2a ＋|PF 2|或|PF 2|＝2a ＋|PF 1|进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值．【巩固迁移】3．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．9B ．10C ．11D ．12答案B解析在双曲线C 1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，易知两圆圆心分别为双曲线C 1的两个焦点，记点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，当|PQ |－|PR |取最大值时，P 在双曲线C 1的左支上，所以|PQ |－|PR |≤|PF 2|＋1－(|PF 1|－1)＝|PF 2|－|PF 1|＋2＝2a ＋2＝10.故选B.考点二双曲线的标准方程例4(2024·天津北辰区模拟)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案x 22－y 2＝1解析解法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2，1)，所以4a 2－1b 2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.解法二：由题意知，双曲线焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝（2＋3）2＋1－（2－3）2＋1＝8＋43－8－43，即a ＝2＋3－2－3，所以a 2＝2，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2，1)的坐标代入，可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为x 22－y 2＝1.【通性通法】求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a ，2b 或2c ，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x 轴还是y 轴上时，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值焦点的位置不确定，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)或mx 2－ny 2＝1(mn >0)求解与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)【巩固迁移】4．(2023·湖南郴州模拟)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________________．答案y 2－x 29＝1解析设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1.5．过点P (3，27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________________．答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为所求双曲线过点P (3，27)，Q (－62，7)，m ＋28n ＝1，m ＋49n ＝1，＝－175，＝125.故所求双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距例5(1)双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是()A ．1B ．2C ．5D ．4答案D解析由x 24－y 2＝1，得a 2＝4，解得a ＝2，所以2a ＝4.故双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C ：y 2－x22＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案2223解析双曲线C ：y 2－x 22＝1的虚半轴长b ＝2，半焦距c ＝1＋2＝3，所以该双曲线的虚轴长为22，焦距为2 3.【通性通法】求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．(2023·河北唐山一调)设4x 2＋ky 2－4k ＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A ．2kB ．2kC ．2－kD ．－2k答案C解析由题意，得k ≠0，将4x 2＋ky 2－4k ＝0整理，得x 2k ＋y 24＝1，由题意，得k <0，故焦点在y 轴上，b 2＝－k ，所以b ＝－k ，所以该双曲线的虚轴长为2－k ，故选C.7．(2024·河南郑州期末)双曲线x 26－y 22＝1与x 22－y 26＝1有相同的()A ．离心率B ．渐近线C ．实轴长D ．焦点答案D解析对于双曲线x 26－y 22＝1，其焦点在x 轴上，a 1＝6，b 1＝2，c 1＝22，离心率e 1＝c1a 1＝233，渐近线y ＝±b 1a 1x ＝±33x ，实轴长2a 1＝26，焦点为(±22，0)；对于双曲线x 22－y 26＝1，其焦点在x 轴上，a 2＝2，b 2＝6，c 2＝22，离心率e 2＝c 2a 2＝2，渐近线y ＝±b 2a 2x ＝±3x ，实轴长2a2＝22，焦点为(±22，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线例6(1)(2023·河北衡水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为() A．y＝±12x B．y＝±2xC．y＝±5x D．y＝±52x 答案B解析由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)(2022·全国甲卷)若双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案3 3解析双曲线y2－x2m2＝1(m＞0)的渐近线为y＝±xm，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝|2m|1＋m2＝1，解得m＝33或m＝－33(舍去)．【通性通法】求双曲线渐近线方程的方法【巩固迁移】8．(2023·全国甲卷)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x －2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝()A．15B．55C ．255D ．455答案D解析由e ＝5，得c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2＝5，解得ba ＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，易知渐近线y ＝2x 与圆相交，则圆心(2，3)到渐近线y ＝2x 的距离d ＝|2×2－3|22＋（－1）2＝55，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝21－15＝455.故选D.9．已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m ＝________．答案12解析由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ，得b a ＝33，则b 2a 2＝13，即m m ＋1＝13，m ＝12.考向3双曲线的离心率例7(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A →⊥F 1B →，F 2A →＝－23F 2B →，则C 的离心率为________．答案355解析解法一：依题意，设|AF 2|＝2m (m >0)，则|BF 2|＝3m ＝|BF 1|，|AF 1|＝2a ＋2m ，在Rt △ABF 1中，9m 2＋(2a ＋2m )2＝25m 2，则(a ＋3m )(a －m )＝0，故a ＝m 或a ＝－3m (舍去)，所以|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，|BF 2|＝|BF 1|＝3a ，则|AB |＝5a ，故cos ∠F 1AF 2＝|AF 1||AB |＝4a 5a ＝45，所以在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ×2a＝45，整理得5c 2＝9a 2，故e ＝c a ＝355.解法二：依题意，得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，令A (x 0，y 0)，B (0，t )，因为F 2A →＝－23F 2B →，所以(x 0－c ，y 0)＝－23(－c ，t )，则x 0＝53c ，y 0＝－23t ，又F 1A →⊥F 1B →，所以F 1A →·F 1B →，c ，t )＝83c 2－23t 2＝0，则t 2＝4c 2，又点A 在C 上，则259c 2a 2－49t 2b 2＝1，整理得25c 29a 2－4t 29b 2＝1，则25c 29a 2－16c 29b2＝1，所以25c 2b 2－16c 2a 2＝9a 2b 2，即25c 2(c 2－a 2)－16a 2c 2＝9a 2(c 2－a 2)，整理得25c 4－50a 2c 2＋9a 4＝0，则(5c 2－9a 2)(5c 2－a 2)＝0，解得5c 2＝9a 2或5c 2＝a 2，又e >1，所以e ＝c a ＝355.解法三：由解法二得，t 2＝4c 2，所以|AF 1|＝64c 29＋4t 29＝64c 29＋16c 29＝45c3，|AF 2|＝4c 29＋4t 29＝4c 29＋16c 29＝25c3，由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即45c 3－25c 3＝2a ，即53c ＝a ，所以C 的离心率e ＝c a ＝35＝355.(2)(2024·辽宁沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的左顶点为A ，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，其中点Q 在y 轴右侧，若|AQ |≥2|AP |，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案，213解析由题意，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，如图，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x .＝b a x ，2＋y 2＝c 2，＝a ，＝b ＝－a ，＝－b .∴P (－a ，－b )，Q (a ，b )．又A 为双曲线的左顶点，则A (－a ，0)．∴|AQ |＝（a ＋a ）2＋b 2＝4a 2＋b 2，|AP |＝[－a －（－a ）]2＋b 2＝b ，|AQ |≥2|AP |，即4a 2＋b 2≥2b ，解得4a 2≥3(c 2－a 2)，∴e ＝c a ≤213.又e >1，故e ，213.，213.【通性通法】求双曲线离心率或其取值范围的方法直接法求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e方程(不等式)法列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解【巩固迁移】10．(2024·九省联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，|F 1B |＝2|F 1A |，F 2A →·F 2B →＝4a 2，则C 的离心率为()A ．2B ．2C ．5D ．7答案D解析由双曲线的对称性可知|F 1A |＝|F 2B |，|F 1B |＝|F 2A |，则四边形AF 1BF 2为平行四边形，令|F 1A |＝|F 2B |＝m ，则|F 1B |＝|F 2A |＝2m ，由双曲线的定义可知|F 2A |－|F 1A |＝2a ，故有2m －m ＝2a ，即m ＝2a ，即|F 1A |＝|F 2B |＝m ＝2a ，|F 1B |＝|F 2A |＝4a ，F 2A →·F 2B →＝|F 2A →||F 2B →|cos ∠AF 2B ＝2a ×4a cos ∠AF 2B ＝4a 2，则cos ∠AF 2B ＝12，即∠AF 2B ＝π3，故∠F 2BF 1＝2π3，则cos ∠F 2BF 1＝|F 1B |2＋|F 2B |2－|F 1F 2|22|F 1B ||F 2B |＝（4a ）2＋（2a ）2－（2c ）22×4a ×2a ＝－12，即20a 2－4c 216a 2＝－12，即2016－4e 216＝－12，则e 2＝7，又e >1，故e ＝7.故选D.11．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为________．答案(1，2)解析在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理，得|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，得3a ＋a >2c ，即2a >c ，所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2.故双曲线C 的离心率的取值范围为(1，2)．考向4与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题例8(1)(2023·湖北名校联考)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 24－y 221＝1的左、右焦点，动点P在双曲线C 的右支上，则(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)的最小值为()A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1答案B解析由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝4，其中|PF 2|≥3，将|PF 1|＝|PF 2|＋4代入(|PF 1|－4)(|PF 2|－4)，得|PF 2|·(|PF 2|－4)＝|PF 2|2－4|PF 2|＝(|PF 2|－2)2－4≥－3.故选B.(2)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是________．答案－33，解析因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故y 0－33，【通性通法】1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路思路一若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解思路二若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决【巩固迁移】12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为103，双曲线上的点到焦点的最小距离为10－3，则双曲线上的点到点A (5，0)的最小距离为()A ．1B ．62C ．2D ．6答案B解析由已知，得c a ＝103，c －a ＝10－3，解得c ＝10，a ＝3，故b 2＝c 2－a 2＝1.所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1，设P (x ，y )是双曲线x 29－y 2＝1上的点，则y 2＝x 29－1，且x ≤－3或x ≥3，则|AP |＝（x －5）2＋y 2＝10x29－10x ＋24所以当x ＝92时，|AP |min ＝32＝62.故选B.课时作业一、单项选择题1．(2023·福建泉州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 21(a >0，b >0)的焦距为25，点P (2，1)在C的一条渐近线上，则C 的方程为()A ．x 2－y24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．x 216－y 24＝1答案B解析解法一：由已知2c ＝25，则c ＝ 5.又b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1.则C 的方程为x 24－y 2＝1.故选B.解法二：由已知2c ＝25，则c ＝5，对于C ，a 2＋b 2＝253≠5，所以排除C ；对于D ，a 2＋b 2＝20≠5，所以排除D ；又由点P (2，1)在C 的一条渐近线上，坐标代入方程检验可排除A.故选B.2．(2024·广东江门联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为22，则C 的离心率为()A ．3B ．6C ．9D ．12答案A解析由题意可知b a ＝22，则C 的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋（22）2＝3.故选A.3．(2023·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为()A ．1B ．2C ．3D ．6答案B解析由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ，又离心率e ＝ca＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a ＝－2a 26a 2＝－13，sin ∠F 1PF 2＝223，所以S △PF 1F 2＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.故选B.4．已知双曲线E ：x 24－y 2m ＝1的一条渐近线方程为3x ＋2y ＝0，则下列说法正确的是()A ．E 的焦点到渐近线的距离为2B ．m ＝6C ．E 的实轴长为6D ．E 的离心率为132答案D解析依题意，得32＝m2，解得m ＝9，故B 不正确；因为b ＝m ＝3，a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝13，所以E 的焦点到渐近线的距离为31332＋22＝3，故A 不正确；因为a ＝2，所以E 的实轴长为2a ＝4，故C 不正确；E 的离心率为c a ＝132，故D 正确．故选D.5．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆答案B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．故选B.6．(2023·天津高考)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P .已知|PF 2|＝2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A ．x 28－y 24＝1B ．x 24－y 28＝1C ．x 24－y 22＝1D ．x 22－y 24＝1答案D解析解法一：不妨取渐近线y ＝b a x ，此时直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，与y ＝ba x 联立，＝a 2c，＝ab c ，即因为直线PF 2与渐近线y ＝ba x 垂直，所以PF 2的长度即为点F 2(c ，0)到直线y ＝b a x (即bx －ay ＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF 2|＝bc b 2＋a 2＝bcc ＝b ，所以b ＝2.因为F 1(－c，0)，且直线PF 1的斜率为24，所以abc a 2c ＋c ＝24，化简得ab a 2＋c 2＝24，又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以2a 2a 2＋4＝24，整理得a 2－22a ＋2＝0，即(a －2)2＝0，解得a ＝ 2.所以双曲线的方程为x 22－y 24＝1.故选D.解法二：因为过点F 2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P ，且|PF 2|＝2，所以b ＝2，再结合选项，排除B ，C ；若双曲线方程为x 28－y 24＝1，则F 1(－23，0)，F 2(23，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨取渐近线y ＝22x ，则直线PF 2的方程为y ＝－2(x －23)，与渐近线方程y ＝22x 联立，得则kPF 1＝25，又直线PF 1的斜率为24，所以双曲线方程x 28－y 24＝1不符合题意，排除A.故选D.7．(2023·山西吕梁二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 与C 交于P ，Q 两点，PF 1→·QF 1→＝0，且△PF 2Q 的面积为4a 2，则C 的离心率是()A ．3B ．5C ．2D ．3答案B解析如图，若P 在第一象限，因为PF 1→·QF 1→＝0，所以PF 1⊥QF 1，由图形的对称性，知四边形PF 1QF 2为矩形，因为△PF 2Q 的面积为4a 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝8a 2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，在Rt △PF 1F 2中，(4a )2＋(2a )2＝(2c )2，解得e ＝ca＝5.故选B.8．(2023·安徽蚌埠模拟)已知双曲线C ：x 29－y 2＝1，点F 1是C 的左焦点，若点P 为C 右支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d ＋|PF 1|的最小值为()A ．6B ．7C ．8D ．9答案B解析过P 作PH 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H ，则|PH |＝d ，连接P 与双曲线的另一个焦点F 2，如图所示．由双曲线的定义可知，d ＋|PF 1|＝|PH |＋|PF 2|＋2a ，又双曲线方程为x 29－y 2＝1，故a ＝3，b ＝1，c ＝10，所以点F 2的坐标为(10，0)，双曲线的一条渐近线为y ＝13x ，故点F 2到渐近线的距离为103103＝1，故|PH |＋|PF 2|＋2a ≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，P 为C 上一点，则()A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝3x C ．|PF 1|－|PF 2|＝2D ．双曲线C 的焦距为4答案ABD解析由双曲线方程，知b＝3，离心率为e＝ca＝a2＋3a＝2，解得a＝1，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1，实半轴长为1，实轴长为2a＝2，A正确；因为可求得双曲线的渐近线方程为y＝±3x，故双曲线的一条渐近线方程为y＝3x，B正确；由于P可能在C的不同分支上，则有||PF1|－|PF2||＝2，C错误；焦距为2c＝2a2＋b2＝4，D正确．故选ABD.10．已知椭圆C1：x216＋y29＝1与双曲线C2：x216－k＋y29－k＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．焦距相等D．离心率不相等答案CD解析由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝216－9＝27，离心率为e1＝c1a1＝74，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝216－k，虚轴长为2b2＝2k－9，焦距为2c2＝216－k＋k－9＝27，离心率为e2＝c2a2＝716－k.故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等．故选CD.三、填空题11．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________．答案－3解析对于双曲线y2＋x2m＝1，m<0，即双曲线的标准方程为y2－x2－m＝1，则a＝1，b＝－m，又双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，所以ab＝33，即1－m＝33，解得m＝－3.12．(2024·山东潍坊摸底)已知双曲线C的焦点分别为F1，F2，虚轴为B1B2.若四边形F1B1F2B2的一个内角为120°，则C的离心率为________．答案6 2解析因为|F1F2|＝2c，|B1B2|＝2b，c>b，由双曲线的对称性可得四边形F1B1F2B2为菱形，又∠F1B1F2＝120°，所以|F1O|＝3|B1O|，即c＝3b，可得c2＝3b2＝3(c2－a2)，整理得c2a2＝32，即C 的离心率e ＝c a ＝62.13．(2024·福建厦门质检)已知双曲线C ：x 29－y 27＝1，F 1，F 2是其左、右焦点．圆E ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则|PQ |＋|PF 1|的最小值是________．答案5＋25解析由题设知，F 1(－4，0)，F 2(4，0)，E (0，2)，圆E 的半径r ＝1.由点P 为双曲线C 右支上的动点，知|PF 1|＝|PF 2|＋6，∴|PQ |＋|PF 1|＝|PQ |＋|PF 2|＋6，∴(|PQ |＋|PF 1|)min ＝(|PQ |＋|PF 2|)min ＋6＝|F 2E |－r ＋6＝25－1＋6＝5＋25.14．(2023·T8联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y ＝b a x 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO ＝π6，则双曲线的离心率为________．答案213解析设∠POF 2＝α，则tan α＝b a ，又F 2P 垂直于渐近线y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|PF 2|＝|bc |a 2＋b 2＝b ，而tan α＝|PF 2||OP |＝b a ，∴|OP |＝a ，∴sin α＝b c ，cos α＝a c ，在△OF 1P 中，∠F 1PO ＝π6由正弦定理得a＝csin π6，∴a b c ·32－a c ·12＝2c ，∴a ＝3b －a ，∴2a ＝3b ，∴a ＝32b ，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a2＝213.四、解答题15．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝5，且过点M (－2，23)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点P (3，25)的双曲线的标准方程．解(1)因为离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2＝5，所以b 2＝4a 2，又因为点M (－2，23)在双曲线C 上，所以4a 2－12b2＝1，联立上述方程，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1.(2)设所求双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ≠0)，因为所求双曲线经过点P (3，25)，则3－204＝λ，即λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 2－y 24＝－2，其标准方程为y 28－x 22＝1.16．已知双曲线x 212－y 28＝1.(1)求证：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值；(2)求直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长．解令x 212－y 28＝0，则双曲线的渐近线方程为y ＝±63x .(1)证明：设点P (x ，y )为双曲线上任意一点，且点P 到渐近线6x ＋3y ＝0与6x －3y ＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝|6x ＋3y |15·|6x －3y |15＝|6x 2－9y 2|15＝|2x 2－3y 2|5＝＝245.即双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值．(2)＝63x ，x －y ＋1＝0，＝－6＋610，＝－1＋65.＝－63，x －y ＋1＝0，＝6－610，＝－1＋65.所以直线2x －y ＋1＝0－6＋610，所以直线2x －y ＋1＝0被两条渐近线截得的线段长为＝＝305.17．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(32，4)；③离心率e ＝53这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P 在双曲线上，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝8，求|PF 2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)因为双曲线与椭圆x 249＋y 224＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝49－24＝5.选条件①：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件②：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由双曲线过点(32，4)，得18a 2－16b 2＝1，又a 2＝25－b 2，解得b 2＝16，所以a 2＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.选条件③：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由离心率e ＝53，得5a ＝53，解得a ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.(2)因为|PF 1|＝8，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝2或|PF 2|＝14.18．(多选)(2023·山西太原一模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF 1⊥AB ，则下列结论正确的是()A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足|PF 2|＝5的点P 有3个C ．|AF 1|＝2＋14D ．△ABF 1内切圆的半径为14－2答案ACD解析双曲线C ：x 24－y 25＝1中，实半轴长a ＝2，虚半轴长b ＝5，半焦距c ＝3，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±52x ，A 正确；对于B ，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝54x 20－5，|PF 2|＝（x 0－3）2＋y 20＝94x 20－6x 0＋4＝|32x 0－2|＝5，解得x 0＝－2或x 0＝143，当x 0＝－2时，P (－2，0)，当x 0＝143时，y 0有两个值，即符合条件的点P 有3个，B 错误；对于C ，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝4，而|F 1F 2|＝6，且AF 1⊥AB ，则|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝36，即|AF 1|＋|AF 2|＝2（|AF 1|2＋|AF 2|2）－（|AF 1|－|AF 2|）2＝214，因此|AF 1|＝2＋14，C 正确；对于D ，由双曲线的定义知|BF 1|－|BF 2|＝4，因为AF 1⊥AB ，所以△ABF 1内切圆的半径r ＝|AF 1|＋|AB |－|BF 1|2＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|－|BF 1|2＝214－42＝14－2，D 正确．故选ACD.19．(多选)(2023·河北石家庄模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是()A ．若a ＝3，b ＝2，则C 的两条渐近线方程是y ＝±32xB ．若点P 的坐标为(2，42)，则C 的离心率大于3C ．若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积等于b 2D ．若C 为等轴双曲线，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝35答案BC解析当a ＝3，b ＝2时，双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a ＝±23，A 错误；因为点P (2，42)在C 上，则4a 2－32b 2＝1，得b 2a 2＝b 248>8，所以e ＝1＋b 2a2>3，B 正确；因为|PF 1|－|PF 2|＝2a ，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，即4a 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，得|PF 1|·|PF 2|＝2(c 2－a 2)＝2b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2，C 正确；若C 为等轴双曲线，则a ＝b ，从而|F 1F 2|＝2c ＝22a .若|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16a 2＋4a 2－8a 22×4a ×2a ＝34，D错误．故选BC.20．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线的右支上一点．(1)求|PF 1|的最小值；(2)若右支上存在点P 满足|PF 1|＝4|PF 2|，求双曲线的离心率的取值范围．解(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P (x ，y )(x ≥a )，则|PF 1|＝（x ＋c ）2＋y 2＝（x ＋c ）2＋b 2a 2x 2－b 2＝c 2a 2x 2＋2cx ＋a 2＝＝|c a x ＋a |＝c a x ＋a ≥ca ·a ＋a ＝a ＋c .当P 在右顶点时，|PF 1|最小，所以|PF 1|的最小值为a ＋c .(2)设∠F 1PF 2＝θ，θ∈(0，π]．依题意，1|－|PF 2|＝2a，1|＝4|PF 2|，1|＝8a 3，2|＝2a 3.由余弦定理，得cos θ2×8a 3×2a 3＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2，所以－1≤178－98e 2＜1，解得1<e 2≤259，又e >1，所以1<e ≤53.。
专题8.7 双曲线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√【解析】 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线. 【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________. 【答案】 x 28－y 28＝1【解析】 设双曲线方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 28＝1.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】 6【解析】 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6.【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)【答案】 B【解析】 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.【答案】 5【解析】 由题意可得3a ＝35，所以a ＝5.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【答案】 4【解析】 由题意可得，a 2＋4a 2＝⎝⎛⎭⎫522，即a 2＝16，又a >0，所以a ＝4.【考点聚焦】考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________. 【答案】 (1)C(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 【解析】 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8B.10C.4＋37D.3＋317【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14.又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154＝15a 2.(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为 ________________.【答案】 (1)C (2)y 243－x 23＝1【解析】 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎨⎧2a 2－3b 2＝1，b a＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ，可设双曲线方程为x 29－y 24＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－13，故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x【答案】 A【解析】 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .法二 由e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x . 角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ C.(1，2)D.(2，＋∞)【答案】 (1)C (2)A【解析】 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3.(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【答案】 A【解析】 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【答案】 (1)B (2)(0，2)【解析】 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |a 2＋b 2＝1，得3a ＝4b ，所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2＝2516，又e >1，故e ＝54.(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2). 【反思与感悟】1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±ab x .【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x【答案】 B【解析】 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.62【答案】 A【解析】 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝⎛⎭⎫cos π4－1＝ 2.3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D.2 2【答案】 D【解析】 法一 由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1 B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝1 【答案】 C【解析】 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝bax ，可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x【答案】 D【解析】 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66x . 二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.【答案】 x 25－y 220＝1 【解析】 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝5，b 2＝20，所以双曲线方程为x 25－y 220＝1. 7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.【答案】 3215【解析】 a 2＝9，b 2＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】 3【解析】 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2＝20a 2－8a 2，c 2＝3a 2，可得c ＝3a ，所以e＝c a ＝ 3. 三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.【答案】见解析【解析】(1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6，即x 26－y 26＝1. (2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23， k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【答案】见解析【解析】(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.又OM →＋ON →＝tOD →，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)2－4×84>0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x【答案】 D【解析】 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6.由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]【答案】 D【解析】 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2·sin 2β， ∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎡⎦⎤12，32， ∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]. 又e >1，∴e ∈[2，3＋1].13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.【答案】 3－1 2【解析】 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2椭＝4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐近线过点A ⎝⎛⎭⎫c 2，3c 2，∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2m 2＝2. 14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2＜1， 故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 【答案】 0 3【解析】 由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ，即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0. 不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1， 则|PF 1|·|PF 2|＝3.。
第06讲 双曲线 (精讲)(原卷版)-2023年高考数学一轮复习
第06讲 双曲线 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：双曲线的定义及其应用 题型二：双曲线的标准方程 题型三：双曲线的简单几何性质角度1：渐近线 角度2：离心率题型四：与双曲线有关的最值和范围问题第四部分：高考真题感悟知识点一：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<. 3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M 的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.(1)若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; (2)若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M的轨迹是靠近定点1F 的那一支.知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程22221x y a b -=（0,0a b >>） 22221y x a b -=（0,0a b >>）图形性质范围 x a ≥或x a ≤-y a ≤-或y a ≥对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标1(,0)A a -，2(,0)A a 1(0,)A a -,2(0,)A a渐近线b y x a =±a y x b=±离心率ce a=，(1,)e ∈+∞， ,,a b c 间的关系222c a b =+12222=-by a x （0a >，0b >）当a b =时称双曲线为等轴双曲线 ①a b =； ②离心率2=e ； ③两渐近线互相垂直，分别为y x =±；④等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠；知识点四：双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=2、若双曲线方程为（0a >，0b >）⇒渐近线方程：22220y x a b-= a y x b =± 3、若渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为2222(0)x y m nλλ-=≠，4、若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则双曲线的方程可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线22221x y a b -=5过(443)A ，，则双曲线方程为（ ） A ．2214y x -=B ．221624x y -=C ．221848x y -=D ．221416x y -=2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））双曲线的方程为 2214y x -=， 则该双曲线的离心率为（ ） A 5B 25C 5D 53．（多选）（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ） A ．若C 为椭圆，则13t << B ．若C 为双曲线，则3t >或1t <C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<4．（2022·贵州遵义·高二期末（理））过点()2,1A 且与双曲线：2214y x -=的渐近线垂直的直线方程为__________．5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．题型一：双曲线的定义及其应用典型例题例题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知双曲线()222:1027x y C a a -=>的左右焦点分别为1F ，2F ，其一条渐近线倾斜角为3π，若点P 在双曲线上，且17PF =，则2PF =______．例题2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设P 为椭圆22:18x M y +=和双曲线22:16y N x -=的一个公共点，且P 在第一象限，F 是M的左焦点，则PF =（ ）A ．122+B ．22C ．12D ．221例题3．（2022·全国·高二专题练习）双曲线22221x y a b -=的左､右焦点分别是1F ､2F ，过2F 的弦AB 与其右支交于A ､B 两点，AB m =，则1ABF 的周长为（ ） A ．4aB ．4a m -C ．42a m +D ．4a m +例题4．（2022·江苏·高二）已知1(4,0)F -､2(4,0)F 是双曲线()22:104x y C m m -=>的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且1260F MF ∠=︒，求12F MF △的面积.同类题型归类练1．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（ ） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，()0,4A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．123．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线C ：2221(0)12x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，30x y +=，若点M 在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =________.4．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F .双曲线C 上有一点P ，若17PF =，则2PF =______.题型二：双曲线的标准方程典型例题例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)一个顶点的坐标为()0,2，一个焦点的坐标为(0,5； (3)焦点在y 轴上，一条渐近线方程为34y x =，实轴长为12； (4)渐近线方程为34y x ，焦点坐标为()52,0-和()52,0．例题2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)3a =，4c =，焦点在x 轴上； (2)焦点为(0,6)-､(0,6)，经过点(5,6)A -.同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的焦点与椭圆22143x y +=的左、右顶点相同，且经过椭圆的右焦点，求该双曲线的方程.2．（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为()2,0，()2,0-，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2； (2)焦点在y 轴上，焦距为10，且经过点()0,4； (3)经过点(3，()5,2-.题型三：双曲线的简单几何性质角度1：渐近线 典型例题例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（文））设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长为2，焦距为23 ） A ．2y x =B ．2y x =±C ．2y = D ．12y x =±例题2．（2022·天津市第一中学滨海学校高二开学考试）双曲线22124x y λλ-=--的离心率3e ______.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线22:14x y E m m -=+23曲线E 的两条渐近线的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．6π或3π D ．3π或23π 2．（2022·北京·高三专题练习）已知双曲线222:1x C y a -=的一个焦点为)5,0，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ） A ．12y x =B ．2y x =C ．6y xD ．6y 3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角为______．角度2：离心率 典型例题例题1．（2022·江苏南通·高二期中）若m 是1和4的等比中项，则曲线22:1yC x m+=的离心率为（ ） A 23B 35C 2D 3例题2．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点，若1F PQ 为等边三角形，则C 的离心率为（ ）A 31+ B 3C 31 D 31例题3．（2022·山东泰安·三模）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点B 为双曲线虚轴的上端点，A 为双曲线的左顶点，若2ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C 5D 15+ 例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22214x y b -=（0b >），以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是________________．同类题型归类练1．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，一条渐近线被圆222()x c y c -+=截得的弦长为4b ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B 7C 5D 72．（2022·河南商丘·三模（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点()1,1--，且C 2，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(2B ．(3C ．)2,+∞D ．()3,+∞3．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 3l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=，则E 的离心率为（ ） A ．33 B ．2 C ．13D ．23+4．（2022·四川雅安·三模（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．3]C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞5．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于M ，N 两点，且110NF MF ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________.题型四：与双曲线有关的最值和范围问题典型例题例题1．（2022·全国·模拟预测（文））已知点F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ．若OAF ∆（点O 为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率3,5e ⎡∈⎣，则2a 的取值范围为（ ）A ．2,22⎡⎣B ．4,42⎡⎤⎣⎦C ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦例题2．（2022·全国·高二专题练习）直线(0)y kx k =>与双曲线22126x y-=没有交点，则k的取值范围为_____.例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b-=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．同类题型归类练1．（2022·安徽滁州·高二期末）已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b -=>>：与双曲线2213y x -=有相同的渐近线，过双曲线C 右焦点F 的直线l 与双曲线C 相交于M ，N 两点，弦MN 的中点为()6,6G ，点P 是双曲线C 右支上的动点，点A 是以点F 为圆心，1为半径的圆上的动点，点B 是圆22650x y y +-+=上的动点，则PA PB +的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．22．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______．3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F 是椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：22221x y m n -=（0m >，0n >）与椭圆1C 共焦点，若直线AF与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e +的最小值为______． 4．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>的一条渐近线方程为520+=x y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________.1．（2022·天津·高考真题）1F 、2F 是双曲线()2210,0x ya b a b-=>>的两个焦点，抛物线245y x =的准线l 过双曲线的焦点1F ，准线与渐近线交于点A ，124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22116x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（多选）（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ） A 5B ．32C 13D 17 3．（2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m -=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y x =，则m =__________．6．（2022·全国·高考真题（文））记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．。
专题08 椭圆、双曲线与抛物线的几何性质-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)
∴|
OA
|
c 2
，
P
c 2
,
c 2
，
又 P 点在圆 x2 y2 a2 上， c2 c2 a2 ， 44
即
c2 2
a2 ,e2
c2 a2
2 ．e
2，
故选 A．
【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避 免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习， 才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入 圆的方程得到 c 与 a 的关系，可求双曲线的离心率．
一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余
弦定理．以椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b
0) 上一点 P(x0 , y0 )
( y0
0) 和焦点 F1 (－c，0)，F2 (c，0)为顶点的
△PF1F2 中，若 F1PF2 ，注意以下公式的灵活运用：
等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e 的取值
范围）．
3．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同 时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、b、c 的关系易错易混.
【母题来源四】【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 x2 y2 1 的一个焦点， 3p p
2020年高考文科数学一轮总复习：双曲线
2020年高考文科数学一轮总复习：双曲线第6讲 双曲线1．双曲线的定义x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R常用知识拓展1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.5．等轴双曲线的标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．其离心率为2，两条渐近线的方程为y ＝±x .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (2)椭圆的离心率e ∈(0，1)，双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)．( ) (3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，离心率为5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A.2 B ．2 C.322D ．22解析：选D.法一：由离心率e ＝ca ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D.法二：离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.故选D. 经过点A (5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 解析：设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，把点A (5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x 216－y 216＝1. 答案：x 216－y 216＝1若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：因为方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，所以(2＋m )(m ＋1)>0，即m >－1或m <－2.答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞)双曲线的定义(典例迁移)设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．103B ．83C ．85D ．165【解析】 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝8 5.【答案】 C[迁移探究] (变条件)若本例中“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4”变为“PF 1⊥PF 2”，其他条件不变，如何求解．解：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝36，m 2＋n 2－2mn ＝4，解得mn ＝16，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝8.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D.由双曲线的标准方程可得：a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.2．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________．解析：由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.答案：34双曲线的标准方程(师生共研)(1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1 B. x 28－y 2＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) (2)(一题多解)若双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点(4，3)，则双曲线的方程为________．【解析】 (1)设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ，|MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3，0)和C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a ＝2，a ＝1，c ＝3，则b 2＝c 2－a 2＝8，所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，3)，所以λ＝16－4×(3)2＝4， 所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：因为渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，所以点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．所以双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 (1)C (2)x 24－y 2＝1求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c 2＝a 2＋b 2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . (2)待定系数法 ①一般步骤②常用设法(i)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(iii)若双曲线过两个已知点，则双曲线的方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)或mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．1．双曲线C 的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 220－y 24＝1 B.x 220－y 216＝1 C.y 220－x 216＝1 D.y 220－x 24＝1 解析：选B.2a ＝|（－5＋6）2＋22－ |（－5－6）2＋22 ＝4 5.所以a ＝25，又c ＝6， 所以b 2＝c 2－a 2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为x 220－y 216＝1.故选B.2．(一题多解)(2019·山西省八校第一次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：选A.法一：易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得ba ＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.法二：易知双曲线的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0.可设双曲线的方程为x 2－y 24＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，因为双曲线的焦距为4 5.所以c ＝25，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 双曲线的渐近线问题(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 【解析】 因为双曲线的离心率为3，所以ca ＝3，即c ＝3a .又c 2＝a 2＋b 2，所以(3a )2＝a 2＋b 2，化简得2a 2＝b 2，所以b a ＝ 2.因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以y ＝±2x .故选A.【答案】 A角度二 双曲线的离心率问题(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( )A.5 B ．2 C.3D. 2【解析】 (1)依题意得，双曲线的离心率e ＝1＋1a2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，选C.(2)法一：不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca＝ 3.法二：如图，过点F 1向OP 的反向延长线作垂线，垂足为P ′，连接P ′F 2，由题意可知，四边形PF 1P ′F 2为平行四边形，且△PP ′F 2是直角三角形．因为|F 2P |＝b ，|F 2O |＝c ， 所以|OP |＝a .又|PF 1|＝6a ＝|F 2P ′|，|PP ′|＝2a ， 所以|F 2P |＝2a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝3a ，所以e ＝ca ＝ 3.故选C.【答案】 (1)C (2)C角度三 与双曲线有关的范围问题已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 【解析】 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以 F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以 MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为 MF 1→·MF 2→＜0，所以 (－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， 所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 【答案】 A(1)求双曲线的渐近线的方法双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.(2)与双曲线有关的范围问题的解题思路①若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解；②若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．1．已知双曲线x 2a 2－y 212＝1的离心率为2，则该双曲线的实轴长为________．解析：由e ＝ca ＝2，得c ＝2a .由a 2＋b 2＝c 2，b 2＝12，得a 2＋12＝4a 2，所以a 2＝4，即a＝2，故实轴长为2a ＝4.答案：42．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝2.答案：2方程思想求圆锥曲线的离心率(2019·南昌市摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．【解析】 不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a ，0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2.【答案】 2(1)本例利用方程思想，将已知条件转化为关于e 的方程，然后求出离心率e .(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于a ，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于e 的方程或不等式求解．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，1)C ．(0，3－1)D ．(3－1，1)解析：选B.由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a .因为△ABF 2是锐角三角形，所以∠AF 2F 1＜45°，所以tan ∠AF 2F 1＜1，即b 2a2c ＜1.整理，得b 2＜2ac ，所以a 2－c 2＜2ac .两边同时除以a 2并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)．又因为0＜e ＜1，所以椭圆的离心率e 的取值范围为(2－1，1)．[基础题组练]1．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.由题意得，ba ＝2⇒b ＝2a ，C 2的焦距2c ＝45⇒c ＝a 2＋b 2＝25⇒b ＝4，故选B.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线方程为x 24－y 2＝1.3．(2019·辽宁抚顺模拟)当双曲线M ：x 2m 2－y 22m ＋6＝1(－2≤m <0)的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：选C.由题意可得c 2＝m 2＋2m ＋6＝(m ＋1)2＋5，当m ＝－1时，c 2取得最小值，即焦距2c 取得最小值，此时双曲线M 的方程为x 2－y 24＝1，所以渐近线方程为y ＝±2x .故选C.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选A.由双曲线的性质可得|AF |＝b 2a ，即以AB 为直径的圆的半径为b 2a ，而右顶点与左焦点的距离为a ＋c ，由题意可知b 2a >a ＋c ，整理得c 2－2a 2－ac >0，两边同除以a 2，则e 2－e －2>0，解得e >2或e <－1，又双曲线的离心率大于1，所以e >2.5．已知双曲线的焦距为6，其上一点P 到两焦点的距离之差为－4，则双曲线的标准方程为________．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝6，2a ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.又c 2＝a 2＋b 2，故b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 21－x 2b 21＝1.同理可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，c 1＝3，所以b 21＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝1.答案：x 24－y 25＝1或y 24－x 25＝16．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.答案：537．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， 所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.8．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4，0)，实轴长为4 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围． 解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得：a ＝23，c ＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 212－y 24＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋22与x 212－y 24＝1联立，得(1－3k 2)x 2－122kx －36＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－122k ）2＋4×（1－3k 2）×36>0，x A＋x B＝122k 1－3k2<0，x A x B＝－361－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1[综合题组练]1．(2018·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1 B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1 解析：选A.由题意不妨设A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0，则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2，故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2c ＝2b ＝6，故b ＝3.又ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，得a 2＝3.所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．23D ．4解析：选B.法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y ＝±13x . 设两渐近线夹角为2α， 则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.3．(综合型)已知双曲线x 23－y 24＝1，过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△AOB 是锐角三角形(O 为坐标原点)，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得A ⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，B ⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1，所以OA →＝⎝⎛⎭⎫m ，2m 23－1，OB →＝⎝⎛⎭⎫m ，－2m 23－1.因为△AOB 是锐角三角形，所以∠AOB 是锐角，即OA →与OB →的夹角为锐角，所以OA →·OB →>0，即m 2－4m 23＋4>0，解得－23<m <2 3.由过点M (m ，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A ，B 两点可知m <－3或m > 3.故实数m 的取值范围是(－23，－3)∪(3，23)．答案：(－23，－3)∪(3，23)4．(2019·河北名校名师俱乐部二调)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，所以|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，所以|BA |＝|BF 1|，所以△BAF 1为等腰三角形，因为∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，所以△BAF 1为等腰直角三角形．所以|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝2 2.所以S △F 1AB ＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.答案：45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，所以双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33（x －3），得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635. 6．(综合型)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，因为一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0.所以由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又因为c 2＝a 2＋b 2， 所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3. 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. 所以⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
高考数学一轮复习第8章解析几何第6讲双曲线
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内到点F1(0,4,F2(0,－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2方程 － ＝1(mn＞0表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3双曲线方程 － ＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0的渐近线方程是 － ＝0,即 ± ＝0．( √ )
(4等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 ．( √ )
(5若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0的离心率分别是e1,e2,则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( A )
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线．
(2设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|＝4＋|PF1|,所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知,当点A,P,F1共线时,满足|PF1|＋|PA|最小,|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5,故所求的最小值为9．
(4过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5双曲线的离心率公式可表示为e＝ ．
(6双曲线的形状与e的关系：|k|＝ ＝ ＝ ,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．
(7 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．
2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第四节双曲线讲义含解析
第四节双曲线突破点一双曲线的定义和标准方程．双曲线的定义等于常数距离的差的绝对值(平面内与两个定点，的小于的点的轨迹叫做双曲线．这两)焦点个定点叫做双曲线的焦距．，两焦点间的距离叫做双曲线的集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且＞，＞.()当时，点的轨迹是双曲线；＜当()＝时，点的轨迹是两条射线；当()＞时，点不存在．．标准方程()中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的标准方程为－＝(＞，＞)；()中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的标准方程为－＝(＞，＞)．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) ()平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )()在双曲线标准方程－＝中，＞，＞且≠.()()双曲线标准方程中，，的大小关系是＞.( )答案：()×()×()×二、填空题．已知为双曲线：－＝的左焦点，，为上的点．若的长等于虚轴长的倍，点()在线段上，则△的周长为．答案：．经过点(－)和(－，－)，且焦点在轴上的双曲线的标准方程是．答案：－＝．已知定点，且＝，动点满足－＝，则的最小值为．答案：考法一双曲线的定义及应用()在解决与双曲线的焦点有关的问题时，通常考虑利用双曲线的定义解题；()在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的“差的绝对值”，弄清是整个双曲线还是双曲线的某一支．[例] ()(·宁夏育才中学月考)设是双曲线－＝上一点，，分别是双曲线的左、右焦点，若＝，则等于( )．．．以上均不对．或()已知点在曲线：－＝上，点在曲线：(－)＋＝上，点在曲线：(＋)＋＝上，则－的最大值是( )．．．．[解析] ()根据双曲线的定义得－＝⇒＝或.又≥－＝，故＝，故选. ()由题意可知，的圆心分别是双曲线：－＝的左、右焦点，点在双曲线的左支上，则－＝.＝＋，＝－，所以－的最大值为(＋)－(－)＝－＋＝＋＝.故选.[答案] () ()[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面()判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．()在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合－＝，运用平方的方法，建立与·的联系．考法二双曲线的标准方程待定系数法求双曲线方程的种类型[例] (·天津高考)已知双曲线－＝(＞，＞)的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且＋＝，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝[解析] 法一：如图，不妨设在的上方，则，.又双曲线的一条渐近线为－＝，则＋＝＝＝＝，所以＝.又由＝＝，知＋＝，所以＝.所以双曲线的方程为－＝.法二：由＋＝，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以＝.因为双曲线－＝(＞，＞)的离心率为，所以＝，所以＝，所以＝，解得＝，所以双曲线的方程为－＝，故选.[答案][方法技巧]求双曲线方程的思路()如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在轴上或轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于，，的方程组，解出，，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．()当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为＋＝(＜)求解．虚轴长为，离心率＝的双曲线的两焦点为，，过作直线交双曲线的一支于，两点，且＝，则△的周长为( )．＋．．．＋解析：选∵＝，＝＝，∴＝，＝，∴＝＋，∴＝.由双曲线的定义知：－＝＝，①－＝，②①＋②得＋－(＋)＝，又＋＝＝，∴＋＝＋，则△的周长为＋，故选.设＞，则关于，的方程(－)＋＝－所表示的曲线是()．长轴在轴上的椭圆．长轴在轴上的椭圆．实轴在轴上的双曲线．实轴在轴上的双曲线解析：选∵＞，∴－＜，－＞，∴方程(－)＋＝－所表示的曲线是实轴在轴上的双曲线，故选.已知双曲线过点()，渐近线方程为＝±，则该双曲线的标准方程是( )－＝－＝．－＝－＝解析：选法一：当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的标准方程是－＝(＞，＞)，由题意得(\\(()－()＝，,()＝()，))解得(\\(＝，＝()，))所以该双曲线的标准方程为－＝；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的标准方程是－＝(＞，＞)，由题意得(\\(()－()＝，,()＝()，))无解．故该双曲线的标准方程为－＝，选.法二：当其中的一条渐近线方程＝中的＝时，＝＞，又点()在第一象限，所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程是－＝(＞，＞)，由题意得(\\(()－()＝，,()＝()，))解得(\\(＝，＝()，))所以该双曲线的标准方程为－＝，故选.法三：因为双曲线的渐近线方程为＝±，即＝±，所以可设双曲线的方程是－＝λ(λ≠)，将点()代入，得λ＝，所以该双曲线的标准方程为－＝，故选.突破点二双曲线的几何性质一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)()双曲线方程－＝λ(＞，＞，λ≠)的渐近线方程是－＝，即±＝.( )()等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．( )答案：()√()√二、填空题．双曲线－＝的渐近线方程为．答案：±＝．若双曲线－＝的一个焦点坐标是()，则＝.答案：．双曲线的渐近线方程为＝±，则离心率为．答案：或考法一渐近线问题[例] ()(·全国卷Ⅱ)双曲线－＝(＞，＞)的离心率为，则其渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±()(·郑州一中入学测试)已知抛物线＝与双曲线－＝(＞)的一个交点为，为抛物线的焦点，若＝，则该双曲线的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝[解析] ()∵＝＝＝，∴＋＝，∴＝.∴渐近线方程为＝±.()设点(，)，则有＝＋＝，所以＝，＝，由点(，)在双曲线－＝上，得－＝，即－＝，解得＝，所以双曲线－＝的渐近线方程为－＝，即±＝，选.[答案] () ()[方法技巧]求双曲线－＝(＞，＞)或－＝(＞，＞)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于，即令－＝，得＝±；或令－＝，得＝±.反之，已知渐近线方程为＝±，可设双曲线方程为－＝λ(＞，＞)．考法二离心率问题[例] ()(·全国卷Ⅲ)设，是双曲线：－＝(＞，＞)的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若＝，则的离心率为( )．()(·长春二测)已知双曲线－＝(＞，＞)的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且＝，则双曲线离心率的取值范围是( )．(][解析] ()不妨设一条渐近线的方程为＝，则到＝的距离＝＝.在△中，＝，所以＝，所以＝，又＝，所以在△与△中，根据余弦定理得∠＝＝－∠＝－，即＋－()＝，得＝，所以＝＝. ()由双曲线的定义可知－＝，又＝，所以＝，由双曲线上的点到焦点的最短距离为－，可得≥－，解得≤，即≤，又双曲线的离心率＞，故该双曲线离心率的取值范围为，故选.[答案] () ()[方法技巧]求双曲线离心率或其范围的方法()求，，的值，由＝＝＋直接求. ()列出含有，，的齐次方程(或不等式)，借助于＝－消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．已知双曲线－＝(＞)的一个焦点在直线＋＝上，则双曲线的渐近线方程为( )．＝±．＝±．＝±．＝±解析：选由于双曲线－＝(＞)的焦点在轴上，且在直线＋＝上，直线＋＝与轴的交点为()，所以＝，＋＝，则＝，则双曲线的方程为－＝，则双曲线的渐近线方程为＝±.故选.若＞，则双曲线－＝的离心率的取值范围是( )．(，)．(，＋∞)．()．(，)解析：选由题意得双曲线的离心率＝.即＝＝＋.∵＞，∴＜＜，∴＜＋＜，∴＜＜. (·全国卷Ⅲ)已知双曲线：－＝(＞，＞)的离心率为，则点()到的渐近线的距离为( )．．解析：选∵＝＝＝，∴＝.∴双曲线的渐近线方程为±＝.∴点()到的渐近线的距离＝＝.已知，是双曲线－＝(＞，＞)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段，为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )．(，＋∞)．()．(，)．(，＋∞)解析：选如图，不妨设(，)，(，－)，则过点与渐近线＝平行的直线为＝＋，联立得(\\(＝()＋，＝－()，))解得(\\(＝－()，, ＝()，))即.因为点在以线段为直径的圆＋＝内，故＋＜，化简得＜，即－＜，解得＜，又双曲线的离心率＝＞，所以双曲线离心率的取值范围是()．故选 .。
2020年高考复习数学-双曲线及几何性质
11.2 双曲线1、双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)3、巧设双曲线方程（1）与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t (t≠0)．（2）统一方程：过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1 (mn<0)．第十一章圆锥曲线（3）与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=．（4）等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .（5）与双曲线12222=-b y a x 有相同焦点的双曲线方程1--2222=+k b y k a x )(22a k b <<-. （6）与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 有相同焦点的双曲线方程1--2222=+kb y k a x )(22a k b <<. 4、其他性质：（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为b.（2）经过双曲线的焦点1F 或2F 的弦AB ，称为焦点弦。
2025版新教材高考数学全程一轮总复习第八章解析几何第七节双曲线及其性质学生用书
第七节双曲线及其性质【课标标准】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.驾驭双曲线的简洁几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简洁应用．必备学问·夯实双基学问梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．2．双曲线的标准方程和简洁几何性质标准方程＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形性质范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________顶点________________________渐近线________________________离心率e＝∈____________实轴与虚轴实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________a，b，c的关系c2＝________(c>a>0，c>b>0)[常用结论](1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.(3)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.(4)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的肯定值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于.( )(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.( )(4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是( )A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．关键实力·题型突破题型一双曲线的定义及应用例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程( )A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x≥1)D．－x2＝1(2)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为3，焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上．若△AF1F2的周长为14a，则△AF1F2的面积是( ) A．a2B．15a2C．2a2D．2a2[听课记录]题后师说(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的肯定值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要留意三点：①距离之差的肯定值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．巩固训练1(1)一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆P的轨迹方程是( )A．＝1(x≥2)B．＝1(x≤2)C．＝1 D．＝1(2)[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )A．14 B．7C．15 D．5题型二双曲线的标准方程例2 (1)双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(2)[2024·山东济南历城二中模拟]由伦敦闻名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完备结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为3x＋y＝0，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．－x2＝1 D．＝1(3)[2024·辽宁沈阳模拟]焦点在x轴上的双曲线C与双曲线＝1有共同的渐近线，且C的焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的方程为________．(4)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________________．[听课记录]题后师说求双曲线方程的两种方法巩固训练2(1)[2024·广东佛山模拟]已知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的肯定值等于6，则双曲线的标准方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(2)[2024·河北保定期末]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：2x－y＝2垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(3)过点(2)且渐近线与双曲线C：y2－＝1的渐近线相同的双曲线方程为________．题型三双曲线的简洁几何性质角度一渐近线例3 (1)[2024·山东日照模拟]下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线相互垂直的是( )A．y2－x2＝4 B．－y2＝1C．－x2＝1 D．x2－y2＝1(2)[2024·河南洛阳模拟]已知双曲线C：－x2＝1(m>0)的离心率e＝，则双曲线C 的渐近线方程为( )A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x[听课记录]题后师说求双曲线渐近线方程的两种常用方法巩固训练3(1)[2024·广东汕头模拟]双曲线＝1的一条渐近线斜率为，则m＝( )A．2 B．C．3 D．(2)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦点到一条渐近线的距离为a，则双曲线C的渐近线方程是________．角度二离心率例 4 (1)[2024·广东汕尾期末]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．2(2)[2024·安徽巢湖模拟]已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且2|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，∠F1PF2＝90°，则双曲线C的离心率是( )A．B．C．D．(3)[2024·河北保定模拟]已知双曲线＝1的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝( ) A． B．3＋C．D．9＋(4)[2024·江西临川一中模拟]已知双曲线＝1(a>0，b>0)左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线右支上存在点P使得＝，则离心率的取值范围为( )A．[＋1，＋∞) B．(1，＋1]C．(1，＋1) D．(＋1，＋∞)[听课记录]题后师说求双曲线离心率(或其范围)的两种常用方法巩固训练4(1)[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为( )A．2 B．C．3 D．(2)[2024·河南商丘模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)经过点(－1，－1)，且C的实轴长大于，则C的离心率的取值范围为( )A．(1，) B．(1，)C．(，＋∞) D．(，＋∞)(3)[2024·山东济南模拟]已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则双曲线的离心率为________________．真题展台1.[2024·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．2．[2024·北京卷]已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．3．[2024·全国乙卷] 双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且＝，则C的离心率为( ) A． B． C． D．4．[2024·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A． B． C． D．5．[2024·全国乙卷]已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C 的焦距为__________．6．[2024·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.7．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线第七节双曲线及其性质必备学问·夯实双基学问梳理1．差的肯定值焦点焦距2．x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)y＝±x y＝±x(1，＋∞)2a2b a b a2＋b2夯实双基1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.答案：C3．解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，解得λ＝15，所以所求双曲线的方程为＝1.答案：＝14．解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，∴a＝1，b＝4.则||PF1|－|PF2||＝2，可设|PF2|＝4，则|PF1|＝2或|PF1|＝6，∵c＝>4，∴|PF1|>2，∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.答案：65．解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，当＝时，e＝＝＝2；当＝时，e＝＝＝.答案：2或关键实力·题型突破例1 解析：(1)如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.依据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.又依据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.(2)不妨令A在双曲线右支，依题意可得|F1A|＋|F2A|＋2c＝14a，|F1A|－|F2A|＝2a，c＝3a，解得|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，又|F1F2|＝2c＝6a，由余弦定理|F1F2|2＝，即36a2＝25a2＋9a2－2×5a×3a cos ∠F1PF2，解得cos ∠F1PF2＝－，所以sin ∠F1PF2＝＝，所以△AF1F2的面积S＝×3a×5a×＝2a2.故选C.答案：(1)A (2)C巩固训练1 解析：(1)设动圆P的半径为r，由题意知|PM|＝r，圆N的圆心坐标为(4，0)，半径为4.动圆P与圆N相切有两种状况，即内切或外切，所以|PN|＝r±4，所以||PN|－|PM||＝4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，所以2a＝4，2c＝8，所以b＝2，所以动圆P的轨迹方程是＝1.故选D.(2)设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a ＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos ∠F1PF2＝＝－，故sin ∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.故选C.答案：(1)D (2)C例2 解析：(1)2a＝||＝4，所以a＝2，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为＝1.故选B.(2)因为双曲线＝1的渐近线方程为±ax＋by＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋y＝0，所以－＝－，即a＝3b，又下焦点到下顶点的距离为1，所以c－a＝1，结合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7.故选A.(3)由题意可设双曲线C的方程为：＝λ，即＝1；则a2＝4λ，b2＝9λ，∵双曲线焦点到渐近线距离为b，∴3＝，解得：λ＝2，∴双曲线C的方程为＝1.(4)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的方程为＝1.答案：(1)B (2)A (3)＝1 (4)＝1巩固训练2 解析：(1)由题意，c＝5，2a＝6⇒a＝3，则b＝＝4，结合条件可知，双曲线的标准方程为＝1.故选C.(2)依据题意得：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，因为其一条渐近线与直线l：2x－y＝2垂直，所以－×2＝－1，解得＝，即a＝2b，又右焦点到渐近线的距离为2，则＝2，解得b＝2，则a＝4，所以双曲线的方程为＝1.故选A.(3)依据题意，双曲线C：y2－＝1渐近线方程为y＝±x，所以要求的双曲线方程为y2－＝λ(λ≠0)，又过点(2)，代入方程可得λ＝－3，因此双曲线方程为＝1.答案：(1)C (2)A (3)＝1例3 解析：(1)由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项BD不满意题意；选项A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线相互垂直，所以选项A满意题意；选项C中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不相互垂直，所以选项C不满意题意．故选A.(2)由题意，双曲线C：－x2＝1(m>0)，可得a2＝m，b2＝1，因为双曲线C的离心率e＝，可得＝＝＝，可得m＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练3 解析：(1)由题意可知m>0，所以双曲线＝1(m>0)的渐近线方程为y＝± x.∵双曲线＝1的一条渐近线斜率为，∴＝，解得m＝2.故选A.(2)设双曲线的半焦距为c，则焦点坐标为(0，±c)，而双曲线的渐近线方程为：ax±by＝0，故焦点到渐近线的距离为＝b，故b＝a，故渐近线方程为x±y＝0.答案：(1)A (2)x±y＝0例4 解析：(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，＝，b＝a，离心率e＝＝＝＝2.故选D.(2)由题意可知，2|PF1|＋|PF2|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a，∴，又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即()2＋()2＝(2c)2，∴c2－2ac＋5a2＝0，即(c－a)2＝0，c＝a，∴e＝.故选C.(3)由题意，当POQF为正方形时，点P的坐标为()，代入＝1可得＝1，整理得b2c2－a2c2＝4a2b2，即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋.故选B.(4)由题意可得点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，因为＝，所以＝，所以|PF1|＝·|PF2|，因为点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由双曲线的性质可得|PF2|>c－a，所以>c－a，化简得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－＋1<e<＋1，因为e>1，所以1<e<＋1，即双曲线离心率的取值范围为.故选C.答案：(1)D (2)C (3)B (4)C巩固训练4 解析：(1)由△BA1A2是一个等边三角形，可得b＝a，即b2＝3a2，则有c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，则双曲线C的离心率e＝＝2.故选A.(2)由题意可知，＝1，所以b2－a2＝a2b2，又b2＝c2－a2，所以c2－2a2＝a2(c2－a2)，所以a2＝＝>()2，解得e>.故选D.(3)不妨假设点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，故|PF1|＝2|PF2|，故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，而tan ∠PF1F2＝＝＝，故e＝＝.答案：(1)A (2)D (3)真题展台——知道高考考什么？1．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.答案：2．解析：双曲线y2＋＝1的标准方程为＝1，其渐近线方程为±＝0，即y ＝±，∴＝，∴m＝－3.答案：－33．解析：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，所以OG⊥NF1，因为cos ∠F1NF2＝>0，所以N在双曲线的右支，所以|OG|＝a，|OF1|＝c，|GF1|＝b，设∠F1NF2＝α，∠F2F1N＝β，由cos ∠F1NF2＝，即cos α＝，则sin α＝，sin β＝，cos β＝，在△F2F1N中，sin ∠F1F2N＝sin (π－α－β)＝sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，由正弦定理得＝＝＝，所以|NF1|＝sin ∠F1F2N＝＝，|NF2|＝sin β＝＝又|NF1|－|NF2|＝＝＝2a，所以2b＝3a，即＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.故选C.答案：C4．解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.故选A.答案：A5．解析：双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.答案：46．解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：y＝±x7．解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.答案：ACD。
2020大一轮高考总复习文数(北师大版)讲义：第9章 第07节 双曲线及其性质 Word版含答案.doc
第七节 双曲线及其性质1．双曲线的定义我们把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的__绝对值__等于常数(大于零且小于__|F 1F 2|__)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的__焦点__，两个焦点之间的距离叫作双曲线的__焦距__．2．双曲线的标准方程和几何性质提醒：1．辨明三个易误点(1)双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件，若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．(2)区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．(3)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． 2．求双曲线标准方程的两种方法 (1)定义法根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a ，b ，c ，即可求得方程．(2)待定系数法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若过两个已知点，则可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn ＜0)．3．双曲线几何性质的三个关注点(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是 x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )(6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(教材习题改编)双曲线y 2－x 2＝4的渐近线方程是( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A 由题意知y 24－x 24＝1，y ＝±x ．3．已知双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫53，＋∞ B ．(0,15) C ．⎝⎛⎭⎫0，53 D ．(15，＋∞)解析：选B 由双曲线方程y 25－x 2m ＝1，知e ＝5＋m 5＝1＋m5，所以1＜1＋m5＜2，解得：0＜m ＜15．4．(2016·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝__________；b ＝__________．解析：由2x ＋y ＝0得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2．答案：1 2双曲线的定义及应用 [明技法]双曲线定义的应用规律注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[提能力]【典例1】 (2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A ．【典例2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝126．答案：12 6 [刷好题]1．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．16 5解析：选C 依题意|F 1F 2|＝6，|PF 2|－|PF 1|＝2，因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8， 所以等腰三角形PF 1F 2的面积S ＝12×8×62－⎝⎛⎭⎫822＝85．2．(2018·孝感质检)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F ．|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)双曲线的标准方程 [明技法]求双曲线标准方程的一般方法待定系数法→设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a 、b 、c 的方程并求出a 、b 、c 的值，与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝±1，(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0，a ＞0，b ＞0)定义法→依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值 [提能力]【典例】 (1)(2018·东北三校联合模拟)与椭圆C ：y 216＋x 212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 212＝1C ．y 22－x 22＝1D ．y 23－x 2＝1(2)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝1解析：(1)椭圆y 216＋x 212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y 2m －x 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3m －1n ＝1，m ＋n ＝4，解得m ＝n ＝2． 所以双曲线的标准方程为y 22－x 22＝1．(2)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1．答案：(1)C (2)A [刷好题]1．(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解析：选C 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C ．2．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为__________．解析：方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．方法二 ∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝1双曲线的几何性质 [析考情]双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下三个命题点： (1)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线的离心率(或范围)． [提能力]命题点1：求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长【典例1】 若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由16＋5－k ＝16－k ＋5，得两双曲线的焦距相等． 命题点2：求双曲线的渐近线方程【典例2】 已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12 x ，即x ±2y ＝0．命题点3：求双曲线的离心率(或范围)【典例3】 (2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D ．[悟技法]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[刷好题]1．(2018·麻城一模)已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．54C ．53或54D ． 3解析：选C 由双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，得b a ＝34或a b ＝34， 又离心率e ＝1＋b 2a 2，所以e ＝53或e ＝54． 2．(2018·西安模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，且F 2为抛物线y 2＝24x 的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若△PF 1F 2的面积为366，则双曲线的方程为( )A ．x 29－y 227＝1B ．x 227－y 29＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 29－y 216＝1解析：选A 由题意，F 2(6,0)，设P (m ，n )，则 ∵△PF 1F 2的面积为366，∴12×12×|n |＝366，∴|n |＝66，∴m ＝9， 取P (9,66)，则2a ＝(9＋6)2＋(66)2－(9－6)2＋(66)2＝6， ∴a ＝3，b ＝33，∴双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选A ．。
第61讲 双曲线的标准方程与性质(原卷版)(新高考专用)-《考点解透》高考数学一轮复习必备
第61讲 双曲线的标准方程与性质【基础知识回顾】 一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的 等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M||| ||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0.(1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是 ； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是 ； (3)当a ＞c 时，点P ． 二 、双曲线的标准方程和几何性质一、常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 ，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为 ．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝ ，|PF 2|min ＝ .1、若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．22、设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( ) A ．1 B ．17C ．1或17D ．以上均不对3、已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．1k >- B ．1k < C ．11k -<<D ．1k ≠± 4、已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．26B ．21C ．16D ．5 5、 中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．430x y += B ．430x y ±= C ．340x y +=D ．340x y ±=考向一 双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2022·滨州质检)x 2＋（y －3）2－x 2＋（y ＋3）2＝4表示的曲线方程为( ) A.x 24－y 25＝1(x ≤－2) B.x 24－y 25＝1(x ≥2)C.y 24－x 25＝1(y ≤－2) D.y 24－x 25＝1(y ≥2) 变式、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________.方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立为|PF 1|·|PF 2|的关系．(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．考向二 双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________________．(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线的标准方程为_______________．变式1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．变式2、与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2，1)的双曲线标准方程是________.变式3、.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±34x ，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C 的标准方程为________.方法总结:求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考向三 双曲线的渐近线例3(1)(2022·杭州模拟)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，且∠F 1PF 2＝60°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.3x ±y ＝0 B.2x ±7y ＝0 C.3x ±2y ＝0D.2x ±3y ＝0(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A.±12B.±22C.±1D.±2变式1、(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( ) A.12 B.3－1 C.3＋12D ．2变式2、已知F 为双曲线M ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左焦点，圆Q ：(x －3)2＋y 2＝6与双曲线M 的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是( ) A ．点F 到渐近线的距离为6 B ．双曲线M 的渐近线方程为x ±2y ＝0 C ．双曲线M 的虚轴长为2 D ．双曲线M 的离心率为3方法总结：解有关直线与双曲线的位置关系的方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．考向四 双曲线的离心率例4、已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B.5 C.7D ．7(2)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的斜率大于233，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫213，＋∞B.⎝⎛⎭⎫1，213 C.⎝⎛⎭⎫72，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，72 变式1、设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点.若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3C.2D.5变式2、 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则双曲线的离心率e 的最大值为________．方法总结：求双曲线离心率或其取值范围的方法： (1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.1、【2021年甲卷文科】点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．452、【2022年全国乙卷】双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且cos∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为（ ） A ．√52B ．32C ．√132D ．√1723、（2020年高考天津）设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 4、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ． 1 B ． 2C ． 4D ． 85、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．326、(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝17、（2019年全国Ⅱ卷）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为（）A BC．2 D。
2020年浙江高考数学一轮复习：双曲线
••>必过数材美1.双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白____________ 集合P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |F i F2|= 2c,其中a, c 为常数且a> 0, c>0.(1) 当2a v |F i F21时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当2a = |F i F 2|时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当2a > |F i F21时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程---------------- 2------- 2 -------------------------------------------------/—y2=i(a>0, b> 0)----------- 2 ------- 2--------------------------------------------字-討i(a> 0, b> 0)图形A性质范围x< — a 或x>a, y€ R y w —a 或y> a, x€ R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A i( —a,0), A2(a,0)顶点坐标：A i(0, —a), A2(0 , a)渐近线y=*x y= ±x离心率ce= ", e€ (i ,+s ) a ----a, b, c的关系c2= a2+ b2实虚轴线段A i A2叫做双曲线的实轴，它的长|A i A2| = 2a；线段B i B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B i B2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长［小题体验］2 2 i双曲线x —y2=1的焦距为 __________________________________ •2 2解析：由双曲线—七=1,易知c 2= 3 + 2= 5,所以c = 5,322 2 所以双曲线X-—专=1的焦距为2 5.答案：2 52 22•(教材习题改编)以椭圆^4+yx =i 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为2 2解析：设要求的双曲线方程为 予—令=1(a >0, b >0),2 2由椭圆X += 1 , 4 3得椭圆焦点为(±,0),顶点为(±,0) • 所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0). 所以 a = 1, c = 2, 所以 b 2= c 2— a 2= 3,2所以双曲线标准方程为 X 2— : = 1.2答案：x 2— y = 122f~53. (2018北京高考)若双曲线 y4 = 1(a > 0)的离心率为 玄，贝V a= ________ ,T a > 0, . a = 4. 答案：4••>必过易错关1.双曲线的定义中易忽视 2a < IF 1F 2I 这一条件.若2a =|F 1F 2|，则轨迹是以F 1, F ?为端点的两条射线，若 2a > IF 1F 2I ，则轨迹不存在.2•双曲线的标准方程中对 a , b 的要求只是a >0, b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同.若a > b > 0,则双曲线的离心率 e € (1, 2);若a = b > 0,则双曲线的离心率 e =2;若0<a < b,则双曲线的离心率 e € (• 2,+^ ).2 23.注意区分双曲线中的 a , b , c 大小关系与椭圆中的 a , b, c 关系，在椭圆中a = b + c 2,而在5 4,a 2= 16.解析：由e =：；= a 2+ 4 2~ a双曲线中c2= a2+ b2.4•易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b,当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b［小题纠偏］2 21.设P是双曲线土一士 = 1上一点，F i, F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF i|16 20=9则|PF2|等于____________ .解析：由题意知|PF i|= 9v a+ c= 10,所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|- |PF i|= 2a = 8,故|PF2|= |PF i| + 8= 17.答案：172•以直线y= ±2x为渐近线，且过点（一U3, 2）的双曲线的标准方程为____________解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±. 2x,不妨可设该双曲线的方程为2x2—y2=入因为双曲线过点（一，3, 2）,所以6 —4= = 2，所以双曲线的方程为2x2—y2= 2,2即其标准方程为x2—专=1.2答案：x2—专=1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019金华调研）已知双曲线的一个焦点与圆x2+ y2—4y= 0的圆心重合，且其渐近线的方程为一3x勿=0，则该双曲线的标准方程为（）2 2A.x—y2= 1B.y—x2= 1332 2 2 2C.2L —必=1D.y-—瓦=19 16 16 92 解析：选B 由圆的方程知其圆心为（0,2），故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为鸟—a2器=1（a>0, b> 0），且a2+ b2= 4, ①又知渐近线方程为V3x±y= 0,二；=西，②2 由①②得a 2= 3, b 2= 1 ,•••双曲线方程为y3 — x 2= 1.2 2 2. （2018海口二模）已知双曲线 C :孑一狰=他〉0，b >0）过点（2, 3），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）2A.X- - y 2= 1 -2 2B.x — y= 1 9 32C X 2 — y - = 132 2 D.X y= 1 -3 3 2解析：选C •••实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，•b= tan 60a3. （2018温岭模拟）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,且离心率等于3, 则该双曲线的标准方程为 ______________ ;渐近线方程为 ______________ .2 解析：因为c = 3,所以e = c = 3解得a = 2,所以b 2= 5.所以双曲线的标准方程为 X a 24y5 = 1，其渐近线方程为y = ±25x.24.焦点在x 轴上，焦距为卩且与双曲线y 4-宀1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _________________ .22 2 设所求双曲线的标准方程为 y — H = — X X>0），即X— y = 1,则有4入+匸25,4 X 4 X 2 2所以所求双曲线的标准方程为令—± = 1.5 202 2x -—y - = 1520［谨记通法］求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ,b ,c 的方2 2 2 2程并求出a , b , c 的值.与双曲线字—¥= 1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 p —吉=3,即b =』3a ,T 双曲线2 2 C :予-沪1(a >0,2b >0)过点(2,3),•匸2a —3拿=1，解得a 2= 1 ,•b 2= 3,故双曲线C 的标准方程是=1.解析： 解得X= 5, 答案：⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定 c 的值.考点二 双曲线的定义 重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］2 4已知双曲线X 2— 加1的两个焦点为F l , F 2, P 为双曲线右支上一点. 若|PF i | = 4|PF 2|,则厶F 1PF 2的面积为（）A . 48B . 24C . 12D . 6解析：选B 由双曲线的定义可得1|PF i |— |PF 2|=尹2| = 2a = 2, 解得 |PF 2|= 6,故|PF 1|= 8，又 |F 1F 2|= 10,由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形, 1因此 S A PF 1F 2= Q|PF 1||PF 2|= 24.［由题悟法］应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点 （焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” •若定义中的“绝对值” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支•同时注意定义的转化应用.［即时应用］1.已知F 1, F 2为双曲线C : x 2— y 2= 2的左、右焦点，点 P 在C 上, 则 cosZ F 1PF 2=(1 A _ A .4 4 %2 2双曲线方程可化为》—=1,,|PF 1|— |PF 2|= 2\f2, m 厂 厂由'得|PF 1|= 4迈,|PF 2|= 2最，由余弦定理得cos/ F 1PF 2 =JPF 1|= 2|PF 2||PF 『+ |PF 2|2—尸讦2|2 = 32|PF 1| |PF 2| = 4.2 2|PF 1|= 2|PF 2|,Bl解析：选C.a = b = 2,c = 2.2. (2018余姚期初)已知△ ABC的顶点A, B分别为双曲线器—弋=1的左、右焦点，X.［锁定考向］双曲线的几何性质是每年高考命题的热点. 常见的命题角度有:(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程.［题点全练］角度一：求双曲线的离心率(或范围)2 21. (2016山东高考)已知双曲线 E : j —器=1(a >0, b >0)，若矩形 ABCD 的四个顶点 在E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|，贝U E 的离心率是 2b 2解析：如图，由题意知|AB|=』,|BC|= 2c.a又 2|AB| = 3|BC|,22X 也=3X 2c ,即 2b 2 = 3ac , a.2(c 2— a 2) = 3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2— 3e — 2 = 0,解得e = 2(负值舍去).答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程22. (2018乐清调研)以椭圆X + /= 1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线 方程是2 2 X2— y2= 1(a >0, b >0),则 a = . 4— 1= . 3, a bc = 2，所以 b 2= c 2— a 2= 4- 3 = 1,故所求渐近线方程为 y = ±33/ 0r顶点C 在双曲线上，则|Sin A- Sin B|的值为 sin C解析：由正弦定理知, SBCA = SACB =盔，由双曲线的定义可知，|Sin AinC in B|l|BC|—|AC|| =色=4|AB| = 10= 5.答案:45考点三双曲线的几何性质题点多变型考点多角探明解析：由题意可知所求双曲线方程可设为角度三：求双曲线方程- -3.过双曲线C: {— y «= 1（a >0, b > 0）的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相a b交于点A.若以C 的右焦点为圆心、 半径为4的圆经过A , O 两点（0为坐标原点），则双曲线2 2B.X --y -= 1 7 9- -D 各-y -= 1 1- 4解析：选A 由题意知右顶点为（a,0），不妨设其中一条渐近线方程为 y =-x ，因此可得a点A 的坐标为（a , b ）.设右焦点为 F （c,0），由已知可得 c = 4，且|AF|= 4,即（c — a ）-+ b -= 16,所以有（c — a ）-+ b -= c -,又 c -= a -+ b -,贝U c = 2a ，即 a = - = 2,所以 b -= c -— a -= 4-— 2-= 12,故双曲线- -的方程为―—± = 1.4 12［通法在握］与双曲线几何性质有关问题的解题策略（1）求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条件，将问题转化为关于 a , c 的等式（或不等 式），解方程（或不等式）即可求得.⑵求双曲线的渐近线方程•依据题设条件，求双曲线中a ,b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.（3）求双曲线的方程•依据题设条件，求出 a , b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的 方程.⑷求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长•依题设条件及 a , b , c 之间的关系求解.［演练冲关］- -1. （2018萧山六校联考）已知I 为双曲线C : x -—善=1（a >0, b >0）的一条渐近线，I 与a b 圆F : （x — c ）-+ y -= a -（其中c -= a -+ b -）相交于A , B 两点，若△ ABF 为等腰直角三角形， 则 C 的离心率为（）D.C 的方程为（）- -x y . A — — = 1 4 1 答案：y =解析：选D 由题意可设I的方程为bx+ ay= 0.已知圆F : (x — c)2 + y 2= a 2的圆心为(c,0)，半径为a ,2 2•••I 为双曲线C ：字— y2=1(a >0, b >0)的一条渐近线，I 与圆F : (x — c)2 + y 2= a 2(其中c 2= a 2+ b 2)相交于A , B 两点，△ ABF 为等腰直角三角形，二|AB|= 2a.的距离的取值范围是又(c,0)到 l 的距离 d = |b<2+ 0|2=实：b,」b+ a ca 2= 2b 2.又c 2= a 2 + b 2,. e =c =专.a 2 2 2 x2. (2018 •州调研)设双曲线 孑一 ...b 2+ JAB 1 2= a 2,将|AB|= 2a 代入上式，得 器=1(a >0, b >0)的虚轴长为 2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为解析：因为2b = 2,所以b = 1,所以双曲线的渐近线方程为因为 2c = 2 3,所以 c = 3，所以 a = \f c 2 — b 2= ,2, 令x.3. (2018杭州二中适应2 2)双曲线j — ¥= 1(a > 0, b > 0)上存在一点 P ,与坐标原点0、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则p1c ,双曲线上，所以 2c4a 2釜=1，结合 b 2= c2-a2 及 e=:, 化简得 e 4— 8e2+ 4= 0, 解得e 2= 4+ 2 .3或 e 2= 4— 2 3.因为e > 1,所以e 2= 4+ 2 3，所以 答案：目3+ 1e =叮'4+ 2 3 = 3+ 1.4. (2018安阳二模)已知焦点在2x 轴上的双曲线 X2+ —J = 1,它的焦点 8 — m 4— mF 到渐近线2 2解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线X 2— y 2= 1(a >0, b >0)，它的右焦点a b2 2 2 2 J 缨2= b.而双曲线 —+ — = 1,即 X — y: /b 2 + a 2 8 — m 4 — m 8— mm — 4线bx — ay = 0的距离为(c,0)到渐近1的焦点在答案：y =8 —m> 0,x轴上，则m—4> 0, 解得4v m v 8,它的焦点F到渐近线的距离为.m—4€ (0,2).答案：(0,2)考点四直线与双曲线的位置关系重点保分型考点师生共研［典例引领］2 2设A , B 分别为双曲线 j — ¥= 1(a >0, b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y p^x — 2与双曲线的右支交于 M , N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ，使6M + O N = t"O D ，求t 的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3,T 一条渐近线为 y = b x ，即卩bx — ay = 0.a•••由焦点到渐近线的距离为 , 得 |b© 3得—b 2+ a 2= 3.又T c 2 = a 2+ b 2,「. b 2= 3,2 2•••双曲线的方程为%—y =i.12 3(2)设 M (X 1, y i ), N(X 2, y 2), D(x o , y o ), 贝y X 1+ X 2= tX o ,浙 + y 2= ty o .厂 2 2将直线方程『=爭—2代入双曲线方程 誇—y3 = 1得 x 2— 16 3x + 84= 0,贝U x 1+ x 2= 16 3,屮+ y 2 = _33(X 1+ x 2)— 4 = 12.• t = 4，点D 的坐标为(4 3, 3).［由题悟法］直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为o 的判断.(2) 技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验.［即时应用］已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过A( — 7,5), B( — 1,— 1)两点.(1) 求双曲线C 的方程；2 2(2) 设直线I : y = x + m 交双曲线C 于M , N 两点，且线段 MN 被圆E : x + y — 12x + nX 0 = g y o = 3 ,2 2 x o — y o =1 12 3. 解得 x o = , yo = 3.=0(n € R)三等分，求实数 m , n 的值. 解：⑴设双曲线C 的方程是入2+^y= i ,依题意有所以 P(— 2m , — m).又圆心E(6,0)，依题意k p E =— 1, 故昴=7即m =-2.将m =— 2代入①得x 2— 8x + 7= 0, 解得 x 1= 1, x 2= 7,所以 |MN |= 1+ 12|x 1 — X 2|= 6 2. 故直线I 截圆E 所得弦长为3|MN |= 2 2. 又E(6,0)到直线l 的距离d = 2 2, 所以圆E 的半径R =「2：2 2+—2 2= 10,所以圆E 的方程是x 2+ y 2— 12x + 26= 0. 所以 m =— 2, n = 26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快21. (2018浙江高考)双曲线；3 —寸=1的焦点坐标是()3 A . (— 2, 0), ( 2, 0) B . (— 2,0), (2,0) C . (0, — 2), (0,2)D . (0, — 2), (0,2)2解析：选B •••双曲线方程为 专—y 2= 1,解得入=- 11= 2, 所以所求双曲线的方程是2y 2— x 2= 1.22(2)将 I : y = x + m 代入 2y — x = 1, 得 x 2+ 4mx + (2m 2— 1) = 0,①2 2 2 △= (4m) — 4(2 m — 1) = 8m + 4 > 0.设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), MN 的中点 P(x o , y o ), 则 x 1+ x 2=— 4m , x 1x 2= 2m 2— 1,所以x o =X 1+ X 22 =—2m ,y o = X o + m =— m ,答案：n 165.如图所示，已知双曲线以长方形a 2= 3,b 2= 1且双曲线的焦点在 x 轴上,c = p..；：a 2+ b 2 = \.3 + 1 = 2, •••该双曲线的焦点坐标是(一2,0), (2,0).2 2 2 22. (2018唐山期中联考)已知双曲线 C ：冷―n = l(m >0, n >0)的离心率与椭圆方+=1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为()A . 4x ±3y = 0=0.故选A.2 23. (2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C : X 2 —治=1(a > 0, b >0)的左、右焦点 分别是F i , F 2，正三角形 AF 1F 2的一边AF i 与双曲线左支交于点 B ，且AF i = 4BF 1，则双 曲线C 的离心率为()A ^2?+ 113 , d C.〒+ 1解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(— c,0), A(0, ■. 3c),设B(x ,y),T AF 1= 4BF 1 ,• (— c ,— ：：f 3c)= 4( — c — x ,— y),• x =—乎，y =亠^,代入双曲线方2 29c 3c程可得 磚—216 2= 1, • 9e 4— 28e 2 + 16= 0,二 e =：+ 1c — a32 2 4. (2018义乌质检)设F 1, F 2是双曲线X — y= 1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上,9 16 且满足 |PF 1| |PF 2|= 32,则/ F 1PF 2 =2解析：由题可得，|PF 1|— |PF 2|= 2a = 6, |F 1F 2|= 10.因为 |PF 1| |PF 2|= 32,所以 |PF 1| + |PF 2|2= (IPF 1—|PF 2|)2+ 2|PF 1||PF 2|= 100= |F 1F 2|2,所以 PF 」PF 2,所以/ 卩耐2 =才 所1 1 以 S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 32X ?= 16.B . 3x ±4y = 0C . 4x ±3y = 0 或 3x ±4y = 0D . 4x ±5y = 0 或 5x ±ly = 0解析：选A 由题意知，椭圆中 ---------- 2 a =5,b =4，•椭圆的离心率L;1—b2=,••双曲线的离心率为.r +普=3」m3 •双曲线的4x = ±^x ,即 4x ±3y；S A F 1 PF 2 = ABCD 的顶点A , B 为左、且双曲线过 C , D 两顶点.若|AB|= 4, |BC|= 3,则此双曲线的标准方程为 _______________2 2解析：设双曲线的标准方程为X 2-y 2= 1(a >0, b >0).由题意得B(2,0), C(2,3), a b2•双曲线的标准方程为X 2-y 3 = 1. 2 答案:X 2-y3 = 1两条渐近线于 A , B 两点，则|AB|=(B . 2 3 D . 4.32X 2-— 1的渐近线方程为 y = ±3x ,将x = c = 2代入3得y=±2・3，即A , B 两点的坐标分别为(2,2,3), (2,- 2 3)，所以|AB| = 4 3.2 24 = a 2+ b 2, 4 9a2-1,解得a2=1，b 2= 3,-二保咼考，全练题型做到咼考达标2 2x-+丄=1k -91•“ k v 9”是“方程 25 - k 表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A •方程22. (2018杭州调研)过双曲线x表示双曲线，••• (25 — k)(k — 9)v 0,••• k v 9或 k >解析：选D 由题意知，双曲线3. (2018杭州五中月考)已知F1, F2是双曲线X2-y2= 1(a>0, b> 0)的左、右焦点，过a b2 nA,与右支交于点B，若|AF1|= 2a，/ F1AF2=§，则S A AF1F2_ ( )S A ABF 2 —(F i的直线I与双曲线的左支交于点A. 11 1解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2| - |AF1|= 2a.因为|AF i|= 2a，所以|AF2|= 4a,又/ F i AF 2=牛所以S A AF i F2= i|AF i| |AF2| sin Z F i AF2=舟x 2a x 4a x 乎由双曲线定义可知|BF i|- |BF2|= 2a, 所以|BF i|= 2a + |BF2|, 又|BF i|= 2a+ |BA|，所以|BA|= |BF2|.因为/ BAF2=n,所以△ ABF2为等边三角形，边长为4a,x (4a)2= 4 3a 2,— S A AF 1F 2 2 3a 2 1 故 S^BF ；=4 3a 2=2・2X C： xa b4. （2018浙大附中测试）如图, F i F 2Q 中，l F i F 2|= 2c,所以F i , F 2分别是225. （2018宁波六校联考）已知点F 为双曲线E :字一診=1（a > 0, b > 0）的右焦点，直线 y = kx （k > 0）与E 交于M , N 两点，若 冗 冗IMF 丄NF ，设Z MNF = 3且氏在，£ I 则该双曲线的离心率的取值范围是 （）B . [2,3+ 1] D . [2,3+ 1]解析：选D 设左焦点为F '，令|MF |= r i , |MF ' |=帕 则|NF |=|MF ' |= r 2,由双曲线定义可知 r 2—冷=2a ①，：•点 M 与点N 关 于原点对称，且 MF 丄 NF ,••• |OM|= |ON|= |OF|= c ,「. r 2+ r 2= 4c 2②，由①②得 r i r 2= 2(c 2— a 2)= 2b 2，又知 S MNF = 2S M OF , • $1"= 2 •c 2 sin 2 3, • b 2= c 2 sin所以 S A ABF 2 =2 V法二：如图所示，双曲线 C 的一条渐近线的方程为2所以双曲线的标准方程为y —x 2= 1.4 所以 a = 2,离心率 e = C =¥.a 2 答案：— x 2= 1严4 2 7.若点P 是以A( — 3,0), B(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2+ y 2= 9的一个交点，贝U |PA|+ |PB|= ______ .解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA|— |PB|= 2 5, ① 又 |PA|2+ |PB|2= 36,②联立①②化简得 2|PA| |PB|= 16,所以(|PA|+ |PB|)2= |PA|2 + |PB|2+ 2|PA| |PB|= 52,所以 |PA|+ |PB|= 2 13. 答案：2 132 28. (2018绍兴四校联考)已知双曲线 C ： x 2— b 2= 1(a >0, b >0)的右焦点为 F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ,若2MF = FN ，则双曲线C 的离心率e = __________ ,解析：法一:由2MF = FN 知，= 2.由渐近线的对称性知/ NOF =/ MOF ，即OF为/ NOM 的角平分线，则 cos/ NOM =|OM|= JMF|=-,所以/ NOM =n，/ NOF =Z MOF|ON| |FN | 2 3=才.因为双曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，所以b = tan 才=宁，所以e =£ =二1+ ： 2 =2*33 .2戸 c 2- a 2,^ e 2= 1—1 — sin2 0,•••sin 则;‘¥]•••宀 1^『[2,(3+ 1)2],又T e > 1 ,••• e € [ 2,3 + 1],故选 D. 6. 已知双曲线的一个焦点 F(0, 5)，它的渐近线方程为y =埜x ，则该双曲线的标准方程为 _________________ ;其离心率为 ______________ .2 2解析：设双曲线的标准方程为眷一含=i (a >0, b >0), a 2= 4,由题意得Jalb = 2a 2 +b 2= 5, a = 2bbc点为F (c,0)，因此|FM| =——2^2= b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为 P ，则|FP|=|FM|= b, 1 n又因为 2MF = FN ，所以 |FN| = 2b.在 Rt △ FNP 中，sin / FNP =-，所以/ FNP =」，故在△2 6/ MON = n ，所以/ FON =n ，所以卫=申，所以双曲线C 的离心率e =3 6 a 39.已知双曲线的中心在原点， 焦点F i , F 2在坐标轴上，离心率为，2且过点(4,而), 点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程; (2) 求证：MF 1 MF 2= 0; (3) 求厶F 1MF 2的面积.解：(1) •/ e = 2,则双曲线的实轴、虚轴相等. •••可设双曲线方程为 x 2— y 2=入 •••双曲线过点(4,— 10), • 16— 10=人即入=6. ••双曲线方程为x 2— y 2= 6.(2)证明：设 M n= (— 2^3— 3,— m), M?2= (2 3— 3, — m). 二忒 MF >2= (3 + 2 3) X (3 — 2 3) + m 2=— 3 + m 2, •/ M 点在双曲线上，•- 9— m 2= 6,即卩 m 2— 3= 0, •- MF 1 MF 2= 0.⑶•/△ F 1MF 2 的底边长 |F 1F 2|= 4 3. 由(2)知 m = ± 3.••△ F 1MF 2 的高 h = |m|=S A F 1MF 2= ； X 4,3 X、.：3 = 6.2 2字一存=1(a > 0, b >0)的离心率为.3,点(3, 0)是双曲线的一个顶点.OMN 中,答案:2,3 310.已知双曲线 C :(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A, B,2 2 X y 孑一b ^= 1(a >0, b >0)的离心率为 .3,点(3，0)是双曲线的一个2 2'—y = 1, 3 6联立y=¥x -3 , 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),ntt6 27 则 X i + X 2=— 5, X i X 2=— ~.求 |AB|.顶点，c = 3， a = 3, 2X ⑵双曲线3— 解得c = 3, b = 6,「.双曲线的方程为 2 2 △—y -=i. 3 6 的右焦点为F 2(3,0),•经过双曲线右焦点 F 2且倾斜角为30 °勺直线的方程为 y=^(x - 3). 所以|AB| = /- r 4X 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 2 2 1. (2018暨阳联考)已知双曲线 C : 器=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，过点F 作双 曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足"FP -FP = 3F H T ，则双曲线的离心率为() A. 3 13 C.〒 B . 2 3 D. 13 解析：选C 不妨取渐近线方程为 b x ，则 |FH |= 一产—二 b.因为"FP = 3"if ，所 a a + b 以|FP|= 3b ,设双曲线的右焦点为 F 2,则 |F 2P|= 3b — 2a.因为 cos/ PFF 2=£, |FF 2|= 2c.所以 由余弦定理得：(3b — 2a)2= 4c 2 + 9b 2— 2X 2c X 3b x b ,化简得 2b = 3a.若取 a = 2，贝U b = 3, c c = 13.所以离心率为e = c =亠严. a 2 2. (2018浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； ⑵若直线I : y = kx + 2与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线I D 与y 轴交于M(0, m),求m 的取值范围.解: ⑴•••双曲线 得 5X 2+ 6X — 27= 0.解：(1)设双曲线 2 2 C 的方程为 02—器=1(a >0, b >0). 由已知得，a = 3, c = 2, • b 2= c 2— a 2= 1,2•••双曲线C 的方程为；-y 2= 1.2(2)设 A(X A , Y A ), B(X B ,『B ),将 y = kx + 2代入X - y = 1，得 (1 — 3k 2)x 2-6 2kx — 9 = 1 - 3" 0,2△= 36 (1 — k 尸 0,由题意知 X A + X B = J X A X B =•- Y A + Y B =叫+ 2)+ 叫+ 2) =k(x A + X B )+ 2 2 = 1 — 3^2. • AB 的中点p 的坐标为13—歩,匸3孑. 设直线I o 的方程为：y =- kx + m , k 将点P 的坐标代入直线I o 的方程，得 m = 4 j 2.1 — 3k••Vv k v 1，•— 2v 1- 3k 2v 0.3 --m v — 2\J 2.• m 的取值范围为(—a,— 2 2). 0.• k 的取值范围为 i 3, ⑶由(2)得: X A + X B =解得于＜ k v 1.。
专题8.8 抛物线及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇 平面解析几何 专题8.08 抛物线及其几何性质【考试要求】1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 【知识梳理】 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下【微点提醒】1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )【教材衍化】2.(选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.3. (选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.【真题体验】4.(2019·黄冈联考)已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.65.(2019·北京海淀区检测)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.126.(2019·宁波调研)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.【考点聚焦】考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)(2019·厦门外国语模拟)已知抛物线x 2＝2y 的焦点为F ，其上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)满足|AF |－|BF |＝2，则y 1＋x 21－y 2－x 22＝( )A.4B.6C.8D.10(2)若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2 B.135 C.145D.3【规律方法】 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2.【训练1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)(2018·晋城模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当|MA ||MF |＝2时，△AMF 的面积为( ) A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A.y 2＝85xB.y 2＝165xC.y 2＝325xD.y 2＝645x【规律方法】 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)(2019·济宁调研)已知点A (3，0)，过抛物线y 2＝4x 上一点P 的直线与直线x ＝－1垂直相交于点B ，若|PB |＝|PA |，则P 的横坐标为( ) A.1 B.32C.2D.52考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 (2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.【规律方法】 1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.【提醒】：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【反思与感悟】1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ；|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .【易错防范】1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p ＞0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0). 2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式. 【核心素养提升】【数学抽象】——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【一般解法】【应用结论】【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94【一般解法】【应用结论】【例3】 (2019·益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A.5B.6C.163 D.203【一般解法】【应用结论】【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1C.14D.182.(2019·抚顺模拟)已知点F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若|MF |＋|NF |＝4，则线段MN 的中点的横坐标为( ) A.32 B.2C.52D.33.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π44.(2019·德州调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x5.(2019·河南中原联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( ) A.2B.3C.4D.5二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率k＝－3，则线段PF的长为________.8.已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.三、解答题9.(2019·天津耀华中学模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.10.(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A ，B 是抛物线上的两个动点，|AF |＋|BF |＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π312.(2019·武汉模拟)过点P (2，－1)作抛物线x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( )A.32 B.33 C.12 D.3413.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.14.(2019·泉州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝32. (1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( ) A.14 B.2 C.4 D.8。
高考数学专题——双曲线的定义及几何性质
高三数学一轮复习专讲专练——双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22b x =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x ab y ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=2、双曲线的形状与e 的关系：因为双曲线的斜率1222-=-==e aa c ab k ，所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。
3、共渐近线的双曲线系方程：与-22a x 22b y =1有相同渐近线的双曲线系方程可设为-22ax ()022≠=λλb y ，若0>λ，则双曲线的焦点在 轴上；若0<λ，则双曲线的焦点在 轴上。
二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、2,02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B 、52⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、)3,02．（2013年湖北）已知π04θ<<,则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的 （ ） A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>52则C 的渐近线方程为 （ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±4．（2013湖南）设F 1、F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0，b>0)的两个焦点。
第06讲双曲线及其性质(十大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
x≥a
对称性
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴：_______；对称中心：_____
坐标轴
原点
顶点
性质
轴
离心率
渐近线
a，b，c的关系
A1(－a，0)，A2(a，0)
____________________
A1(0，－a)，A2(0，a)
____________________
A1A2
实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B
5
故周长为3 + 6 + 2 10 = 9 + 2 10.
【解析】因为1 ⋅ 2 = 2，
【解题方法总结】
5
所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
设 2 = ， 1 = 2 2 = 2，
5
5
因为1 ⋅ 2 = 2，所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
62
对于点， 2
−
2
2
2
=1
，
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双
曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
2
【例2】（2023·全国·高三对口高考）若曲线3+
A． −3,2
B． −∞, −3 ∪ 2, +∞
【答案】B
2
【解析】曲线
3+
【答案】C
所以 = 1 2 = 2 = 10，
【解析】直线 = 与双曲线交于，两点，
所以 1
若 = 1 2 ，则四边形1 2 为矩形，
又 1 − 1 = 1 − 2 = 2 = 8，
所以1 ⊥ 1 ， 1 = 2 ，
高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)双曲线
第七节双曲线【考纲下载】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F1F2|.1．与两定点F1，F2的距离之差的绝对值大于、等于或小于常数2a的动点的轨迹各是什么？提示：当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 解析：选C 由题意知，a ＝2，故实轴长为2a ＝4.2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0 D ．(－3，0) 解析：选C 双曲线方程x 2－2y 2＝1可化为x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝62.因此，左焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0. 3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对解析：选B 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.4．双曲线方程：x 2|k |－2＋y 25－k＝1，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(2,5)C ．(－2,2)D ．(－2,2)或(5，＋∞)解析：选D 由题意知，(|k |－2)(5－k )<0，解得－2<k <2或k >5.5．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为____________________．解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4，故双曲线方程为x 29－y 24＝1，则渐近线方程为x 3±y2＝0.即2x ±3y ＝0.答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝0[例1] (1)(2013·天津高考)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．[自主解答] (1)由抛物线y 2＝8x 可知其准线方程为x ＝－2， 所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为离心率为2，所以e ＝ca ＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3， 所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以|PQ |＝4b ＝16>2a ，又因为A (5,0)在线段PQ 上，所以P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.所以|PF |＋|QF |＝28.即△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.[答案] (1)x 2－y 23＝1 (2)44【互动探究】本例(2)中“若PQ 的长等于虚轴长的2倍”改为“若PQ 的长等于实轴长的2倍”，则结果如何？解：依题意知|PQ |＝4a ＝12>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴PQ 在双曲线的一支上．同样|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6.∴|PF |＋|QF |＝24.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝24＋12＝36. 【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝422＋222－422×42×22＝34. 2．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A.45B.74C.54D.7 解析：选A 在△ABP 中，由正弦定理知|sin A －sin B |＝||PB |－|PA ||＝2a c ＝810＝45.考点二 直线和双曲线的综合[例2] (2013·全国高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．[自主解答] (1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，解得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k |<22，代入①并化简，得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝x 1＋32＋y 21＝x 1＋32＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝x 2＋32＋y 22＝x 2＋32＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|，得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝x 1－32＋y 21＝x 1－32＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝x 2－32＋y 22＝x 2－32＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB |＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4，|AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.从而|AF 2|·|BF 2|＝|AB |2， 所以|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线的斜率为k ，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.已知椭圆C 1的方程为x24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA uu u r ·OB uuu r>2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋361－3k2＝361－k2>0，∴k 2<1且k 2≠13.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA uu u r ·OB uuu r >2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.高频考点 考点三 双曲线的几何性质及应用1．双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长．[例3] (1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为 ( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x(2)(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62[自主解答] (1)52＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x .(2)设双曲线C 2的实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝2c 2＝12，2mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)＝4， (m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝8,2a ＝|m －n |＝22，a ＝2，则双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝32＝62.[答案] (1)C (2)D与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．1．(2013·湖北高考)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x2sin 2θ＝1的( )A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：选D ∵0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.由双曲线C 1：x 2sin 2θ－y 2cos 2θ＝1知实轴长为2sin θ，虚轴长为2cos θ，焦距为2，离心率为1sin θ.由双曲线C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1知实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ.2．(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B 依题意c ＝3，又∵e ＝c a ＝32，∴a ＝2，∴b 2＝ c 2－a 2＝ 32－22＝5，∴C 的方程为x 24－y 25＝1.3．(2013·湖南高考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设点P 在双曲线C 的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，由双曲线定义知 |PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，②由①②，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .因为c >a ，所以2c >2a ， 所以在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2为最小内角，因此∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac .所以c 2－23ac ＋3a 2＝0，两边同除以a 2得e 2－23e ＋3＝0.解得e ＝ 3. 答案： 3———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a ，b 的值即可求得方程． (2)待定系数法①待定系数法的步骤定位：确定焦点位置设方程：由焦点位置设方程定值：根据条件确定相关参数②待定系数法求双曲线方程的常用方法⎩⎪⎨⎪⎧与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b2＝λλ≠0；若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y2b2＝λλ≠0；若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n＝1mn <0.3个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中a ，b ，c 大小关系，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，而在椭圆中a 2＝b 2＋c 2.(2)双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±abx .数学思想(十一)方程思想在求解离心率(范围)中的应用[典例] 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[解题指导] 根据△ABE 的特征，得出边的关系，列出关于a ，c 的不等式求解即可． [解析] 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.[答案] B[题后悟道] 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a ，b ，c 的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b 与a ，c 的关系消掉b后，建立a ，c 之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出c a即可，不一定具体求出a ，c 的数值．(2014·郑州模拟)已知点F 、A 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB uu u v ·AB u u u v＝0，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.1＋32 D.1＋52解析：选D 依题意得F (－c,0)，A (a,0)，又B (0，b )，则FB uu u v ＝(c ，b )，AB u u u v＝(－a ，b )．由FB uu u v ·AB u u u v ＝0，得b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，c 2－a 2ac＝1，即e －1e＝1，e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52.[全盘巩固]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：选A 因为双曲线的焦距为10，所以c ＝5. 又因为P (2,1)在渐近线上，且渐近线方程为y ＝b ax ，所以1＝2b a，即a ＝2b .又因为c 2＝a 2＋b 2＝5b 2＝25，所以b 2＝5，a 2＝20.即双曲线方程为x 220－y 25＝1.2．(2013·福建高考)双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22C ．1 D. 2 解析：选B 双曲线x 2－y 2＝1的顶点为(－1,0)，(1,0)，渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y＝0，由对称性不妨求点(1,0)到直线x －y ＝0的距离，其距离为12＝22.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.43解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，所以c ＝3，又b 2＝5，所以a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4.即a ＝2.所以双曲线的离心率e ＝c a ＝32.4．(2014·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 则由题意得b a >2.∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2>1＋4＝ 5.5．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则1PF u u u v ·2PF u u u u v＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C 由渐近线方程为y ＝x 知双曲线是等轴双曲线，不妨设双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是F 1，F 2坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．由双曲线的对称性，不妨取P (3，1)，则1PF u u u v ＝(－2－3，－1)，2PF u u u u v ＝(2－3，－1)．所以1PF u u u v ·2PF u u u u v＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)·(2－3)＋1＝0.6．(2014·衡水模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1解析：选C 依题意可知双曲线的一条渐近线方程为y ＝43x ，c ＝5，而双曲线x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝43因此，a ＝3，b ＝4.7．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________________．解析：因为双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线方程为x 216－y 29＝0，化简得y ＝±34x .答案：y ＝±34x8．(2013·陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析：依题意知m >0，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 16＝2516，解得m ＝9.答案：99．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：不妨设点P 在双曲线的右支上且F 1，F 2分别为左、右焦点，因为PF 1⊥PF 2，所以(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，又因为|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 3 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF u u u u v ·2MF u u u u v＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴1MF u u u u v ·2MF u u u u v＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·|F 1F 2|·|m |＝6.11．(2014·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， ∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.12．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )．∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10.∴x 1－x 22＋y 1－y 22＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)，y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)，∴ [3y 1＋y 2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤33x 1＋x 22＝10，∴3(2y )2＋13(2x )2＝100，即x 275＋3y 225＝1.则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．[冲击名校]1．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF u u u v ·2PF u u u u v＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 由1PF u u u v ·2PF u u u u v ＝0，得1PF u u u v ⊥2PF u u u u v ，设|1PF u u u v |＝m ，|2PF u u u u v|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.2．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 5C.10D.13解析：选C 由题知A 点坐标为(a,0)，∴过A 且斜率为－1的直线方程为y ＝－x ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝b ax ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋a ，y ＝－ba x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b .∵A ，B ，C 三点横坐标成等比数列，∴a 4a －b2＝a 3a ＋b，即b ＝3a ，∴e ＝1＋b 2a2＝10.[高频滚动](2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解：(1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形，理由如下： 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．。
2020届高考数学一轮复习通用版讲义双曲线
第七节双曲线一、基础知识批注——理解深一点1．双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的 标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的 标准方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 范围 |x |≥a ，y ∈R|y |≥a ，x ∈R对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a ，虚轴长为2b 焦距|F 1F 2|＝2c离心率e ＝c a＝ 1＋b 2a2∈(1，＋∞) e 是表示双曲线开口大小的 一个量，e 越大开口越大.渐近线 y ＝±b axy ＝±a bxa ，b ，c 的关系 a 2＝c 2－b 2二、常用结论汇总——规律多一点在双曲线的标准方程中，看x 2项与y 2项的系数的正负，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (二)选一选1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．5 B. 5 C ．2 5D ．1解析：选C 由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.2．以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1D.x 24－y 23＝1 解析：选A 设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由椭圆x24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1.3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2x B．y＝±3xC．y＝±22x D．y＝±32x解析：选A∵e＝ca＝a2＋b2a＝3，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝2a.∴渐近线方程为y＝±2x.(三)填一填4．经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析：设双曲线的方程为x2－y2＝λ，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为x216－y216＝1.答案：x216－y216＝15．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.答案：17考点一双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧ 9a 2－4b 2＝1，a b ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C.法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b2＝2bcc ＝2b＝6，所以b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以ca ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] (1)C (2)C[解题技法] 求双曲线标准方程的2种方法[提醒] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)求解．[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得c a ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________． 解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)． [答案] A[解题技法]利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2， 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2| ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2| ＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法]在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( )A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质 考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2]D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ [解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法]1．求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳离心率，不用愁，寻找等式消b 求； 几何图形寻迹踪，等式藏在图形中．考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0[解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝ 1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.[答案] A[解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a＝9，解得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x＋y ＝5与y 轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16， 所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53 B.35 C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2，∴b a ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝ a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54， ∴a 2＝16. ∵a >0，∴a ＝4. 答案：48．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3.答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba ＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x－c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2.答案：211．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4， －10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等． 则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点， 则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， 所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.B 级——创高分自选1．已知圆(x －1)2＋y 2＝34的一条切线y ＝kx 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1,2)C ．(3，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 由题意，知圆心(1,0)到直线kx －y ＝0的距离d ＝|k |k 2＋1＝32，∴k ＝±3，由题意知b a ＞3，∴1＋b 2a 2＞4，即a 2＋b 2a 2＝c 2a2＞4，∴e ＞2.2．(2019·吉林百校联盟联考)如图，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1且与双曲线C 的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于M ，N 两点，若|NF 1|＝2|MF 1|，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22xD ．y ＝±2x解析：选B ∵|NF 1|＝2|MF 1|，∴M 为NF 1的中点， 又OM ⊥F 1N ，∴∠F 1OM ＝∠NOM ， 又∠F 1OM ＝∠F 2ON ，∴∠F 2ON ＝60°， ∴双曲线C 的渐近线的斜率k ＝±tan 60°＝±3， 即双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x .故选B.3．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝ba x ，∴bx －ay ＝0. 由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |b 2＋a 2＝ 3. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y 23＝1得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．。
2020年高考数学专题讲解：双曲线
2020年高考数学专题讲解：双曲线（一）高考目标考纲解读1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考向预测1．双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点．2．主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目．（二）课前自主预习知识梳理1．双曲线的概念我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的等于常数(大于零且小于 )的点集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫．集合P＝{M|||FM1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当时，P点的轨迹是；(2)当时，P点的轨迹是；(3)当时，P点．2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)3.基础三角形如图，△AOB 中，|OA |＝a ，|AB |＝ ，|OB |＝c ，tan ∠AOB ＝，△OF 2D 中，|F 2D |＝ .（三）基础自测1．(新课标文)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A. 6B. 5C.62D.52[答案] D[解析] 本题考查了双曲线的渐近线方程，离心率的计算，在解题时应首先考虑根据题意求得参数a ，b 的关系，然后利用c 2＝a 2＋b 2求得离心率，题目定位于简单题．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±ba x ，因为点(4，－2)在渐近线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝52，故选D.2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9[答案] C[解析] 由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4， 又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7.3．(江西文)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．3 [答案] B[解析] 考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法． 由题意可得c ＝233b ，即c 2＝43b 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝43(c 2－a 2)，解得e ＝c a＝2.4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在该双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则P 点的纵坐标为（ )A.91010B ．±91010C ．－91010D ．±31010[答案] B[解析] 数学高考命题重视知识的相互渗透，往往在知识点的交汇处设计试题．平面向量作为代数和几何的纽带，素有“与解析几何交汇，与立体几何联姻，与代数牵手”之美称，它与解析几何一脉相承，都涉及到数和形，对于解析几何中图形的重要位置关系(如平行、相交、三点共线、三线共点等)和数量关系(如距离、面积、角等)，都可以通过向量的运算而得到解决．设P (x 0，y 0)，由题意可知F 1(－10，0)，F 2(10，0)，则PF 1→＝(－10－x 0，－y 0)，PF 2→＝(10－x 0，－y 0)，PF 1→·PF 2→＝x 02＋y 02－10＝10y 029－9＝0，y 02＝8110，y 0＝±91010.5．(天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为__________．[答案]x 24－y 212＝1 [解析] 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质． 由抛物线y 2＝16x 的焦点坐标为(4,0)，得c ＝4.又由双曲线的渐近线方程为y ＝±3x 得b a＝3⇒b ＝3a ， 又∵c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝2 3.6．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．[答案] 54或53[解析] ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，∴b a ＝34或a b ＝34.当b a ＝34时，c 2－a 2a 2＝916，∴e ＝c a ＝54；当a b ＝34时，a 2c 2－a 2＝916，∴e ＝c a ＝53. 7．如图，已知圆A 的方程为(x ＋3)2＋y 2＝4，定点C (3,0)，求过定点C 且和圆A 外切的动圆的圆心P 的轨迹方程．[解析] 依题意得|PA |－|PC |＝2.又|PA |>|PC |，且|AC |＝6>2.由双曲线的定义，知点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的右支，故点P 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≥1)．（四）典型例题1.命题方向：双曲线的定义及标准方程 [例1] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程． [分析] 设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋r 1，|MC 2|＝r －r 2，则|MC 1|－|MC 2|＝r 1＋r 2＝定值，故可用双曲线定义求解轨迹方程．[解析] 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知得|MC 1|＝r ＋2， |MC 2|＝r － 2. ∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8，∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)．跟踪练习1：由双曲线x 29－y 24＝1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标N .[分析] 要求切点N 的坐标，关键在于求N 到两焦点距离之差．根据圆的切线长定理，转化为P 到两焦点距离之差．[解析] 由双曲线方程知a ＝3，b ＝2，c ＝13.如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝2a .由于|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ① |NF 1|＋|NF 2|＝2c .②由①②得|NF 1|＝2a ＋2c2＝a ＋c ，∴|ON |＝|NF 1|－|OF 1|＝a ＋c －c ＝a ＝3.故切点N 的坐标为(3,0)．根据对称性，当P 在双曲线左支上时，切点N 的坐标为(－3,0).2.命题方向：双曲线的几何性质[例2] 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．[分析] 由离心率为2可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单． [解析] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过(4，－10)点，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 方法1：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3. 故＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.方法2：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0(3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴12M F F s∆＝6.[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量，如“a ，b ，c ，e ”等，树立基本量思想对于确定双曲线方程和认识其几何性质有很大帮助． 跟踪练习2双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．[解析] 直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2，同理得到点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2，s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.于是得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得54≤e 2≤5.由于e >1，所以e 的取值范围是52≤e ≤ 5. 3.命题方向：直线与双曲线[例3] 已知曲线C x 2－y 2＝1及直线ly ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1.消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，得k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又l 过点D (0，－1)，∴S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k 1－k 2)2＋81－k 2＝8.∴k ＝0或k ＝±62. 跟踪练习3已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线ly ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，∴b ＝1. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1,可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0， 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x 1x 2＋y 1y 2>2，而x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1).（五）思想方法点拨：1．双曲线方程中的a 、b 、c 、e 与坐标系无关，只有焦点坐标、顶点坐标有关．因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件a 、b ，一个定位条件焦点坐标． 求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方法．注意：当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，根据条件，可分别设出两种标准方程，或者将方程统一设为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．2．直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同．唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切．3．注意总结椭圆、双曲线相似的地方，例如过焦点弦问题、通径长、弦长、焦点三角形的周长、面积等，这里面蕴含圆锥曲线的许多共性问题，注意总结以提高解题能力．4．几种特殊情况的标准方程的设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．②渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(－b 2<λ<a 2)．④与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2)．5．双曲线的渐近线的斜率与离心率的互化渐近线的斜率为±ba 或±a b，它与离心率可通过以下关系联系起来．e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. （六）课后强化作业一、选择题1．(安徽理)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)[答案] C[解析] 将方程化为标准方程x 2－y 212＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.2．(全国卷Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力． 在△F 1PF 2中，由余弦定理cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝PF 1|－|PF 22－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， 故|PF 1|·|PF 2|＝4.3．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5[答案] B[解析] 由题意知：F 1(－10，0)，F 2(10，0)， 2c ＝210，2a ＝2.∵PF 1→·PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40 ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1|→2＋|PF 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝40 ∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.14[答案] A[解析] ∵曲线mx 2＋y 2＝1是双曲线，∴m <0，排除C 、D ； 将m ＝－14代入已知方程，变为y 2－x 24＝1，虚轴长为4，而实轴长为2，满足题意，故选A.5．设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A.52B.102 C.152D. 5[答案] B[解析] ∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝3|AF 2|，∴|AF |1＝3a ，|AF 2|＝a ，且|F 1F 2|＝2c . ∴Rt △AF 1F 2中(3a )2＋a 2＝(2c )2∴5a 2＝2c 2， ∴e ＝ca ＝102. 6．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1、F 2，点P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －a B.12(m －a ) C ．m 2－a 2D.m －a[答案] A[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ， ||PF 1|－|PF 2||＝2a ，两式平方后相减， 得|PF 1|·|PF 2|＝m －a .7．(辽宁理)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12[答案] D[解析] 如图，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∴F 点坐标为(a 2＋b 2，0)，B 点坐标为(0，b )， 渐近线方程为y ＝±bax ，∴k BF ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝－1， 即－ba 2＋b2·b a＝－1， ∴a a 2＋b 2＝b 2， 即ac ＝c 2－a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a －1＝0，即e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．∴e ＝1＋52，故选D.8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] C[解析] 如图，当点P 、M 、N 在如图所示位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2＝6.二、填空题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被点(b2，0)分成32两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]52121[解析] ∵(b 2＋c )(c －b2)＝32.∴c ＝52b ，a ＝c 2－b 2＝212b ，e ＝c a ＝521＝52121.10．(江西理)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝________.[答案] 2[解析] 由x 24－y 232＝1知a 2＝4，b 2＝32，∴c 2＝a 2＋b 2＝36，∴c ＝6. ∴右焦点为(6,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 024－y 0232＝1，x 0－2＋y 02＝2x 0，解得x 0＝25或x 0＝2.∵点A 在双曲线的右支上，∴x 0≥2，∴x 0＝2.11．在△ABC 中，BC ＝2AB ，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率是________． [分析] 先根据余弦定理用AB 、BC 表示AC ，再根据双曲线的定义和离心率的概念求解． [答案]2＋73[解析] 设AB ＝2c (c >0)，则BC ＝4c ，根据余弦定理AC ＝c2＋c2－2×2c ×4c ×cos120°＝27c ，根据双曲线定义，2a ＝AC －BC ＝27c －4c ，故该双曲线的离心率为c a ＝2c 2a ＝2c 27c －4c ＝17－2＝2＋73.三、解答题12．求下列双曲线方程 (1)虚轴长为12，离心率为54.(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)．[解析] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，(a >0，b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝12，c a ＝54，解得b ＝6，c ＝54a ，∴b 2＝c 2－a 2＝916a 2＝36，a ＝8.∴焦点在x 轴上的双曲线的方程为x 264－y 236＝1.同理，可求焦点在y 轴上的双曲线的方程为y 264－x 236＝1.因此，双曲线的方程为x 264－y 236＝1和y 264－x 236＝1.(2)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14.即：x 294－y 24＝1.13．已知点A (－3，0)和点B (3，0)，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －2交于D 、E 两点，求线段DE 的长．[分析] 求双曲线方程，联立方程组，结合根与系数的关系求弦长．[解析] 设点C (x ，y )，则|CA |－|CB |＝±2，根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1.(a >0，b >0)由2a ＝2,2c ＝|AB |＝23，得a 2＝1，b 2＝2， 故点C 的轨迹方程是x 2－y 22＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1y ＝x －2，消去y 并整理得x 2＋4x －6＝0.因为Δ>0，所以直线与双曲线有两个交点． 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－6， 故|DE |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝4 5.[点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．14．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值．[解析] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0①由题设条件知，⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a2－a2，解得0<a <2且a ≠1， 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝512x 2，∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960， ∵a >0，∴a ＝1713.15．(文)已知椭圆x 2a 12＋y 2b 12＝1(a 1>b 1>0)与双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1、F 2，设P 是它们的一个交点．(1)试用b 1，b 2表示△F 1PF 2的面积；(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)是常数时，求△F 1PF 2的面积的最大值． [解析] (1)如图所示，令∠F 1PF 2＝θ. 因|F 1F 2|＝2c ，则a 12－b 12＝a 22＋b 22＝c 2. 即a 12－a 22＝b 12＋b 22 由椭圆、双曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2(令|PF 1|>|PF 2|)，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2 cos θ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－4c22|PF 1|·|PF 2|＝（a 1＋a 2）2＋（a 1－a 2）2－（a 12－b 12）－（a 22＋b 22）a 12－a 22＝b 12－b 22a 12－a 22＝b 12－b 22b 12＋b 22. 所以sin θ＝2b 1b 2b 12＋b 22.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin θ＝12(a 12－a 22)·2b 1b 2b 12＋b 22＝b 1b 2(2)当b 1＋b 2＝m (m >0)为常数时S △F 1PF 2＝b 1b 2≤(b 1＋b 22)2＝m 24，所以△F 1PF 2面积的最大值为m 24.(理)(四川理)已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N .(1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．[解析] (1)由距离公式及距离列式并化简可得．(2)写出MN 所在直线方程，并判断K 是否存在，然后运用韦达定理及MF →·FN →作出判断．解：(1)设P (x ，y )，则x －2＋y 2＝2|x －12|，化简得x 2－y 23＝1(y ≠0)．(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)． 与双曲线方程x 2－y 23＝1联立消去y 得(3－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋3)＝0. 由题意知，3－k 2≠0且Δ>0. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝k 2(4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4)＝－9k2k 2－3.因为x 1，x 2≠－1，所以直线AB 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 因此M 点的坐标为(12，3y 1x 1＋)，FM →＝(－32，3y 1x 1＋)同理可得FN →＝(－32，3y 2x 1＋)因此FM →·FN →＝(－32)×(－32)＋9y 1y 2x 1＋x 2＋＝94＋－81k 2k 2－34k 2＋3k 2－3＋4k2k 2－3＋＝0②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程为x ＝2， 则B (2,3)，C (2，－3)，AB 的方程为y ＝x ＋1，因此M 点的坐标为(12，32)，FM →＝(－32，32)．同理可得FN →＝(－32，－32)．因此FM →·FN →＝(－32)×(－32)＋(－32)×32＝0.综上，FM →·FN →＝0，即FM ⊥FN . 故以线段MN 为直径的圆过点F .。
2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理(含解析)新人教A版(最新整理)
第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（|F1F2｜＝2c>0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2｜且不等于零)的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0，c>0:（1）当错误!a〈c时，M点的轨迹是双曲线；(2）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（3)当错误!a>c时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质续表a,b,c的关系，错误!c2＝a2＋b2(c〉a>0,c〉b>0）双曲线中的几个常用结论（1）焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（3）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!。
1．（2018·浙江高考）双曲线错误!－y2＝1的焦点坐标是( ）A．（－错误!，0),(错误!,0) B．（－2，0），（2，0)C．（0，－错误!），(0，错误!）D．（0，－2)，(0，2）答案 B解析 因为双曲线方程为错误!－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,c ＝2,所以焦点坐标为(±2,0）,选B 。
2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线错误!－错误!＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF 1|＝9，则|PF 2｜等于( ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2|｜＝8⇒｜PF 2｜＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B 。
2020版高考数学大一轮精准复习精练---双曲线及其性质Word版含解析
2020版高考数学大一轮精准复习精练9.4 双曲线及其性质挖命题【考情探究】分析解读从高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点,离心率问题也是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,分值约为5分,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和基本性质是解决双曲线问题的基本方法.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.破考点【考点集训】考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2015天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1答案D2.(2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案B考点二双曲线的几何性质3.(2011北京,10,5分)已知双曲线x2-=1(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b= .答案24.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .答案2炼技法【方法集训】方法1求双曲线的标准方程的方法1.(2016天津文,4,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1答案A2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C 的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C方法2双曲线的渐近线与离心率的求法3.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.答案A4.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a= .答案45.(2014北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案-=1;y=±2x过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案D2.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案D考点二双曲线的几何性质1.(2018天津,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案B3.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案AB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案A2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.答案23.(2016浙江文,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案(2,8)4.(2015北京文,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b= .答案5.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.答案12考点二双曲线的几何性质1.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案A2.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )A. B.3 C.2 D.4答案B3.(2018课标Ⅲ,11,5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )A. B.2 C. D.答案C4.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是( )A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)答案B5.(2018课标Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. B.2 C. D.2答案D6.(2017课标Ⅱ文,5,5分)若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是( )A.(,+∞)B.(,2)C.(1,)D.(1,2)答案C7.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )A. B. C. D.答案D8.(2015重庆,9,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F 作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±B.±C.±1D.±答案C9.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a= . 答案510.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案C组教师专用题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1答案C2.(2014北京文,10,5分)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C 的方程为.答案x2-y2=13.(2012天津文,11,5分)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a= ,b= .答案1;2考点二双曲线的几何性质1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A. B.2 C.6 D.4答案D2.(2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案A3.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案A4.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3答案B5.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E 上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.答案26.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案7.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案【三年模拟】选择题(每小题5分,共60分)1.(2018天津和平一模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,过右焦点F作渐近线的垂线,垂足为M,O为坐标原点,若△FOM的面积为,则双曲线的方程为( )A.x2-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C2.(2018天津南开一模,6)设双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于.若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C3.(2018天津河东一模,6)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线的方程为y=±x,则该双曲线的离心率e=( )A.10B.C.D.答案D4.(2018天津河北一模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案C5.(2018天津红桥一模,7)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-y2=1(a>0)交于A,B两点,点F 为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线的离心率是( )A. B. C. D.答案D6.(2018天津塘沽一中模拟,5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-2)2+y2=6相交于A,B两点,且|AB|=4,则此双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.答案D7.(2018天津九校联考,5)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内分别交于A、B两点,若|F1B|=3|F2A|,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2答案C8.(2018天津河西二模,6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=2,且双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线的方程为( )A.-y2=1B.x2-4y2=1C.x2-=1D.4x2-y2=1答案C9.(2018天津一中3月月考,5)设F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得(+)·=0,其中O为坐标原点,且||=2||,则该双曲线的离心率为( )A. B.+1 C. D.答案D10.(2018天津南开中学第四次月考,7)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲线C:-=1(b>a>0)上有一点P(,m)(m>0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB 的面积为1,则双曲线的标准方程是( )A.x2-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1答案A11.(2017天津和平一模,6)已知A、B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,P为双曲线上一点,且△ABP为等腰三角形,若双曲线的离心率为,则∠ABP的度数为( )A.30°B.60°C.120°D.30°或120°答案D12.(2017天津南开一模,6)双曲线-=1(a>0,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是( )A.-1B.C.D.+1答案C。
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第八篇平面解析几何专题8.07双曲线及其几何性质【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长【微点提醒】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a .2.离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ) (3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±yn＝0.( )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )【教材衍化】2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________.【真题体验】4.(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.【考点聚焦】考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( ) A.215a 2 B.15a 2 C.30a 2D.15a 2(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( ) A.8 B.10 C.4＋37 D.3＋317考点二 双曲线的标准方程【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1(2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0).【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 212－y 2＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.考点三 双曲线的性质 角度1 求双曲线的渐近线【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±22xD.y ＝±32x角度2 求双曲线的离心率【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，233B.⎝⎛⎭⎫233，＋∞C.(1，2)D.(2，＋∞)角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎫－233，233【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( ) A.43B.54C.169D.2516(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.【反思与感悟】1.与双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝t (t≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程.【易错防范】1.双曲线方程中c2＝a2＋b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±ba x，y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±ab x.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.623.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2 B.2C.322D.2 24.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1 C.x 24－y 25＝1D.x 216－y 220＝15.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22xC.y ＝±6xD.y ＝±66x二、填空题6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________________.7.设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.三、解答题9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10).(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0.10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2xB.y ＝±12xC.y ＝±22x D.y ＝±2x12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[2，2＋6]B.[2，3＋1]C.[2，2＋6]D.[2，3＋1]13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.14.已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.。