高维波动方程的初值问题
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7 高维波动方程求解法2
u a 2 u 0 ( i ) tt u |t 0 0, ut |t 0 ( x1 , x2 , x3 )
v 0(r 0). r
的解.
证明：直接计算,得 u t v( x1 , x2 , x3 , at ),
ut v( x1 , x2 , x3 , at ) atvr ( x1 , x2 , x3 , at ),
(3.10)
是定解问题
又由(3.8)，利用积分中值定理知
当 r 0 时, (1 , 2 , 3 )趋于球心( x1 , x2 , x3 ),
引理4.2得证.
v 1 4 r 1 (1 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) r , r 4 r 2 3 3 其中 (1 , 2 , 3 )是Dr内的某点.
的叠加.
所以引理得证.
设 u1 ( x, y, z, t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u u1 ( x, y, z, t ) u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.
由引理4.3知，只要取 就可得到定解问题(iv)的解
T0
d
D
M
3
2016/3/27
1.当 at d ,即 t d / a 时, S ( M )与 T0 不相交, ( M ) 和 ( M ) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.
at
) T 相 2.当 d at D ,即 d / a t D / a 时, S at ( M 与 0 交, ( M ) , ( M ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) 0 ,这表明扰动正在经过M点.
3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
课件：第三章 行波法
0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用
科学与工程计算第3章-4
高维一阶双曲型方程组
u u u 设方程： A B 0 t x y T 其中u u1 ,, u p ，A, B为实的 p * p矩阵
如果对所有的 , , 1，有非奇异的矩阵 S 使 S A B S 1为实对角矩阵。
1 若b a，则条件为a r 2
(2) Lax-Wendroff格式：
u u u 设u x , y, t 是 方 程 a b 0的 解 ， 那 么 ： t x y
2u u u a b 2 t x y t
u 维问题
1. 一阶双曲型方程
u u u b 0 a x y 初值问题： t u x, y,0 u x, y , x, y 0 其解为： ux, y, t u0 x at, y bt
一般设 x y h，有：
(3) 分数步长法：
为 放 宽 稳 定 性 条 件 而入 引的 技 巧 。 方法是：
第一步由x方向的差分把 t k 推进到t k ； 2 第二步由y方向的差分把 tk 2 推进到t k＋1。
一般形式： k1 k k 2 u u D u j ,m j ,m 1 j ,m 1 1 k k u k 1 u 2 D u 2 j ,m 2 j ,m j ,m
故有： k 1 k u j ,m Lhu j ,m
1 1 2 2 x x x y [ I r A 0 B 0 r A B 2 y y 2 2 1 2 x y k r AB BA 0 0 ]u j ,m 2
0 0 a B 0 0 0 a 0 0
第二章波动方程资料
注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
数学物理方法三维偏微分方程的初值问题
二、热传导方程初值问题
P159
设L是关于x, y, z的常系数线性偏微分称为齐次,否则为非齐次.它的解为
式中U为基本解:
例3求三维热传导方程Cauchy问题的基本解，即解定解问题
基本解:
定理6三维热传导方程Cauchy问题
的解为
三维偏微分方程的初值问题
一、三维波动方程的初值问题
P92
4.3高维波动方程Cauchy问题
的泊松公式为:
用M'表示以M为球心，at为半径的动点
这就是Poisson公式，它给出三维无界空间齐次波动方程的初值问题的解。公式表明，
t时刻M点的波函数u(M, t)由以M为球心，at为半径的球面 上u的初值决定。同时也显示了初值对M点的影响是以速度a从球面 向M点传播的。
P159
设L是关于x, y, z的常系数线性偏微分称为齐次,否则为非齐次.它的解为
式中U为基本解:
例3求三维热传导方程Cauchy问题的基本解，即解定解问题
基本解:
定理6三维热传导方程Cauchy问题
的解为
三维偏微分方程的初值问题
一、三维波动方程的初值问题
P92
4.3高维波动方程Cauchy问题
的泊松公式为:
用M'表示以M为球心，at为半径的动点
这就是Poisson公式，它给出三维无界空间齐次波动方程的初值问题的解。公式表明，
t时刻M点的波函数u(M, t)由以M为球心，at为半径的球面 上u的初值决定。同时也显示了初值对M点的影响是以速度a从球面 向M点传播的。
第七章 7.2节 球面平均法和泊松公式
1 x at ' 由达朗贝尔公式 ( x, t ', ) x at ' f ( , )d 2a 1 x a (t ) 作代换 ( x, t , ) x a (t ) f ( , )d 2a
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
因此，一维无界弦的纯受迫振动问题的解为： t 1 t x a (t ) u ( x, t ) ( x, t , )d 0 xa (t ) f ( , ) d d 0 2a
1 ( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 r Sr r a Sr r
f 1 f 将 r 代换为 at ，并注意到 得： r a t
u ( x, y, z, t ) 2 f '(at )
( , , ) 1 ( , , ) [ M dS M dS ] 4 a t Sat at a Sat at 1
tt a 2 xx 0 ( x , t ) 求解 方程 t 0, t t f ( x, ) ( x )
解：令 t ' t ，则 t 't ' a 2 xx 0 ( x , t ) t '0 0, t ' t '0 f ( x, ) ( x )
面积微分元：
dS r d r sin d d 体积微分元：
2 2
dV d d d r sin dr d d dr dS r dr d dS 立体角微分元： d 2 sin d d r
2 2
三.球面平均 球面平均的定义： 1 1 u (r , t ) u ( , , )dS 2 S 4 r 4
波动方程的达朗贝尔解
简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。
1-6能量不等式、波动方程解的唯一性
2017-11-18
四川大学数学学院邓瑾
1. 能量守恒和初边值问题解的唯一性
考虑高维波动方程的初边值问题(以二维为例)
u a 2 (u u ) 0, ( x , y ) , t 0, tt xx yy t 0, u ( x , y ) 0, u t 0 ( x , y ), ut t 0 ( x , y ), ( x , y ) . (1) (2) (3)
14
四川大学数学学院邓瑾
2.设v(x,t)满足
v tt a 2hv ) x l 0 (h 0)
定义能量积分 E ( t ) 1 2
l 0
2 2 2 (v t2 a 2v x )d x 1 a hv ( l , t ), 2
设uu(x,y,t)是满足方程(1)和边界条件(2)的解, 定义能 量积分 2 (4) E ( t ) [ut2 a 2 ( u x u2 y )]d x d y
下面证明, 对任意t 0有E(t)0, 即, 满足(1)(2)的振动是 能量守恒的.
2
四川大学数学学院邓瑾
证明要用到高斯公式: 设A [ P ( x , y ), Q ( x , y )], 则有 , ), 其中 ( A d x d y A n d s , x y n是的单位外法向量, ds 是 的弧长微元.
2 ut f d x d y ut2 dx d y f 2 dx d y
E ( t ) f 2 dx d y
即, [e t E ( t )] e t f 2 ( x , y , t )d x d y . 由此得
四川大学数学学院邓瑾
1. 能量守恒和初边值问题解的唯一性
考虑高维波动方程的初边值问题(以二维为例)
u a 2 (u u ) 0, ( x , y ) , t 0, tt xx yy t 0, u ( x , y ) 0, u t 0 ( x , y ), ut t 0 ( x , y ), ( x , y ) . (1) (2) (3)
14
四川大学数学学院邓瑾
2.设v(x,t)满足
v tt a 2hv ) x l 0 (h 0)
定义能量积分 E ( t ) 1 2
l 0
2 2 2 (v t2 a 2v x )d x 1 a hv ( l , t ), 2
设uu(x,y,t)是满足方程(1)和边界条件(2)的解, 定义能 量积分 2 (4) E ( t ) [ut2 a 2 ( u x u2 y )]d x d y
下面证明, 对任意t 0有E(t)0, 即, 满足(1)(2)的振动是 能量守恒的.
2
四川大学数学学院邓瑾
证明要用到高斯公式: 设A [ P ( x , y ), Q ( x , y )], 则有 , ), 其中 ( A d x d y A n d s , x y n是的单位外法向量, ds 是 的弧长微元.
2 ut f d x d y ut2 dx d y f 2 dx d y
E ( t ) f 2 dx d y
即, [e t E ( t )] e t f 2 ( x , y , t )d x d y . 由此得
3.2三维波动方程初值问题
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
u(x, y, z,t)
( )d,
r at 0.
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
z r cos ,
0
2-3 初值问题(高维情形)
at
2
2
0
(sin cos )d sin 2 d
0
d sin cos d 0 0 x y z. at
2
2
例2. 求解初值问题
2 3 u a ( u u u ), ( x , y , z ) R ,t 0 tt xx yy zz 3 u ( x , y , z , 0) yz , u ( x , y , z , 0) xz , ( x , y , z ) R t 解. 法一. 此处 yz, xz, 由Poisson公式得
由达朗贝尔公式可分别求得以上三个定解问题的解，为
1 x at u z d xzt , 2a x at 1 2 u [ z ( y at ) z ( y at )] yz , 2 u 3 0, 因此 u xzt yz.
1
例4. 求解初值问题
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
u ( x, y , z , t ) 1 2 t sin ( y at sin sin )( z at cos )d d 4 t 0 0
1 4
0
2
0
sin ( x at sin cos )( z at cos )d d
(a)先看三维情形：
特点：三维波的传播有清晰的前阵面和后阵面， 这一物理现象称为惠更斯（Huygens）原理或波无后效现象。 (b)二维情形：
第二章 波 动 方 程
2 3 utt a (uxx u yy u zz ) 2( y t ), ( x, y, z ) R , t 0 3 u ( x, y, z, 0) x y z, ut ( x, y, z, 0) 0, ( x, y, z ) R
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。 为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a
x at
x at
( )d
0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a
x at
x at
( )d
限制在 0
1 2a
t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,
解. 由例1，仅需计算推迟势
f ( x, t ) 延拓到 x < 0, 使得
数即可。而由命题1知，只要 ( x), ( x), F ( x, t ) 是 x 的奇
函数。 为此，只需要对
( x), ( x), f ( x, t ) 关于
x 作奇延拓。
( x), x 0, ( x) ( x), x 0. ( x), x 0, ( x) ( x), x 0. f ( x, t ), x 0, t 0, F ( x, t ) f ( x, t ), x 0, t 0.
当
1 2a
x at
x at
( )d
0
t
x a ( t )
x a ( t )
f ( s, )dsd .
x at 0, x 0 时，有
1 2 1 2a
u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
1 2a
得到新定解问题的解
U ( x, t ) [( x at ) ( x at )]
1 2
1 2a
x at
x at
( )d
限制在 0
1 2a
t
x a ( t )
0 x a ( t )
F ( s, )dsd ,
第二章 双曲型方程
积分之，得
x at c1 ,
x at c2 .
作代换
则方程(2.1.1)化成
u 0.
(2.1.2)
积分之,得
u f ( ) g ( ),
(2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) (2.1.6)
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at ), （称为D’Alembert解）
§2.1弦振动方程的初值问题——决定任意函数法 1.无界弦的自由振动
(2.1.1)
(1)求形式解（先求泛定方程包含任意函数的解，再由定解条件决定
任意函数）： 把(2.1.1)化成容易积分的形式，方程(2.1.1)的特征方程为
(dx) a (dt) 0
2 2 2
即
(dx adt)(dx adt) 0.
u[ ].
(2)求(2.2.3)的解：
( x, y, z ) C 2，考虑 ( x, y, z ) 在以 M ( x, y, z )为心，at M 上的平均值 为半径的球面 S at 上的点.
若
S
M at 的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为 ( , , ) ，则
x at
故
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) x at x at ( ) ( ) [ f1 (0) f 2 (0)]. 2 2
(0) (0)
1 u xx yu yy 2 u y 0, ( y 0), （如图2.9）其中 例2 求解第三问题 u x 2 y 1 ( x), ( x 0), 1 (0) 2 (0). u y 0 2 ( x), ( x 0). x 2 y 解令 可将方程化成 u 0, 从而 u f1 ( ) f 2 ( ). x 2 y
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u
x at
x at
( s)ds
波动方程的初值问题
波动方程的初值问题波动方程是数学中的一个经典问题，它描述的是物理世界中的波动现象，例如光波、声波和水波等。
理解波动方程的初值问题对于深入研究物理学和数学都非常重要，本文将就这个问题进行探讨。
一、波动方程的基本概念波动方程描述了不同波动现象的变化，其一般形式可以表示为：∂^2u/∂t^2 = c^2 ∇^2u其中，u是波动的物理量，t表示时间，c表示波速，∇^2是拉普拉斯算符。
这个方程可以在不同的条件下解决不同的问题。
例如，声波和光波的问题需要在空间各向同性的情况下求解，而液体中的波浪则需要考虑流体力学的因素。
二、初值问题在实际场景中，波动方程是常见的一个偏微分方程。
为了解决这个方程，需要确定一个初始条件，也就是波的初始状态。
这个初始条件被称作“初值问题”。
初值问题的求解需要确定波的初始位置和速度。
一般来说，这些初始条件需要从实验或者实际现象中获得。
以声波为例，我们可以通过调整音源的频率和位置来确定初始条件。
三、波的传播和反射在确定初始条件之后，我们需要研究波在不同介质中的传播和反射。
在空气中，声波会向四面八方传播，而在有密度差异的介质中，声波则会出现反射。
反射现象与波的入射角度有关，这个角度被称为“入射角”。
如果入射角度等于反射角度，波会在表面上发生完全反射。
如果入射角度大于反射角度，波将会部分反射，并且部分能量将继续传播。
我们可以通过研究波的传播和反射现象来理解声波在不同环境中的传播方式。
四、波的干涉和衍射除了反射之外，波还会发生干涉和衍射现象。
干涉现象指的是两个波相遇后，将会发生相加或者相消现象。
例如，在双缝实验中，两个波会干涉产生条纹模式。
衍射现象是指，波在通过障碍物或者缝隙后，会呈现出弯曲的效应。
在缝隙很小的情况下，波将会相互干涉，形成衍射精细的图形。
这个现象称为“菲涅尔衍射”。
五、总结在本文中，我们讨论了波动方程的初值问题，并且研究了波的传播、反射、干涉和衍射现象。
这些基本概念对于理解波动现象是非常重要的，同时也对于我们学习物理学和数学理论有着重要的参考价值。
3.2高维波动方程的初值问题
f (at) g (at),
u(M , t ) lim u (r , t ) f (at ) g (at ) 2 f (at).
r 0
在(29)(30)式中取 t 0 得
(ru ) t |t 0 af (r ) ag (r ),
(ru ) r |t 0 f (r ) g (r ),
微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 u div u
M 2 M 2 M u dV a udV a div udV r r tt r VrM VrM
a2r 2
2 2 u u ( M r , t ) d 4 a r . r S M r 1
7
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
于是
2 t 2
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 a 2 r 2
u , r
两边对 r求导得
(r 2u ) tt 2a 2 rur a 2 r 2urr ,
(ru ) tt a 2 (2ur rurr )
(ru ) tt a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
a
2
S rM
u dS
M r
u a r (M r, t )d r SM
u(M , t ) lim u (r , t ) f (at ) g (at ) 2 f (at).
r 0
在(29)(30)式中取 t 0 得
(ru ) t |t 0 af (r ) ag (r ),
(ru ) r |t 0 f (r ) g (r ),
微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 u div u
M 2 M 2 M u dV a udV a div udV r r tt r VrM VrM
a2r 2
2 2 u u ( M r , t ) d 4 a r . r S M r 1
7
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
于是
2 t 2
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 a 2 r 2
u , r
两边对 r求导得
(r 2u ) tt 2a 2 rur a 2 r 2urr ,
(ru ) tt a 2 (2ur rurr )
(ru ) tt a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
a
2
S rM
u dS
M r
u a r (M r, t )d r SM
《线性代数》高维波动方程
数学物理方程
的依赖区 （24）
初始平面上一点
它在 空间为一个以 其母线与 轴的角为
称锥面：
数学物理方程
的影响区域： （26）
为顶点的倒立的圆锥体， 。
（27） 为二维波动方程的特征锥。
其次考察三维情形。
数学物理方程
由三维泊松公式， 空间内一点
的依赖
区域是平面 上的球面：
（28）
这与一维和二维情形有较大区别。
处的值在此球中的体积积分
表示，称这样的积分
为推迟势。
注：在一维和二维的情形，我们可以进行类似的讨 论。
例：求解如下定解问题：
数学物理方程
解：利用冲量原理，知此非齐次方程初值问题的解 可以写成如下形式：
数学物理方程
即
降维法不但适用于波动方程，也适用于其他类型的 方程。此法可以使我们从多变量方程的定解公式中， 推导出变量个数较少的方程的定解问题的求解。
三. 依赖区域、决定区域、影响区域 首先考察二维的情形。 由二维泊松公式， 空间内一点 域是平面 上的圆
区域 的决定区域 是以 顶点，以 为底的
圆锥体区域：
（25）
(ii)
事实上 满足定解问题 (III)
由于
，则
；而且
(**)
(iii) 对 (**)两端对 求导有
其中 表示拉普拉斯算子。
现在我们把这个解 则
数学物理方程
用泊松公式表示出来：
数学物理方程
(***)
其中 表示体积微元，积分在以 为半径球体内进行。
为球心，
由于在时刻 ，位于
处的函数 的数值
由函数 在时刻
§2.2 高维波动方程
数学物理方程
一 . 齐次波动方程初值问题 在研究电磁场等问题时，有时需要讨论高维波动方 程相关的问题，例如三维波动方程的柯西问题：
波动方程初值问题
波动方程初值问题波动方程初值问题是在物理学中经常遇到的一类问题，研究的是在给定初始条件下的波动现象。
下面将详细介绍波动方程初值问题的相关知识点。
一、波动方程初值问题的基本概念波动方程初值问题是指，在已知波动方程及其初值条件的情况下，求解波动过程中各时刻的波动状态的问题。
波动方程通常描述的是波动的传播过程，具有一定的数学形式，解析解往往难以直接求得，需要利用适当的数值方法进行逼近求解。
二、波动方程初值问题的求解方法1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法，适用于求解一类边值问题。
对于某些特定的波动方程，可以采用分离变量法，将其转化为一系列常微分方程，进而求解出波动状态函数。
2.有限差分法有限差分法是通过离散化波动方程，在网格节点处计算差分近似值，并通过求解差分方程组来求解问题。
它是一种基本且有效的数值方法，被广泛地应用于求解波动方程初值问题。
3.有限元法有限元法是将具有一定连续性的结构或介质离散成若干个有限单元，在有限单元内进行数值计算，最终求解整个问题的方法。
比起有限差分法，有限元法的适用范围更广，也更为精确，但计算量较大，在实际应用时需要考虑计算效率和求解精度之间的平衡。
三、波动方程初值问题的应用波动方程初值问题广泛应用于物理学、化学工程、机械制造等领域中，如声波、电磁波、光波、地震波等的传播与反射，可以通过波动方程初值问题来描述和计算这些物理现象。
总之，波动方程初值问题是一类具有一定难度的数学问题，求解该类问题需要掌握一定的数值计算方法和物理知识，并且需要对实际问题进行具体分析才能得出最优的求解方案。
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u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
ru = f ( r + at ) + g (r − at ),
上式两端分别对 t, r 求导得
(ru ) t = ru t = af ′(r + at ) − ag ′(r − at ),
11
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
∂ r 2 f ′(r ) = ∂r 4πr 2 r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ), u tt dVrM = 4πa 2 r 2 ∂u . ∫∫∫ ∂r VrM
(28)
另一方面， 另一方面，利用
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
u tt dVrM = a 2 ∫∫∫ ∆udVrM = a 2 ∫∫∫ div ∇udVrM ∫∫∫
VrM
2
Ω
Γ
VrM
2
VrM
∂ ∂u =a r u ( M + rω , t )dω = 4πa 2 r 2 . ∫∫ ∂r S M ∂r 1
7
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
M r
(28)
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
u ( M , t ) = 2 f ′(at )
r →0
(29)(30)式中取 在(29)(30)式中取 t = 0 得
(ru ) t |t =0 = af ′(r ) − ag ′(r ),
(ru ) r |t =0 = f ′(r ) + g ′(r ),
10
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 一维波动方程的初值问题 得到了达朗贝尔公式 对于三维波动方程 达朗贝尔公式。 三维波动方程， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 球面平均法形式地推出解的表达式 这表达 形式地推出解的表达式。 用球面平均法形式地推出解的表达式。 式通常被称为基尔霍夫公式 基尔霍夫公式。 式通常被称为基尔霍夫公式。 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在， 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
lim u (r , t ) =
r→0
S1M
1 4π
则在VrM 上的体积分用球坐标可表示为
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
3
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
dS rM = r 2 sin θdθdϕ ,
dω = sin θdθdϕ ,
dS rM = r 2 dω.
2
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
可写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
Ω Γ
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。
4
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
1
为已知函数。 其中ϕ ( x, y, z ) 与ψ ( x, y, z ) 为已知函数。
≡ ( x, y, z ),
为球心， S rM 表示以 M 为球心，
r 为半径的球面。 球坐标，则球面上的点 为半径的球面。 利用球坐标 利用球坐标，
P ≡ (ξ ,η , ζ ) = ( x + r sin θ cos ϕ , y + r sin θ sin ϕ , z + r cos θ ).
用 ω = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 表示球面 S rM 的单位 外法向， 外法向，则球面 S rM 上的点可简单记作 M + rω. 也可被看成单位球面上的点。因此， 同时 ω 也可被看成单位球面上的点。因此，我们 也记球面上的微元
(ru ) tt = a 2 (2u r + ru rr )
(ru ) tt = a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
ru = f (r + at ) + g (r − at ),
为二阶可微函数。 其中 f , g 为二阶可微函数。 + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(ru ) r = u + ru r = f ′(r + at ) + g ′( r − at ),
(29) (30)
上面的两式中， 上面的两式中，令 r → 0, 得
f ′(at ) = g ′(−at ),
u ( M , t ) = lim u (r , t ) = f ′(at ) + g ′(−at )= 2 f ′(at ).
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
(28)
现在引进 u的球面平均数 dS rM = r 2 dω.
1 u (r , t ) ≡ 4πr 2 u ( P, t )dS rM = 1 ∫∫ 4π S rM
∫∫ u (M + rω , t )dω.
S1M
对上式两边对 r 取极限 r → 0, 得
∫∫ u( M , t )dω = u (M , t ). r 此外， 为球心， 为半径的球体， 此外，记 VrM 表示以 M 为球心， 为半径的球体，
0 M r1
S rM 1
0 S1M
r
r
则有
∫∫∫ utt dV
VrM
M r
∂2 = 2 ∂t
∂2 udVrM = 2 ∫∫∫ ∂t VM
r
∫
r
0
dr1 ∫∫ u ( M + r1ω )r12 dω
S1M
∂2 = 4π 2 ∂t
∫
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 .
8
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
∫∫ u
S rM
t
|t =0
dS
M r
∂ r = ∂r 4πr 2
r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
M r
在上式中取 r = at 并代入 u ( M , t ) = 2 f ′(at ) 可得
(28)
ru = f ( r + at ) + g (r − at ),
上式两端分别对 t, r 求导得
(ru ) t = ru t = af ′(r + at ) − ag ′(r − at ),
11
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
∂ r 2 f ′(r ) = ∂r 4πr 2 r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ), u tt dVrM = 4πa 2 r 2 ∂u . ∫∫∫ ∂r VrM
(28)
另一方面， 另一方面，利用
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
u tt dVrM = a 2 ∫∫∫ ∆udVrM = a 2 ∫∫∫ div ∇udVrM ∫∫∫
VrM
2
Ω
Γ
VrM
2
VrM
∂ ∂u =a r u ( M + rω , t )dω = 4πa 2 r 2 . ∫∫ ∂r S M ∂r 1
7
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
M r
(28)
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
u ( M , t ) = 2 f ′(at )
r →0
(29)(30)式中取 在(29)(30)式中取 t = 0 得
(ru ) t |t =0 = af ′(r ) − ag ′(r ),
(ru ) r |t =0 = f ′(r ) + g ′(r ),
10
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 一维波动方程的初值问题 得到了达朗贝尔公式 对于三维波动方程 达朗贝尔公式。 三维波动方程， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 球面平均法形式地推出解的表达式 这表达 形式地推出解的表达式。 用球面平均法形式地推出解的表达式。 式通常被称为基尔霍夫公式 基尔霍夫公式。 式通常被称为基尔霍夫公式。 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在， 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
lim u (r , t ) =
r→0
S1M
1 4π
则在VrM 上的体积分用球坐标可表示为
∫∫∫ fdV
VrM
M r
= ∫ dr1 ∫∫ fdS = ∫ dr1 ∫∫ f ( M + r1ω )r12 dω.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
3
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
dS rM = r 2 sin θdθdϕ ,
dω = sin θdθdϕ ,
dS rM = r 2 dω.
2
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
可写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
Ω Γ
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。
4
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
1
为已知函数。 其中ϕ ( x, y, z ) 与ψ ( x, y, z ) 为已知函数。
≡ ( x, y, z ),
为球心， S rM 表示以 M 为球心，
r 为半径的球面。 球坐标，则球面上的点 为半径的球面。 利用球坐标 利用球坐标，
P ≡ (ξ ,η , ζ ) = ( x + r sin θ cos ϕ , y + r sin θ sin ϕ , z + r cos θ ).
用 ω = (sin θ cos ϕ , sin θ sin ϕ , cos θ ) 表示球面 S rM 的单位 外法向， 外法向，则球面 S rM 上的点可简单记作 M + rω. 也可被看成单位球面上的点。因此， 同时 ω 也可被看成单位球面上的点。因此，我们 也记球面上的微元
(ru ) tt = a 2 (2u r + ru rr )
(ru ) tt = a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为
ru = f (r + at ) + g (r − at ),
为二阶可微函数。 其中 f , g 为二阶可微函数。 + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
(ru ) r = u + ru r = f ′(r + at ) + g ′( r − at ),
(29) (30)
上面的两式中， 上面的两式中，令 r → 0, 得
f ′(at ) = g ′(−at ),
u ( M , t ) = lim u (r , t ) = f ′(at ) + g ′(−at )= 2 f ′(at ).
u ( x, y, z ,0) = ϕ ( x, y, z ), u t ( x, y, z ,0) = ψ ( x, y, z ),
(28)
微积分里面的奥 高公式写成散度形式为 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为 写成散度形式
∫∫∫ div vdΩ = ∫∫ v ⋅ ndS
n 所围成的区域， 其中 Ω 为简单闭曲面 Γ 所围成的区域， 是 Γ的单位 外法向。 外法向。 现将方程(27) (27)两边在 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 ∆u = div ∇u
(28)
现在引进 u的球面平均数 dS rM = r 2 dω.
1 u (r , t ) ≡ 4πr 2 u ( P, t )dS rM = 1 ∫∫ 4π S rM
∫∫ u (M + rω , t )dω.
S1M
对上式两边对 r 取极限 r → 0, 得
∫∫ u( M , t )dω = u (M , t ). r 此外， 为球心， 为半径的球体， 此外，记 VrM 表示以 M 为球心， 为半径的球体，
0 M r1
S rM 1
0 S1M
r
r
则有
∫∫∫ utt dV
VrM
M r
∂2 = 2 ∂t
∂2 udVrM = 2 ∫∫∫ ∂t VM
r
∫
r
0
dr1 ∫∫ u ( M + r1ω )r12 dω
S1M
∂2 = 4π 2 ∂t
∫
r
0
r12 u (r1 , t )dr1 .
8
u tt = a 2 (u xx + u yy + u zz ) (−∞ < x, y, z < +∞, t > 0), (27)
∫∫ u
S rM
t
|t =0
dS
M r
∂ r = ∂r 4πr 2
r 1 ϕ ( P)dS + ∫∫ a 4πr 2 M Sr
M r
ψ ( P)dS ∫∫ S rM
M r
在上式中取 r = at 并代入 u ( M , t ) = 2 f ′(at ) 可得