导数应用的题型与方法上学期人教版

导数应用的题型与方法

河北徐水综合高中张占江邮编072550

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；

两个函数的和、差、基本导数公式，禾U用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、考试要求

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m（m为有理数），的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三、双基透视

导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：

1 •导数的常规问题：

（1 ）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3 ）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。

2 •导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一

个方向，应引起注意。

3 •曲线的切线

用割线的极限位置来定义了曲线的切线•切线方程由曲线上的切点坐标确定，设

P（x o, y o）为曲线上一点，过P（x o, y o）点的切线方程为：y y f （x°）（x x°）

4 •瞬时速度

用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度，v lim y S^一t） S（t）

0 t t

t

5.导数的定义

对导数的定义，我们应注意以下三点：

（1）△x是自变量x在X。处的增量（或改变量）•

(2) 导数定义中还包含了可导的概念，如果△ X T0时，—y有极限，那么函数y=f(x)在点

X

X。处可导，才能得到f(x)在点X。处的导数.

(3) 由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：

(a) 求函数的增量y f (X0X) f (X0)；

(b) 求平均变化率一Y ——X)一f

(

X

o

)

；

X X

(c) 取极限，得导数f'(x0) lim —y。

X 0 X

6 .导数的几何意义

函数y=f(x)在点x。处的导数，就是曲线y=(x)在点P(X o,f(x。))处的切线的斜率.由此，可以利用导数求曲线的切线方程•具体求法分两步：

(1) 求出函数y=f(x)在点x。处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x。))处的切线的斜率；

(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y y。f'(x0)(x X0)

特别地，如果曲线y=f(x)在点p(x。，f(x。))处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为X X0

7、导数与函数的单调性的关系

㈠f (X) 0与f (X)为增函数的关系。

f (X) 0能推出f (X)为增函数，但反之不一定。如函数f(x) X3在(，)上单调递

增，但f (x) 0,.・.f (X) 0是f (X)为增函数的充分不必要条件。

㈡f (x) 0时，f (x) 0与f (X)为增函数的关系。

若将f (x) 0的根作为分界点，因为规定f (x) 0,即抠去了分界点，此时f(x)为增函

数，就一定有f (x) 0。二当f (X) 0时，f (x) 0是f (X)为增函数的充分必要条件。㈢f (x) 0与f (x)为增函数的关系。

f(x)为增函数，一定可以推出f(X) 0，但反之不一定，因为f(X) 0 ,即为f (X) 0 或f (x) 0。当函数在某个区间内恒有f(X) 0,贝y f (X)为常数，函数不具有单调性。••• f (X) 0是f (X)为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。㈣单调区间的求解过程，已知y f(x)

(1)分析y f(X)的定义域；

(2)求导数y f (X)

(3)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为增区间

(4)解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的部分为减区间

㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数

f(x)在(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数

在f (x) b 处连续，因此f (x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区 间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。 8、已知 y f (x) x [a , b] (1 )若 f (x)

0恒成立 ••• y f (x)为(a , b)上 •••对任意x (a , b)不等式 f(a) f (x) f (b) 恒成立 (2)若 f (x)

0 恒成立 • y f (x)在(a , b)上

•对任意x (a , b)不等式f (a) f(x) f(b)恒成立

四、热点题型分析

题型一：利用导数定义求极限

例1 .已知f(x)在x=a 处可导，且f ' (a)=b ，求下列极限：

f (a lim 3h) f (a) 1lim f(a h) f(a) 2 h 0 3h

2h 0

h

3

1 f'(a) f'(a)

2b

2 2

说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等 价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。 题型二：利用导数几何意义求切线方程

2 2

o lim 2h

o lim

叫

Hh a /(. f \

叫

Hh

3

m Hh

m Hh

f2h

\2

m Hh 2)

m

Hh h mo

叫

Hi

\

\o

a