江苏省2016年专转本高等数学试卷及解答

可见 f (x) 的一个原函数是 −sin x （取 C=1 C=2 0 ），答案：B． 4．二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′ − y′ − 2 y =2xe−x 的特解 y* 的正确假设形式为 ( D )．
A ． Axe−x
B ． Ax2e−x
C ． ( Ax + B)e−x
D ． x( Ax + B)e−x
20． 计算二重积分 ∫∫ xdxdy ，其中 D 是由直线 y= x + 2 ，x 轴及曲线=y D
域．
∫∫ ∫ ∫ ∫ = 解 xdxdy D
2
4− y2
= dy xdx
1
2 x2
4− y2
dy
0
y−2
20
y−2
4 − x2 所围成的平面闭区
y y= x + 2
2 =y 4 − x2
∫ ∫ =
1
A ． tan x
B ． 1− x −1
C ． x2 sin 1 x
D ．e x −1
解
lim = tan x
l= im x 1 ， lim
1− x −1 =
lim
1 (−x) 2=
−
1
，
x2 sin 1 lim=x
l= im x sin 1
0，
x→0+ sin x x x→0+
x→0+ sin x
∑∞ 1 + (−1)n
12．无穷级数 n=1 2n
▲
．（请填写收敛或发散）发．散．
∑ ∑ ∑ ∞ 1
∞ (−1)n
∞ 1 + (−1)n
解 因为级数
发散，
收敛，所以无穷级数
发散．
n=1 2n
n=1 2n
n=1 2n
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
13．
1 求极限 lim(
x→0
x→0
因为
f−′(0) =
lim
x→0−
f (x) − x
f (0) =
lim | x | = x x→0−
−x lim x x→0−
=
−1 ，
= f+′(0)
lim f (x) − = f (0)
x→0+
x
lim= | x | x x→0+
l= im x x x→0+
1 ，所以函数 f (x) =| x | 在 x = 0 不可导．
绝密★启用前
江苏省 2016 年普通高校专转本选拔考试
高等数学 试题卷
注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共 3 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．
y= x 1
（1）求平面区域 D 的面积；
O
1x
（2）求平面区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．
∫ 解 （1）平面图形面积 A =
1
(
1− x2 +1−
x )dx =
π
+ (x −
2
31
x2 )
=
π +1；
0
4
3
43
0
∫ ∫ （2）旋转体的体积V=x
π
1
[(
0
1 − x2 + 1)2 − x]d=x
▲
．y= 1
2
解 lim= f (x) lim x2 +1= sin 1 lim x2 = +1 ⋅ 1 1 ，所以水平渐近线方程为 y = 1 ．
x→∞
x→∞ 2x
x x→∞ 2x x 2
2
2x
∫ 11．函数 F (x) = ln t dt ，则 F′(x) = x
▲
． 2ln 2 + ln x
解 F′(x) = ln 2x ⋅ 2 − ln x = 2ln 2 + 2ln x − ln x = 2ln 2 + ln x ．
x x→0+
2 x→0+ sin x x→0+
x
答案：C．
3．设函数 f (x) 的导函数为 sin x ，则 f (x) 的一个原函数是（ B ）．
A ． sin x
B ． −sin x
C ． cos x
D ． − cos x
∫ ∫ 解 f ′(x) = sin x ，f (x) = sin x dx = − cos x + C1 ，f (x) 的原函数 (− cos x + C1) dx = −sin x + C1x + C2 ，
0 1+t
0 1+t
0
∫ 16． 求不定积分
ln (1 +
x x)2
dx
．
解
∫
ln (1 +
x x)2 dx
= −∫ ln
xd 1 1+
x
= − ln x 1+ x
+
∫
1
1 +
d ln x
x
= − ln x 1+ x
+
∫
1
1 +
x
⋅
1 x
dx
= − ln x 1+ x
+
∫
(
1 x
−
1
1 +
x
)dx
= − ln 1+
x→0 x sin x
−
cos x2
x
)
．
解
lim(
x→0
x
1 sin
x= − coxs2 x )
lim
x→0
x
−xc= 2ossixnsxin x
x − cos x sin x
lim
x→0
x3
=
lim= 1− cos 2x
1 (2x)2 li= m 2
2．
x→0 3x2
x→0 3x2
3
14． 设函数 y = y(x) 由方程 exy= x + y 所确定，求 dy ． dx
8．
求由直线 l1 ：
x= − 1 1
y= − 1 3
x= 1+ t
z
− 1
1
和直线
l2
：

y= z=
1 + 2t 所确定的平面方程． 1+ 3t
i j k 解 依题意所求平面经过点 (1，1，1) ，法向量 n = 1 3 1 = 7i − 2 j − k ，因而所求平面方程为
2
[(4
−
y2
)
−
(
y
−
2)2
]d=y
2 (2 y − y2 )d=y
4 ．
20
0
3
−2 O
2x
∫∫ ∫ ∫ ∫ 或 = xdxdy
π
4 cosθ
4 dθ r(r cosθ = − 2)dr
π 4
(1
cosθ
⋅
r3
−
r2)
4 cosθ
dθ
0
0
D
03
0
∫ ∫ =
π 4
(
64
cos4
θ
−16 cos2 θ )dθ
=
16
π
4 (4 cos4 θ − 3cos2 θ )dθ
03
30
∫ ∫ =
16
π 4
[(1 +
cos
2θ
)2
−
3
(1 +
cos
2θ
)]d=θ
16
π 4
[(1+2cos2θ
+
1
+
cos
4θ
)
−os
2θ
)]dθ
30
2
30
2
2
π
∫ = 8
π
4 (cos 2θ + cos 4θ )dθ
= 8 (1 sin 2θ
C ． −2dx + 2dy
D ． −2dx − 2dy
解 ∂=z 2(x − y) ， ∂z = −2(x − y) ， d z =∂z dx + ∂z dy =2(x − y)(dx − dy) ，
∂x
∂y
∂x ∂y
dz = 2dx − 2dy ，答案：B． =x 1，=y 0
∑ 6．幂级数
∞ n=1
e−∫ p(x)dx ( q(x= )e∫ p(x)dxdx + C)
−
e
∫
2 x
dx
(
sin x2
xe
∫
2 x
dx
dx
+
C
)
∫ = 1 ( sin xdx + C) = 1 (− cos x + C) ，
x2
x2
由 y(π ) = 0 得 C = −1，因而所求解为 y = − cos x +1 ． x2
解
e xy
(
y
+
x
dy dx
)
= 1+ dy dx
，
dy dx
1 − yexy = xexy −1
．
∫5
15． 计算定积分
1
dx ．
1 1+ x −1
∫ ∫ ∫ 5
解
1
dx
x −1 =t
2
2t
dt = 2
2
(1 −
1
)dx = 2(t − ln(1 + t)) 2 = 2(2 − ln 3) ．
1 1+ x −1
解 由 r2 − r − 2 =0 得 r1 = −1，r2 = 2 ，可见 λ = −1 是特征单根， 因而可设特解= y* x( Ax + B)e−x ，答案：D．
5．函数 =z (x − y)2 ，则 dz
= （ B ）．
=x 1，=y 0
A ． 2dx + 2dy
B ． 2dx − 2dy
2
x→+∞
x→+∞
2
小值 f (− 1)=
f (1)=
0
，因而，当
x
≥
−
1
时，有
f
(x)
≥
0
，即有 2x3
+1≥
3x2
y ．
y = 1− x2 +1
2
2
五、综合题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 23．平面区域 D 由曲线 x2 + y2 = 2 y ， y = x 及 y 轴所围成．
∂z ∂x
=∂f ∂u
∂u ∂x
+
∂f ∂v
∂v ∂x
=2xf1′−
f2′
，
ux f
vy
∂2 z=
2x
∂f1′
∂u
+
∂f1′
∂v
−
∂f2′
∂u
+
∂f
′
2
∂v
∂x∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
=2x(− f1′1′ + 2 yf1′2′) − (− f2′1′ + 2 yf2′2′ ) =−2xf1′1′ + (4xy + 1) f1′2′) − 2 yf2′2′ ．
9．函数 f (x) = xex 的 n 阶导数 f (n) (x) =
▲
． (x + n)ex
解 f ′(x) =ex + xex =(1 + x)ex ， f ′′(x) = ex + (1 + x)ex = (2 + x)ex ，…， f (n) (x=) (n + x)ex ．
10．函数 f (x) = x2 +1sin 1 ，则 f (x) 的图像的水平渐近线方程为 2x x
+
1 sin 4θ )
4
=
4
．
30
32
4
03
四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 21．证明：函数 f (x) =| x | 在 x = 0 连续但不可导．
解 由 lim f (x)= lim | x=| 0= f (0) ，因而函数 f (x) =| x | 在 x = 0 连续。
n=1
收敛；当 x =
1 2
时，
n2
∑ 级数
∞ n=1
1 n2
收敛，因而收敛域为 [−
1，1 ] ，答案：A． 22
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
1
7．极限 lim(1 − 2x) x = ▲ x→0
1
解 lim{[1 + (−2x)]−2x }−2 =e−2 ． x→0
． e−2
8．已知向量 a = (1，0，2) ， b = (4，− 3，− 2) ，则 (2a − b) ⋅ (a + 2b) = ▲
．－48
解 2a − b =(−2，3，6) ， a + 2b = (9，− 6，− 2) ， (2a − b) ⋅ (a + 2b) =−48 ．
22．证明：当 x ≥ − 1 时，不等式 2x3 + 1 ≥ 3x2 成立． 2
解 设 f (x=) 2x3 +1 − 3x2 ，f ′(x) = 6x2 − 6x = 6x(x −1) ，令 f ′(x) = 0 得=x1 0= ，x2 1 ，因为 f (0) = 1 ，
f (1) = 0 ， f (− 1) = 0 ，而 lim f (x) = lim (2x3 +1 − 3x2 ) = +∞ ，所以当 x ≥ − 1 时，函数 f (x) 有最
2n n2
xn
的收敛域为（
A
）．
A ．[− 1，1] 22
B ．[− 1，1) 22
C ． (− 1，1] 22
D ． (− 1，1) 22
2n+1
∑ 解
lni→= m∞ (n 2+n1)2
lni= →m∞ (n2+n12)2
2 ，收敛半径 R =
1 ，当 x = 2
−1 2
时，级数
∞ (−1)n n2
123
7(x −1) − 2( y −1) − (z −1) =0 ，即 7x − 2 y − z − 4 =0 ．
19． 设 z = f (x2 − y ，y2 − x) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 ∂2 z ． ∂x∂y
解 设=u x2 − y ，=v y2 − x ，则 z = f (u ，v) ，于是有
π
1
(2 + 2
0
1 − x2 − x2 − x) dx
=
π[(2x − 1 x3 − 1 x2 ) 1
+π]=
7π
π2 +
．
3 2 02 6 2
∫ 24． 设函数 f (x) 满足等式 f (x=)