第七章-季节性时间序列模型
季节ARIMA模型
季节ARIMA模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包含季度、月度、周度等变化）或者其他一些固有因素引起的。
这类序列称之季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包含其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s关于非平稳季节性时间序列，有的时候需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上能够建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)关于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自有关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则能够把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，因此得到季节时间序列模型的通常表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节与季节性差分次数。
季节时间序列SARIMA模型
12Lnyt= (1+1 L) (1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 【例】(1-1.20L+0.66 L2) (1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2) (1-0.95L4)vt
(14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.9)
季节时间序列SARIMA模型
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包 括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序 列。经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周 度时间序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在 以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额 比其他季度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model) ，用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（ multiplicative seasonal model） 。因为模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。 ● SARIMA 方法可以为任何周期的经济时间序列建模。
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
● 对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转 换成一个平稳的序列。 ● 若原序列长度用 T 表示， 经过一次季节差分和一次非季节差分， 序列将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
时间序列分析课件-07-ARIMA模型、疏系数模型、季节模型
差分平稳
• 对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效 应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合
• 定阶
– ARIMA((1,4),(1,4),0)
【例】1964年——1999年中国纱年产量序列 蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序 列进行一阶差分运算
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取 作用
差分前后时序图
• 原序列时序图
• 差分后序列时序图
例
• 尝试提取1950年——1999年北京市民用车 辆拥有量序列的确定性信息
P值 0.0178 0.1060 0.1344
拟合ARMA模型
• 偏自相关图
建模
• 定阶
– ARIMA(0,1,1)
• 参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
• 模型检验
– 模型显著 – 参数显著
例续：对中国农业实际国民收入指数序列做 为期10年的预测
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
6 12 18 结果
2统 计量
P值
4.50 0.2120
9.42 0.4002
20.58 0.1507
模型显著
待估 参数
2统 计量
P值
1 -4.66 <0.0001
12 23.03 <0.0001 1 -6.81 <0.0001
第七专题时间序列模型PPT教案
（1） 扩展贸易日和节假日影响的调节功能，增加季节、趋势 循环和不规则要素分解模型的选择功能； （2） 新的季节调整结果稳定性诊断功能； （3） 增加X12-ARIMA模型的建模和模型选择功能。
例子：
（1） 2010年国庆房地产销售？ （2） 农产品销售？ （3） 月饼的销售？ （4） 羊肉和狗肉销售？
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1、Hodrick-Prescott（HP）滤波
在宏观经济分析中，常常需要分解序列组成成分中的长期 趋势，Hodrick-Prescott滤波是被广泛使用的一种方法。该方 法在Hodrick and Prescott(1980) 分析战后美国经济周期的论 文中首次使用。 设{Yt}是包含趋势成分和波动成分的经济时间序列，{YtT}是 其中含有的趋势成分， {YtC}是其中含有的波动成分。则
第4页/共113页
1 贸易日和节假日影响
由每天经济活动的总和组成的月度时间序列受该月各周的影响 ，这种影响称为贸易日影响（或周工作日影响）。 例如，对于零售业在每周的星期一至星期五的销售额比该周的 星期六、星期日要少得多。北京周一——周五商场不拥挤？ 因此，在某月如果多出的星期天数是一周的前五天，那么该月 份销售额将较低；如果多出的星期天数是一周的星期六、星期 日，那么该月份销售额将较高。 又如，在流量序列中平均每天的影响将产生“月长度”影响。 因为在每年中二月份的长度是不相同的，所以这种影响不可能 完全被季节因素承受。二月份残留的影响被称为润年影响（28 和29的差异）。
当选择Pross/Seasonal Adjustment/Tramo Seats 时， E-views执 行外部程序，将数据输给外部程序，然后将结果返回E-views 。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法1. 引言季节性时间序列是指一系列数据在一年中呈现出周期性的模式变化，例如销售量、气温、人口等。
对于这样的时间序列数据，我们需要利用适当的方法进行分析，以便更好地了解和预测未来的趋势和模式。
本文将介绍几种常见的季节性时间序列分析方法，包括季节性平均法、季节指数法、季节性趋势法以及季节分解法。
2. 季节性平均法季节性平均法是一种简单直观的方法，它将每个季节中的数据取平均值，然后用这些季节性平均值来表示整个时间序列的趋势。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据进行平均计算，得到季节性平均值。
3.用季节性平均值来表示整个时间序列的趋势。
季节性平均法的优点是简单易操作，缺点是无法考虑趋势的变化和异常值的影响。
3. 季节指数法季节指数法是一种常用的季节性时间序列分析方法，它通过计算每个季节的指数来表示季节性的影响。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据计算平均值。
3.计算每个季节的指数，即该季节的平均值除以整个时间序列的平均值，并乘以一个常数，通常取100。
4.用季节指数来表示整个时间序列的趋势，可以通过季节指数与相应季节的实际数据相乘得到预测值。
季节指数法的优点是能够较好地考虑季节性的影响，缺点是对于季节性的变化不敏感。
4. 季节性趋势法季节性趋势法是一种综合考虑趋势和季节性的时间序列分析方法，它通过拟合趋势曲线和季节指数来预测未来的趋势。
具体步骤如下：1.收集时间序列数据，将数据按照季节分组。
2.对每个季节的数据计算平均值。
3.计算季节指数，同季节指数法中的步骤。
4.拟合趋势曲线，可以使用线性回归、移动平均等方法。
5.将趋势曲线与季节指数相乘，得到预测值。
季节性趋势法的优点是能够较好地处理季节性和趋势的影响，缺点是计算比较复杂，对于异常值的影响较大。
5. 季节分解法季节分解法是一种常用的季节性时间序列分析方法，它将整个时间序列分解为趋势、季节性和随机成分三个部分，对每个部分进行分析和预测。
季节性分析方法
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
平均数趋势整理法
建立趋势预测模型
根据年的月平均数,建立年趋势直线模型：
ˆ T t = a + bt
其中t是以年为单位
用最小平方法估计参数a,b,幵取序列{ y }的中点年为时 间原点.再把此模型转变为月趋势直线模型
(t )
Tˆt = a 0 + b 0 t b a0 = a + 24 , b0 = b 12
时间序列分析模型
加法模型
Y=T+S+C+I
乘法模型 Y=T×S×C×I
Y T
T S I T
S I
时间序列的分解分析
分解步骤：
① 分析和测定现象变动的长期趋势，求趋势值T。 ② 对时间序列进行调整，即减去或除以T，得出丌包含趋势 变动的时间序列资料。 乘法模型：
Y T T S I T S I
同月平均数与季节指数对比
元/吨 1.04 1.02 1 0.98 0.96 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季节指数 同月平均 3400 3350 3300 3250 3200 3150 3100 3050 3000
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
计算季节比率及其平均数
y Mt tBiblioteka Tt St
It
S
Tt
t
It
计算季节指数
yt M
t
Tt S t I t Tt
St It
移动平均趋势剔除法
移动平均季节指数
第七章 季节时间序列分析
② 阶数判定要点： ◇差分与季节差分阶数d、D的选取，可采 用试探的方法，一般宜较低阶（如1、2、 3阶）.对于某一组d、D，计算差分后序列 的SACF与SPACF，若呈现较好的截尾或拖 尾性，则d、D适宜.此时若增大d、D，相 应SACF与SPACF会呈现离散增大及不稳定 状态； ◇通常D不会超过1阶，特别对S=12的月份 数据（B-J）； ◇SARIMA模型应慎重使用，特别序列长度 不够理想时（B-J）.
• 构造原理
– 短期相关性用低阶ARIMA(p,d,q)模型提取 – 季节相关性用以周期步长S为单位的 ARIMA(P,D,Q)模型提取 – 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系.
（一） 乘积季节模型的一般形式
1、 et 可能是平稳的，也可能是非平稳的，
不妨设一般情况，
et 适合ARIMA（p，d，q）
季节差分后序列ACF、PACF特征
（1）若季节差分后序列适合MA模型: S=12 Xt-Xt-12=(1- 12B12)et=(1- 1B)(1-12B12)at =at- 1at-1- 12at-12+ 112at-12-1 季节差分后，适应MA(13)，其中i=0 （i=2,3,…,11）,ACF截尾（k=1,11,12,13不 为零，其余显著为零），PACF拖尾. 1 0 12 0 11 13 1112
（2）D阶季节差分 s)X sXt=Xt-Xt-s=（1-B t
s D Xt=（1-Bs) dXt s 2 Xt =(1-Bs) 2Xt=(1-2 Bs+ B 2s)Xt Xt=Xt-Xt-1 sXt=Xt-Xt-s a D: a:相减的时期 D:差分的阶数
设s D Xt=Wt ，则s D Xt-s=Wt-s 若Wt适合AR(1) Wt 1Wt s t , (1 1Bs )Wt t
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，s = 1- Ls若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
P (L s) s D y t = Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为p (L)du t = q (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = p-1(L)-d q (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
p(L) P(L s) (d s D y t) = q(L) Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
第七章__季节性时间序列分析方法
三、季节性模型的建模方法
利用B－J建模型方法来建立季节性时间序 列模型，首先需要判明周期性，即S的取 值，然后根据自相关和偏自相关函数提 供的信息来判别模型的类型（AR、MA 和ARMA）和阶数，最后进行参数估计 和检验，具体步骤可概括如下：
第一步，对时间序列进行差分和季节差分以得到 一个平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函 数，选择一个暂定（尝试性的）模型。 第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值 求得模型的初始估计值。并将这些估计值作为 最小二乘估计的初始值，对模型参数进行最小 二乘估计。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余进行适应 性检验，决定是否接受暂定模型。当模型的适 应性检验表明暂定模型不是最优模型时，可根
2.(1 B12 ) X t (1 1 B)(1 12 B12 )at
显然这个模型也是由两个模型组合而成：一个是 （ 1 B12 ) X t (1 12 B12 )et 它刻画不同年份同月的资料之间 的相关关系；另一个是 et (1 1 B)at 它表示同年不同月份 之间几乎不存在依赖关系，但受前一期扰动的影响，即时间 序列资料消除了季节因素之后适合一个MA（ 1 ）模型。
推而广之，季节模型的 ARMA形式 U ( B S )Wt V ( B S )et
D 或 U ( B S ) S X t V ( B S )et
(7.1.5) (7.1.6)
其中， U ( B S ) 1 u1 B S u2 B 2 S u p B pS V ( B S ) 1 v1 B S v2 B 2 S vq B qS 这里，et 是原序列消除了周期点 之间相关部分（即季节 分量）之后 的剩余序列。et 不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同 一周期点上 的相关部分，作为响应 系统，除了不同周期的 同一周期点之间具有一 定相关 随机季节模型有一定的 不足，在一定程度上说 它是一个不完备的模型 。
《时间序列分析》(第部分)解读
其中， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。 ut~IID(0,2) 是白噪声。 p(L)和P(Ls)分别 称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。 q(L)和Q(Ls)分别称作非季节与 季节移动平均算子或移动平均特征多项式。表示如下，
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut 例：对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ●： 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 例：(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶 SARIMA 模型是月度模型，表达式为，
12Lnyt= ut +1 Lut+1 L12ut+ 11 L13ut = ut +1 ut –1+1 ut – 12+ 11 ut – 13
= ut +1 ut –1+12 ut – 12+ 13 ut – 13 其中13 = 11。与 SARIMA 模型惟一不同点是，上式对 ut – 13 的系数13 没有约束，而 对季节模型来说，相当于增加了一个约束条件，13 =11。 对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度 s 的识别可以通过对实际问题的分析、 时间序列图，时间序列的相关图、偏相关图和谱图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不是呈近似线性衰减趋势，而 是在变化周期的整倍数时点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为 该时间序列可以用 SARIMA 模型描述。 ● 对 SARIMA 模型的估计、检验、诊断都与 ARIMA 模型相同。
第七章季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列阐发方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的成立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比方：建筑施工在冬季的月份傍边将减少，旅游人数将在夏季达到颠峰，等等，这种规律是由于季节性〔seasonality〕变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月〔季度，周等〕的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，假设颠末S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场所，我们往往可以从直不雅的布景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据〔周期为4〕、月度数据〔周期为12〕、周数据〔周期为7〕；②有的时间序列也可能包含长度不同的假设干种周期，如客运量数据〔S=12，S=7〕2．处置方法：〔1〕成立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列〔Buys-Ballot 1847〕对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是彼此独立的。
但是这种做法不成取，原因有二：〔1〕S 个子序列事实上并不彼此独立，硬性划分这样的子序列不克不及反映序列{}t x 的总体特征；〔2〕子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的不雅察值与上年同期相应的不雅察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？〔或实现平稳化〕，在经济上，就是考查与前期比拟的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以暗示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
季节模型
23
季节模型SARIMA
第三步，由差分序列的适当自相关和偏自相关值求 得模型的初始估计值。 第四步，对估计得到的暂定模型的剩余平方和进行 适应性检验，决定是否接受暂定模型。当适应性检验表 明暂定模型不是最优模型时，可根据检验所提供的有关 模型改进的信息，重新拟合改进模型，并对其进行适应 性检验，直到得到最优模型为止。
ARIMA建模
——季节模型
季节模型SARIMA
在某些时间序列中，由于季节性变化 ( 包括季度、月 度、周度等变化 )或其他一些固有因素的变化，会存 在一些明显的周期性，这类序列称为季节性序列。 季节性序列更是随处可见。 描 述 这 类 序 列 的 模 型 之 一 是 季 节 时 间 序 列 模 型 (seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
1.16 1.06 0.96 0.86 0.76 1981
图2 工业总产值的趋势·循环要素 TC 图形
1.11 1.06 1.00 0.95 0.89 1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1983
1985
1987
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1991
1993
1995
1997
图3 工业总产值的季节变动要素 S 图形
d
季节模型SARIMA
季节性模型的建模方法 利用 B-J 建模方法来建立季节性时间序列模型，首先需 要判明周期性，即 S 的取值，然后根据自相关和偏自相关函 数提供的信息来判断模型的类型和阶数，最后进行参数估计 和检验。具体的步骤概括如下： 第一步，对时间序列进行差分和季节差分，以得到一个 平稳序列。 第二步，计算差分后序列的自相关和偏自相关函数，选 择一个暂定（尝试性的）模型。
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法Revised at 2 pm on December 25, 2020.第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1） 将原序列分解成S 个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
第七章_季节性时间序列模型
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
2743.9 2781.5 3405.7
2854
3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
第三节 季节性检验
一、季节性MA的自相关系数 二、季节性AR的偏自相关系数
一、季节性MA模型的自相关函数
设某一季节性时间序列 的季节性，即各周期点 之间的相关性 可用：X t (1 S B S )et 而et 又适合于一个MA（ 1 ）模型， 即et (1 1 B)at 二式结合得：X t (1 1 B)(1 S B S )at
二、乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复
杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(k,m)
模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系， 模型结构如下
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
常用综合分析模型
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
第四节 季节时间序列模型的建立
1.根据时间序列的ACF和PACF确定是否为季节性 时间序列，其周期是多少； 2.对序列进行差分和季节差分，以得到一个平稳序 列； 3.计算差分后序列的ACF和PACF识别模型阶数， 选择一个初始模型； 4.对模型进行初估计，然后以初估计值为初始值， 进行普通最小二乘估计或极大似然估计；
季节性时间序列实验报告
时间序列分析实验报告——季节性时间序列时间序列分析实验报告[一] 实验目的熟悉掌握季节性时间序列模型的识别、建立、参数估计、适应性检验以及模型预测的原理，掌握数据平稳化处理的方法以及判断方法，熟悉四种模型定阶的方法及其原理，掌握适应性检验的方法。
[二]实验准备学习实验中要用到的的方法,准备数据.1、数据：1946-1970年美国各季生产者耐用品支出资料。
2实验环境:Eviews3用到的方法有1）操作方法（单位根检验、数据零均值化、作图、差分、模型回归、ACF 与PACF）。
2）理论部分通过观察ACF和PACF判断模型形式------模型识别ACF、PACF方法定阶残差方差图法定阶模型定阶F检验定阶法OLS估计----------参数估计相关系数检验法适应性检验卡方检验法模型预测方法[三]实验过程及内容一、数据处理：样本数据样本容量为100.1、输入样本y1）作图可见数据有长期趋势2）单位根检验，根据P值和t值可看出数据是不平稳的Null Hypothesis: Y has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic 5.116469 1.0000 Test critical values: 1% level -2.5892735% level -1.94421110% level -1.614532*MacKinnon (1996) one-sided p-values.做一阶差分得到y1，并且零均值化。
对y1进行单位根检验，结果数据是平稳的。
Null Hypothesis: Y1 has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic -6.238571 0.0000 Test critical values: 1% level -2.5895315% level -1.94424810% level -1.614510 作图可以看到仍有周期性分析acf和pacf发现仍有季节性2、剔除周期因素令y4=y-y(-4),零均值化后y4_0作图观察发现仍有周期性单位根检验发现序列已经平稳了Null Hypothesis: Y4_0 has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=11)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.320403 0.0000Test critical values: 1% level -2.5895315% level -1.94424810% level -1.614510*MacKinnon (1996) one-sided p-values.再对y4做一阶差分得到y4_1再对其做零均值化得y4_1_0单位根检验结果说明序列y4_1_0是平稳的，画图发现周期性已剔除。
季节性时间序列模型PPT课件
数据。
SARIMA模型
02
季节性自回归积分滑动平均模型，适用于具有明显季节性的时
间序列数据。
SARIMA-X模型
03
基于SARIMA模型的扩展，适用于具有特定季节性和非季节性
特征的时间序列数据。
季节性时间序列模型的参数
AR参数
自回归模型的参数，用于描述时间序列数据 的自相关关系。
P参数
季节性自回归模型的参数，用于描述时间序 列数据的季节性特征。
在股票价格的时间序列分析中，可以使用季节性自回归积分滑动 平均模型（SARIMA）等季节性时间序列模型来拟合数据，并预 测未来的股票价格走势。
通过对股票价格的时间序列数据进行季节性分析和预测，可以帮 助投资者制定更加科学和有效的投资策略，提高投资收益。
案例二：气温变化的季节性分析
01
气温变化的季节性分析是另一个应用季节性时间序列模型的案例。通过对气温 历史数据的季节性分析，可以了解气温变化的规律和趋势，为气象预测和气候 变化研究提供支持。
感谢您的观看
02
03
季节性时间序列模型的分类：根据不同 的分类标准，季节性时间序列模型可以 分为不同的类型。常见的分类标准包括 模型的复杂度、季节性周期的长度等。 常见的季节性时间序列模型包括季节性 自回归积分滑动平均模型（SARIMA）、 季节性指数平滑模型（SEAS）等。
季节性时间序列模型的应用实例： SARIMA模型在股票市场预测中取得 了较好的效果；SEAS模型在电力需求 预测中得到了广泛应用。这些应用实 例证明了季节性时间序列模型在数据 分析和预测中的实用性和有效性。
对未来研究方向的展望
改进现有模型的性能
尽管现有的季节性时间序列模型取得 了一定的成果，但仍存在一些局限性 ，如对异常值的敏感性、对非平稳数 据的适应性等。未来的研究可以针对 这些局限性，对现有模型进行改进， 提高模型的预测精度和稳定性。
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1.一阶自回归季节模型
Wt 1Wts et 或 (11BS )Wt et 若还原为X t序列，有： (11BS )SD X t et
2.一阶移动平均季节模型
Wt et 1ets 或 Wt (11BS )et 还原为 X t序列，有：SD X t (11BS )et
3.季节性的SARIMA
1996 1909.1 1911.2 1860.1 1854.8 1898.3
1966 1888.7 1916.4 2083.5 2148.3 2290.1 2848.6
1997 2288.5 2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4 2239.6
xt Tt St It
X1图
趋势拟合图
随机波动序列图
第二节 季节性时间序列模型
一、随机季节模型 二、乘积季节模型 三、常见的随机季节模型
一、 随机季节模型
❖ 随机季节模型，是对季节性随机序列中不同 周期的同一周期点之间的相关关系的拟合。 （列关系）
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例2 对1993年——2000年中国社会消费品零售总额
序列进行确定性时序分析
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1993 977.5 892.5 942.3 941.3 962.2 1005.7 963.8 959.8 1023.3 1051.1 1102 1415.5
2004 26.0 19.1 15.7 21.6
2005 25.1 18.6 15.1 20.8
二、季节时间序列重要特征 周期性
时序图
三、季节指数
❖ 季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期内各 时期季节性影响的相对数
❖ 季节模型
xij x S j Iij
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❖ 模型
加法模型 乘法模型
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方法特色
❖ 普遍采用移动平均的方法
用多次短期中心移动平均消除随机波动 用周期移动平均消除趋势 用交易周期移动平均消除交易日影响
例2 续
❖ 对1993年——2000年中国社会消费品零售总 额序列使用X-11过程进行季节调整
❖ 选择模型（无交易日影响）
2348 2454.9 2881.7
1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2
2326 2286.1 2314.6 2443.1
2536 2652.2 3131.4
1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8
2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7
(3)计算季节指数
月份 1 2 3 4 5 6
季节指数 0.982 0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
月份 7 8 9 10 11 12
季节指数 0.929 0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Sˆt
Tt
It
(4)拟合长期趋势
U (BS )Wt V (BS )et
或
U
(
B
S
)
D S
X
t
V (BS )et
其中，U (BS ) 1 1BS 2B2S k BkS
V (BS ) 1 1BS 2B2S mBmS
这里，et是原序列消除了周期点之间相关部分（即季 节分量）之后的剩余序列。et不一定独立。因为我们 仅消除了不同周期的同一周期点上的相关部分，作为 响应系统，除了不同周期的同一周期点之间具有一定 相关关系外，同一周期的不同周期点之间也有可能具 有一定的相关关系。因此，随机季节模型有一定的不 足，在一定程度上说它是一个不完备的模型。
2000 2774.7
2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636 2854 3029 3108 3680
(1)绘制时序图
(2)选择拟合模型
❖ 长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动 同时作用于该序列，因而尝试使用混合模型 （b）拟合该序列的发展
xt St (Tt It )
季节指数的计算
❖ 计算周期内各期平均数
❖ 计算总平均数
n
xik
xk
i 1
n
, k 1,2,, m
❖ 计算季节指数
nm
xik
x i1 k 1 nm
Sk
xk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解
❖ 季节指数反映了该季度与总平均值之间的一 种比较稳定的关系
❖ 如果这个比值大于1，就说明该季度的值常常 会高于总平均值
❖ 如果这个比值小于1，就说明该季度的值常常 低于总平均值
❖ 如果序列的季节指数都近似等于1，那就说明 该序列没有明显的季节效应
例1 季节指数的计算
季节指数图
四、综合分析
❖ 常用综合分析模型
加法模型
乘法模型
xt Tt St It
混合模型
xt Tt St I t
a) xt St Tt It b) xt St (Tt It )
Tˆt 1015.522 20.93178t
(5)残差检验
xt Sˆt
Tˆt
It
(6)短期预测
xˆt (l) Sˆtl Tˆtl
五、X-11过程
❖ 简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过程。它 的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
❖ 因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
第七章 季节模型
第一节 季节时间序列的重要特征 第二节 季节时间序列模型
一、季节时间序列表示
案例：下表是某地区2001－2005年的旅游业产值。
年 份
1季 2季 3季 4季
2001 25.2 17.1 12.6 19.3
2002 24.4 18.4 14.1 18.9
2003 23.8 19.4 13.8 21.0
1994 1192.2 1162.7 1167.5 1170.4 1213.7 1281.1 1251.5
1286 1396.2 1444.1 1553.8 1932.2
1995 1602.2 1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1
1756 1818 1935.2 2389.5