高中数学三角函数1.2讲义

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高中数学

任意角的三角函数及同角三角函数的关系

知识点

知识点一 三角函数的概念

1.利用单位圆定义任意角的三角函数

如图,在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那

么:

(1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ;

(2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ;

(3)y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x

(x ≠0). 2.一般地,设角α终边上任意一点的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r ,则sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x

. 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图).

知识点三 诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等,即:

sin(α+k ·2π)=sin α,cos(α+k ·2π)=cos α,

tan(α+k ·2π)=tan α,其中k ∈Z .

作用:可把任意角的三角函数值问题转化为0~2π间角的三角函数值问题.体现了三角函数的周期性。 知识点四 三角函数的定义域

正弦函数y =sin x 的定义域是R ;余弦函数y =cos x 的定义域是R ;正切函数y =tan x 的定义域是{x |x ∈R

且x ≠k π+π2

,k ∈Z }. 知识点五 三角函数线

如图,设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ,垂足为M ,过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .

知识点六同角三角函数的基本关系1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.

(2)商数关系:tan α=sin α

cos α(α≠kπ+π

2,k∈Z).

2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.

(2)tan α=sin α

cos α的变形公式:

sin α=cos αtan α;cos α=sin α

tan α.

题型一三角函数定义的应用

【例1】已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=10

10x,求sin θ,tan θ.

【例2】已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin α,cos α,tan α的值;

2.角α的终边经过点P (-b,4)且cos α=-35

,则b 的值为( ) A .3 B .-3 C .±3 D .5

题型二 三角函数符号的判断

【例1】判断下列三角函数值的符号:

(1)sin 3,cos 4,tan 5;

(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角).

【例2】若tan x <0,且sin x -cos x <0,则角x 的终边在(

) A .第一象限 B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限

【过关练习】

1.若sin θ<0且tan θ<0,则θ是第 象限的角.

2.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角.

题型三 诱导公式一的应用

【例1】求下列各式的值:

(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;

(2)sin ⎝⎛⎭⎫-11π6+cos 12π5·tan 4π.

【过关练习】

1.求下列各式的值:

(1)cos 25π3+tan ⎝⎛⎭⎫-15π4;

(2)sin 810°+tan 765°-cos 360°.

2.sin(-1 380°)的值为( )

A .-12 B.12 C .-32 D.32

3.求下列各式的值.

(1)a 2sin(-1 350°)+b 2tan 405°-2ab cos(-1 080°);

(2)tan 405°-sin 450°+cos 750°.

题型四 利用三角函数线求角、解不等式

【例1】根据下列三角函数值,作角α的终边,然后求角的取值集合:(1)cos α=12

;(2)tan α=-1.

【例2】利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围.

(1) sin θ≥

32;(2)-12≤cos θ<32

.

【例3】当α∈⎝⎛⎭

⎫0,π2时,求证:sin α<α

【过关练习】

1.如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( )

A .cos α

B .tan α

C .sin α

D .cos α

2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A .正弦线PM ,正切线A ′T ′

B .正弦线MP ,正切线A ′T ′

C .正弦线MP ,正切线AT

D .正弦线PM ,正切线AT

3.在[0,2π]上,满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )

A.⎣⎡⎦⎤0,π6

B.⎣⎡⎦⎤π6,5π6

C.⎣⎡⎦⎤π6,2π3

D.⎣⎡⎦⎤5π6,π

题型五 求三角函数定义域

【例1】求下列函数的定义域.

(1)f (x )=sin x ·tan x ;

(2)f (x )=lg sin x +9-x 2.

【过关练习】

1. 求函数f (x )=1-2cos x +ln ⎝⎛⎭⎫sin x -2

2的定义域.

2.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫x -π

3的定义域为( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫

x |x ≠π3,x ∈R

B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π6,k ∈Z

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