§8-2 挠曲线近似微分方程

§8-2 挠曲线近似微分方程
在外力作用下，梁的轴线有直线变为曲线。 梁的挠曲线
梁的轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
外力作用在纵向对称面内，挠曲线也在纵向对称面内。
§8-2 挠曲线近似微分方程 一、挠度和转角
y x
A
忽略剪力对变形的影响
q F
q
y
B
x
B1
①挠度
梁横截面的形心在垂直于梁轴线方向的位移，用y表示，向上的挠度为
正。
② 转角
梁横截面绕中性轴转过的角度θ ，逆时针转动为正。
§8-2 挠曲线近似微分方程
③梁的挠曲线方程
q x
A
y
F
y f (x)
x
百度文库
q
y
B
B1
④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系—
dy q tgq y f ' ( x) dx
计算位移的目的：校核刚度、解超静定梁。
§8-2 挠曲线近似微分方程 二、梁的挠曲线近似微分方程
时，y 与
M (x)始终取相同的正负号。
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
§8-2 挠曲线近似微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致， 所以挠曲线的近似微分方程为：
d y M ( x) y 2 dx EI z
dq

Z
中性轴
推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EI z
y
中性层 O
忽略剪力对变形的影响
o1
o1
纵向对称 面 dx
1 M(x) ρ(x) EI z
Y
§8-2 挠曲线近似微分方程 由高等数学知：
d2y 2 1 dx ( x) dy 2 3 / 2 [1 ( ) ] dx
略去高阶微量，得
1 d2y 2 ( x) dx
所以
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
§8-2 挠曲线近似微分方程
y M (x) > 0 M (x) > 0
y M (x) < 0 M (x) < 0
dy dx 2 > 0 O
2
x
O
dy dx 2 < 0
2
x
y 的正负决定于y轴方向，当y轴正向向上
由上式进行积分，再利用边界条件和连续条件 确定积分常数。就 可以求出梁横截面的转角和挠度。
2
EIy M (x)