第3章-背包问题.
数据结构 背包问题
数据结构背包问题数据结构背包问题1、引言背包问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和算法设计中具有重要意义。
该问题的基本形式是：给定一个背包的容量和一组物品，每个物品都有自己的重量和价值。
目标是使得背包装下的物品总价值最大化，且不能超过背包的容量限制。
2、背包问题的分类2.1 0/1背包问题2.2 完全背包问题2.3 多重背包问题2.4 无界背包问题3、0/1背包问题3.1 问题描述3.2 动态规划解法3.3 回溯法解法3.4 贪心算法解法4、完全背包问题4.1 问题描述4.2 动态规划解法4.3 贪心算法解法5、多重背包问题5.1 问题描述5.2 动态规划解法5.3 背包价值估价法解法6、无界背包问题6.1 问题描述6.2 贪心算法解法6.3 分数背包问题解法7、附件本文档所涉及的附件包括示例代码、实验数据和相关论文。
8、法律名词及注释8.1 背包问题：在法律术语中，背包问题指的是一类组合优化问题，涉及资源分配、货物装载等方面。
根据不同限制条件的不同，背包问题又分为多种类型。
8.2 0/1背包问题：背包中的物品要么被选中要么不被选中，不能部分选中。
8.3 完全背包问题：背包中的物品可以被选中多次。
8.4 多重背包问题：背包中的物品有一定数量限制。
8.5 无界背包问题：背包中的物品数量无限制。
8.6 动态规划：动态规划是一种解决多阶段最优化决策问题的数学方法，通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来构造全局最优解。
8.7 贪心算法：贪心算法是一种通过每一步选择局部最优解，并希望最终达到全局最优解的算法。
背包克教授谜题
背包克教授谜题【实用版】目录1.背包问题的提出2.背包问题的解决方法3.背包问题的实际应用正文1.背包问题的提出背包问题是一个经典的组合优化问题。
它的基本描述是：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，现在需要将这些物品装入一个背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不能超过背包的最大承重。
这个问题看似简单，实际上却具有很强的抽象性和普遍性，因此在运筹学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
2.背包问题的解决方法背包问题的解决方法有很多，其中最著名的是动态规划法。
动态规划法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过求解子问题来逐步推导出原问题的解。
具体到背包问题，动态规划法的步骤如下：（1）构建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个物品中选择，背包承重为 j 时，能够获得的最大价值。
（2）初始化 dp 数组，将 dp[0][j]（0<=j<=W）设为 0，表示在还没有选择物品时，背包的价值为 0。
（3）依次遍历每一个物品，对于每个物品，遍历背包的所有承重情况，更新 dp 数组。
（4）当物品的重量小于等于背包的承重时，可以选择将这个物品放入背包，更新 dp 数组为 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+ v[i])，表示选择当前物品和不选择当前物品的最大价值。
（5）当物品的重量大于背包的承重时，不能选择将这个物品放入背包，更新 dp 数组为 dp[i][j] = dp[i-1][j]，表示不选择当前物品的最大价值。
（6）遍历完成后，dp[n][W] 即为问题的最优解，其中 n 为物品的数量，W 为背包的最大承重。
3.背包问题的实际应用背包问题是一个典型的组合优化问题，它的解决方法在很多实际问题中都有应用。
比如，在物流运输中，如何合理选择货物，使得运输的总成本最小；在资源分配中，如何合理分配资源，使得项目的总收益最大；在基因学研究中，如何合理选择基因，使得生物的性状最优等。
01背包的穷举算法
01背包的穷举算法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行撰写：引言部分的目的是引导读者对文章内容的整体认识，让读者了解背包问题以及本文要介绍的01背包问题的穷举算法。
本文将首先介绍背包问题的概念，然后具体阐述01背包问题的定义以及解决该问题的穷举算法。
在现实生活中，背包问题是一类经典的组合优化问题。
它源于如何在背包容量有限的情况下，从给定的一组物品中选择出一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总价值或总重量达到最大或最小。
这个问题可以应用在多个领域，如资源分配、货物装载等场景中。
而01背包问题是背包问题的一个特例，它的特点是每个物品只有取或不取两种选择。
具体来说，对于一组给定属性的物品，每个物品都有一个对应的重量和价值。
背包有一个固定的容量限制，任务是选择一些物品放入背包，使得这些物品的总重量不超过背包的容量，同时总价值最大化。
针对01背包问题，本文将介绍一种穷举算法，该算法通过列举所有可能的解，逐一判断是否满足问题的约束条件，从而找到满足最大总价值的解。
这种算法的优点在于能够找到问题的最优解，并且理论上适用于任意问题规模。
但同时，穷举算法也存在着计算复杂度高、耗时较长等缺点。
通过对01背包问题的穷举算法的介绍，读者将能够了解该算法的基本原理和应用场景，并且能够更深入地思考如何在实际问题中应用这种算法来求解最优解。
在接下来的内容中，我们将详细介绍背包问题的定义、01背包问题的具体情况以及穷举算法的细节。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕着01背包问题展开讨论，旨在介绍和分析01背包问题的穷举算法。
具体来说，文章将从以下几个方面进行论述：1. 引言：介绍文章的背景和问题意义。
2. 背包问题介绍：对背包问题进行概括和解释，包括其应用领域和基本概念。
3. 01背包问题的定义：详细阐述01背包问题的定义、形式和要求。
4. 01背包问题的穷举算法：介绍和探讨01背包问题的穷举算法，包括算法思路、具体步骤和实现过程。
背包九讲
他们每人都最先指出了本文曾经存在的某个并非无关紧要的错误。谢谢你们如此仔细地阅读拙 作并弥补我的疏漏。感谢XiaQ，它针对本文的第一个beta版发表了用词严厉的六条建议，虽然 我只认同并采纳了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我 “一个 的一剂清醒剂， 让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。 sfita 提供了P01中的 常数优化” 。 当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是在 论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇指，你 们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力， 也鞭策着我不断提高自身水平， 谢谢你们！ 最后，感谢Emacs 这一世界最强大的编辑器的所有贡献者，感谢它的插件EmacsMuse 的开发者 们，本文的所有编辑工作都借助这两个卓越的自由软件完成。谢谢你们――自由软件社群―― 为社会提供了如此有生产力的工具。我深深钦佩你们身上体现出的自由软件的精神，没有你们
USACO中的背包问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5 6 7 8 8 9 10 14 14 15
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是计算机科学中的一个经典问题，主要涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
在这个问题中，每个物品有两个属性：重量和价值，背包有一个固定的容量限制。
为了解决背包问题，我们可以使用动态规划算法。
下面是一个标准格式的文本，详细描述了背包问题及其解决方法：一、问题描述：背包问题是在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
二、输入：1. 物品列表：包含n个物品，每个物品有两个属性：重量和价值。
2. 背包容量：背包可以容纳的最大重量。
三、输出：1. 最大总价值：背包中物品的最大总价值。
2. 最优解：选择的物品组合。
四、解决方法：1. 动态规划算法：a. 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值。
b. 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或者没有物品可选时，最大总价值为0。
c. 对于每个物品i，遍历背包容量j：- 如果物品i的重量大于背包容量j，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]，即不选择物品i。
- 如果物品i的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j]等于max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-物品i的重量] + 物品i的价值)，即选择物品i或不选择物品i的最大总价值。
d. 最终，dp[n][背包容量]即为问题的最大总价值。
2. 最优解的构造：a. 从dp数组的右下角开始，依次判断每个物品是否被选择：- 如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，表示物品i没有被选择。
- 如果dp[i][j]等于dp[i-1][j-物品i的重量] + 物品i的价值，表示物品i被选择。
b. 根据选择结果，构造最优解的物品组合。
五、示例：假设有以下输入：物品列表：[{重量: 2, 价值: 3}, {重量: 3, 价值: 4}, {重量: 4, 价值: 5}, {重量: 5, 价值: 8}, {重量: 9, 价值: 10}]背包容量：10应用动态规划算法，可以得到以下结果：最大总价值：15最优解：选择第1、2、4个物品，总重量为10，总价值为15。
《运筹学教程》胡云权 第五版 第三章 整数规划
人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别 为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单， 其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、 150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带 物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的 地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给 出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。 物品 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
割平面法
纯整数线性规划
max z c j x j
j 1 n
松弛问题
（3.1a）
max z c j x j
j 1
n
（3.1a）
aij x j bi
j 1
n
(i 1, 2, , m) （3.1b） ( j 1, 2, , n) （3.1c） ( j 1, 2, , n)（3.1d）
整数规划数学模型解的特点
• 不考虑x1、x2取整数的约束，称为上述 规划的松弛问题，可行域如图； • B为最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝ 35.7。 • 由于x1 、 x2必须取整数值，可行解集 只是图中可行域内的那些整数点；
• 凑整法：比较四种组合，但（4，7）、 （4，8）（3，8）都不是可行解，（3， 7）虽属可行解，但代入目标函数得 Z=33；
m个约束方程可表示为 CB CN
xi aij x j bi
jK
i Q
（3.2）
XB
CB XB cj-zj B-1b I 0
XN
B-1N ≤0
若其中的 不是整数， 则式（3.2）中相应的约束方程为
背包问题、多阶段生产安排问题
f1 (1) 0, x1 0 y x1 f1 (0) 0, x1 0 a1 x1 1
f1 (5) 8, x1 1 f1 (3) 8, x1 1
x1 1 x1 0 x1 0
动态规划 7-5 运筹学5-5
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物品
3.计算举例 例3 解：
重量(公斤/件) 每件使用价值
1
3 8
2
2 5
3
5 12
f1 (1) 0, x1 0 f k ( y ) max { ck xk f k 1 ( y ak xk ) } y f1 (0) 0, x1 0 0 x
k
f1 (5) 8, x1 1 f1 (3) 8, x1 1
动态规划 7-5 运筹学5-5
3.计算举例 例3
物品
1 3 8
2 2 5
3 5 12
a 5公 斤
重量(公斤/件) 每件使用价值
求： f 3 ( 5)
{ ck xk f k 1 ( y ak xfk )(} k 2,3, n 解： f k ( y) max y 2 5)
xn
… … … n
a1 c1
a2 c2
ak ck
an cn
他应如何选择这n种物品的件数，使得使用价 问题： 值最大？
建立数学模型：
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn s .t . a1 x1 a2 x2 an xn a xi 0, 且为整数，i 1, 2, n
f 3 (5) max { c3 x3 f 2 (5 a3 x3 ) } f 2 (0)
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中一个经典的算法问题，它涉及到在给定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。
在本文中，我将详细介绍背包问题的定义、解决方法以及相关的算法和实例。
一、背包问题的定义：背包问题是指在给定的背包容量和一组物品的重量和价值下，如何选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
背包问题可以分为0/1背包问题和分数背包问题两种类型。
1. 0/1背包问题：0/1背包问题是指每个物品要么放入背包中，要么不放入背包中，不能选择部分物品放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
2. 分数背包问题：分数背包问题是指每个物品可以选择部分放入背包中，可以按照比例放入。
每个物品有一个固定的重量和价值，背包有一个固定的容量。
目标是选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
二、背包问题的解决方法：背包问题可以使用动态规划算法来解决。
动态规划算法的基本思想是将问题划分为多个子问题，并保存子问题的解，以便在需要时进行查找。
背包问题的动态规划算法可以分为两种类型：0/1背包问题和分数背包问题的解法略有不同。
1. 0/1背包问题的解决方法：0/1背包问题可以使用二维数组来表示状态转移方程。
假设dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值，那么状态转移方程可以定义为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过遍历所有物品和背包容量的组合，可以求得dp[n][C]，即前n个物品放入容量为C的背包中的最大价值。
2. 分数背包问题的解决方法：分数背包问题可以使用贪心算法来解决。
贪心算法的基本思想是每次选择当前最优的解，然后将问题规模缩小，继续求解子问题。
ACM背包问题
背包问题
如果给你一个背包，要你从许多东西里选择一些装进来，只要这个包装得下，你就可 以将包里的东西全部拿走了，那么你会如何选择物品呢？这里你需要考虑的是背包的体积 和承重限制，当然最重要的是你拿走的东西的总价值最大。这样的问题就是背包问题，许 多问题都可以转化为背包问题来考虑。背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型 NP-C 难题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义。
while (goods[0].flag<goods[i].flag) {
goods[i+1]=goods[i]; i--; } goods[i+1]=goods[0]; } ///////////////////////////////////////////
·78·
第 4 章 背包问题
cout<<"最优解为:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) {
4.3.1 〖案例 2〗0/1 背包
需对容量为 c 的背包进行装载。从 n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品 i 的重 量为 wi，价值为 pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最 佳装载是指所装入的物品价值最高。限制：每个物品不能被分割，要不被装载，要不不被 装载。
第一行物品个数，接下来分别为物品价值，再接下来分别为物品的价值。再接下来分 别为物品的重量，最后为背包的容量。
数据结构与算法： 不需要特殊的数据结构 算法采用贪婪法 首先输入物品信息和背包容量,然后每次选比重最大的装载。
struct goodinfo
{ float p; float w; float X; int flag;
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑摘要：一、背包问题概述二、背包问题的数学模型1.基本形式2.扩展形式3.多维背包问题三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法2.动态规划法3.贪心算法4.回溯算法四、背包问题的应用1.运筹学2.物流管理3.投资决策五、提高背包问题求解效率的方法1.优化数据结构2.改进算法策略3.利用贪心策略正文：一、背包问题概述背包问题是一个经典的组合优化问题，起源于运筹学领域。
它描述了一个旅行者需要在有限的重量和容量限制下，从一系列物品中选择最有价值的物品装入背包的过程。
背包问题具有广泛的应用背景，如物流管理、投资决策等。
二、背包问题的数学模型1.基本形式背包问题基本形式可以用以下数学模型表示：给定一组物品，每种物品都有一定的重量和价值，求在背包重量限制下，如何选择物品使得背包内物品的总价值最大。
2.扩展形式在基本形式的基础上，背包问题还可以扩展为多个背包、有先后顺序的物品、有特殊约束条件等。
3.多维背包问题多维背包问题是在二维平面上的扩展，不仅需要考虑物品的重量和价值，还要考虑物品之间的相互依赖关系。
三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法暴力枚举法是一种简单的求解背包问题的方法，通过遍历所有可能的物品组合，找到满足条件的最优解。
但该方法时间复杂度高，不适合处理大规模问题。
2.动态规划法动态规划法是将背包问题分解为子问题，通过递归的方式求解。
该方法具有较好的时间复杂度，但需要合理设计状态转移方程。
3.贪心算法贪心算法在每一步都选择当前最优的解，但不一定能得到全局最优解。
在背包问题中，贪心算法可以通过物品的价值与重量比来选择装入背包的物品。
4.回溯算法回溯算法是一种试探性的搜索算法，通过逐步尝试的方式寻找最优解。
在背包问题中，回溯算法可以通过剪枝策略减少搜索空间。
四、背包问题的应用1.运筹学背包问题是运筹学领域的一个典型例子，通过求解背包问题，可以优化物流、仓储等领域的运营管理。
2.物流管理在物流领域，背包问题可以用于优化路径规划、货物分拣等问题。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑01背包问题是一个经典的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的应用。
该问题可以描述为：给定一个背包，其承载重量有限，同时给定一系列物品，每个物品都有其对应的重量和价值，需要选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总重量不超过背包的承载重量，并且所选物品的总价值最大。
要解决01背包问题，可以使用动态规划的方法。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以自底向上的方式解决的方法。
下面我们详细介绍01背包问题的解决过程。
我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示当背包容量为j时，在前i个物品中选择物品的最大总价值。
其中i表示前i个物品，j表示背包的剩余容量。
接下来，我们根据动态规划的原则，可以得到状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
根据状态转移方程，我们可以看出，在选择第i个物品时，有两个选择：放入背包中或不放入背包中。
如果选择放入背包中，则剩余的背包容量为j-w[i]，此时的总价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]。
如果选择不放入背包中，则总价值为dp[i-1][j]，取两者的最大值作为dp[i][j]的值。
为了得到dp数组中的所有值，我们需要按照自底向上的方式依次计算每个dp[i][j]。
最终，dp[n][m]即为问题的最优解，其中n表示物品的个数，m表示背包的承载重量。
具体的解决过程如下：1.初始化dp数组，将所有元素置为0。
2.从i=1到n，依次遍历每个物品。
a.对于每个物品i，从j=0到m，依次遍历每个背包容量。
b.如果w[i] > j，表示当前背包容量无法容纳物品i，则dp[i][j] = dp[i-1][j]。
c.如果w[i] <= j，表示当前背包容量可以容纳物品i，则-如果选择放入物品i，总价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]。
背包问题课程设计
背包问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解背包问题的基础概念，掌握其数学模型和关键参数。
2. 学生能够运用动态规划方法解决0-1背包问题，并理解其时间复杂度和空间复杂度。
3. 学生能够运用分支界限法解决背包问题，并了解其在不同情况下的适用性。
技能目标：1. 学生通过分析实际问题，能够将问题抽象成背包问题模型，并选择合适的算法进行求解。
2. 学生能够编写简单的程序代码，实现0-1背包问题的求解过程，培养计算思维和编程能力。
3. 学生能够运用所学知识解决类似背包的实际问题，具备一定的应用能力和创新意识。
情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中培养对算法的兴趣，增强对计算机科学和数学建模的认识和热爱。
2. 学生通过合作交流，培养团队协作精神，学会倾听、尊重他人意见，共同解决问题。
3. 学生在探索背包问题的过程中，培养面对困难的勇气和毅力，形成积极向上的学习态度。
课程性质：本课程为计算机科学和数学交叉领域的实践课程，旨在培养学生的计算思维和问题解决能力。
学生特点：学生具备一定的数学基础和编程能力，对算法有一定了解，但可能对背包问题这一具体应用场景认识不足。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，以案例驱动教学，引导学生主动探索，提高学生的动手实践能力和问题解决能力。
通过分解课程目标为具体学习成果，为教学设计和评估提供明确依据。
二、教学内容本课程教学内容围绕背包问题，结合以下章节展开：1. 背包问题基本概念：介绍背包问题的定义、分类及应用场景，以教材第3章为例，使学生了解背包问题在实际生活中的重要性。
2. 0-1背包问题：详细讲解0-1背包问题的数学模型、动态规划求解方法，结合教材第4章，分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
3. 动态规划算法实践：通过教材第5章案例，指导学生编写程序实现0-1背包问题的求解，让学生在实践中掌握动态规划算法的应用。
4. 分支界限法：介绍分支界限法在背包问题中的应用，结合教材第6章，分析其优点和局限性。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背景介绍：数据结构是计算机科学中非常重要的一个概念，它涉及到如何组织和存储数据，以及如何有效地访问和操作数据。
背包问题是数据结构中的一个经典问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化。
一、问题描述背包问题可以描述为：给定一个背包的容量C和n个物品，每个物品有一个重量w和一个价值v。
我们的目标是选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的容量。
二、解决方法背包问题可以使用动态规划的方法来解决。
具体步骤如下：1. 创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或物品个数为0时，最大价值为0。
3. 对于每个物品i，遍历背包容量j从1到C，对于每个背包容量，有两种选择：a. 不选择物品i，此时背包中物品的总价值为dp[i-1][j]。
b. 选择物品i，此时背包中物品的总价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示物品i的重量，v[i]表示物品i的价值。
4. 在两种选择中选择最大的总价值，并将其赋值给dp[i][j]。
5. 最终，dp[n][C]即为背包问题的最优解，即背包中物品的最大总价值。
三、示例问题假设有一个背包容量为10的背包，有5个物品，它们的重量和价值如下：物品1：重量2，价值6物品2：重量2，价值3物品3：重量6，价值5物品4：重量5，价值4物品5：重量4，价值6我们可以使用动态规划的方法来解决这个背包问题。
首先，创建一个二维数组dp，大小为6x11（物品个数+1 x 背包容量+1），并将所有元素初始化为0。
然后，按照上述步骤，依次计算dp数组的每个元素的值。
最终，dp[5][10]的值为10，表示在给定的背包容量下，选择物品1、物品3和物品5可以获得的最大总价值为10。
四、总结背包问题是一个经典的动态规划问题，在实际应用中有着广泛的应用。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是数据结构中一个重要的算法问题，它涉及到如何在给定的背包容量下，选择一定数量的物品放入背包，使得放入背包的物品总价值最大化。
在解决背包问题时，我们需要考虑物品的重量和价值，并且背包具有一定的容量限制。
一般来说，背包问题可以分为两种类型：0-1背包问题和完全背包问题。
1. 0-1背包问题：在0-1背包问题中，每个物品要么放入背包，要么不放入背包，不能选择部分放入。
我们需要根据物品的重量和价值，以及背包的容量限制，确定最优的放置策略。
假设有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1,v2, ..., vn，背包的容量为C。
我们需要找到一种放置策略，使得放入背包的物品总价值最大。
解决0-1背包问题的常用方法是动态规划。
我们可以使用一个二维数组dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大总价值。
动态规划的状态转移方程如下：- 当i=0或j=0时，dp[i][j] = 0，表示没有物品或背包容量为0时，最大总价值为0。
- 当j<wi时，dp[i][j] = dp[i-1][j]，表示当前物品的重量大于背包容量，无法放入背包，最大总价值与前i-1个物品相同。
- 当j>=wi时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi]+vi)，表示当前物品可以放入背包，我们需要比较将其放入背包和不放入背包两种情况下的最大总价值，选择较大的那个。
通过动态规划的方式，我们可以依次计算dp[i][j]的值，最终得到dp[n][C]即为问题的解，表示在前n个物品中，背包容量为C时的最大总价值。
2. 完全背包问题：在完全背包问题中，每个物品可以选择放入背包的次数是无限的，即可以选择放入0个、1个、2个，直至放满背包。
我们需要根据物品的重量和价值，以及背包的容量限制，确定最优的放置策略，使得放入背包的物品总价值最大。
程序设计综合实践课件-回溯法 - 背包问题
if (pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1])
{ //放入时设置状态
pProblem->iWeightLeft -= pProblem->sGoodsA [i-1].iWeight;
pProblem->solutionNow.iMaxValue += pProblem->sGoodsA [i-1].iPrice;
>sGoodsA [i].iPrice); }
} 10
void Try (struct SBag *pProblem, int i) //试探第i个物品选择
{ if (i > pProblem->N)
{ //已试探完所有物品
if (pProblem->bestSolution.iMaxValue < pProblem->solutionNow.iMaxValue)
}
（待续）
11
if (CheckOk (pProblem, i)) //本次试探是否可行 Try (pProblem, i+1); //继续试探摆放下个物品
if (pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1]) { //恢复不放入状态，回溯
pProblem->solutionNow.bSelectA [i-1] = 0; pProblem->iWeightLeft += pProblem->sGoodsA [i-1].iWeight; pProblem->solutionNow.iMaxValue -= pProblem->sGoodsA [i1].iPrice; } } }
背包问题
背包问题常州一中林厚从背包问题是信息学奥赛中的经典问题。
背包问题可以分为0-1背包和部分背包两种类型，0-1背包还可以再分为有限背包和无限背包（完全背包）。
背包问题的求解涉及到贪心、递归、递推、动态规划、搜索等多种算法。
熟练掌握各种背包问题及其变形试题的解法，是信息学奥赛选手从入门走向提高的必经之路。
先简单归纳一下涉及到的这几种重要算法：1、贪心：贪心法可以归纳为“每步取优”。
假设你的程序要走1~n共n步，则你只要保证在第i步（i=1..n）时走出的这一步是最优的。
所以，贪心法不是穷举，而只是一种每步都取优的走法。
但由于目光短浅，不考虑整体和全局，所以“步步最优”并不能保证最后的结果最优。
比如经典的“两头取数”问题、“n个整数连接成最大数”问题、“删数”问题等。
2、递归：递归算法可以归纳为将问题“由大化小”。
也就是将一个大问题分解为若干个“性质相同”的子问题，求解的的过程，一般是通过“函数的递归调用”，不断将大问题逐步细化、直至元问题（边界情况），最后通过递归函数的自动返回得到问题的解。
递归算法的关键是递归函数的构造，它的效率往往比较低，原因在于大量的“冗余”计算。
比如经典的“斐波那挈数列”问题，在递归实现时效率极低，存在着大量的冗余计算，可以采用“记忆化”的方法优化。
3、递推：递推问题往往有一个“递推公式”，其实和“递归公式”差不多，但是出发点不一样，递归的思想是“要想求什么就要先求出什么”。
而递推是从问题的边界情况（初始状态）出发，一步步往下走，直到走完n步，判断最后的解。
由于其中的每一步并不知道当前一步的哪一个值对后面的步骤有用，所以只能把所有情况（一步的所有走法）全部计算出来，也造成了很多的“冗余计算”。
时间上往往没有太多的优化余地，但空间上经常利用“滚动数组”等方式，把空间复杂度由O（n2）降到O（2n）。
比如经典的“杨辉三角形”问题、“判断n是否是斐波那挈数”问题等。
4、动态规划：本质上是一种克服了“冗余”的“递归”算法。
C语言背包问题课程设计
C语言背包问题课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解背包问题的概念，掌握其数学模型及相关算法。
2. 学生能掌握C语言中数组、循环、条件判断等基本语法结构，并将其应用于背包问题的编程实现。
3. 学生能了解并掌握贪心算法和动态规划算法在解决背包问题中的应用。
技能目标：1. 学生能运用C语言编写解决背包问题的程序，具备一定的编程能力。
2. 学生能通过分析实际问题，选择合适的算法解决问题，培养解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 学生在课程学习中，培养对计算机编程的兴趣和热情，提高自主学习能力。
2. 学生通过团队协作，培养沟通、合作能力，增强团队意识。
3. 学生在解决问题的过程中，培养勇于尝试、克服困难的意志品质。
课程性质：本课程为信息技术学科，以C语言编程为基础，结合实际问题，培养学生编程解决问题的能力。
学生特点：学生为初中年级，对计算机编程有一定了解，具备基本的C语言知识。
教学要求：课程要求学生掌握背包问题的基本概念和算法，学会运用C语言编程解决问题，并在过程中培养良好的情感态度价值观。
教学过程中，注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养编程思维。
通过分解课程目标为具体学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 背包问题基本概念：介绍背包问题的定义、数学模型及其实际应用场景。
- 教材章节：第三章第二节“算法举例——背包问题”2. C语言基础语法复习：回顾数组、循环、条件判断等基本语法结构。
- 教材章节：第一章“C语言概述”、第二章“数据类型与运算符”3. 贪心算法：讲解贪心算法在解决背包问题中的应用，并通过实例分析。
- 教材章节：第四章第三节“贪心算法”4. 动态规划算法：介绍动态规划算法在背包问题中的应用，并通过实例分析。
- 教材章节：第四章第四节“动态规划算法”5. 编程实践：指导学生运用C语言编写解决背包问题的程序。
- 教材章节：第五章“C语言编程实践”6. 算法分析与优化：引导学生分析算法性能，探讨优化策略。
《背包问题详解》课件
贪心算法
按照物品的单位价值排序，不断 选取物品放入背包，直至背包无 法再放入任何物品。
分支界限算法
通过添加上下界、剪枝和优化等 技巧，搜索并找到最优解。
多重背包问题的解法
动态规充最优解。
贪心算法
按照物品的单位价值排序，依次选取物品放入 背包，直至背包无法再放入任何物品。
《背包问题详解》PPT课 件
背包问题是一类经典的组合优化问题，涉及在限定容量的背包中选择一组物 品以最大化价值或满足约束条件。本课件将详细介绍背包问题的定义、分类 以及不同类型的解法。
背包问题的定义和分类
背包问题是指在给定背包容量和一组物品的条件下，选择恰当的物品放入背包中，使得物品价值最大化或满足 特定的约束条件。背包问题可以根据约束条件的不同分为0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
背包问题的贪心算法
贪心算法是一种启发式算法，通过按照某种策略选择物品放入背包，逐步构建出问题的解。贪心算法的优点是 简单高效，但是并不保证必然能够得到最优解，只能得到近似解。
背包问题的分支界限算法
分支界限算法是一种精确算法，通过搜索问题的解空间树并进行剪枝和优化， 找到最优解或最优解的近似解。算法的核心思想是根据上下界限制，分割问 题空间，减少搜索的规模。
背包问题的变种及其解法
1
部分背包问题
限制物品的选择范围，求解背包能容纳
零钱兑换问题
2
的最大价值。
将背包问题中的背包容量转化为固定的
面额，求解所需的最少硬币数量。
3
集合覆盖问题
将背包问题中的容量和物品价值转化为 集合和元素的关系，求解最小化子集覆 盖问题。
背包问题的动态规划算法
动态规划算法是求解背包问题的一种常用方法。通过定义状态转移方程和利 用动态规划表格，逐步计算填充最优解。算法的核心思想是将问题拆解成子 问题，并利用子问题的最优解构造出大问题的最优解。
背包问题的各种求解方法
背包问题的各种求解⽅法⼀、“0-1背包”问题描述： 给定n中物品，物品i的重量是w i，其价值为v i，背包的容量为c.问应如何选择装⼊背包中的物品，使得装⼊背包中的物品的总价值最⼤？形式化描述：给定c>0,w i>0,v i>0,1≤i≤n，要求找⼀个n元0-1向量（x1,x2,...,x n)，x i∈{0,1}，1≤i≤n，使得∑w i x i≤c，⽽且∑v i x i达到最⼤。
因此0-1背包问题是⼀个特殊的整形规划问题：max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n⼆、动态规划求解（两种⽅法，顺序或逆序法求解） 1.最优⼦结构性质 1.1 简要描述 顺序：将背包物品依次从1,2,...n编号，令i是容量为c共有n个物品的0-1背包问题最优解S的最⾼编号。
则S'=S-{i}⼀定是容量为c-w i且有1,...,i-1项物品的最优解。
如若不是，领S''为⼦问题最优解，则V(S''+{i})>V(S'+{i})，⽭盾。
这⾥V(S)=V(S')+v i.逆序：令i是相应问题最优解的最低编号，类似可得。
1.2 数学形式化语⾔形式化的最优⼦结构 顺序（从前往后）：设(y1,y2,...,y n)是所给问题的⼀个最优解。
则(y1,...,y n-1)是下⾯相应⼦问题的⼀个最优解： max ∑v i x is.t ∑w i x i≤cx i∈{0,1}，1≤i≤n-1如若不然，设(z1,...,z n-1)是上述⼦问题的⼀个最优解，⽽(y1,...,y n-1)不是它的最优解。
由此可知，∑v i z i>∑v i y i,且∑v i z i+w n y n≤c。
因此∑v i y i+v n y n>∑v i y i(前⼀个范围是1~n-1，后⼀个是1~n) ∑v i z i+w n y n≤c这说明(z1,z2,...,y n)是⼀个所给问题的更优解，从⽽(y1,y2,...,y n)不是问题的所给问题的最优解，⽭盾。
列举用贪心算法求解的经典问题
列举用贪心算法求解的经典问题贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它在每一步选择中采取最优的选择，从而达到全局最优的结果。
贪心算法通常求解的是最优化问题，例如最小生成树、最短路经、任务分配等问题，但并不是所有的最优化问题都可以用贪心算法解决，需要根据实际问题进行分析。
下面列举几个经典问题及其贪心算法的解法：1. 钞票找零问题这是一个典型的贪心算法问题，即如何用最少的钞票找零。
贪心算法的思路是，在每一步中选择面值最大的钞票，直到找完为止。
参考资料：- 《算法导论》第16章- 《算法竞赛入门经典》第2章2. 活动选择问题给定n个活动的起止时间，要求安排这些活动，使得尽可能多的活动能够不冲突地进行。
贪心算法的思路是，在每一次选择中选择结束时间最早的活动，因为这样可以给后面的活动留更多的时间。
参考资料：- 《算法竞赛入门经典》第3章- 《算法导论》第16章3. 背包问题将若干个物品放入一个容量为W的背包中，每个物品有自己的重量和价值。
要求在不超过容量的情况下，选择一些物品放入背包中，使得总价值最大。
贪心算法的思路是，选择价值比重量大的物品放入背包中，这样可以使得总价值最大。
参考资料：- 《算法竞赛入门经典》第4章- 《算法导论》第16章4. 最小生成树问题给定一个无向连通图，要求找到一棵生成树，使得边的权值和最小。
贪心算法的思路是，每次选择权值最小的边，加入生成树中，直到生成树包含了所有的节点。
参考资料：- 《算法竞赛入门经典》第7章- 《算法导论》第23章5. 最短路径问题给定一个有向图，求出一个节点到另一个节点的最短路径。
贪心算法的思路是，每次选择最短的路径，从起始节点开始，依次加入路径中的节点，直到到达目标节点。
参考资料：- 《算法竞赛入门经典》第8章- 《算法导论》第24章以上就是贪心算法常用的几个经典问题及其解法。
需要注意的是，贪心算法并不是对所有最优化问题都适用，需要根据具体情况进行分析和判断。
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j 1
n w j x j c s.t. j 1 x 0,1,..., m , ( j 1,..., n) j j
有界背包问题可以转换为0-1背包问题，但转换后 并不能降低问题的求解难度。
3.无界背包问题 记pj，wj(j=1,2,…,n)分别为第j种物品的价值和 重量，第j种物品的数量没有限制，即第j种物品的数 量在理论上没有限制，c为背包总重量限制，此时的背 包问题为无界背包问题，其数学模型如下：
若不考虑预处理中排序所耗费的时间，该算法的 时间复杂度为O(n)。 该算法不能计算近似比δ ，因此属于启发式算法 没有近似程度的保障，但在该算法基础上做一点小改 动，就可得到下面介绍的近似算法。
（4）降阶法（或归约法）：通过数学论证将问题 实例中的部分变量固定在某一个值，如0-1背包可以通 过论证确定某些物品一定要装入到背包中才能取得最 优解，而某些物品一定不能装入到背包中才能取得最 优解，以此达到减小问题规模的目的，再结合其他方 法对已经降阶后的规模更小的数据实例进行求解。
数据实例分类 为测试背包算法的性能，需要对算法进行测试， 测试数据可以由计算机按某种规则自动生成。一般把 所有物品的重量限定在[1,R]之内，其中，R为正整数 生成数据时，在[1,R]内随机取一个整数作为物品j的 重量wj,然后确定数据的类型，每种数据类型对应一个 函数f(wj)，最后根据pj=f(wj)决定物品的价值pj。
按照函数f(wj),背包问题的数据实例可分为以下 几种类型： （1）无相关数据实例：无相关数据实例中每一个 物品j的价值pj和重量wj都是从[1,R]中随机取得的一 个数。每一个物品j的价值pj和重量wj之间没有相关性 物品j的价值与重量之间没有线性关系，也没有正比关 系，此时的函数f(wj)实际上是在[1,R]中取一个随机 数。 这类数据由于物品j的价值pj和重量wj之间没有相 关性，因此相对比较容易求解，分支定界法与降阶法
由此可看出，无界背包问题可以转换为有界背包 问题，又由于有界背包问题可转换为0-1背包问题，因 此无界背包问题也可转换为0-1背包问题。 4.多维背包问题 前面介绍的背包问题中，物品装入到背包中时， 背包都只有一个限制（如装入到背包中的物品总重量 不能超过背包的总载重量），这种背包问题称为一维
背包问题。若物品装入到背包中时，背包有多个限制 就称为多维背包问题，又称多约束背包问题。比如， 对背包的载重量和容积进行二维限制就变为二维背包 问题，设背包有d个限制，其限制量分别c1,c2,…,cd 记pj(j=1,2,…,n)分别为第j种物品的价值wij(i=1,2, …,d;j=1,2,…,n)分别为第j种物品的第i维属性的重 n 量，则其数学模型为：
max Z p j xij
i 1 j 1
m
n
n w j xij ci (i 1, 2,..., m) s.t. j 1 x 0,1 , (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n) ij
6.子集和问题
在0-1背包问题中，令pj=wj(j=1,2,…,n)，就得 到子集和问题，其数学模型为：
（2）近似算法：给出一个算法并通过数学手段证 明该算法的近似比为δ ，从而得出该近似比下的近似 算法。 （3）动态规划法：将待求解问题分解成若干个相 互重叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶 段。一般来说，子问题的重叠关系表现为对给定问题 求解的递推关系（也就是动态规划函数），对子问题 求解一次病将解填入表中，当需要再次求解此子问题 时，可以通过查表获得该子问题的解，从而避免了大 量重复计算。
第3章
背包问题
问题概述
数学模型
背包问题（简记KP (Knapsack Problem)）是运筹
学、计算机科学中的一个典型优化难题，有着广泛的 实际应用背景，如预算控制、项目选择、投资决策、 材料切割、货物装载等，并且还常常作为其他问题的 子问题被加以研究，一般的整数规划问题都可转为0-1 问题或整数背包问题就计算复杂性而言，背包问题是 个NP难题，除非P=NP否则不存在多项式时间算法。
max Z p j x j
j 1 n
n w j x j c s.t. j 1 x 0且为整数, ( j 1,..., n) j
虽然第j种物品的数量在理论上没有限制，但实际
上由于背包总重量限制为c，因此实际上第j种物品的 装入数量最多为：
c c , 即x j为整数且0 x j wj wj
贪心算法求解0-1背包问题的步骤如下： 第一步：将各物品按单位价值由高到低排序。 第二步：去价值最高者放入背包。 第三步：计算背包剩余空间。 第四步：在剩余物品中去价值最高者放入背包。 第五步：若背包剩余容量为0或能装入的物品已全部 装入背包，则算法终止。
具体的算法伪代码可写成：
Algorithm Greedy_BKP; Begin Reduce_c:=c;{Reduce_c为背包的剩余载重量} Z_G:=0; {Z_G为背包中所有物品的总价值} For i:=1 to n do x[i]=0; For i:=1 to n do If w[i]<=Reduce_c then Begin x[i]:=1; Reduce_c:=Reduce_c-w[i]; Z_G:= Z_G+p[i]; End End
（4）反强相关数据实例：反强相关数据实例中每
一个物品j的价值pj是[1,R]中的一个随机数，重量wj= pj+R/10。 （5）几乎强相关数据实例：几乎强相关数据实例 中每一个物品j的重量wj是[1,R]中的一个随机数，价 值pj的取值范围为[wj+R/10-R/500,wj+R/10+R/500]。
j 1
n w j x j c s.t. j 1 x 0,1 , ( j 1,..., n) j
2.有界背包问题 记pj，wj(j=1,2,…,n)分别为第j种物品的价值和 重量，第j种物品的数量共有mj个，c为背包总重量限 制，此时的背包问题为有界背包问题，即每一种物品 装入到背包的数量上界为 mj个，其数学模型为： n
4.贪心算法 贪心算法是求组合优化问题的一种常用方法，其 优点是算法易于设计，执行速度快，缺点是所求得的 解不能保证最优或存在近似比，虽然对某些问题可以 证明其得到的解是最优解，如最小生成树等问题，对 有些问题，也能得出近似比，但对另一些问题，得到 的解却连近似比都没有。
贪心算法的基本思想是：将问题的求解过程看做 是一系列选择，每次选择都是当前状态下的最好选择 （局部最优解，即只注重目前的局部利益，不考虑全 局和整体的利益）。每做一次选择后，所求问题会简 化为一个规模更小的子问题，从而通过每一步的局部 解逐步到达整体解（可以是最优解，也可能不是最优 解）。
max Z p j x j
j 1
n
n w j x j c s.t. j 1 0 x 1, j (0,1,..., n) j
由于放松了原问题的约束，0-1背包问题的连续松 弛问题即为一个P问题，不难得到其最优解。令
b min j wi c i 1
（6）子集和数据实例：子集和数据实例中每一个 物品j的重量wj是[1,R]中的一个随机数，价值wj=pj。 （7）几乎相同重量的不相关数据实例：几乎相同 重量不相关数据实例中每一个物品j的重量wj是 [100000,100100]中的一个随机数，价值pj是[1,1000] 中的一个随机数。
求解算法
max Z w j x j
j 1 n
n w j x j c s.t. j 1 x 0,1 , ( j 0,1,..., n) j
常用求解技术 常用的背包问题经典求解技术（不含启发式算法） 主要有以下几种。 （1）分支定界法：通过分支来达到把问题所有可 能分成各种情况，通过计算整个问题的下界和各种分 支情况的上界来达到剪支（对目标最大化问题来说， 当一种分支情况的上界小于整个问题的下界时就把这 个分支减掉）的目的，从而减少搜索空间，获得最优 解得一种搜索方法。对于没有一般性好解法的多种问 题，分支定界法是用途很广泛的搜索方法，但不同问 题的具体实现各异，技巧性较强。
1.0-1背包问题 记pj，wj (j=1,2,…,n)分别为物品的价值和重量， c为背包总重量限制，变量
0, 不携带物品j xj ( j 1, 2,..., n) 1, 携带物品j 则0-1背包问题模型可写成如下的0-1整数线性规 n 划形式： max Z p j x j
最常见的背包问题是0-1背包问题，可描述为： 给定n个物品和一个背包，每个物品i的重量为wi， 价值为pi(i=1,2,…,n),背包能容纳的物品重量为c， 且总价值达到最大。 在0-1背包问题的基础上，对每种物品选择的数量 予以不同限定，或对背包的数量或对背包能放入的物 品进行多维限定（如对背包的载重量和容积进行二维 限制就变为二维背包问题），就会得出各种类型的背 包问题。 下面，将给出各种背包问题的数学模型。
max Z p j x j
j 1
n wij x j ci (i 1, 2,..., d ) s.t. j 1 x 0,1 , ( j 1, 2,..., n) j
5.多背包问题 若存在多个背包问题且可以把物品装入到不同的 背包中，这就是多背包问题。多背包问题中的物品数 量可以是0-1、有界、无界等各种情况，下面给出每个 物品数量是0或1的多背包问题数学模型。 记pj，wj(j=1,2,…,n)分别为物品的价值和重量 第j种物品数为1，共有m个背包，ci为第i个背包的总 重量限制，每个物品可装入任一背包内，变量为 0, 物品j不装入到背包i xij (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n) 1, 物品j装入到背包i 则多背包问题的模型可写成如下形式：