组合数学第六章

组合数学 第六章 容斥原理及其应用
主要内容： 1. 容斥原理及简单应用 2. 错排问题 3. 带禁止位置的排列 4. 莫比乌斯反演
n n n n ( 1) 0 0 1 n
容斥原理(p107)
“容”是inclusion, “斥”是exclusion. Principle of inclusion and exclusion 容斥原理是加法原理的一般情况 设全集为U, AU, 则有 |Ac| = |U| - |A|.
问题的解(p121-122)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上, 没有棋子位于同行同列,方案数为rk. 定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意 关联: |A1| + |A2| + … + |An| = r1(n-1)! 1 2 3 4
1 i1 ik n
例如: 30=2· 5, (30)=(-1)3=-1, 3· 14=2· 7, (14)=(-1)2=1, 44=22· 11, (44)=0,
Mö bius函数的性质(p128例)
1, if n 1, 定理: 对任意正整数n, 有 (d ) d |n 0, if n 1. 证明: n=1, 定理成立. 若n>1, 设
容斥原理(p108-109)
定理: 设A1, A2, …, An是U中的有限集合, 则 |A1cA2c…Anc| = | U | | Ai |
i 1 n 1 i j n

j
| Ai Aj |

1 i j k n
| A A
i
Ak |
+ (-1)n|A1A2…An| 证明: xU, 计算x在等式两边出现的次数
n p p p ,
a1 1 a2 2 ak k
d |n d |n1
n1 p1 p2 pk .
(d ) / d (d ) / d
(1)
(1)
1 i k

( pi )
pi

1 i j k

( pi p j )
pi p j
...
g ( n) k f ( d )
n d |n
1 h( n) f (d ) d |n d
可以由此解出 f(n) 和 h(n) 吗?
经典的Mö bius函数(n)(p132)
n>0 可以唯一地分解为素数幂的乘积: ak a1 a2 n p1 p2 pk , 其中p1, p2,…, pk 是不同的素数, ai 1. 定义 1, 若n=1; (n)= 0, 若i, 使得ai >1; (-1)k, 其它.
设{1,…, k}的周期d线排列数为f(d), 则有
f (d ) k
d |n
n

n d f ( n) k d d |n
Mö bius函数与欧拉函数(p133)
定理: 对任意正整数n, 有 d|n (d)/d = (n)/n. 证明: n=1, 定理成立. 若n>1, 设
5
| A
i1
Aik | rk ( n k )!
i1 X i2 i3 i4 X X
X
X X X
定理: 带禁止位置的排列数为 n! - r1(n-1)! + r2(n-2)! - … + (-1)nrn 0!,
i5
问题举例(p122-123)
X X X X X X X
r1=7, r2=15, r3=10, r4=2, r5 = r6 = 0 带如图禁止位置排列数为 6!-75!+154!-103!+22!
错排公式(p117)
设Ai为数i在第i位的全体排列, i , j =1,2,…,n |Ai|=(n-1)!, |AiAj|=(n-2)!, … … 错排数=|A1cA2c…Anc| ?
n n n n n! ( n 1)! ( n 2)! ( 1) ( n n)! 1 2 n
魔法手镯(补充)
Potter的女朋友Ginny的生日快到了. Potter打算做魔法手镯作为生日礼物. 手镯上要均匀地点缀n(1n109)个魔珠. 有m(1m10)种魔珠,有些魔珠不能相邻. 输入第一行: t // 测试样例数. 第二行: n m k // 1km(m-1)/2 接下来k行: a b // 1a,bm, a和b号珠不能相邻 … 输出: 不同手镯数模9973的结果.
f (d ) k
d |n
n

n d f ( n) k d d |n
1 1 n d h( n) f (d ) k n d |n d d |n d
应用二: 魔法手镯(补充)
设有m种魔法珠, B=(bij)mm为其邻接矩阵
= 184
另外的禁排问题(p123-124)
n个人练走步, 排成一列前行. 第二天要求 每人前面的人与前一天不同, 记方案数为Qn. 定理: 对于n>0,
n 1 n 1 Qn n! ( n 1)! ( n 2)! 1 2 n 1 n ( 1) 1! n 1
AB
简单应用举例(p110,p113)
例. 求1~1000中不能被5,6,8整除的数的个数. A5={1~1000中能被5整除的数}, A6, A8, |A5c∩A6c∩A8c| = ?
例. 多重集的组合. {3a, 4b, 5c}的10组合个数 x1 + x2 + x3 = 10 -------* 0 x1 3, 0 x2 4, 0 x3 5 U={*,xi0}, A={*,x14}, B={*,x25}, C={*,x36}, |Ac∩Bc∩Cc| = ?
h^(n) : 满足B, 且长为n的圆排列数.
f^(d) : 满足B, 且周期是d的线排列数.
g(n)=tr Bn : B的长为n的回路的条数

d |n
f (d ) tr( B ) f ^ (n) (d ) [tr B d ]
^ n
n
i 1 k
n n n pi i j pi p j p1 p2 pk
1 1 1 n 1 1 1 p1 p2 pk
错位排列(p116-120)
定义: 若S={1,2,…,n}的排列i1i2…in满足 i1 1, i2 2, …, in n, 则称它为n元素的错位排列. 以Dn记n元素的错位排列数. D1 = 0, D2 = 1, D3 = ?, 定理: Dn = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+…+(-1)n/n! ] 定理: Dn = (n-1) Dn-1 + (n-1) Dn-2. 注: 满足 i2=2, 其它错位的排列数为Dn-1.
推论(p110)
定理: 设A1, A2,…, An是有限集合, 则 |A1A2…An| =
| A | | A A
i 1 i 1 i j n i
n
j
|

1 i j k n
| A A
i
j
Ak |
+(-1)n-1|A1A2…An|
欧拉函数(n) (ex31和p133)
k k k k ( 1) 0 0 1 k
经典Mö bius反演定理(p133或p128)
定理:设F(n)和G(n)是正整数集上的函数, 则
n G ( n) F (d ) F ( n) (d )G . d d |n d |n
周期2: 1212 周期4: 1112, 1122, 1222
多重集线排列与圆排列关系(p135)
固定k, 令S={1,…, k}. h(n) : S的长为n的圆排列个数. f(d) : S的周期为d的线排列数. g(n) : S的长为n的线排列数(=kn, h(n)n, 例). 则有
(n)是1~n中与n互素的数的个数. ak a1 a2 例(3)=2, (6)=2. 设n的素分解为n p1 p2 pk
设Ai为1~n中pi的倍数的集合, i, j =1,…,k
|Ai|=n/pi , |Ai Aj|=n/(pi pj ), ……
(n) = |A1cA2c…Akc|
1 1 1 1 n! n! n! n! n! n! 1 n! 1! 2! 3! n! 1! 2! 3!
错排的递推关系(p118-119)
定理: Dn = (n-1) Dn-2 + (n-1) Dn-1.
证明: 对错排i1…in,
(1) i1有n-1种取值, 设i1 = k;
(2) 或(2a) ik=1; 或(2b) ik1. 将i1,ik互换则有
(2a) {1,2,…,n}\{1,k}是错排.
(2b) {1,2,…,n}\{k}是错排.
问题举例(p119)
n位男士, n位女士聚会, 女士选择舞伴, 第一次跳舞有多少种方案? 若每人都换舞伴,第二次跳舞方案数? 第二次跳舞每人都换舞伴的概率是多少?
( p1 pk )
p1 pk
1 i k

1 1 ( 1)k ( n) ... pi 1 i j k pi p j p1 pk n
多重集的圆排列数(p135)
设{1,…, k}的长为n的圆排列数为h(n), 周期是d的线排列数为f(d), 则有
简单形式的容斥原理(p108)
U 因为 |AB| = |A| + |B| - |AB|, A B 所以 设全集为U, 且A,BU, 则有 | Ac Bc | = |U| - |AB| = |U| - |A| - |B| + |AB| 类似的设全集为U, 且A,B,CU, 则有 | Ac Bc Cc | = |U| - |A| - |B| - |C| + |AB| + |BC| + |AC| - |ABC|.
k种元素多重集的圆排列(p134)
长为n圆排列在n个位置断开可得n个线排列 可能相同, 例:123412341234123412341234 只能形成4个不同的线排列, 称为周期4. 设一圆(线)排列可由长为p的线排列拷贝形成, 则这样的p中最小者称为该排列的周期. 长为n线(圆)排列数?周期取值?各数间的关系? n=4, k=2: 周期1: 1111, 2222
n p p p ,
a1 1 a2 2 ak k
d |n d |n1
wk.baidu.comn1 p1 p2 pk .
(d ) (d ) (1) ( p ) ( p p ) ... ( p p )
1 i k i 1 i j k i j 1 k
X
i5
X
X
定义rk (p122)
定义: 设将k个棋子放在棋盘的禁止位置上, 没有棋子位于同行同列,方案数为rk.
1 2 3 4 5 6 i1 X i2 X X i3 X X i4 X X i5 i6
r1=7, r2=15, r3=10,
r4=2, r5 = r6 = 0 定义: Ak = { ik Xk } 即: ik在禁止位, 其它ij任意
带禁止位置的排列(p120-121)
问题的描述: 设S={1,…,n}, X1,…,XnS, 求满足i1X1,…, inXn的排列i1…in的个数. 例. X1={1,4},X2={3},X3=,X4={1,5},X5={2,5}
1 2 3 4 5
i1 X
i2 i3 i4 X X
X
Xi是第i行的 禁止位置