2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 已知A(0, −1)，B(0, 3)，则|AB →
|＝（ ） A.2 B.√10 C.4 D.2√10
2. sin 750∘的值为（ ） A.−√32
B.√32
C.−1
2
D.1
2
3. 已知幂函数f(x)的图象过点(2, 16)，则f(3)＝（ ） A.27 B.81 C.12 D.4
4. 已知角α的终边经过点p(−2, 4)，则sin α−cos α的值等于（ ） A.3√5
5 B.−
3√3
5
C.1
5
D.−
2√3
3
5. 下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A.f(x)=|x| B.f(x)=√x −1+√1−x C.f(x)=2x −2−x
D.f(x)=tan x
6. 将函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向右平移π
6个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则y ＝
f(x)是（ ）
A.y =sin (2x +π
6
) B.y =sin (2x +π
3
) C.y =sin (2x −π
6
) D.y =sin (2x −π
3
)
7. 函数f(x)＝2x +log 2x −3的零点所在区间（ ） A.(0, 1) B.(1, 2)
C.(2, 3)
D.(3, 4)
8. 函数f(x)＝x ⋅ln |x|的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 已知函数f(x)=lg(1+|x|)−1
1+x2
，不等式f(x+2)≤f(−1)的解集是（）
A.(−∞, −3]
B.(−∞, −3]∪[−1, +∞)
C.[−3, −1]
D.[−3, +∞)
10. 若2x+5y≤2−y+5−x，则有（）
A.x+y≥0
B.x+y≤0
C.x−y≤0
D.x−y≥0
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
若关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论中正确的说法是（）
A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3
B.m>−1
4
C.当m>0时，2<x1<x2<3
D.当m>0时，x1<2<3<x2
已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝
f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）
A.函数y＝g(x)是偶函数
B.10是函数f(x)的一个周期
C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)
D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
已知向量a→=(1
2,√3
2
),b
→
=(1
2
,−√3
2
)，则a→⋅b
→
=________；a→b
→
的夹角为________．
已知cos(α+π
4)=3
5
，且α∈(0,π
4
)，则sinα＝________．
已知函数f(x)=cos(x
2+π
3
)，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是
________．
函数f(x)={12x
,x ≤0
2sin (2x +5π
6
),0<x <π
，若方程f(x)＝a 恰有三个不同的解，记为x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是________(5π3−1,
5π3
) ．
四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合A ＝{x|x 2−7x +6<0}，B ＝{x|4−t <x <t}，R 为实数集． (Ⅰ)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (Ⅱ)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．
已知向量a →
，b →
满足|a →
|＝2，|b →
|＝1，|a →
+2b →
|＝|a →
−b →
| （1）求a →
⋅b →的值
（2）求向量a →
与a →
−2b →
夹角的余弦值
已知α∈(0,π
2)，β∈(π
2,π)，cos 2β=−7
9，sin (α+β)=7
9． （1）求cos β的值；
（2）求sin α的值．
某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB 的半径为200米，圆心角∠AOB =60∘，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，点P 在弧AB 上，设∠POB =θ．
(1)若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；
(2)为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向OA ，OB 修建两条观赏通道PS 和PT （宽度不计），使PS ⊥OA ，PT ⊥OB ，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS +PT 最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由．
已知向量a →
=(2sin (ωx +π
4
)，−√3)，b →
=（sin (ωx +π
4
)，cos (2ωx)）(ω>0)，函数
(x)=a →
⋅b →
−1，f(x)的最小正周期为π． （1）求f(x)的单调增区间；
（2）方程f(x)−2n +1＝0；在[0, 7π
12]上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；
（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ，使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．
已知f(e x )＝ax 2−x ，a ∈R ． （1）求f(x)的解析式；
（2）求x ∈(0, 1]时，f(x)的值域；
（3）设a >0，若ℎ(x)＝[f(x)+1−a]•log x e 对任意的x 1，x 2∈[e −3, e −1]，总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +1
3恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案与试题解析
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.
【答案】
C
2.
【答案】
D
3.
【答案】
B
4.
【答案】
A
5.
【答案】
B
6.
【答案】
D
7.
【答案】
B
8.
【答案】
D
9.
【答案】
C
10.
【答案】
B
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
【答案】
A,B,D
【答案】
B,C,D
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
【答案】
−12,2π
3
【答案】 √210
【答案】
4π,(2kπ+π
3, 0)，k ∈Z 【答案】 (
5π3
−1, 5π
3
)．
四．解答题：本大题共6题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】
A ∪
B ＝{x|0<x <6}，A ∩∁R B ＝{x|4≤x <6}， （2）由A ∪B ＝A ，得：B ⊆A ，
①当4−t ≥t 即t ≤2时，B ＝⌀，满足题意， ②B ≠⌀时，
由B ⊆A 得：{4−t <t
4−t ≥1t ≤6 ，
解得：2<t ≤3， 综合①②得：
实数t 的取值范围为：t ≤3， 故答案为：t ≤3 【答案】
∵ 向量a →
，b →
满足|a →
|＝2，|b →
|＝1，|a →
+2b →
|＝|a →
−b →
| ∴ |a →
+2b →
|2
＝|a →
−b →
|2
，即(a →
+2b →
)2
＝(a →
−b →
)2，
即|a →
|2+4a →⋅b →
+4|b →
|2＝|a →
|2−2a →⋅b →
+|b →
|2， 故6a →⋅b →
+3＝0， 解得：a →
⋅b →
=−1
2；
|a →
−2b →|2
=|a →|2
−4a →
⋅b →
+4|b →
|2＝7， ∴ |a →
−2b →
|=√7
a →
⋅(a →
−2b →
)=a →2
−2a →
⋅b →
=2 设向量a →与a →
−2b →
夹角为θ，
则cos θ=a →⋅(a →
−2b →
)|a →
|⋅|a →
−2b →
|
=
2√7
7
． 【答案】
∵ cos 2
β=
1+cos 2β
2
=
1+(−79
)2
=1
9⋯
又∵ β∈(π
2,π)，∴ cos β=−1
3⋯
由（1）知：sin β=√1−cos 2β=√1−(−1
3)2=2√23
⋯
由α∈(0,π
2)、β∈(π
2,π)得(α+β)∈(π2,
3π
2
)
cos (α+β)=−√1−sin 2(α+β)=−√1−(79)2=−4√2
9⋯
sin α＝sin (α+β−β)＝sin (α+β)cos β−cos (α+β)sin β =
79×(−13)−(−4√29)×2√23=1
3
⋯ 【答案】
解：(1)在Rt △PON 中，PN =200sin θ，ON =200cos θ， 在Rt △OQM 中，QM =PN =200sin θ， OM =QM
tan 60=
√3
=
200√3sin θ
3
， 所以MN =ON −OM =200cos θ−200√3sin θ
3
，
因为矩形MNPQ 是正方形，
∴ MN =PN ， 所以200cos θ−200√3sin θ
3
=200sin θ，
所以(200+200√3
3)sin θ=200cos θ， 所以tan θ=
1+
√3
3
=3+√3
=
3−√32
．
(2)因为∠POM =θ，
所以∠POQ =60∘−θ，
∴ PS +PT =200sin θ+200sin (60∘−θ) =200(sin θ+
√3
2
cos θ−1
2sin θ)
=200(12sin θ+√3
2
cos θ)
=200sin (θ+60∘)，0∘<θ<60∘． 所以θ+60∘=90∘，即θ=30∘时，
PS +PT 最大，此时P 是AB ̂的中点． 【答案】
函数f(x)=a →
⋅b →
−1＝2sin 2(ωx +π
4)−√3cos (2ωx)−1 ＝sin (2ωx)−√3cos (2ωx)＝2sin (2ωx −π
3)
∵ f(x)的最小正周期为π，ω>0，∴ 2π2ω=π，∴ ω＝1． 那么f(x)的解析式f(x)＝2sin (2x −π
3)
令2kπ−π2
≤2x −π3
≤π2
+2kπ，k ∈Z ，得kπ−
π12
≤x ≤kπ+
5π12
∴ f(x)的单调增区间为[kπ−π
12, kπ+5π
12]，k ∈Z ． 方程f(x)−2n +1＝0在[0, 7π
12]上有且只有一个解， 转化为函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． ∵ x 在[0, 7π
12]上，∴ −π
3≤(2x −π
3)≤
5π6
那么函数y ＝f(x)+1＝2sin (2x −π
3)+1的值域为[1−√3, 3]， 结合图象可知，函数y ＝f(x)+1与函数y ＝2n 只有一个交点． 那么1−√3≤2n <1或2n ＝3， 可得
1−√32
≤n <1
2或n =3
2．
由（1）可知f(x)＝2sin (2x −π3
)
∴ f(x 2)min ＝−2．
实数m 满足对任意x 1∈[−1, 1]，都存在x 2∈R ， 使得4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>f(x 2)成立． 即4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1>−2成立 令y =4x 1+4−x 1+m(2x 1−2−x 1)+1
设2x 1−2−x 1=t ，那么4x 1+4−x 1=(2x 1−2−x 1)2+2＝t 2+2 ∵ x 1∈[−1, 1]， ∴ t ∈[−32, 3
2]，
可得t 2+mt +5>0在t ∈[−32, 3
2
]上成立．
令g(t)＝t 2+mt +5>0， 其对称轴t =−m
2 ∵ t ∈[−32, 3
2]上，
∴ ①当−m
2≤−3
2时，即m ≥3时，g(t)min ＝g(−3
2)=
294
−
3m 2
>0，解得3≤m <
296
；
②当−3
2<−
m 2
<32
，即−3<m <3时，g(t)min ＝g(−m
2
)=5−
m 24
>0，解得−3<
m <3；
③当3
2≤−m
2，即m ≤−3时，g(t)min ＝g(3
2)=294
+
3m 2
>0>0，解得−
296
<m ≤−3；
综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是(−
296
, 29
6)．
【答案】
设e x ＝t ，则x ＝ln t >0，所以f(t)＝a(ln t)2−ln t 所以f(x)＝a(ln x)2−ln x(x >0)；
设ln x ＝m(m ≤0)，则f(x)＝g(m)＝am 2−m
当a ＝0时，f(x)＝g(m)＝−m ，g(m)的值域为[0, +∞) 当a ≠0时，f(x)=g(m)=am 2−m =a(m −12a
)2−
14a
(m ≤0)
若a >0，1
2a >0，g(m)的值域为[0, +∞)
若a <0，1
2a <0，g(m)在(−∞,1
2a ]上单调递增，在[1
2a ,0]上单调递减，g(m)的值域为(−∞,−
14a
]⋯
综上，当a ≥0时f(x)的值域为[0, +∞) 当a <0时f(x)的值域为(−∞,−
14a
]；
因为ℎ(x)=a ln x −1+
(1−a)ln x
对任意x 1,x 2∈[e −3,e −1]总有|ℎ(x 1)−ℎ(x 2)|≤a +13
所以ℎ(x)在[e −3, e −1]满足ℎ(x)max −ℎ(x)min ≤a +1
3⋯ 设ln x ＝s(s ∈[−3, −1])，则ℎ(x)=r(s)=as +
1−a s
−1，s ∈[−3, −1]
当1−a <0即a >1时r(s)在区间[−3, −1]单调递增
所以r(−1)−r(−3)≤a +1
3
，即−2−(−8
3
a −4
3
)≤a +1
3
，所以a ≤3
5
（舍）
当a ＝1时，r(s)＝s −1，不符合题意 当0<a <1时，则ℎ(x)=r(s)=as +1−a s
−1=a(s +
1−a a
s
)−1，s ∈[−3, −1]
若√
1−a a
≤1即12
≤a <1时，r(s)在区间[−3, −1]单调递增
所以r(−1)−r(−3)≤a +1
3，则1
2≤a ≤3
5 若1<√
1−a a
<3即110<a <12时r(s)在[−3,−√
1−a a
]递增，在[−√
1−a a
,−1]递减
所以{
r(−√1−a
a )−r(−3)≤a +
1
3r(−√1−a a )−r(−1)≤a +13 ，得110<a <1
2
若√
1−a a
≥3即0<a ≤1
10时r(s)在区间[−3, −1]单调递减
所以r(−3)−r(−1)≤a +1
3
，即−8
3
a −4
3
+2≤a +1
3
，得
111
≤a <
110
⋯
综上所述：111≤a ≤3
5．。