连续系统离散化

yk1 yk Tuk
常用环节的离散相似模型
即
yk1 yk Tuk
这个差分方程与利用欧拉法所得的数值积分 公式是完全一致的。
采用一阶保持器：
G(z)
Z
T
(1
T
s)
1
eTs Ts
2
1
s
T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1
yk
3 2 Tuk
对G(z)进行反变换，可得惯性环节的差分方
程为yk1
eaT yk
k a 2T
1 eaT
aTeaT
uk
k a 2T
aT eaT 1 uk1
连续系统按结构图的离散相似法仿真
仿真步骤： （1）把系统的各环节离散化（可选取适当
的信号重构器），求出各环节的差分方程； （2）依据系统结构图及各环节的差分方程
连续系统的离散化
（2）选择合理的信号重构器。为了使离散信 号能完全恢复为原来的连续信号，要求一 种理想的信号重构器，但这种理想的信号 重构器是不可能实现的，因此只能选择合 适的信号重构器，使被恢复的连续信号尽 可能接近原来的连续信号。
连续系统的离散化
G(z) ZGh (s)G(s)
为了使G(z)能比较准确地代表G(s)，有两点 需注意。
环节2是一阶惯性环节，其传递函数为
X (s) k0 k0 T1 U (s) T1s 1 s 1 T1 x(k 1) eT T1 x(k ) k0 (1 eT T1 )u(k )
连续系统按结构图的离散相似法仿真
环节3也是一阶惯性环节，其传递函数为
Y (s) 1 1 T2 X (s) T2s 1 s 1 T2
连续系统的数字仿真
离散相似法
连续系统的离散化
首先要得到一个与被仿真系统等价的离散 模型。这个模型可以通过对连续系统的离 散化过程来获得。它分成以下五步：
① 首先对输入信号u(t)进行采样，即在输入 端加一个采样开关S1，其采样周期为T。
② 连续变化的信号u(t)经过采样开关后，变 成了一个离散信号u(kT)。为保证模型的等 价性，首先要求信号等价，因此它不能直 接进入原来的连续系统，而必须加上一只 信号重构器，它使信号u(k)重新变成一个 连续信号uh(t)， uh(t)u(t)。
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
uh (t) u(kT)
T
(t kT)
Gh (s)
eTs T
1
eTs s
2
kT t (k 1)T
信号重构器的特性及传递函数
常用环节的离散相似模型
（1）积分环节
G(s) 1 s
采用零阶保持器：
G(z)
Z
1
eTs s
1 s
Baidu Nhomakorabea
T z 1
对G(z)进行反变换，可得积分环节的差分方
程为
连续系统按结构图的离散相似法仿真
时域解法求取离散系统差分方程
线性定常系统的状态空间表达式如下
（1）选择合理的采样周期T。当一个连续变 化的信号通过一只采样开关后，它就变成 了一个离散信号，为使后者保持连续信号 的等全式部：信息，要求采样周T期 T满足以下不 m 连续信号的最高角频率。m
信号重构器的特性及传递函数
（1）零阶信号重构器
uh (t) u(kT), kT t (k 1)T
y(k 1) eT T2 y(k) (1 eT T2 )x(k)
k0=10;t1=5;t2=10; kc=2;ti=10; ts=0.1;N=1000; r=1; sp=r*ones(1,N); e0=0;x0=0;u0=0;y0=0;t=0; for i=1:N
e=r-y0; u=kc*e+(ts/ti-1)*kc*e0+u0; x=x0*exp(-ts/t1)+k0*u*(1-exp(-ts/t1)); y=y0*exp(-ts/t2)+x*(1-exp(-ts/t2)); t=t+ts; tt(i)=t; yy(i)=y; u0=u;e0=e;x0=x;y0=y; end plot(tt,yy,tt,sp,'--')
s
k
a
k 1 eaT a z eaT
对G(z)进行反变换，可得惯性环节的差分方
程为
yk 1
eaT
yk
k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
1
e s
Ts
2
s
k
a
k a 2T
aT eaT 1 z 1 eaT aTeaT z eaT
关系，采取逐点计算各变量在不同时刻的 值，并可得仿真结果。
连续系统按结构图的离散相似法仿真
例：
（1）各环节的差分方程
环节1是比例积分调节器，其传递函数为
G(s)
kc
kc Ti s
连续系统按结构图的离散相似法仿真
比例项为： u1 kce
积分项为：
u2
kc Ti s
e
u(k)
因为
u1 (k )
u2 (k )
kc e(k )
u2 (k
1)
kcT Ti
e(k
1)
u2 (k 1) u(k 1) u1(k 1) u(k 1) kce(k 1)
u(k)
u1 (k )
u2 (k )
kc e(k )
kcT Ti
e(k
1)
kce(k 1) u(k 1)
连续系统按结构图的离散相似法仿真
u(k) kce(k) (T / Ti 1)kc e(k 1) u(k 1)
T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
1
e Ts s
2
1
s
T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1
yk
T 2
T (uk1
uk
)
常用环节的离散相似模型
（2）惯性环节
G(s) k sa
采用零阶保持器：
G(
z
)
Z
1
eTs s
Gh
(s)
1
e Ts s
信号重构器的特性及传递函数
（2）一阶信号重构器
uh
(t
)
u(k
T)
u(k
T
)
u(k
T
1)T
(t
k
T)
kT t (k 1)T
Gh (s)
T
(1
Ts)
1
eTs Ts
2
信号重构器的特性及传递函数
信号重构器的特性及传递函数
（3）三角形信号重构器
u(k 1)T u(kT)