δ函数拉氏变换证明
拉氏变换
)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理 若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理 （处理复杂时间函数） 若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换及拉氏反变换
lim ftlis m F s
t
s 0
象函数的微分性质
tf(t)的拉氏变换为
Ltftd Fs
ds
拉氏变换主要定理
象函数的积分性质
f t 的拉氏变换
t
LfttsFsds
卷积定理
设 F s L f t ； G s L g t ，若原函数f(t)和g(t)的卷积为
0ftgd
拉氏反变换的计算方法
通过拉氏反变换的定义来计算原函数，显然，该方法是非 常繁琐的。 对于简单的F(s)，可直接利用附录A《常用函数拉氏变换 表》查出相应的原函数f(t)。 对于复杂的F(s)，通常采用部分分式法将其分解成若干个 简单的标准形式的象函数之和，然后再通过查表，分别求 出各个标准象函数的原函数，再应用叠加原理即可求出原 函数f(t)。
拉氏变换及拉氏反变换
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拉氏变换的定义
概述
对于利用微分方程表达的数学模型形式，采用 手工计算的方式求解是很烦琐的。利用拉氏变 换，可将微分方程转换为代数方程，使求解大 为简化，故拉氏变换是分析机电控制系统的基 本数学方法之一。在此基础上，进一步得到系 统的传递函数。
则
sin e j e j 2j
cos e j e j 2
几种典型函数的拉氏变换
由拉氏变换的定义及指数函数的拉氏变换得
L si n t0 si n t esd t t0 ejt2 jejtesd t t2 1j s 1js 1j s2 2 L co ts0 co ts esd t t0 ejt 2ejtesd t t1 2 s 1js 1j s2 s2
拉氏积分变换L
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f
拉氏变换
9、卷积定理：若f1(t), f2(t)可拉氏变换，且 有L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s),则
F1 ( s) F2 ( s ) L[ f1 ( ) f 2 (t )d ]
0
t
t
0
f1 ( ) f 2 (t )d为f1 (t）、f 2 (t）的卷积
2、时域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
L[ f (t a)] e F ( s)
as
3、时域微分定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0 ) s n 2 f (1) (0 ) ...... f ( n 1) (0 ) dt n df (t ) (1) f (0 ) |t 0 dt d n 1 f (t ) f ( n 1) (0 ) |t 0 n 1 dt
f (t ) R(t ) t 1(t )......... t 0 .......
F ( s) L[ R(t )] te dt
st 0 令u t dv e
t
e
st
st
s
0
e dt s
st
e 1 2 |0 2 s s
n Ai pi t 1 1 f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 ( s pi ) i 1 n
(2)当F(s)中的极点pl为l重极点时，F(s)可以表示为
拉氏变换
F(s) = L[ f (t)] = ∫ eate−stdt
0−
1 −(s−a)t e =− s −a 0−
∞
1 = s −a
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
是两个任意的时间函数， 设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 和 是两个任意的时间函数 象函数分别为F 象函数分别为 1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数， 常数， L[A1f1(t)+ A2f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
lim f (t ) = f (+∞) = limsF (s)
t →+∞ s →0
常用函数的拉氏变换(1) 常用函数的拉氏变换 原函数f(t) 原函数 Aδ(t) A ε(t) Ae-at 1-e-at sin(ωt) e-atsin(ωt) 象函数F(s) 象函数
A A/s
ω s2 + ω 2 ω (s +a)2 +ω2
O
ε (t)
t
2. 延迟单位阶跃函数
0 (t ≤ t ) ε (t − t ) = 1 (t ≥ t )
00 0+
ε (t)
O t0 t
延迟单位阶跃函数可以起始任意函数 f(t) f(t)ε(t− t0) ε
O
t0
t
O
t 0 (t ≤ t0- ) f (t )ε (t − t0 ) = f (t ) (t ≥ t0+ )
− st
称为收敛因子。 称为收敛因子。 收敛因子
的函数， 的函数。 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 的函数 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 所以拉氏变换是把一个时间域的函数 变换到 s 域内的 复变函数F(s)。 复变函数 。
拉氏变换
机械工程控制基础
y ′′ + p y ′ + qy = f ( x ) → y *
拉氏变换
1 . f ( x ) is k n x n + k n 1 x n 1 + + k 1 x + k 0 isn ' t root y * → y * = x 2 R n ( x ) → 0 is single root y * → y * = xR n ( x ) * * 2 0 is double root y → y = x R n ( x ) a isn ' t root y * → y * = β xe ax 2 . f ( x ) is Ae ax → a is single root y * → y * = β xe ax a is double root y * → y * = β x 2 e ax a isn ' t root y * → y * = Pn ( x ) e ax 3 . f ( x ) is Pn ( x ) e ax → a is single root y * → y * = xP n ( x ) e ax a is double root y * → y * = x 2 Pn ( x ) e ax ω isn ' t single root y * → y * = M cos ω x + N sin ω x 4 . f ( x ) is A sin ω x → ω is single root y * → y * = x ( M cos ω x + N sin ω x ) α ± β j isn ' t root y * → y * = e α x ( M cos β x + N sin β x ) 5 . f ( x ) is Ae ax sin β x → ω is single root y * → y * = xe α x ( M cos ω x + N sin ω x )
拉氏变换
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )
1
2
j
(e j t
e j t
)
1 2j
S
1
j
S
1
j
S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)
R
t
u(t)
Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R
时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)
0.5R
t
2
u(t
)
0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt
sF (s)
拉氏变换与拉氏反变换
e
at
e dt
st
1 ( s a )t e sa
j t
1 ] s j
0
1 sa
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t ) (t ) （单位脉冲函数）
0 (t 0) (t ) (t 0)
δ(t) t
(t )dt 1
t
拉普拉斯变换及反变换 二、微分定理
设 ℒ [ f ( t )] F ( s )
d n f (t ) n n 1 n2 ( n 1) ] s F ( s ) s f（0 ） s f （0 ） ... f （0 ） ℒ[ n dt
例1
df ( t ) 则 ℒ[ ] sF ( s ) f (0 ) dt 2 d f (t ) 2 ] s F ( s ) sf ( 0 ) f ( 0 ) ℒ [ 2 dt
s s
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
拉普拉斯变换及反变换 七、时域卷积性 8 时域卷积性 ：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
t
f ( ) lim f ( t ) lim sF ( s )
t s 0
拉普拉斯变换及反变换 例1
例2
1 u (t ) t 0 lim s 1 s s 5 2 I ( s) s1 s 2
5 2 5 2 i (0 ) l i ms( ) lim ( )3 s s s1 s 2 1 1/ s 1 2/ s
拉氏变换详细解读
φ = arctan
1− 1 1−ζ
2
ζ
e−ζωnt sin ωn 1 − ζ 2 t + φ 1−ζ 2
(
18
φ = arctan
2 ωn 2 s ( s2 + 2ζωn s + ωn )
ζ
根据表格直接写出结果
L [δ (t )] = 1, L e
− at
1 L [1(t )] = , s
ω s L [sin ωt ] = 2 , L [ cos ωt ] = 2 2 2 s +ω s +ω
e sinωt →
−at
1 = s+a,
1 L [t ] = 2 s 1 at L e = s−a
s + a ) + ω2 (
2
ω
e cosωt →
−at
s + a ) + ω2 (
3
2
5s3Y (s) + 6s2Y (s) + sY (s) + 2Y (s) = 4sX(s) + X(s) (5s3 + 6s2 + s + 2)Y (s) = (4s + 1) X(s)
Y (s) 4s + 1 = 3 X (s) 5s + 6s2 + s + 2
3.积分定理 积分定理
f (t )dt = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) L ∫ s s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
拉氏变换详解
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) F ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
0
0
0
1
e st dt lim
0
1 st e s
0
lim
0
1 1 s 2s2 s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
1
（3）例3.求指数函数f(t)=
19
, bl i
1 d M (s) l { [ ( s p1 ) ]}s p1 i! ds D( s )
l 1
i
1 d M (s) l b1 { [ ( s p1 ) ]}s p1 (l 1)! ds D( s ) 系数cl 1 , , cn , 仍按以前的方法计算
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
拉氏变换
线性定常微分方程求解拉氏变换即拉普拉斯变换。
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。
对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
复习拉普拉斯变换有关内容（1）1 复数有关概念（1）复数、复函数复数复函数ωσj s +=()()()x y F s F s jF s =+例1 ωσj s s F ++=+=22)(（2）模、相角()22yx FF s F +=()xyF F s F arctan=∠（3）复数的共轭yx jF F s F −=)(（4）解析若F(s)在s 点的各阶导数都存在，则F(s)在s 点解析。
模相角复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义0[()]()()stL f t F s f t e dt∞−==⋅∫（1）阶跃函数⎩⎨⎧)()(t f s F 像原像3 常见函数的拉氏变换⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t f ()[][]()s s e s dt e t L st st110111100=−−=−=⋅=∞−∞−∫（2）指数函数ate tf =)(()dtedt e e t f L ta s stat∫∫∞−−−∞=⋅=0)]([[]as )(a s e as a)t(s −=−−−=−−=∞−−110110复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数⎩⎨⎧≥<=0sin 00ωt t t f(t)[][]dte e e j dt e t f(t)L stt j t j st−∞−∞−⋅−=⋅=∫∫0021sin ωωω[]d te e j )tj (s )t -(s-j ∫∞+−−=021ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=∞+−∞−−001121)t j (s )tj (s e j s e j s j ωωωω22222211121ωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=s s j j j s j s j复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()∫∫∞−−∞=⋅′=00左t df e dt e t f stst()()[]()()()()()()()00001221−−−−′−−=n n-n-n-nn f sff sf ss F s t f "()[]()dt e t f s -f st−∞∫+=000()()右0=−=f s sF ()[]()st-st de t f t f e −∞∞∫−=00证明：0初条件下有：()()[]()s F s t fL nn =复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求[]?)(=t L δ解. ()()t 1t ′=δ()[]()[]t L t δL 1′=例3 求[]?)cos(=t L ω解. []t tωωωn si 1cos ′=[][]t L t L ωωωn si 1cos ′=()−−⋅=01δss 101=−=221ωωω+⋅⋅=s s 22ω+=s s复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理()[]()()()0111-f s s F s dt t f L +⋅=∫零初始条件下有：()[]()s F sdt t f L ⋅=∫1进一步有：N ()()()()()()()()010*******n n n n n n fs f s f s s F s dt t f L −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫""个例4 求L [t]=?解. ()dtt t ∫=1[]()[]∫=dt t L t L 1例5 求解. dt t t ∫=220222111=⋅+⋅=t t s s s ?22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t L 0111=+⋅=t t ss s 21s =[][]∫=dt t L t L 2231s=复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明：例6解.)(1)(1)(a t t t f −−=[][])(1)(1)(a t t L t f L −−=[])()(00s F et f L sτ⋅=−⋅−τ()F(s),a t 0a t 0 10t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<=s e s as11⋅−=−se as−−=1dtet f st ∫∞⋅−⋅−=00)(τ左令ττ=−0t τττττd ef s ∫∞−+−⋅=00)()(τττττd ef ess∫∞−−−⋅=00)(右=复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：[])()(A s F t f eL tA −=⋅dt et f e st At∫∞⋅−⋅=0)(左令sA s=−dt et f ts ∫∞⋅−⋅=0)( )(s F=右=dt e t f tA s ∫∞⋅−−⋅=0)()()(A s F −=[]at e L []t e L t -5cos 3⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−)πt (e L t 35cos 2222155+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=s s s π-s s e例7例8例9()22533+++=s s 3225+→+=s s s s ()[]ate t L ⋅=1a s s s −→= 1⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−)π(t e L t 155cos 2()()22215522+++⋅=+−s s e s πa s −=1复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−21)(ss F =例10[])0()(lim )(lim 0f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅∞→∞−∞→∫0lim )(0=⋅=∫∞−∞→+dt e dt t df t s s 左[]0)0()(lim =−⋅⇒+∞→f s F s s )(lim )(lim )0(0s F s t f f s t ⋅==∞→→+()tt f =)(lim )0(s F s f s ⋅=∞→01lim 2=⋅=∞→ss s复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−))((1)(b s a s s s F ++=例11（终值确实存在时）[])0()(lim )(lim 000f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅→∞−→∫dt e dtt df t s s ∫∞−→⋅=00lim )(左∫∞=0)(t df ∫∞→=t t t df 0)(lim [])0()(lim f t f t −=∞→[])0()(lim 0f s F s s −⋅==→右()()()abb s a s s sf s 11lim 0=++=∞→()22ωs ωs F +=()∞→=∞t ωt f sin 例120lim 220=+≠→ωs ωs s复习拉普拉斯变换有关内容（11）用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21t t y a t y a t y =⋅+′⋅+′′ss Y a s a s 1)()(212=⋅++L 变换)0()0(=′=y y )(1)(212a s a s s s Y ++=()[])(1s Y L t y −=系统微分方程L -1变换课程小结(1)1 拉氏变换的定义∫∞−⋅=0)()(dte tf s F ts（2）单位阶跃2 常见函数L 变换)(t f s1（5）指数函数ate −)(1a s +)(s F )(1t （1）单位脉冲1)(t δ（3）单位斜坡21s t （4）单位加速度31s22t （6）正弦函数t ωsin )(22ωω+s （7）余弦函数tωcos )(22ω+s s课程小结(2)（2）微分定理3 L 变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()[]()()()0111-f ss F s dt t f L +⋅=∫[])()(0s F e t f L sτ⋅=−⋅−τ[])()(A s F t f eL tA −=⋅)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→复习拉普拉斯变换有关内容（12）5 拉氏反变换∫∞+∞−⋅=j j st dse s F j tf σσπ)(21)(（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法a)s(s a)-s (s a F(s)++⋅=1a)s(s F(s)+=1例1 已知，求?)(=t f 解.[]ateaf(t)−−=11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=a s s a 111复习拉普拉斯变换有关内容（13）ca c a c a ca n n n n 01)1(1)(...+′+++−−用L 变换方法解线性常微分方程0 初条件n>m:L )()...(0111s C a s a s a s a n n nn ++++−−)(......)(01110111s R a s a s a s a b s b sb s b s C n n n n m m mm ++++++++=−−−−011011)()(......)(a s a s a b sb s b s C n n n n m m m m t t r ++++++=−−−−=δn n s C s C s C λλλ−+−+−="2211tn ttn eC eC eC s C L t c λλλ+++==−"21211)]([)(: 特征根（极点）i λ: 相对于的模态tie λi λ:1−L rb r b r b r b m m m m 01)1(1)(...+′+++=−−)()...(0111s R b s b s b s b m m m m ++++=−−复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：)(......)()()(011011m n a s a s a b sb s b s A s B s F n n n n m m m m >++++++==−−−−设)())((...)(21011n n n n n p s p s p s a sa s a s A −−−=+++=−−"0)(=s A I. 当无重根时∑=−=−++−+−=ni ii n n p s C p s C p s C p s C F(s)12211"∑==+++=ni tp i tp n tp tp i n eC eC eC eC t f 12121)(").F(s)p (s C i p s i i−=→lim ip s i (s)A B(s)C =′=复习拉普拉斯变换有关内容（15）342)(2+++=s s s s F 例2 已知，求?)(=t f 解.3131221+++=+++=s C s C ))(s (s s F(s)2131213121lim 11=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 2113233123lim 32=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 321121+++=s s F(s)tt ee f(t)32121−−+=3455)(22++++=s s s s s F 例3 已知，求?)(=t f 解.34)2()34(22++++++=s s s s s F(s))3)(1(21++++=s s s tt ee t f(t)32121)(−−++=δ复习拉普拉斯变换有关内容（16）223)(2+++=s s s s F 例4 已知，求?)(=t f 解一.jjj)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 11+=++−++−+=+−→jij)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 12−−=++−++++=−−→t j t j e jj e j j f(t))1()1(2222−−+−−−+=解二：js C -j s C j)-j)(s (s s F(s)++++=++++=1111321[]jtjt t e j e j e j −−−−+=)2()2(21[]t t j e jt sin 4cos 221+⋅=−[]t t e t sin 2cos +⋅=−22113+++=)(s s F(s)te t e f(t)t t sin 2cos −−+=22221112111++++++=)(s )(s s 221121++++=)(s s复习拉普拉斯变换有关内容（17）0)()()(1=−−=n p s p s s A "II. 当有重根时nn m m m-m-m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s)++++++=++""11111111(设为m重根，其余为单根)1p 1111111[s-p C )(s-p C )(s-p C L f(t)m-m-m m +++=−"[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=−=−−→→→→.F(s))p (s ds d )(m-C .F(s))p (s ds d j C .F(s))p (s ds d C .F(s))p (s C m m m p s mj j p s m-j m p s m-m p s m 11)1(11)(1111111lim !11lim !1lim !11lim ""]11n n m m s-p C s-p C +++++"t p m m-m m .e C t C t )(m C t )(m C 1]!2!1[12211++−+−=−−tp n m i i i e C ∑+=+1复习拉普拉斯变换有关内容（18）nn m m m-m-m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s)++++++=++""11111111mm p s C .F(s))p (s =−→11lim 111212111−++++=m m-m-m m )(s-p C )(s-p C )(s-p C C F(s))(s-p "nmn m m m s-p )(s-p C s-p )(s-p C 1111+++++"[]""+−−++−++=−−−−2111211)()1()(20m m m m p s C m p s C C .F(s))p (s dsd[]111lim !11m-m p s C .F(s))p (s dsd =−→[]""+−−−++++=−−−3112122)()2)(1(200m m m p s C m m C .F(s))p (s dsd []21221lim !21m-m p s C .F(s))p (s dsd =−→"复习拉普拉斯变换有关内容（19）)3()1(2)(2+++=s s s s s F 例5 已知，求?)(=t f 解.31143122++++++=s c s c s c )(s c F(s))(s )s(s s )(s C s 3121lim 2212++++=−→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=−→)(s )s(s s )(s ds d C s 3121lim !112211)(s )s(s s s.C s 312lim 203+++=→31121132114311212++++−+−=s .s .s .)(s .F(s)tt t ee te f(t)3121324321−−−++−−=)(s )s(s s s C s 312)3(lim 234++++=−→2131121−=+−−+−=))((221)3(]3)[2()3(lim ++++−+=−→s s s s s s s s 43−=32=121=。
拉氏变换
0
(t
)e
st
dt
=e-s(0)
=1
0
（2）指数函数 f(t) =eat
a为实数
F(s) L[ f (t)] eatestdt 0
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的 象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意实 常数，
1 (s a)2
常用函数的拉氏变换表见教材P294。
第三节：传递函数
常用函数拉普拉斯变换对照表
原函数f (t) 象函数F (S)
(t)
1
1
1(t )
s
t
1 t2
1 s2
1
2
s3
e at
1 sa
一、单位阶跃函数 (Unit step function)
(t)
1. 定义
(t)
0 1
(t 0- ) (t 0 )
二、拉普拉斯变换及反变换
1、拉普拉斯变换（拉氏变换） 一个定义在[0，∞)区间的函数f(t)，它的拉普
拉斯变换式F(s)定义为
F(s) f (t)estdt 0
式中 s =δ+jω为复数，F(s)称为f(t)的象函数，f(t) 称为F(s)的原函数。
est 称为收敛因子。
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的 复变函数F(s)。
O
t
2. 延迟单位阶跃函数
0
(t
t 0
)
1
(t t ) 0-
拉氏变换
s 3
7
f (t ) 3e (t ) 7e (t )
3t
N ( p1 ) p t N ( p2 ) p t N ( pn ) p t f (t ) ' e ' e ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
二 单位冲激函数
1. 单位脉冲函数 p(t) p(t) 1/ 0
1 p( t ) [ ( t ) ( t )]
t
p( t )dt 1
2. 单位冲激函数 (t)
1/
p(t)
- / 2
定义
/2
t
lim p( t ) ( t )
0
利用部分分式可将F(s)分解为：
待定常数
Kn K1 K2 F ( s) s p1 s p2 s pn
f (t ) K1e K 2e
p1t
p2t
K n e
返 回
pn t
上 页 下 页
待定常数的确定： 方法1
K i F ( s)( s pi ) s pi i 1 、 2、 3、 n
K1， 2 F ( s )( s j )s j
返 回 上 页 下 页
(2) 若 D(s) 0 具有共轭复根
p1 j p2 j
N (s) N (s) F (s) D(s) (s j )(s j ) D1 (s)
K1 K2 N1 (s) s j s j D1 (s)
st 0
(s c ) t
拉氏变换
1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
uC (0) Useg (S)＝US (S) + LiL (S) ：等值电压源象函数。 S
Z(S)I(S)=Useg(S)
5应用拉普拉斯变换法分析线性电路 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤： 把电路变换成频域电路； 电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解； 利用拉氏反变换得到时域的值。
uC (0 ) 1 U C (S ) = + IC (S ) S SC
U C ( 0 ) 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
4 运算电路
duC L [iC ] = L C dt
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CU C ( 0 ) : 附加电流源；
K13 = ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S = S1
Q
K2 d [ K13 + K12 ( S S1 ) + K11 ( S S1 ) 2 + ( S S1 )3 ] dS S S2 ∴ K12 d 3 N (S ) = [( S S1 ) ] dS D( S ) S = S 1
1 d2 3 N (S ) K11 = 2 [( S S1 ) ] 2! dS D ( S ) S = S
K1( p j )
1
1 dj N (S ) = j [( S S1 ) p ] , j ! dS D ( S ) S = S
1
j = 0,1, 2L ( p 1) , 0! = 1,
5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源， 求 uC(t)和 iC(t)。
拉普拉斯变换的数学方法
0
s2 2
6．余弦函数 cosωt
7．幂函数 t
n
L t 0
n
n! t e dt n 1 s
n st
u 1 令： u st , t , dt du s s n u 1 n u n u 1 u e du 则： Lt n e du 0 s s s 1 0
求原函数
L[ f (t a)] e
1 Le s 1
t
as
F ( s)
f (t ) L F (s) e
1
t 1
2.3 拉氏反变换及其数学方法
2.3.1．拉氏反变换
当已知 f(t) 的拉氏变换F(s),欲求原函数 f(t) 时，称作拉氏反变换，记作： L-1[ f(s) ],并定义 为：
1．F(s)无重极点的情况
F(s)总能展开成下面的部分分式之和：
Kn K1 K2 B( s) F (s ) = = + +鬃 ? A( s) s - p1 s - p2 s - pn
式中K1，K2.…Kn为待定系数。
依次推得：
Ki = B( p ) B( s) ( s - pi ) = ' i A( s ) A ( pi ) s = pi (i = 1, 2 , n)
L[ f (t )] F ( s)
且
t
lim f (t ) 存在 t
s 0
则函数 f(t) 的终值为：
证明：由微分定理：
lim f (t ) lim sF (s )
0
f ' (t )e st dt sF ( s) f (0 )
2拉氏变换及其应用
t
0
1
2
1
2
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) 氏变换等于其象 函数除以 s n。
5、终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理 L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s0
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n 2 f (0) f n 1(0)
L[af1(t ) bf 2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的 拉氏变换之和。 2、比例定理
L[ Kf (t )] KF (s)
2-2 拉氏变换的运算定理
3、微分性质
若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 零初始条件下 L[ f n (t )] s n F ( s)
f (t )dt f (t ) lim f (t ) f (0) 0
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理