13 一次方程组的应用

13 一次方程组的应用

一次方程组是解数学题的重要工具之一，其应用主要体现在以下两个方面： 1．求代数式的值

一些表面与方程组无关的问题，借助相关概念、性质、对题意的理解等将问题转化为解方程组而获解．

2．列方程组解应用题

不同的应用问题应采用不同的解决手段或方法，对于含有多个未知量的问题，利用方程组求解常常比单设一个未知数建立一元方程容易，列方程组解应用题的步骤与列一元方程解应用题的步骤类似，它们的不同之处在于：

首先，列方程组所解决的应用题中含有多个未知量，须设多个未知数，而列方程只能设一个未知数，其他未知量只能用这一个未知数的代数式表示；其次，列方程组解应用题应列出彼此独立的方程来组成方程组，而列方程解应用题只需列出一个方程．

例1 设x 、y 满足x ＋３y ＋y x -3＝１９２ｘ＋ｙ＝６，则ｘ＝_______，Y ＝_______． (第十届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路 两等式联立可得关于x ，ｙ的方程组，解题的关键是如何脱去绝对值符号．

例2 4x －3y 一6ｚ＝０，ｘ＋2y －7ｘ＝O 2

222

22103225z

y x z y x ---+等于( )． (A)－

21 (B)－2

19 (C)一15 (D)一13 (1997年重庆市竞赛题)

解题思路 ｘ、ｙ、ｚ的值不惟一确定，不妨视2为常数，解关于x ，ｙ的方程组．

进球数ｎ O l 2 3 4 5 投进ｎ个球的人数 l 2 7

2

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人?

(2002年上海市中考题)

解题思路 已知两种情况的每人投进球的平均数，利用平均每人投进的球数＝

总人数

投进总球数

列出方程组．

例4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队8700元；乙、丙两队合做

10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的

3

2

，厂家需付甲、丙两队共5500元．

(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? (2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．

(天津市中考题)

解题思路 求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．

例5 有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种l 根，丙种3根共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米．问甲种l 根、乙种2根、丙种3根共长多少米?

(天津市竞赛题)

解题思路 三个未知量却只有两个等量关系，需运用相关的解方程组的技巧，如视某个变量为常量、整体思想等．

A 级

１．若a 一b ＝2，ａ－ｃ＝

21，则(ｂ一ｃ)3

一3(ｂ一c)＋4

9＝_______． 2．2002年全国足球甲A 联赛前12轮(场)的比赛后，前三名比赛成绩如下表，则每队胜一场、

平一场、负一场分别各得——分．

(南京市中考题)

＼ 胜场 平场 负场 积分 大连万达队 8 2 2 26 上海申花队 6 5 1 23 北京国安队 5

7

22

3．若ｘ＋２ｙ＋３ｘ＝10，４ｘ＋３ｙ＋２ｚ＝１５，则ｘ＋ｙ＋ｚ＝_______． 4．如图，在长方形ABCD 中，放人六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积为_______．

5．已知一4ｘ

n

m +ｙ

n

m +与

3

2ｘm -7ｙn +1是同类项，则ｍ、ｎ的值分别为( )． (Ａ)ｍ＝l ，ｎ＝7 (Ｂ)ｍ＝3，ｎ＝1

(Ｃ)ｍ＝

1029，ｎ＝65 (Ｄ)ｍ＝4

5

ｎ＝－２

6．把x ＝1和x ＝一1分别代入代数式ｘ2＋ｂｘ＋ｃ，它的值分别是２和８，则ｂ、ｃ的值是( )．

(A)ｂ＝3，c ＝4 (B)ｂ＝3，c ＝一4 (C)6＝一3，c ＝一4 (D)ｂ＝一3，ｃ＝4

7．方程32--y x ＋1++y x ＝１的整数解的个数是( )．

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

8．甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁．那么( )． (A)甲比乙大5岁 (B)甲比乙大10岁 (C)乙比甲大10岁 (D)乙比甲大5岁

(2000年全国初中数学联赛题)

9．某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖 的长方体小盒(如图1)，利用边角料裁出正方形 和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边 长相等(如图2)，现将150张正方形硬纸片和 300张长方形硬纸片全部用于制作这种小盒，求 可做成甲、乙两种小盒各多少个?

(上海市中考题)

10．某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天?

(福建省中考题)

11．项王故里的票价规定如表

购票人数 1～50人 51～100人 100人以上

每人门票价 5元

4.5元

4元

某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则共付486元．

(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元? (2)两班各有多少名学生? ‘

(2002年江苏省宿迁市中考题)

12．甲、乙、丙三人各有糖若干块，要求互相赠送，先由甲给乙、丙，所给的糖的块数等于乙、丙原来各自的糖块数；依同样的方法再由乙给甲、丙现有的糖块数；后由丙给甲、乙现有的糖块数，互相赠送后，每人恰好各有糖64块，问三人原来各有糖多少块?

(天津市竞赛题)

B 级

1．定义新运算“▽”如下：ｘ▽ｙ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃ(ａ，b ，C 为常数)，其中∣▽∣＝2，2▽2＝1，则2003▽2003的值为_______．

(河南省竞赛题)

2．《数理天地》(初中版)月刊，全年12期，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的改订半年，订半年的改订全年时，则共需订费1245元，则该中学初一年级订阅《数理天地》的学生共有_______