《机械工程控制基础》(杨叔子主编)PPT第五章+系统的稳定性.

j
稳
不 s平面
定
稳
区
定
区
所以：
稳
不
定
稳
区
定
区
临界
稳定
9
5.1系统稳定性的初步概念（系统稳定的判别方法）
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh判据是基于方程式根与系数的关系建立的，通过对系统特 征方程式的各项系统进行代数运算，得出全部根具有负实部的条件， 从而判断系统的稳定性。
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
8s3 24s
s1 16 6
s 0 16
结论：系统是不稳定的(本题是临界稳定)。 由辅助方程式可以求的系统对称于原点的 根:
(2p=4,p=2)
即：s4 6s2 8 0 (s2 2)(s2 4) 0 s1,2 j 2 s3,4 j2
这两对根是原方程的 根的一部分。
D(s) s6 2s5 8s 4 12s3 20s 2 16s 16 0
试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 2 12 16 s3 0 0 s2
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
Routh表中出现某行系数全为零，这是因为在系统的特征方程中出 现了对称于原点的根（如大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚 根；对称于原点的两对共轭复数根）。
稳定指控制系统在外作用消失后自动恢复原有平衡 状态或自动地趋向于一个新的稳定平衡状态的能力。
如果系统不能恢复稳定状态，则认为系统不稳定。
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5.1系统稳定性的初步概念
一、系统不稳定现象得发生
图a所示的摆假设受到扰动力而左右摆动，经过一定时间后， 由于空气介质的阻尼作用，单摆将重新回到原来的平衡位置，此 时称单摆是稳定的。
图b为一个倒立摆，该摆在图示位置是平衡的，但是当受到 扰动力而偏离平衡位置后，即使扰动力消失，摆也不能自动重新 回到平衡位置，此时称倒立摆是不稳定的。
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5.1系统稳定性的初步概念
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5.1系统稳定性的初步概念
上例中，系统是在输入撤销后，从偏离平衡位置所处得初 始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的，故线性系 统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。
s4
1
25
s3
2
40
s2

5
s1 4 10

s0
5
若劳斯表某行第一列系数为零，
则劳斯表无法计算下去，可以用无穷 小的正数ε代替0，接着进行计算，劳 斯判据结论不变。
由于劳斯表中第一列系数有 负，系统是不稳定的。
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
2）劳斯表中出现某行系数全为零 例5.6：设线性系统特征方程式为：
解决的办法： 对称于原点的根可由全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式
F(s)=0求得，而全零行的系数则由全零行上面一行的系数构造一个辅 助多项式F(s)对s求导后所得的多项式系数来代替，劳斯表可以继续计 算下去。（s的次数为偶数） 结论：一旦劳斯表中出现某行系数全为零，则系统的特征方程中出现 了对称于原点的根，系统必是不稳定的。劳斯表中第一列系数符号改 变的次数等于系统特征方程式根中位于右半s平面的根的数目。
D(s) s3 ( 1)s2 ( 1)s 1 0 试确定待定参数及，以便使系统稳定。
解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表：
根据Routh表，由系统稳定的充要条件，有：
（1）＋1 0,即 1; (2)( ) 0,即 0, ; (3) 1 0,即 1。 所以，使系统稳定的、的取值范围为： 0及 1。
这些数值相同、符号相异的成对的特征根，可通过解由辅助多项 式构成的辅助方程得到，即2p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。 18
5.2 Routh（劳斯）稳定判据
对于本例：
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s 4 2 12 16 2s4 12s2 16
s3 8 24 s 2 6 16
第五章 系统的稳定性
◆ 系统稳定性的初步概念 ◆ Routh（劳斯）稳定判据 ◆ Nyquist（乃奎斯特）稳定判据 ◆ Bode（伯德）稳定判据 ◆ 系统的相对稳定性 ◆ 利用MATLAB分析系统的稳定性
习题：5.4，5.7，5.9（4），5.12 1
5.1系统稳定性的初步概念
控制系统能够在工程实际中应用的首要条件是系统 必须稳定。控制系统的稳定性分析是控制理论的重要组 成部分。分析系统的稳定性，提出保证系统稳定的措施， 是控制工程的基本任务之一。
参考教材P163 图5.2.2
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
三、Routh判据的特殊情况
1）劳斯表第一列出现系数为零。
例5-5：设线性系统特征方程式为： D(s) s 4 2s3 2s3 4s 5 0 试判断系统的稳定性。
解：建立劳斯表：
s4 1 2 5 s3 2 4 0 s2 0 5 s1 s0
分析P155 单位反馈系统
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定 性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为 零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。
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5.1系统稳定性的初步概念
二、稳定的定义
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5.1系统稳定性的初步概念
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5.1系统稳定性的初步概念
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5.1系统稳定性的初步概念
s3 4 6 s 2 6 16 s1 100 s0 16
二、系统稳定的充要条件
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）
由此可见，应用Routh判据，可在不求系统特征根的情况下，判 断系统的稳定性。
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据（判断系统稳定性）
例5.4：设某系统的特征方程
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5.2 Routh（劳斯）稳定判据
例5.7Байду номын сангаас设线性系统特征方程式为：
D(s) s6 s5 2s 4 3s3 7s 2 4s 4 0
试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：
s6 1 2 7 4
s5 1 3 4 0
s4 1 3 4
s4 3s2 4