向量的概念、表示和线性运算经典练习题

专题三《向量的概念、表示和线性运算》综合检测

一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ）

A. 单位向量都相等

B. 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C. 若a ，b 满足|a |>|b |且a 与b 同向，则a >b

D. 对于任意向量a 、b , 必有|a +b |≤|a |+|b |

2. 当|a |=|b |≠0且a 、b 不共线时，a +b 与a －b 的关系是（ ）

A. 平行

B. 垂直

C. 相交但不垂直

D. 相等

3．下列命题中正确的是( )

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．模相等的两个平行向量是相等向量

C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b

D ．两个相等向量的模相等

4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA +OB +OC =0，

则O 是△ABC 的（ ） A. 重心

B. 垂心

C. 内心

D. 外心

5． 若||=8，||=5，则||的取值范围是（ ）

A.［3，8］

B.（3，8）

C.［3，13］

D.（3，13）

6． 已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若AB =a ,AC = b ，则AM 等于（ ）

A.

21(a - b ) B. 21

(b - a ) C. 21( a + b ) D. 1

2

(a + b )

7． 已知=a ，=b, =c ,=d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）

A. a +b +c +d =0

B. a －b +c －d =0

C. a +b －c －d =0

D. a －b －c +d =0

8．已知O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，则下面结论中不正确的是( )

A.AB CB AC +=

B. AB AD AC +=

C. AD CD BD +=

D.AO CO OB OD +++≠0 9．下列各式结果是AB 的是( )

A.AM MN MB -+

B.AC BF CF -+

C.AB DC CB -+

D.AB FC BC -+

10．在四边形ABCD 中，若1

2

AB CD =-，则此四边形是( )

A ．平行四边形

B ．菱形

C ．梯形

D ．矩形

二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11．化简：

（1）（CD AB -）－(BD AC -)= . （2）()()PQ MO QO QM -+-= .

12．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD =a ，

则++=_____________.（用a 表示）

13．若a 、b 是不共线向量，p ＝2a －3b ，q ＝－a ＋5 b ，x ，y ∈R ，x p ＋y q ＝2a －b ，则

x ＝ .

14．如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝ ，

OQ ＝ (用a 、b 表示)

三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演

算步骤. 15. (本题满分12分)

已知在矩形ABCD 中，宽为2

，长为,AB =a , BC =b , AC =c , 试作出向量a+b+c ， 并求出其模的大小.

16．(本题满分12分)

已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=.

17．(本题满分14分)

向量a ＝－e 1＋3 e 2＋2 e 3，b ＝4 e 1－6 e 2＋2 e 3，c ＝－3 e 1＋12 e 2＋11 e 3，问a 能否表 示a ＝1λb ＋2λc 的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由.

18．(本题满分14分)

设两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB =2 e 1+3 e 2，BC =6 e 1+23 e 2, CD =4 e 1－8 e 2， 求证：A 、B 、D 三点共线．

专题三《向量的概念、表示和线性运算》综合检测参考答案

一、选择题

二、填空题

11. (1)0 (2)PQ 12. 14-a 13. 97

14. 2133+a b , 12

33+a b

三、解答题

15. 8 16. 略 17. 1211

,105

λλ=-

= 18. 略