高中数学三角函数1.2讲义
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高中数学
任意角的三角函数及同角三角函数的关系
知识点
知识点一 三角函数的概念
1.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那
么:
(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ;
(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ;
(3)y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x
(x ≠0). 2.一般地,设角α终边上任意一点的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x
. 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).
知识点三 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等,即:
sin(α+k ·2π)=sin α,cos(α+k ·2π)=cos α,
tan(α+k ·2π)=tan α,其中k ∈Z .
作用:可把任意角的三角函数值问题转化为0~2π间角的三角函数值问题.体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域
正弦函数y =sin x 的定义域是R ;余弦函数y =cos x 的定义域是R ;正切函数y =tan x 的定义域是{x |x ∈R
且x ≠k π+π2
,k ∈Z }. 知识点五 三角函数线
如图,设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ,垂足为M ,过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .
知识点六同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:tan α=sin α
cos α(α≠kπ+π
2,k∈Z).
2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.
(2)tan α=sin α
cos α的变形公式:
sin α=cos αtan α;cos α=sin α
tan α.
题型一三角函数定义的应用
【例1】已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=10
10x,求sin θ,tan θ.
【例2】已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值;
2.角α的终边经过点P (-b,4)且cos α=-35
,则b 的值为( ) A .3 B .-3 C .±3 D .5
题型二 三角函数符号的判断
【例1】判断下列三角函数值的符号:
(1)sin 3,cos 4,tan 5;
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角).
【例2】若tan x <0,且sin x -cos x <0,则角x 的终边在(
) A .第一象限 B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
【过关练习】
1.若sin θ<0且tan θ<0,则θ是第 象限的角.
2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.
题型三 诱导公式一的应用
【例1】求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
(2)sin ⎝⎛⎭⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π.
【过关练习】
1.求下列各式的值:
(1)cos 25π3+tan ⎝⎛⎭⎫-15π4;
(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°.
2.sin(-1 380°)的值为( )
A .-12 B.12 C .-32 D.32
3.求下列各式的值.
(1)a 2sin(-1 350°)+b 2tan 405°-2ab cos(-1 080°);
(2)tan 405°-sin 450°+cos 750°.
题型四 利用三角函数线求角、解不等式
【例1】根据下列三角函数值,作角α的终边,然后求角的取值集合:(1)cos α=12
;(2)tan α=-1.
【例2】利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围.
(1) sin θ≥
32;(2)-12≤cos θ<32
.
【例3】当α∈⎝⎛⎭
⎫0,π2时,求证:sin α<α 【过关练习】 1.如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( ) A .cos α B .tan α C .sin α D .cos α 2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A .正弦线PM ,正切线A ′T ′ B .正弦线MP ,正切线A ′T ′ C .正弦线MP ,正切线AT D .正弦线PM ,正切线AT 3.在[0,2π]上,满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π6 B.⎣⎡⎦⎤π6,5π6 C.⎣⎡⎦⎤π6,2π3 D.⎣⎡⎦⎤5π6,π 题型五 求三角函数定义域 【例1】求下列函数的定义域. (1)f (x )=sin x ·tan x ; (2)f (x )=lg sin x +9-x 2. 【过关练习】 1. 求函数f (x )=1-2cos x +ln ⎝⎛⎭⎫sin x -2 2的定义域. 2.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫x -π 3的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫ x |x ≠π3,x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π6,k ∈Z