初中一元二次方程课件ppt

1、下列式子哪些是方程？
方程的本质 特征是什么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？

一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0

练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x 2 5x 3
不是 是 不是
2
x 4
2
x2 2 x x 1
x 4 ( x 2)
2
不是
2+bx+c=0（a≠0) ax
讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0 会出现什么情况？b、c能不能为0？
2 2 y x 3
,对称轴是
, 侧,
侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 方(除顶点外).
时,函数y的值最小,最小
(2)抛物线
在x轴的
方(除顶点外),在对称
轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的 ,
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 当x 0时,y<0.
六、本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次 数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0 （a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据 一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其 系数的定义是一致的。 3、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的 一种有效数学模型。 4、二次函数y=ax2的图象是什么？ 5、二次函数y=ax2的图象有何性质？ 6、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系？
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
议一议
y
yx
x
2
观察图象,回答问题：
(1)图象是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点？
O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？ (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
y ax 2
二次函数y=ax2的性质
y ax 2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点, 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
课件内容：一元二次方程的解
及 其 图 像
课 件 制 作 ： 杜 勇 江
E-mail:@1059942227qq.com
一元一次方程 二元一次方程（组） 分式方程 数的开方 二次根式 一元二次方程
二次函数
教学目标：
1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一 元二次方程整理成一般形式（≠0），并能指 出二次项系数、一次项系数和常数项。 2、经历由实际问题抽象出一元二次方程和过 程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关 系的一种有效数学模型，增加对一元二次方 程的感性认识。 3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次 方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的 必要性和重要性。

问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7．2万册。求这两年的年平均增长率。

解：设这两年的年平均增长率为x, 去年底：5 今年底：5＋5x＝5（1＋x）
注意：每年都是 在上一年的基础 上增长！
明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x ＝5（1＋x）（1＋x） ＝5 （1＋x）2 根据题意得方程：5（1＋x）2＝7.2

整理得： x2＋10x－900＝0 5x2＋10x－2.2＝0
（1） （2）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。 一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
2+bx+c=0（a≠0) ax
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0
2+bx+c=0 ax
二次项 一次项 常数项
练习 1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一 次项系数和常数项：
方程 二次项 系数 一次项 系数 常数项
2x 2 x 3 0
2 3 1
1 0 －3
－3 －5 0
3x 5 0
2
x … -3 -2 -1 9 4 1 0 0 1 1 2 4 3 9 …
y=x2 …
…
描点,连线
y
10 8 6 4
y=x2
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
yx
2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长 比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设长方形绿地的宽为x米， 设未知数 则长为（x＋10）米，可得方程： 长×宽＝面积 x（x＋10）=900， 整理可得：x 2 10 x 900 0 （1） 相等关系

m 1
mx m 1 0
2
是一元二次方程，求m的值。
分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2， 解之得，m=1或m=－1， 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1， 所以m=1。
温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
§26.1
2的 二次函数y=ax
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 在对称轴 值是 y随着x的增大而减小,当x= ,抛物线y=2x2在x轴的
（4）x( x 1) 3( x 5) 4 2
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
五、拓展练习：

1、 关于x的方程ax2 —2bx＋a＝2x2, 在什 么条件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？

解：移项：ax2 —2bx＋a－ 2x2 ＝0 合并同类项：（a－2）x2 —2bx＋a＝0 所以，当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
做一做
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
…
…
-3
-9
-2
-4
-1
-1
0
0
1
-1
2
-4
3
-9
…
…
你能根据表格中的数据作出 猜想吗
？
做一做
描点,连线
yx
2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。

问题1、绿Hale Waihona Puke Baidu小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？

问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
-4 -3 -2 -1
y 2 0
-1 -2
-4 -6
1
2
3
4
x
?
-8 -10
2 y=-x
y
y x
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.
2
当x>0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.
当x= -2时,y= -4 当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
图象和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① ③
yx
2
2
y xx
1 ② yx x
2
④ yx
2
x 1
1 2 ⑤ y x 2x 4 3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。

什么叫方程的根？ 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
解：把x＝2代入原方程得： (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 解这个方程得：m＝6

3、已知关于x的方程
（m 1) x
x 3x 0
2
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（ ）x x 2 13
2
3x2－1x－2=0 2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－5x－11=0
（2）x 3 2 x 2 7
（3）x(2x 1) 3x( x 2) 0