初中数学 “整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”在整式运算中的运用与思考
“整体思想”在整式运算中的运用与思考摘要：数学学习中整式运算是其重要的组成部分，是重点也是难点，在整式运算中“整体思想”的应用能够在一定程度上提升问题分析、解决的效率，深化对知识的认知。
为此，在整式运算中要要意识的将整式运算应用其中，以此深化知识认知，培养数学思想、意识，降低知识学习难度，优化学习效果。
本文重点阐述整式运算中“整体思想”的具体应用措施，以此更好的发挥“整体思想”的作用和价值，促进学生数学素养的提升。
关键词：整体思想；整式运算；运用；措施整式运算是数学教学中的重要组成部分，在教学中由于受到多种因素的影响存在很多问题，主要表现为：字母表示数、各种公式的运用、计算等方面存在明显的错误，为什么会出现这些错误，怎样避免这些错误，提升教学效果是当前教学中关注的问题。
为此，教学中，需要钻研教材、梳理知识，将“整体思想”应用其中，以此加深对运算法则的认知，优化教学效果。
一、基于“整体思想”，把握运算形式整体思想具体来说是指在对问题进行分析、解决时，是以整体进行出发，将问题作为整体进行分析、改造，深层次解剖问题具有的特征，善于应用集成、整体的眼光，将图形或者式子看成一个整体，把握之间的关联，以此提升对问题进行分析、解决的效率。
如存在的问题：-a表示负数，之所以会存在这样的错误，是因为在学习中对字母a所表示的意义不够理解，字母a可以是任何的数，可以将字母a看成是整体，前面的负号，表示a的相反数，-a到底是什么数，由a的性质来决定，具体来说，可以分为三种情况，a=0，-a为0；a为负数；-a为正数；a为正数；-a为负数。
要分情况讨论-a为什么数，不能简单地认定为负数，另外，在整式运算中学生之所以会存在各种问题，就是没有将其当成一个整体，在对其进行移动时，容易搞混其中的负号，如果将其看成一个整体，就会不会存在这种的情况。
将其作为一个整体，在移动时，也是一个整体，则能够大大的提升正确率。
为此，在整式运算中要能够意识到整体思想所具有的作用和价值。
整体思想在整式加减中的应用
整体思想在整式加减中的应用山东孙连霞整体思想，就是从问题的“整体”出发，根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形看作一个整体，然后去解决问题的一种思想．正确运用这种思想，往往可以解决一些按常规解法不易求解的问题．貌似无解，实则“柳暗花明”，且能化繁为简，问题迎刃而解．事实上，经常运用整体思想考虑问题，可以提高我们的观察、分析和解决问题的能力．【例1】若x―2y=5，则11―x+2y的值是__________．分析：按常规解题法，只要求出x、y的值，将其代入11―x+2y即可．很显然，由唯一的已知条件x―2y=5求不出x、y的值．但是我们通过仔细观察可以发现：11―x+2y变形得11―（x-2y）．如果将x-2y作为一个整体来看的话，我们就可以将x-2y的值5直接代入11―（x-2y）=11-5=6，问题自然就解决了．【例2】已知代数式9-6y-4y2=7,求2y2+3y+7的值．分析：我们把2y2+3y作为一个整体，如果能求出2y2+3y的值，那么问题就解决了．由已知条件9-6y-4y2=7变形得9-（6y+4y2）=9-（4y2+6y）=7．我们可以看到：其中的6y+4y2与所求代数式中的2y2+3y成倍数关系，并且再没有其他的含未知数的项．那么，2y2+3y 的值自然可以求出来．解：由9-6y-4y2=7；得-6y-4y2=7-9；即6y+4y2=2；因此2y2+3y=1；所以2y2 +3y+7=1+7=8．【例3】已知2x2+xy=10,3y2+2xy=6,则4x2+8xy+9y2=_______．分析：我们要想直接用2x2+xy 和3y2+2xy两个“整体”的值，就需要把4x2+8xy+9y2拆分成含有这两个“整体”的代数式．怎么拆分？要领就是按“整体”的倍数拆分．比如说，我们要想直接用2x2+xy的值10，就需要从4x2+8xy+9y2中拆出来含有2x2+xy的成倍代数式．①两个已知条件中只有2x2+xy=10中有含x2项，所以我们就从含x2项的系数来寻找这个倍数．两个已知条件都有含xy的项，因此4x2+8xy+9y2中的含xy的项8xy是需要拆分的．②4x2+8xy+9y2中的单项式4x2，与2x2+xy=10中的单项式2x2成2倍关系，那么也就必须从4x2+8xy+9y2中拆出来2倍的xy，即2xy，这样就拆出来代数式4x2+2xy=2（2x2+xy）．③4x2+8xy+9y2拆出4x2+2xy后，剩下的6xy+9y2刚好是3y2+2xy的3倍，即6xy+9y2=3（3y2+2xy）．解：4x2+8xy+9y2= (4x2+2xy)+( 6xy+9y2)=2(2x2+xy)+3( 2xy+3y2)=2×10+3×6=38．。
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
七下提练第3招整体思想在整式乘法中的四种常见应用习题新版湘教版
【解】因为3×9m×27m＝98，
所以3×32m×33m＝316，即31＋5m＝316，
所以1＋5m＝16.解得m＝3.
(2)已知2x＋5y－4＝0，求4x×32y的值.
【解】因为2x＋5y－4＝0，所以2x＋5y＝4，
所以4x×32y＝22x×25y＝22x＋5y＝24＝16.
整体思想在化繁为简法中的应用
2.已知a＝ x－20，b＝ x－18，c＝ x－16，求式子a2＋b2＋
c2－ab－ac－bc的值.
【解】由a＝ x－20，b＝ x－18，c＝＝－2，c－a＝4.
2
2
2
所以a ＋b ＋c －ab－ac－bc＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
整体思想在多项式换元法中的应用
5. [新考法 规律探究法]计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…
＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，
且n为正整数).
【解】设a2＋a3＋…＋an－1＝M，则原式＝(a1＋M)(M＋an)
－M(a1＋M＋an)＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM
在求式子的值时，当式子中的字母的值无法确定
时，可考虑将式子变形，整体代入求值.
解：3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y.
因为2x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3.
所以原式＝31＋3＝34＝81.
整体思想在幂的运算中的应用
1.[2023·连云港实验学校月考](1)已知3×9m×27m＝98，求m
专训4 整体思想在整式加减中的应用
11. 当x＝2时，多项式ax3－bx＋5的值是4， 求当x＝－2时，多项式ax3－bx＋5的值.
解：当x＝2时，23×a－2b＋5＝4，即8a－2b＝－1. 当x＝－2时， ax3－bx＋5＝(－2)3×a－(－2)×b＋5 ＝－8a＋2b＋5 ＝－(8a－2b)＋5 ＝－(－1)＋5＝6.
类型 5 特殊值法代入(特殊值法)
整式化简时，经常把个别多项式作为一个整 体(当作单项式)进行合并；整式的化简求值时， 当题目中含字母的部分可以看成一个整体时，一 般用整体代入法，整体代入的思想是把联系紧密 的几个量作为一个整体来看的数学思想，运用这 种方法，有时可使复杂问题简单化.
类型 1 应用整体思想合并同类项
1. 化简：4(x＋y＋z)－3(x－y－z)＋2(x－y－z) －7(x＋y＋z)－(x－y－z).
1 2
时，求3A－2B＋2的值.
解：(1)3A－2B＋2
＝3(2a2－a)－2(－5a＋1)＋2
＝6a2－3a＋10a－2＋2
＝6a2＋7a.
(2)当a＝－
1 2
时，
原式＝6a2＋7a＝6×
1
2
＋7×
2
1 ＝－2. 2
类型 4 变形后再整体代入
6. 【中考·威海】若m－n＝－1，则(m－n)2－2m
12. 已知(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4， 求：(1) a0＋a1＋a2＋a3＋a4的值；
解：将x＝1代入(2x＋3)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4， 得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)4＝625.
(2) a0－a1＋a2－a3＋a4的值； (3) a0＋a2＋a4的值.
类型 3 直接整体代入
整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档
整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。
七年级数学上册：整体思想在整式运算中的应用
则这个三角形的周长为
A+2A-1+ 2 (2A-1)=A+2A-1+ 4 A- 2 = 13 A- 5 ,
3
3 33 3
将 A=3a+2b 代入 13 A- 5 , 33
即 13 A- 5 = 13 (3a+2b)- 5 =13a+ 26 b- 5 ,即这个三角形的周长为 13a+ 26 b- 5 .
类型四:整体替换
【例5】 三角形第一边长为3a+2b,第二边长是第一边长的2倍少1,第三边长是第二边长 的 2 ,求这个三角形的周长.
3
点拨:由题意可设 A=3a+2b,则第二边长为 2A-1,第三边长为 2 (2A-1),所以周长为 A+2A-1+ 2 (2A-1).
解:设 A=3a+2b,源自333 33
3
33
33
【针对训练】 已知A=-3x3+2x2-1,B=x3-2x2-x+4,求2A-(A-B).
解:2A-(A-B) =2A-A+B=A+B =(-3x3+2x2-1)+(x3-2x2-x+4) =-3x3+2x2-1+x3-2x2-x+4 =-2x3-x+3.
类型五:整体思想之赋值
专题一 整体思想在整式运算中的应用
在进行整式的加减时,有些题目采用常规解法比较繁琐或根本无法解答,此时若经过适 当变形,利用“整体思想”,可使问题迎刃而解,轻松取胜.
类型一:整体代入
【例1】 如果a+b=5,那么(a+b)2-4(a+b)=
5.
点拨:已知式与要求式中都有a+b,只要把式中的a+b的值代入到要求的式子中即可.
四讲 整体思想巧用
第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。
解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。
解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。
三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。
分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。
解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。
整体思想在整式的加减求值中的运用
（ 一ｂ ｂ ）＋（ 一 ）＝３ ＋４ ＋７ ＝７ 口 ）＋（ —Ｃ２ 口 ｃ 。 ４
瓣 整 拆 求 体分值
辩 已 ｘ ：０３＋ｘ＝ ， ｘ ８ ９ 的 是 知２十 １， ２ ６ 求４＋ ＋ｙ 值 ｙ ｙ
多少 ．
解析
直接 用 ＋ｘ ｙ＝１ ０和 ３ ｙ＋２ｙ＝６两个 整体 的值 ， ｘ 需
整化求 体简值
：
ｒ
已 ｙ ， 数 ｝ 一 一 ｝ 知＝ ３ 代 式 ｙ 斋 ｙ＋ （ ＋求 ） ＋ ） 一
ｙ＋ （ ）＋ 的 ・ ）击 ， ２ 值 一）
解析 根 据式 子 的特点 ， 将整 式 中 的“ —ｙ 看 成一 个 整体 ， ” 可
使 运算 简便 ．
原＝ （ （ 式 ［ ）｝ ｝ 十
要将 乱 ＋８ｙ＋９ ｘ ｙ拆 分 成 含有 这 两个 整 体 的代 数 式 ， 答关 键 是 解 按整 体 的倍数 拆分 待求 代 数式 ．
４ ＋８ｙ ｙ＝（ｘ＋２ｙ ＋（ ｘ ｘ ＋９ ４ ｘ） ６ｙ＋９ ） （ｘ＋ ） （ ｘ ｙ ＝２ ２ ＋３ ２ｙ＋
３ ｙ）＝２× １ ０＋３×６＝３ ． ８
解析 本 题 无 法直 接 求 出 字母 ０ ｂ Ｃ的值 ， ，， 观察 后 可 直接 将
ｎ—ｂ＝３和 ｂ—ｃ＝４整体 代 人原 式 中 ， 而对 于 口 一ｃ的值 ， 则需 要
Ｅ ｅ ｙ ｎ ｓ ｏ ａ ｄ ｈ ｓａｄ ｒ ｉ ｅｗ ｉｈ ｈ ｅ ｅ ｈ ｗ ｏａ ｙ ｏ ｙ ｖ ｒ ｏ ｅｉ ａｍｏ ｎ， ｎ ａ ａ ｋｓｄ ｈ ｃ ｅ ｎ ｖ ｒ ｏ ｓｔ ｎ ｂ ｄ ． ｓ
： ２＝（ ｙ —ｙ ． — ）＋（ ） ＋２ ： 由 ＝ Ｙ＋３ 得 —Ｙ＝３ ， ，
斋（ ＋ （ ＋
整体思想在整式加减中的运用
整体思想在整式加减中的运用【摘要】用整体思想法解题，是指将题目中的某些条件或结论看作一个整体，使问题转化为对这个整体的研究，这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题，从而起到化繁为易的作用。
学习数学不仅要学习数学知识，更重要的还要学习数学思想，因为数学思想是数学的灵魂，它在指导数学学习和研究中，有着十分重要的作用．在《整式的加减》一章中，整体思想体现的尤为突出，下面将《整式的加减》这一章中的数学思想方法加以解读，供参考。
【关键词】整体思想解析例题一、整体代入求值例1、已知x2-y=1，那么整式2x2-2y+1的值。
分析：本题显然无法直接求出x和y的具体值，若将x2-y看作一个整体，将它的值整体代入，则问题可以应刃而解。
解：因为2x2-2y+1=2(x2-y)+1，而x2-y=1，所以2x2-2y+1=2×1+1=3说明：由上例可以看出，将它们中的相同部分看成一个整体，用整体代入可以简化解题过程。
练习：1、已知x2-2x-1=5，那么整式2x2-4x+3的值？2、已知3x2-4x-6=5，那么整式x2-■x+6的值？3、已知x2+x-1=0，那么整式x3+2x2+3的值？4、已知x=2时ax3+bx+1=6，那么当x=-2时ax3+bx+1的值。
二、整体变形求值例2、已知x2+xy=4，xy+y2=-1，求：（1）x2-y2（2）x2+2xy+y2分析：本题虽然已知两个条件，当无法直接求出x和y的具体值，可考虑对整体变形，使它变为所求式子形式，仔细观察，若将第一式、第二式两边相加（相减），即可得所求的式子。
解：因为x2+xy=4，xy+y2=-1，所以x2-y2=(x2+xy)-(xy+y2)=4-(-1)=5，x2+2xy+y2=(x2+xy)+(xy+y2)4+(-1)+3说明：这一类问题，看似复杂吓人，若掌握了整体思想，并不难解。
提分练习：整体思想在整式乘法中的四种常见应用
《提分练习11 整体思想在整式乘法中的四种常见应用》 典例剖析例 已知2x +3y -3=0，求3927x y ⋅⋅的值.解题秘方：在求式子的值时，当式子中的字母的值无法确定时，可考虑将式子变形，整体代入求值.解：232312339273333333.x y x y x y x y ++⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=（）（） ∵2x +3y -3=0，∴2x +3y =3.∴原式=1343381+==.分类训练应用1 整体思想在幂的运算中的应用1.已知2103α-=，10β-=15，求6210αβ+的值. 应用2 整体思想在化繁为简法中的应用2.已知a =38x -20，b =38x -18，c =38x -16，求式子222a b c ab ac bc ++---的值. 应用3 整体思想在变形中的应用3.已知x +y =4，xy =1，求式子2211x y ++（）（）的值.4.已知a -b =b -c =35，2221a b c ++=，求ab +bc +ca 的值. 5.已知210a a +-=，求3222021a a ++的值.6.已知（2020-a ）（2022-a ）=2021，求2220202022a a -+-（）（）的值.应用4 整体思想在多项式换元法中的应用7.计算：12123123112n n n n n a a a a a a a a a a a a a ---++⋯+++⋯++-++⋯+++⋯+（）（）（）（）（n ≥3，且n 为正整数）.参考答案1.解：22111103,1010105αβαβ--====， 2110,10 5.3αβ∴== 622323212510(10)(10)()5.327αβαβ+∴=⋅=⋅= 2.解：由33320,18,16888a xb xc x =-=-=-，可得a -b =-2，b -c =-2，c -a =4. 22222222211[()()()][(2)(2)4]22a b c ab ac bc a b b c c a ∴++---=-+-+-=⨯-+-+12412.2=⨯= 点拨：将原式乘2，即可分成3个完全平方式，代入已知数据即可求解.3.解：22222222(1)(1)1()()2 1.x y x y x y xy x y xy ++=+++=++-+把x +y =4，xy =1整体代入，可得2222(1)(1)1421116.x y ++=+-⨯+=4.解：由a -b =b -c =35，可以得到a -c =65. 由222222()()()2()2()a b b c a c a b c ab bc ac -+-+-=++-++，得到ab bc ca++2222221()[()()()].2a b c a b b c a c =++--+-+- 将222,,a b c a b b c ++--及a -c 的值整体代入，可得ab +bc +ca =222133615421[()()()]1.255522525-⨯++=-⨯=- 5.解：因为210a a +-=，①所以a ≠0.将等式两边都乘a ，可得320a a a +-=.②将①②相加，得32210a a +-=，即3221a a +=.所以3222021120212022a a ++=+=.点拨：通过变形把210a a +-=转化为320a a a +-=，结合两式可得322a a +-1=0，再把322a a +看成一个整体进行求解.6.解：222(2020)(2022)[(2020 )(2022)]2(2020)a a a a a -+-=---+-(2022)a -2(2)22021440424046.=-+⨯=+=点拨：本题运用乘法公式的变形2222x y x y xy +=-+（），结合整体思想求解，使计算简便.7.解：设231n a a a M -+++=，则原式=11()()() n n a M M a M a M a ++-++ 221111 .n n n n a M a M a M a M M a M a a a =+++---=点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的.这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察.因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口.比如这一题，在观察时能发现231n a a a -+++这个式子在每一个因式中都存在.因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用.。
“整体思想”在整式运算中的运用.doc
“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想 ”是中学数学中的一种重要思想，贯串于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，没法解决，而从全局着眼，整体思虑，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题水到渠成，现就 “整体思想 ”在整式运算中的运用，略举几例分析以下，供同学们参照：例 1、已知 a3 x 20 ， b 3 x 18 ， c3x 16 ，8 88求：代数式 a 2b 2c 2 ab ac bc 的值分析：此题若将 a 、 b 、 c 的值直接代入计算，则复杂繁琐，明显不行取，考虑到：a 2b 2c 2 ab ac bc =1 [( a b)2 (b c) 2(c a) 2 ] ，而由题设能够求得2a b,b c,c a 的值，整体代入，则化繁为简，快速可解由 a3 x 20 ，b 3 x 18 ，c 3 x 16 ，可得 a b 2, bc2,c a 4888进而 a2b2c2ab ac bc = 1[( a b) 2(b c) 2(c a) 2 ]112 = [( 2)2( 2) 2 42 ]24 1222例 2、已知 x y4 ， xy 1，求代数式 ( x 2 1)( y 21) 的值分析：由题设条件求出x, y 的值，再分别代入待求式计算，有必定困难，可考虑将待求式 ( x 2 1)( y 21) 变形，用 x y 和 xy 来表示，而后再整体代入求值( x 2 1)( y 2 1) = x 2 y 2 x 2 y 21 ( xy)2 ( xy) 2 2xy1把 xy 4 ， xy 1 ，整体代入获得：12 422 1 1 16 即 ( x 2 1)( y 2 1) =16例 3、已知 x2 时，代数式 ax 5 bx3 cx 8 10 ，求当 x2 时，代数式ax 5 bx 3cx 8 的值分析：因为 ax 5 bx 3cx 中 x 的指数均为奇数，故当 x 2 和 x 2 时，它的值恰好互为相反数，进而可用整体代入的方法求得代数式的值当 x 2 时，代数式 ax 5 bx 3 cx8 10 ，即25 a 23 b2c8 10则 32a 8b 2c 18①当 x2 时，代数式 ax 5 bx 3cx8 = ( 2) 5 a ( 2) 3 b( 2)c 8= (32a 8b 2c) 8将①式整体代入，获得(32a 8b 2c) 8= 18 8 26即当 x2 时，代数式 ax 5 bx3 cx 8 的值为26例 4、已知 abb c3 ， a 2 b 2c 2 1 ，则 ab bc ca 的值等于53分析：由已知条件求出 a,b, c 的值，再代入待求式计算， 比较复杂，由 ab bc5可先求出 a c 的值，再将 abbc ca 变形，用 a 2 b 2c 2 、 a b 、 bc 及 a c 来表示，进而整体代入，可使问题化难为易，敏捷获解由 ab b c36，能够获得 a c =55由 ( a b ) 2 (b c) 2(a c)22( a 2 b 2 c 2 ) 2(ab bc ac) 获得ab bc ca = (a 2b 2c 2 )1[( a b) 2(b c) 2(a c) 2 ]2将 a 2b 2c 2 、 a b 、 b c 及 a c 的值整体代入，可得ab bc ca =11 [( 3)2 ( 3) 2( 6) 2 ] 1 1 54 2M2 555N2 2525例 5、若 123456789 123456786123456788 123456787，试比较 M 与 N 的大小分析：在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易，在解决大数值的问题时，也可考虑将某些大数值整体用字母代换，转变为整式问题，使问题化繁为简，奇妙获解，经过认真察看发现这些大数值都在123456788 左右颠簸，不妨将 123456788 整体用a代换，则123456789= a+1，123456786= a -2， 123456787= a -1，进而： M(a1)( a2) a 2a 2 ， N a( a 1) a2a因此 M N( a2a2)(a 2a)2＜0，由此获得： M ＜ N。
华师大版八年级数学上册第12章 整式的乘除 整合【新版】
专训一：整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．幂的运算中的整体思想1．已知2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值．乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2．已知a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，求式子a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．类型2 变形后整体代入3．已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求式子(x 2＋1)(y 2＋1)的值．4．已知a －b ＝b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．6．已知(2 016－a)(2 014－a)＝2 015，求(2 016－a)2＋(2 014－a)2的值．多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．类型2多项式中的换元8．计算：(a1＋a2＋…＋a n－1)(a2＋a3＋…＋a n－1＋a n)－(a2＋a3＋…＋a n－1)(a1＋a2＋…＋a n)(n≥3，且n为正整数)．专训二：因式分解的七种常见用途名师点金：因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142·…·(1－1102)·(1－1112)．用于化简求值3．已知2x －3＝0，求式子x(x 2－x)＋x 2(5－x)－9的值．用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训三：整式的乘除中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．幂的运算1．(2015·临沂)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．(－a2b)3＝－a6b3C．a2·a3＝a6D．a8÷a2＝a42．计算：(1)(－a2b)2＝________；(2)42 016×(－0.25)2 017＝________．3．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值．整式的乘除运算4．下列计算结果是x2－6x＋5的是()A．(x－2)(x－3) B．(x－6)(x＋1)C．(x－1)(x－5) D．(x＋6)(x－1)5．若(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘(x－2y)错抄成除以(x －2y)，结果得到3x，则第一个多项式是什么？正确的结果应该是什么？7．先化简，再求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x－52y)，其中x＝－1，y＝2.乘法公式的运用8．下列计算正确的是()A．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2B．(x－y)2＝x2－y2C．(x＋3y)(x－3y)＝x2－3y2D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y29．运用乘法公式计算：(1)(m－2n＋3)(m＋2n－3)；(2)(a－3b＋2)2.10．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.11．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2； (2)x 2－xy ＋y 2； (3)(x －y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12．将下列各式分解因式：(1)2a 3b 2c ＋4ab 3c －abc ；(2)x 2＋4x ＋4；(3)(2a ＋b)(2a －b)＋b(4a ＋2b)；(4)x2(x－y)＋(y－x)；(5)3ax2－6axy＋3ay2.整式乘除的应用13．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．14．已知n是整数，试说明(2n＋1)2－1能被8整除．(第15题)15．(2014·青海)如图，长和宽分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．16．△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．17．一天，小明在纸上写了一个算式：4x 2＋8x ＋11，并对小刚说：“无论x 取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？数学思想方法的应用a ．转化思想18．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y 的值是( )A .35B ．－2C .355D .65b ．整体思想19．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A ．12B ．6C ．3D ．0c ．换元思想20．计算：2 0153－2 014×2 015×2 016.答案专训一1．解：4x ·32y ＝(22)x ·(25)y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y .因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以原式＝23＝8.点拨：本题运用了整体思想和转化思想．2．解：由a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，可得a －b ＝－2，b －c ＝－2，c －a ＝4.从而a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＝12×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12×24＝12.3．解：(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1＝(xy)2＋(x ＋y)2－2xy ＋1.把x ＋y ＝4，xy ＝1整体代入，原式＝12＋42－2×1＋1＝16.4．解：由a －b ＝b －c ＝35，可以得到a －c ＝65.由(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca)，得到ab ＋bc ＋ca ＝(a 2＋b 2＋c 2)－12[(a －b)2＋(b－c)2＋(a －c)2]．将a 2＋b 2＋c 2，a －b ，b －c 及a －c 的值整体代入，可得ab ＋bc＋ca ＝1－12×[(35)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652]＝1－12×5425＝－225. 5．解：因为a 2＋a －1＝0①，所以将等式两边都乘a ，可得a 3＋a 2－a ＝0②.将①②相加，得a 3＋2a 2－1＝0，即a 3＋2a 2＝1.所以a 3＋2a 2＋2 016＝1＋2 016＝2 017.6．解：(2 016－a)2＋(2 014－a)2＝[(2 016－a)－(2 014－a)]2＋2(2 016－a)(2 014－a)＝22＋2×2 015＝4＋4 030＝4 034.点拨：本题运用乘法公式的变形x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ，结合整体思想求解，使计算简便．7．解：设123 456 788＝a ，则123 456 789＝a ＋1，123 456 786＝a －2，123 456 787＝a －1.从而M ＝(a ＋1)(a －2)＝a 2－a －2，N ＝a(a －1)＝a 2－a.所以M －N ＝(a 2－a －2)－(a 2－a)＝－2＜0，所以M ＜N.8．解：设a 2＋a 3＋…＋a n －1＝M ，则原式＝(a 1＋M)(M ＋a n )－M(a 1＋M ＋a n )＝a 1M ＋a 1a n ＋M 2＋a n M －a 1M －M 2－a n M ＝a 1a n .点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a 2＋a 3＋…＋a n －1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用．专训二1．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1＋13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1＋14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·…·(1＋110)(1－110)(1＋111)(1－111)＝32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011＝12×1211＝611.3．解：原式＝x 3－x 2＋5x 2－x 3－9＝4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．当2x －3＝0时，(2x ＋3)(2x －3)＝0.4．解：所得的差一定能被9整除．理由：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a ≠b ，则这个两位数是10a ＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a ＋b －(10b ＋a)|＝9|a －b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960.②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8.答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2＝(n 2＋n ＋1)2.专训三1．B2．(1)a 4b 2 (2)－0.253．解：8x ·32y ＝23x ·25y ＝23x ＋5y ＝28＝256.4．C 5.326．解：第一个多项式是3x(x －2y)＝3x 2－6xy.正确的结果是(3x 2－6xy)(x －2y)＝3x 3－12x 2y ＋12xy 2.7．解：原式＝2(4x 2－1)＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝8x 2－2＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝－3x 2－25xy －2.当x ＝－1，y ＝2时，原式＝－3×(－1)2－25×(－1)×2－2＝45.8．D9．解：(1)原式＝[m －(2n －3)][m ＋(2n －3)]＝m 2－(2n －3)2＝m 2－(4n 2－12n ＋9)＝m 2－4n 2＋12n －9.(2)原式＝[(a －3b)＋2]2＝(a －3b)2＋4(a －3b)＋4＝a 2－6ab ＋9b 2＋4a －12b ＋4.10．解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2.当a＝1，b＝－12时，原式＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝54.11．解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.(2)x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30.(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.12．解：(1)原式＝abc(2a2b＋4b2－1)．(2)原式＝(x＋2)2.(3)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2b(2a＋b)＝(2a＋b)(2a－b＋2b)＝(2a＋b)2.(4)原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1)．(5)原式＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2.13．解：由(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.①－②得4xy＝2，∴xy＝1 2.∴3xy－1＝3×12－1＝12.14．解：(2n＋1)2－1＝[(2n＋1)＋1][(2n＋1)－1]＝2(n＋1)·2n＝4n·(n＋1)．因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·(n＋1)能被2整除，所以4n·(n＋1)能被8整除．故(2n＋1)2－1能被8整除．点拨：要说明(2n＋1)2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．15．7516．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.∵1＋2b＞0，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．17．解：∵4x2＋8x＋11＝4(x2＋2x＋1)＋7＝4(x＋1)2＋7，且(x＋1)2≥0，∴4(x ＋1)2＋7≥7.即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．18．A19.A20．解：设2 015＝a，则原式＝a3－(a－1)·a·(a＋1) ＝a3－a(a2－1)＝a3－a3＋a＝a＝2 015.。
整体思想活跃在整式加减中
整体思想活跃在整式加减中
所谓整体思想，就是在解题的过程中，从整体上考虑，将注意力和着眼点，放在问题的整体上，突出问题的整体结构分析和变形。
下面举例加以说明。
一、整体合并
例１计算3(a+b-c)+8(a-b-c)-7(a+b-c)-4(a-b-c) 。
分析：此题常规解法是先去掉4个括号，然后合并同类项，运算比较繁琐。
若将a+b-c,a-b-c各看做一个整体进行整体合并，则比较简便。
解：原式=〔3(a+b-c)-7(a+b-c)〕+〔8(a-b-c)-4(a-b-c)〕=-4(a+b-c)+4(a-b-c) =-4a-4b+4c+4a-4b-4c=-8b。
二、整体加减
例2 已知b2-ab=3，a2+ab-2b2=5，求a2-b2的值。
分析：本题根据已知条件和所求的式子，如果能够求出a,b的值，问题就迎刃而解了，但是现有的知识无法求出a,b的值。
经过仔细观察，要求a2-b2的值，而式子a2-b2中没有ab，因此只需消去ab。
把b2-ab和a2+ab-2b2分别视为两个整体，两式相加即可。
解：因为（b2-ab）+（a2+ab-2b2）=3+5，所以b2-ab+a2+ab-2b2=8，即a2-b2=8。
三、整体代入
例3 已知a+2b=4,求8(a+2b)-11a-22b+31的值。
分析：由已知条件无法求出a、b的值，若视a+2b为一个整体，对所求的式子8(a+2b)-11a-22b+31进行变形，则解法较简便。
解：原式=8(a+2b)-11(a+2b)+31 =-3(a+2b)+31，当a+2b=4时，原式＝
-3×4+31=19。
1 / 1。
七年级数学下册提练第5招整体思想在整式化简中的应用类型习题新版苏科版
(1)当a＝－3，b＝－2时，分别求M，N的值；
【解】因为M＝a2b，N＝2a2＋3ab，a＝－3，b＝－2，
所以M＝(－3)2×(－2)＝－18，N＝2×(－3)2＋3×
(－3)×(－2)＝18＋18＝36，即M的值是－18，N的值是36.
＋
(2)若
＝b，则(a＋2)(b＋2)＝
4
.
【点拨】
(a1＋a2＋…＋a2024)(a2＋a3＋…＋a2025)，N＝(a1＋a2＋…＋
a2025)(a2＋a3＋…＋a2024)，比较M与N的大小.
【解】设a2＋a3＋…＋a2024＝m，
则M＝(a1＋m)(m＋a2025)＝a1m＋m2＋a2025m＋a1a2025，
N＝(a1＋m＋a2025)m＝a1m＋m2＋a2025m.
所以M－N＝a1m＋m2＋a2025m＋a1a2025－(a1m＋m2＋a2025m)
＝a1a2025.
因为a1，a2，a3，…，a2025是彼此互不相等的负数，所以
a1a2025＞0，所以M＞N.
1.456＝a－2.
所以3.456×2.456×5.456－3.4563－1.4562＝a(a－1)·(a＋2)
－a3－(a－2)2＝a3＋a2－2a－a3－a2＋4a－4＝2a－4.
因为a＝3.456，所以原式＝2×3.456－4＝2.912.
4 多项式中的换元法在整体思想中的应用
4.已知a1，a2，a3，…，a2025是彼此互不相等的负数，且M＝
第5招
整体思想在整式化简中的
应用类型
1 化繁为简法在整体思想中的应用
1.已知a＝ x－20，b＝ x－18，c＝ x－16，求式子a2＋b2＋
5、整体思想在整式求值中的运用
整体思想在整式求值中的运用方法指导：整式的化简求值中，当单个字母的值不易求出或化简后的结果与已知值的式子相关联时，需要将已知式子的值整体代入计算.（2）m2-2m n+n2;（3）2m2+m n-3n2;练习：1.已知－x＋2y＝5，那么5(－x＋2y)2－4(－x＋2y)－60的值为( )A.85B.45C.80D.402.若x－3y＝4，则1＋3y－x的值是( )A.－3B.5C.3D.－53.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值为( )A.3B.2C.1D.－14.若代数式2x2＋3x＋7的值是8，则代数式4x2＋6x－9的值是( )A.2B.－17C.－7D.75.已知x2＋2x－1＝0，则3x2＋6x－2＝ .6.如果m，n互为相反数，那么(3m－2n)－(2m－3n)＝ .7.已知x＝2y＋3，则代数式4x－8y＋9的值是 .8.若2a－b＝2，则6＋4b－8a＝ .10.已知a2＋b2＝6，ab＝－2，求(4a2＋3ab－b2)－(7a2－5ab＋2b2)的值.11、将(a+b)+2(a+b)-4(a+b)合并同类项后结果是12、化简-(x-y)-4(x-y)得13、把（x-3）看成一个整体，化简)3()3(5)3(2)3(22-+-----x x x x14、把（x+y ）看作一个整体，化简求值： 35325)(31)(21)(34)(2)(21y x y x y x y x y x +++-+-+++，其中x=3-y15、若m-n=2，则代数式2-3m+3n 的值为16、已知532++x x 的值为7，则=-+2932x x17、已知6232+-y y 的值是8，则代数式1232+-y y 的值是 18、已知0443=+-x x ，则106323++-x x 的值是 19、当x=1时，代数式201713=++bx ax ，则x= -1时，13++bx ax 的值为20、当x=7时，代数式53-+bx ax 的值是7；则当x= -7时，代数式53-+bx ax 的值是21、阅读材料：我们知道，4x －2x ＋x ＝(4－2＋1)x ＝3x ，类似地，我们把(a ＋b)看成一个整体，则4(a ＋b)－2(a ＋b)＋(a ＋b)＝(4－2＋1)(a ＋b)＝3(a ＋b).“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.尝试应用：(1)把(a －b)2看成一个整体，合并3(a －b)2－6(a －b)2＋2(a －b)2的结果是 ；(2)已知x 2－2y ＝4，求3x 2－6y －21的值；(3)已知a－2b＝3，2b－c＝－5，c－d＝10，求(a－c)＋(2b－d)－(2b－c)的值.。
整体思想在整式加减中应用
整体思想在处理无关型问题的应用 ---系数看成一个整体
（ 1 ） 已 知 多 项 式 2 m x m x 2 中 不 含 x 项 ， 求 m 的 值 。
解 ： 由 题 意 得 ： x系 数 为 零 (2 m) 0 得到m 2
（ 2） 若 多 项 式 x2kxy3y23xy8化 简 后 不 含 xy项 ， 求 k的 值 。
（1）a2 2b 的值 （2）2a2 4b3的值 （3）6 a 2 8 b 3 a 2 1 4 b 8的值
(2007·黑龙江)如果代数式4y2 2y5的值
为7，那么代数式2y2 y 1的值等于( A ) ，
A.2
B.3
C.-2
D.4
，
在整式的计算中，将一个式子看作为一
将x y 5，xy 3代入上式得： 5 （ 3） 5 3 8
原式的值为8
（1）已知：ab1,bc1，求 （ ab)2(bc)2(ac)2的值
（2）已知：a2ab3，abb2 1，求
a22a bb2， a2 b2 的值
已知 a22b10，则求
（1）把 (xy)看作一整体，合并下列同类项：
5 ( x y ) 2 ( x y ) 4 ( x y )＝ 。
注：当把一个式子看作一个整体时，我们只需按照 合并同类项的方法，将这些式子化简
（2）化简：
3 ( m 2 n ) 2 ( m n ) 6 ( m 2 n ) ( m n )
（ 2)已 知 xy5,xy3,
求 2x3y2xyx4yxy的 值 。
解：原式 2x 3y 2xy x 4 y xy (2x x) (3y 4 y) (2xy xy) x y xy (x y) (xy)
“整体思想”在整式运算中的运用与思考
“整体思想”在整式运算中的运用与思考作者：颜厥胜来源：《中学教学参考·文综版》2020年第07期[摘要]整式运算法则的教学是中学数学教学的难点，其形成伴随着对“整体思想”的不断渗透和整体结构的不断扩展。
文章以整式的加减运算和乘除运算中出现的问题为例，具体阐述如何在教学中运用“整体思想”，从整体结构上把握运算形式;运用“整体思想”不断丰富学生对整式运算法则的理解和认识;利用思想方法的递进式渗透和对旧知识的再认识，帮助学生克服学习过程中的重重困难。
[关键词]整体思想;整式的加减;整式的乘除[中图分类号]G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（ 2020） 21-0059-02一、问题的提出笔者在教学中发现，学生在学习七年级上册“整式的加减”和七年级下册“整式的乘除”中出现了较多的问题，包括对字母表示数的理解以及运用乘法公式计算等都出现了一些典型的错误，学生学习的障碍在哪里？教师教学中应该怎样处理呢？经过深入地钻研教材、系统地思考和整理，笔者认为在问题解决中应该强化运用“整体思想”解题，在学习运算法则时也应该利用“整体思想”帮助学生加深对运算法则的认识，下面以学生在学习过程中出现的问题为例进行阐述。
二、据果索因1.整式加减运算出现的问题示例分析[错例1]-a表示负数[错例2] _4ab+3b2_9ab_b2=_4ab+9ab_3b2_b2[錯例分析]错例1主要是学生对字母表示数的概念理解不透彻，对负数表示方式的认识不清，把-a前的“一”号作为整个数唯一的符号，没有意识到-a中的整体a还含有符号。
错例2是学生在学习有理数加减运算时已经接触过类似的问题，也犯过类似的错误，但在整式加减运算时仍然会再犯错，特别是整式前面是负号时，移动位置容易漏掉负号或者把负号给了移过来的项。
2.整式的乘法运算出现的问题示例分析[错例3] （2n+4m）（2n-4m）=2n2-4m2[错例4]（2m-1）2=2m2-1[错例分析]出现错例3、错例4的原因主要是对平方差公式和完全平方公式的结构没有完全掌握，对算式中的代数式与公式中的字母a、b的对应关系没有认清楚。
整式运算中常用的思想方法
整式运算中常用的思想方法王远征 广东省深圳市在解答整式运算时,遵循如下数学思想方法,会优化我们的计算过程，避免冗繁的运算，使得问题的解答过程简洁明了．一、 整体思想将局部放在整体中进行观察、分析，利用局部与整体的联系来优化解题过程．常用的方法有整体地合并同类项化简和整体代入求值．例１． 计算()()()()3251432312+-+-+-+---+b a b a b a b a ．(自编题) 解析：如果逐一地去括号然后再合并同类项解答过程势必冗繁．我们把1-+b a 和32+-b a 分别当作整体，进行合并同类项，则可以减少计算量．原式＝()()3235)1)(42(+--+-+-b a b a＝b b a b a 68642222-=+-++--点评：注意观察和利用代数式中括号的特点，进行化简．例2．已知3=-y x ，求()5779+-+-x y y x 的值．(自编题)解析：视y x -为整体对待求式合并同类项，并且将3=-y x 整体代入求值． 原式＝()115325)(25)(79=+⨯=+-=+---y x y x y x ．点评：注意对x y 77-逆用乘法的分配律，以便为整体代入求值创造条件． 例3．已知10022=-xy x ，150432=+y xy ．求2283y x +的值．(自编题) 解析：如果试图通过解方程组求y x ,的值，是十分繁琐的．注意到： 2283y x +＝()22432)2(3y xy xy x ++-，所以整体代入求值．原式＝()60015021003432)2(322=⨯+⨯=++-yxy xy x 点评：注意寻求2283y x +与代数式xy x 22-，243y xy +之间的联系．二、 代数思想即运用字母来表示数（或式）．在解决一些复杂的计算问题中能简化计算过程． 例４．123451234556789567895678912345⨯-⨯ ． (自编题)解析：设：12345=a ，56789=b ．则原式＝()()0101055=+⨯-+⨯a a b b b a点评：用字母来表示数或式，显示出在简化计算过程的优势．例５．计算())](3)32(2[2b a b a b a -+--+－())](5)32(43[b a b a b a -+-++ (自编题)解析：设：b a x +=，b a y 32-=，b a z -=则原式＝())543(322z y x z y x ++-+-＝z y x z y x 543642---+-＝z y x +--8＝())(328)(b a b a b a -+--+-＝a b b a b a b a 16222416-=-++---点评：当用字母来表示式进行初步化简后，需要将它们表示的式再代入作进一步的化简．三、 分类思想当问题包含有多种可能时，必须按各种可能出现的情况分别讨论，得出相应的答案． 例６．如果2=a ，3=b ．求()()b a b a 54322--+的值． 解析：因为2=a ，3=b ，所以b a ,的值有如下４种可能：⎩⎨⎧==32b a 、⎩⎨⎧-==32b a 、⎩⎨⎧=-=32b a 、⎩⎨⎧-=-=32b a 于是：()()b a b a 54322--+＝a b b a b a 1019151242-=+-+当⎩⎨⎧==32b a 时，原式＝37102319=⨯-⨯，同理可以求出其余的３种情况下的值分别是：77-；77；37-．点评：解答时，要周密地思考，防止计算结果的遗漏．恰当地运用以上数学思想方法，能帮助我们顺利地解答整式的加减和求值计算问题，请同学们通过解题训练，领悟和掌握上述思想方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：
例1、已知2083-=
x a ，1883-=x b ，1683-=x c ， 求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值
解析：本题若将a 、b 、c 的值直接代入计算，则复杂繁琐，显然不可取，考虑到：
bc ac ab c b a ---++222=])()()[(2
1222a c c b b a -+-+-，而由题设可以求得a c c b b a ---,,的值，整体代入，则化繁为简，迅速可解 由2083-=x a ，1883-=x b ，168
3-=x c ，可得4,2,2=--=--=-a c c b b a 从而bc ac ab c b a ---++222=])()()[(21
2
22a c c b b a -+-+- =12242
1]4)2()2[(21
222=⨯=+-+- 例2、已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值
解析：由题设条件求出y x ,的值，再分别代入待求式计算， 有一定困难，可考虑将待求式)1)(1(2
2++y x 变形，用y x +和xy 来表示，然后再整体代入求值 )1)(1(22++y x =12)()(1222222+-++=+++xy y x xy y x y x
把4=+y x ，1=xy ，整体代入得到：161124122=+⨯-+ 即)1)(1(2
2++y x =16
例3、已知2=x 时，代数式1083
5=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式 835-++cx bx ax 的值
解析：由于cx bx ax ++35中x 的指数均为奇数，故当2=x 和2-=x 时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值
当2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，即 10822235=-++c b a
则182832=++c b a ①
当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax =8)2()2()2(35--+-+-c b a
=8)2832(-++-c b a
将①式整体代入，得到8)2832(-++-c b a =26818-=--
即当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值为26-
例4、已知5
3=-=-c b b a ，1222=++c b a ，则ca bc ab ++的值等于 解析：由已知条件求出c b a ,,的值，再代入待求式计算，比较复杂，由53=
-=-c b b a 可先求出c a -的值，再将ca bc ab ++变形，用222c b a ++、b a -、c b -及c a -来
表示，从而整体代入，可使问题化难为易，迅捷获解 由53=
-=-c b b a ，可以得到c a -=56 由)(2)(2)()()(222222ac bc ab c b a c a c b b a ++-++=-+-+-得到
ca bc ab ++=])()()[(2
1)(222222c a c b b a c b a -+-+--++ 将2
22c b a ++、b a -、c b -及c a -的值整体代入，可得
ca bc ab ++=25
22554211])56()53()53[(211222-=⨯-=++- 例5、若123456786123456789⨯=M ，123456787123456788⨯=N
试比较M 与N 的大小
解析：在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易，在解决大数值的问题时，也可考虑将某些大数值整体用字母代换，转化为整式问题，使问题化繁为简，巧妙获解，通过仔细观察发现这些大数值都在123456788左右波动，不妨将123456788整体用a 代换，则123456789=a +1，123456786=a -2，123456787=a -1，从而：2)2)(1(2--=-+=a a a a M ，a a a a N -=-=2
)1(
所以2)()2(22-=----=-a a a a N M ＜0，由此得到：M ＜N。