八年级上册第14章《勾股定理》单元测试题及答案
华师大版八年级上册数学第14章 勾股定理含答案
华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（）．A.11B.12C.13D.2、三角形各边（从小到大）长度的平方比，如下列各组，其中不是直角三角形的是（）A.9∶25∶26B.1∶3∶4C.1∶1∶2D.25∶144∶1693、下列各组数中，是勾股数的为（）A.1.5，2，2.5B.7，24，25C.0.3，0.4，0.5D.n，， n+14、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣5）2+|b﹣12|+c2﹣26c+169=0，则三角形的形状是（）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5、若等腰三角形中相等的两边长为10 cm，第三边长为16 cm，那么第三边上的高为 ( )A.12 cmB.10 cmC.8 cmD.6 cm6、如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为（）平方米．A.96B.204C.196D.3047、如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（）A.3B.4C.6或3D.3或48、以线段a、b、c 的长为边长能构成直角三角形的是（）A.3、4、6B.5、6、8C. 、2、D.1、、9、如图，四边形，四边形，四边形都是正方形．则图中与相似的三角形为（）A. B. C. D.10、如图，在平面直角坐标系中，，，，点P为的外接圆的圆心，将绕点O逆时针旋转，点P的对应点P’的坐标为（）A. B. C. D.11、如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD 的长度为（）A.1B.C.D.12、说明“若a是实数，则a2＞0”是假命题，可以举的反例是（）A.a=﹣1B.a=1C.a=0D.a=213、直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（）A.1.5B.2C.2.5D.514、“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究.如图2，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，，，分别与，相交于点P，Q.若，则的值为（）A. B. C. D.15、以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（）．A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题(共10题，共计30分)16、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为________17、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．18、若的三边长分别是6、8、10，则最长边上的中线长为________.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝1，则BD＝________．20、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为________．21、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，EC＝3DE，点F在AD 边上（异于点C），且∠AFE＝∠AFB，则BF长为________．22、已知，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°， BD平分∠ ABC，∠CAD=45， AC=4，点E是线段BD的中点，则CE的最小值为________．23、如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为________．24、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2， 10cm2，14cm2，则正方形D的面积是________ cm2．25、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、有一架秋千,当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送5m(水平距离BC=5m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?28、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，DA＝3．求∠BCD的度数．29、如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．30、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、D5、D6、A7、C8、D9、B10、A11、D12、C13、C14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、。
华师版八年级数学上册 第14章 勾股定理 单元测试卷(2024年秋)
华师版八年级数学上册第14章勾股定理单元测试卷（2024年秋）一、选择题(每题3分，共30分)1．[2024·宁德八年级期末]如图，有两棵树，一棵高20m，另一棵高10m，两树相距24m，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行()A．26m B．30m C．36m D．40m(第1题)(第3题)(第5题)(第7题) 2．[2024·鄞州实验中学期中]用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设()A．a，b中至多有一个是0B．a，b中至少有两个是0 C．a，b中没有一个是0D．a，b都等于0 3．[2024·汝州八年级期末]在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在小正方形顶点上，则下列结论错误的是()A．AB＝20B．∠BAC＝90°C．S△ABC＝10D．点A到直线BC的距离是2 4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5．[2024·青岛市南区期末]葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，把树干看成圆柱体，如图是葛藤盘旋一圈的示意图．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高4．8m，树干底面周长是1m，则这段葛藤的长是()A．2．6m B．5m C．5．2m D．5．6m 6．一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，此时快艇距离A处()A．25km B．24km C．7km D．1km 7．[新考法·折叠对称法]如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D'处．若AB＝3，AD＝4，则ED 的长为()A．32B．3C．1D．438．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5m，高为3m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要()A．5m B．7mC．8m D．12m9．[新考法·数形结合法]有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()10．[2023·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，作DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是()A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DEC．AD＝75D．CD∶BD＝3∶5二、填空题(每题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB2＋AC2＋BC2＝．12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为．(第12题)(第14题)(第15题)(第16题)(第17题) 13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为．14．[2024·泉州第五中学模拟]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D为△ABC内一点，且AD＝8cm，如果将△ABD按逆时针方向旋转到△ACE的位置，那么DE的长度为cm．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为．16．[2024·南通崇川区八年级期末]如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为．17．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1．在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为．18．[新趋势·传承数学文化2023南通]勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b 均小于c，a＝12m2－12，c＝12m2＋12，m是大于1的奇数，则b＝(用含m的式子表示)．三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分) 19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14．求AB的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝13，△ABD的面积为78，求CD的长度．21．[2024·南宁天桃实验学校月考]用反证法证明：(1)已知：a＜｜a｜，求证：a必为负数；(2)求证：形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．22．如图，一只蜘蛛在一个长方体实心木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体实心木块的顶点G处．若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？23．[2024·驻马店八年级期末]周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1．65米．(1)求风筝的垂直高度CE．(2)如果小明想将风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？24．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，点D在AB边上，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连结BE，DE．(1)求证：△CAD≌△CBE．(2)若AD＝2时，求CE的长．(3)点D在AB上运动时，试探究AD2＋BD2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．答案一、1．A【点拨】如图，建立数学模型，则CD＝20m，BE＝10m，DE＝24m，四边形ABED是长方形，∴两棵树的高度差AC ＝CD－AD＝CD－BE＝20－10＝10(m)，间距AB＝DE＝24m，∴根据勾股定理可得，小鸟至少飞行的距离BC＝B2＋B2＝102+242＝26(m)．故选A．2．C3．C【点拨】∵AC＝12＋22＝5，AB＝22＋42＝20，BC＝32＋42＝5，∴AB2＋AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°，故A，B选项正确；S△ABC＝4×4－12×3×4－12×4×2－12×2×1＝5，故C选项错误；设点A到直线BC的距离是d，则S△ABC＝12BC×d＝5，∴d＝5×25＝2，故D选项正确．故选C．4．C【点拨】∵(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，(a－b)2≥0，｜a2＋b2－c2｜≥0，∴(a－b)2＝0，a2＋b2－c2＝0．∴a＝b，a2＋b2＝c2．∴△ABC是等腰直角三角形．5．C6．C7．A【点拨】在长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠D ＝∠B＝90°，∴AC＝B2＋B2＝5．根据折叠可得△DEC≌△D'EC，∴D'C＝DC＝3，DE＝D'E，∠ED'C＝∠D＝90°．∴AD'＝AC－CD'＝2，∠AD'E＝90°．设ED＝x，则D'E＝x，AE＝4－x．∵在Rt△AED'中，D'A2＋D'E2＝AE2，∴22＋x2＝(4－x)2，解得x＝32．即ED＝32．8．B【点拨】由勾股定理得，楼梯的水平宽度＝52－32＝4(m)，∴地毯的长度至少是3＋4＝7(m)．9．C【点拨】∵72＋202≠252，152＋202≠242，∴选项A给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；∵72＋242＝252，152＋202≠242，∴选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；∵72＋242＝252，152＋202＝252，∴选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；∵72＋202≠252，152＋242≠252，∴选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意．故选C．10．C【点拨】由题意可知，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，故A结论正确，不符合题意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴由角平分线的性质得CD＝DE，故B结论正确，不符合题意；在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝B2－B2＝8．∵S△ABC＝S△ACD＋S△BAD，∴12AC·BC＝12CD·AC＋12AB·DE．∴12×6×8＝12×CD×6＋12×10×CD．∴CD＝3．∴AD ＝B2＋B2＝45，故C结论错误，符合题意；∵CD＝3，BD＝BC－CD＝5，∴CD∶BD＝3∶5，故D结论正确，不符合题意．故选C．二、11．5012．1713．17【点拨】当15为直角边长时，斜边长为152＋82＝17；当15为斜边长时，另一直角边长为152－82＝161(不合题意，舍去)．14．128【点拨】由旋转得∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD＝8 cm，∴DE＝82＋82＝128(cm)．15．32【点拨】∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠CED．∵点D为BC的中点，∴BD＝CD．又∵∠BDA＝∠CDE，∴△BDA≌△CDE(A．A．S．)．∴BA ＝CE＝5．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝B2－B2＝52－42＝3．∴CD＝12BC＝32．16．2【点拨】根据勾股定理可得AD2＝AB2－BD2＝16－8＝8，CD2＝AC2－AD2＝10－8＝2．∴第四个正方形的面积为2．17．5【点拨】连结DE，与AC交于点P，此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4，所以DE2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25，所以DE＝5，即EP＋BP的最短长度为5．18．m【点拨】∵现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边．∴a2＋b2＝c2．2－＋b22＋，得到14m4－12m2＋14＋b2＝14m4＋12m2＋14．∴b2＝m2．∴b＝｜m｜．∵m是大于1的奇数，∴b＝m．三、19．【解】在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，所以由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝25．所以CD＝5．因为BC＝14，所以BD＝9．所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝225．所以AB＝15．20．【解】∵∠C＝90°，DA＝13，△ABD的面积为78，∴S△DAB＝12DA·BC＝12×13×BC＝78．∴BC＝12．∵在Rt△BCD中，CD2＋BC2＝BD2，∴CD2＋122＝132，解得CD＝5(负值已舍去)．即CD的长度为5．21．【证明】(1)假设a≥0，则｜a｜＝a，这与已知a＜｜a｜相矛盾，∴假设不成立．∴a必为负数．(2)假设形如4n＋3(n为整数)的整数k能化成两个整数的平方和．不妨设这两个整数为α，β，则4n＋3＝α2＋β2．∵4n＋3＝(n＋2)2＋(－n2－1)≠α2＋β2，∴假设不成立．∴形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．22．【解】分三种情况讨论：(1)如图①，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．因为AB＝3cm，BC＝5cm，所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．所以在Rt△ACG中，AG＝B2＋B2＝82＋62＝10(cm)．(2)如图②，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．在Rt△ABG中，因为BG＝5＋6＝11(cm)，AB＝3cm，所以AG ＝B2＋B2＝32+112＝130(cm)．(3)如图③，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．在Rt△AFG中，因为AF＝6＋3＝9(cm)，GF＝5cm，所以AG＝B2＋B2＝92＋52＝106(cm)．因为130cm＞106cm＞10cm，所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10cm．23．【解】(1)由题意可知BC＝20米，BD＝12米，CD⊥BD，DE＝AB＝1．65米．∴在Rt△CDB中，由勾股定理得CD＝B2－B2＝202－122＝16(米)．∴CE＝CD＋DE＝16＋1．65＝17．65(米)．故风筝的垂直高度CE为17．65米．(2)如图，∵风筝沿CD方向下降7米，即CC'＝7米，∴C'D＝16－7＝9(米)，∴BC'＝n2＋B2＝92+122＝15(米)，∴相比下降之前，BC缩短长度为20－15＝5(米)，∴他应该往回收线5米．24．【解】(1)由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．∴△CAD≌△CBE(S．A．S．)．(2)∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝18，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝6．∴BD＝AB－AD＝6－2＝4．∵△CAD≌△CBE，∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°．∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．∴DE＝B2＋B2＝20．∵在Rt△CDE中，CD＝CE，CE2＋CD2＝DE2，∴2CE2＝20．∴CE＝10．(3)存在．由(2)可知AD2＋BD2＝BE2＋BD2＝DE2＝CD2＋CD2＝2CD2，∴当CD最小时，AD2＋BD2的值最小．此时CD⊥AB．∵△ABC为等腰直角三角形，∴当CD⊥AB时，AD＝BD．易得此时△ACD为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝12AB＝12×6＝3．∴AD2＋BD2的最小值为2×32＝18．。
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14-1勾股定理》解答题专题训练(附答案)
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《14.1勾股定理》解答题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．求AD，BD的长．2．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）边AC、AB、BC的长；（2）求△ABC的面积；（3）点C到AB边的距离．3．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的长．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求△ABC的面积．5．如图，Rt△OA1A2中，过A2作A2A3⊥OA2，以此类推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，记△OA1A2的面积为S1，△OA2A3面积为S2，△OA3A4面积为S3，…，细心观察图，认真分析各题，然后解答问题：①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…（1）请写出第n个等式：；（2）根据式子规律，线段OA10＝；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，到C点停止，连接PB，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求△ABC的面积；（2）当P A＝PB时，求t的值．8．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理．图①的面积S1＝；图②的面积S2＝；9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，若BC＝6，AC＝8，CD＝3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．10．（一）如图1在5×5的方格（每小格边长为1个单位长度）格点处有4只甲虫A、B、C、D，它们爬行规律总是先左右，再上下，规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+3），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息，那么图中（1）A→C（，），D→B（，）；（2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D（如左图），请计算甲虫A爬行的路程；（3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），最终到达甲虫P处，请在图2标出甲虫A的爬行路线示意图及最终甲虫P的位置；若甲虫A向上爬行的速度为每秒2个单位长度，向下爬行的速度为每秒1个单位长度，向左或向右爬行的速度为每秒0.5个单位长度，请计算甲虫A爬行的时间．（二）数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，且b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B、C分别以每秒m（m＜5）个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．若BC ﹣AB的值保持不变，求m的值．11．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c（1）已知a＝12，b＝5，求c；（2）已知c＝10，b＝9，求a．12．如图在△ABC中，∠B＝90°，点E，F分别在AB，BC上，求证：AF2+CE2＝AC2+EF2．13．如图，AB∥CD，∠C＝50°，点P是射线CD上一个动点（不与点C重合），点E、F 都在射线CD上，AE平分∠CAP，AF平分∠BAP．（1）求∠EAF的度数；（2）①当∠CAP＝20°时，∠1＝，∠2＝；②当∠CAP＝50°时，∠1＝，∠2＝；③当∠CAP＝60°时，∠1＝，∠2＝；④猜想∠1和∠2的数量关系，写出一个等量关系式，并说明理由；（3）设∠CAP＝x°时，∠AEF＝y°．①求y与x的关系式；②当△ACP为直角三角形时，求y的值．14．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，求AC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠A＝120°，求BC的长．15．如图1，点O在线段AB上，AO＝4，OB＝2，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC方向运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求OP的长和△ABP的面积；（2）当△OBP是直角三角形时，求t的值．16．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）已知a＝7，b＝24，求c；（2）若c＝，b＝5，求a．17．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．18．四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．（1）求证：AC⊥CD；（2）求四边形ABCD的面积．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心、BC为半径作圆弧，与边AB交于点D，再分别以A．D为圆心，大于AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F．（1）判断：直线MN是线段AD的线；（2）若BC＝5，AC＝12，求AE的长．20．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2，S1＝；OA32＝12+（）2＝3，S2＝；OA42＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．参考答案1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝＝25，∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，∴AB•AC＝BC•AD，∴15×20＝25AD，∴AD＝12；∵AD⊥BC，∴BD＝＝＝9．2．解：（1）AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝；（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；（3）点C到AB边的距离为h，则×AB×h＝，即××h＝，解得，h＝．3．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠DBC＝70°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°；（2）Rt△BCD中，BD＝＝＝9，设AC＝AB＝x，则AD＝x﹣9，∵Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣9）2+122＝x2，解得x＝＝12.5，∴AC＝12.5．4．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，∴DE＝CD＝6，∴AE＝＝8；（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即162+x2＝（8+x）2，解得x＝12，即BC＝12，∴S＝96．5．解：（1）①（）2+1＝2，S1＝；②（）2+1＝3，S2＝；③（）2+1＝4，S3＝…则第n个等式为：③（）2+1＝n+1，S n＝，故答案为：（）2+1＝n+1，S n＝；（2）OA1＝1OA2＝，OA3＝，…则OA10＝，故答案为：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝．6．解：（1）∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10；（2）∵CD⊥AB，∴S△ABC＝，∴×6×8＝×10×CD，∴CD＝．7．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20cm，AC＝16cm，由勾股定理得：BC＝＝＝12（cm），∴△ABC的面积＝AC•BC＝×16×12＝96（cm2）；（2）由题意得：AP＝tcm，在Rt△PBC中，PB2＝PC2+BC2＝（16﹣t）2+122，当AP＝PB时，t2＝（16﹣t）2+122，解得：t＝，∴当t＝时，AP＝PB．8．解：∵图①由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S1＝a2+b2+3×ab＝a2+b2+ab；∵图②由一个边长为c的正方形和三个直角边长分别为a、b的直角三角形拼成，∴S2＝c2+3×ab＝c2+ab，故答案为：a2+b2+ab；c2+ab．∵S1＝S2，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．9．解：（1）∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴＝，∴＝．10．解：（一）（1）A→C（+3，+2），D→B（﹣1，+2），故答案为：+3，+2，﹣1，+2；（2）甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，∴甲虫A爬行的路程是1+3+2+1+1+1＝9；（3）甲虫A爬行示意图与点P的位置如图所示：（2+1+2+1）÷0.5+（2+3）÷2+（1+2）÷1＝12+2.5+3＝17.5（秒），所以甲虫A爬行的时间是17.5秒；（二）（1）∵b是最小正整数，|a+b|+（c﹣5）2＝0，∴b＝1，a＝﹣1，c＝5，故答案为：﹣1，1，5；（2）根据题意知，BC＝（5+5t）﹣（1+mt）＝4+5t﹣mt，AB＝（1+mt）﹣（﹣1﹣t）＝2+mt+t，∴BC﹣AB＝4+5t﹣mt﹣（2+mt+t）＝2+（4﹣2m）t，∵BC﹣AB的值不变，∴4﹣2m＝0，∴m＝2．11．解：（1）由勾股定理得，c＝＝13；（2）由勾股定理得，a＝＝．12．证明：∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2，EF2＝BE2+BF2，AF2＝AB2+BF2，CE2＝BE2+BC2，∴AF2+CE2＝AB2+BF2+BE2+BC2＝AC2+EF2．即AF2+CE2＝AC2+EF2．13．解：（1）∵AB∥CD，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°，∵AE平分∠CAP，AF平分∠BAP，∴∠CAE＝∠P AE＝∠CAP，∠P AF＝∠BAF＝∠BAP，∴∠EAF＝∠P AE+∠P AF＝∠CAP+∠BAP＝（∠CAP+∠BAP）＝∠CAB＝×130°＝65°；（2）①∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝20°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣20°＝110°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝10°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝75°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣75°＝55°，故答案为：110°，55°；②∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝50°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝25°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝90°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣90°＝40°，故答案为：80°，40°；③∵∠1+∠C+∠CAP＝180°，∠C＝50°，∠CAP＝60°，∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CAP＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AE平分∠CAP，∴∠CAE＝∠CAP＝30°，∵∠EAF＝65°，∴∠CAF＝∠CAE+∠EAF＝95°，∵∠C+∠CAF+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠C﹣∠CAF＝180°﹣50°﹣95°＝35°，故答案为：70，35°；④∠1＝2∠2，理由如下：∵AB∥CD，∴∠1＝∠P AB，∠2＝∠F AB，∵AF平分∠BAP，∴∠P AB＝2∠F AB，∴∠1＝2∠2；（3）①∵∠CAP＝x°，∴∠EAC＝x°，∵∠AEF＝∠EAC+∠C，∠C＝50°，∴y＝x+50；②当∠CAP＝90°时，则x＝90，∴y＝×90+50＝45+50＝95，当∠APC＝90°时，∠CAP＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，则x＝40，∴y＝×40+50＝20+50＝70，综上所述，当△ACP为直角三角形时，y的值为95或70．14．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC＝＝＝2；（2）作CD⊥AB交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DCA＝30°，∴AD＝AC＝2，∴CD＝＝＝2，BD＝AD+AB＝4，在Rt△CDB中，BC＝＝2．15．解：（1）当t＝1秒时，OP＝2t＝2×1＝2．如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，∠PDO＝90°，∠BOC＝60°，∴∠DPO＝30°，∴OD＝OP＝1，PD＝＝，∴S△ABP＝AB•PD＝×（4+2）×＝3，故OP＝2，S△ABP＝3；（2）当△OBP是直角三角形时，①若∠B＝90°．如图，∵∠BOC＝60°，∴∠OPB＝30°，∴OP＝2OB，即2t＝2×2，t＝2；②若∠BPO＝90°，如图，∵∠BOC＝60°，∴∠B＝30°，∴OP＝OB，又OP＝2t，∴t＝0.5；综上，当△OBP是直角三角形时，t＝2或t＝0.5．16．（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：a＝＝＝＝4．17．证明：如图，连接BC，∵Rt△ABE≌Rt△DEC，∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵S梯形ABCD＝S Rt△ABE+S Rt△CDE+S Rt△BEC，∴，即∴，∴a2+b2＝c2．18．（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，∴AC＝，∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴AC⊥CD；（2）解：四边形ABCD的面积＝＝9+3．19．解：（1）由作图可知：直线MN是线段AD的垂直平分线，故答案为：垂直平分；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝，∵BC＝BD＝5，∴AD＝AB﹣BD＝13﹣5＝8，∵直线MN是线段AD的垂直平分线，∴AF＝4，∠AFE＝90°，∵∠A＝∠A，∴AE＝．20．解：（1）结合已知数据，可得：OA n2＝n，则S n＝；（2）∵OA n2＝n，∴OA10＝；（3）S12+S22+S32+…+S102＝++++…+＝＝．。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元检测(Word版附答案)
《勾股定理》复习检测一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)1.下列各组线段中,能构成直角三角形的一组是()A.5,9,12B.7,12,13C.0.3,0.4,0.5D.3,4,62.如图所示的各直角三角形中,其中边长x为5的个数是()A.1B.2C.3D.4第2题图第3题图3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,CD⊥AB于D,则CD的长是()A.6B.325 C.245D.1854.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列说法错误的是()A.若∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形B.若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形C.若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC是直角三角形D.若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形5.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),则满足线段AD的长为正整数的点D的个数为() A.4 B.5 C.3 D.2第5题图第6题图6.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D 重合,折痕为MN,则线段BN的长为()A.52 B.53C.4D.57.如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形,然后分别以三个正方形的中心为圆心,正方形边长的一半为半径作圆,记三个圆的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是() A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S1+S2<S3 D.无法确定第7题图第8题图8.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法如下:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以等腰直角三角形的直角边为边,分别向外作正方形②和②……依此类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为()A.2B.4C.8D.169.如图1,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光.如图2,当一个身高1.5 m 的学生(即CD=1.5 m)走到灯刚好发光的地方时,他离墙的距离为() A.4 m B.5 m C.6 m D.7 m第9题图第10题图10.如图,已知长方体的长AC=2 cm,宽BC=1 cm,高AA'=4 cm.一只蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B'点,则最短路程是()A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)11.在△ABC中,若AC2+BC2=AB2,∠A∶∠B=1∶2,则∠B的度数是.12.直角三角形的两条直角边之比是3∶4,斜边的长为15 cm,则这个三角形的周长为cm.13.如图,某宾馆在重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯.已知这种地毯每平方米售价20元,主楼梯宽2米,则购买地毯至少需要元.第13题图第14题图第16题图14.如图,一个长方体铁盒的长,宽,高分别是8 cm,6 cm,24 cm,一根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.(填“能”或“不能”)15.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,根据此规律,第5个勾股数组为.16.如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共52分)17.(6分)如图,正方形网格中有△ABC.若每个小方格边长均为1,请你根据所学知识,判断△ABC是什么三角形,并说明理由.18.(7分)学完勾股定理之后,同学们想利用升旗的绳子、卷尺,测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案:如图,将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面,测得此时绳子末端距旗杆底端1 m,然后将绳子末端拉直到距离旗杆5 m处,测得此时绳子末端距离地面的高度为1 m,如果设旗杆的高度为x m(滑轮上方的部分忽略不计),求x的值.19.(7分)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8 cm.把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,AF=25cm,求AD的长.420.(10分)如图,四边形ABCD的三条边AB,BC,CD和BD都为5 cm,动点P从点A 出发沿A→B→D以2 cm/s的速度运动到点D,动点Q从点D出发沿D→C→B→A 以2.8 cm/s的速度运动到点A.若两点同时开始运动,运动5 s时,P,Q相距3 cm.试确定两点运动5 s时,△APQ的形状.21.(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD(是一个长方形)倒下到AB'C'D'的位置,连接AC,AC',CC',设AB=a,BC=b,AC=c.(1)试用a,b有关的代数式表示梯形BCC'D'的面积;(2)试用a,b,c有关的代数式分别表示△ABC,△AD'C',△AC'C的面积;(3)由(1)和(2)的结论证明勾股定理:a2+b2=c2.22.(12分)我们新定义一种三角形:若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方,则称这个三角形为勾股高三角形,两边交点为勾股顶点.【特例感知】①等腰直角三角形勾股高三角形(请填写“是”或“不是”);②如图1,已知三角形ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高.若BD=2AD=2,试求CD2的值.【深入探究】如图2,已知△ABC为勾股高三角形,其中C为勾股顶点,CA>CB,CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB的数量关系,并给予说明;【推广应用】如图3,等腰三角形ABC为勾股高三角形,其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高,过点D作DE∥BC交AC边于点E.若CE=a,试求线段DE的长度.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C C A B A B11.60°12.36 13.280 14.不能15.(11,60,61) 16.9217.△ABC是直角三角形18. x=12.5.19. AD=6 cm.20.两点运动5 s时,△APQ是直角三角形.21.略22.略。
华东师大版八年级数学上册《14.2勾股定理的应用》同步测试题含答案
华东师大版八年级数学上册《14.2勾股定理的应用》同步测试题含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.你听说过亡羊补牢的故事吧!为了防止羊再次丢失,牧羊人要在如图所示的长为0.8 m、宽为0.6 m 的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条,则这根木条的长至少为（）A.0.9 mB.1 mC.1.1 mD.1.4 m2.如图,长方形纸片ABCD中,AB=8 cm,把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于cm,则AD的长为（）点F,若AF=254A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.7 cm3.如图,正方形方格中,若小方格的边长为1,则△ABC是三角形.4.如图,钓鱼竿AC的长为10 m,露在水面上的鱼线BC长为6 m,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为8 m,则BB'的长为m.5.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个6×6的方格纸中,找出格点C,使△ABC的面积为1个平方单位的直角三角形的个数是个.【能力巩固】6.一辆装满货物,宽为2.4 m的卡车,欲通过如图所示的隧道,已知隧道的下半部分是长为4 m,宽为2.5 m的长方形,上半部分是以AB为直径的半圆,则卡车的高必须低于m.7.如图,小巷的左、右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离为1.5 m,则小巷的宽为m.8.如图,这是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm).其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤,DCEF为长方形绸缎旗面,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里,彩旗自然下垂.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.9.如图,学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD,测得AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=17 m,且∠ABC=90°,则这块菜地的面积是多少?【素养拓展】10.如图,小红和小强一起去公园荡秋千,OA为秋千绳索,小红坐上秋千,小强在离秋千3米的点B处保护.当小红荡至小强处时,小强发现小红升高了1米,于是他就算出了秋千绳索的长度,你知道他是怎么算的吗?请你试一试.参考答案【基础达标】1.B2.C3.直角4.25.6【能力巩固】6.4.17.2.78.解:彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度,连结DE.在Rt△DEF中,根据勾股定理,得DE=√DF2+EF2=√1202+902=150(cm)h=220-150=70(cm).即彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.9.解:如图,连结AC.∵∠ABC=90°,AB=9 m,BC=12 m∴AC=√AB2+BC2=√92+122=15(m).∵CD=8 m,AD=17 m∴AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289∴AC 2+CD 2=AD 2∴△ACD 是直角三角形 ∴∠ACD=90°∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB ·BC+12AC ·CD=12×9×12+12×15×8=54+60=114(m 2) ∴这块菜地的面积为114 m 2. 【素养拓展】10.解:因为OA=OB ,AC=1米,CB=3米,设OA=OB=x 米,则OC=(x-1)米.在Rt △OBC 中,由勾股定理得OB 2=OC 2+BC 2,即x 2=(x-1)2+32,解得x=5. 故秋千绳索长为5米.。
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．12，13，4C ．8，15，17D ．4，5，62．在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A ． 1.5a = 2b = 3c =B ．7a = 24b = 25c =C ．345a b c =：：：：D ．9a = 12b = 15c =3．如图，一根长为5m 的竹竿AB 斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B 离墙壁距离3m ，则该竹竿的顶端A 离地竖直高度为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD 3m4．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在ABC 中5AB AC ==，按以下步骤作图：①以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若4CF =，则线段AD 的长为（ ）A 3B ．1C ．22D ．126．由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（）A ．1，2，2B ．2，3，4C ．12 3 D ．22 37．用反证法证明“a b <”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b =D ．a b ≤8．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（1CE =尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即10EF =尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（5DF =尺），求这个秋千的绳索AC 有多长？（ ）A ．12尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题9．在Rt ABC 中1390BC AC B ==∠=︒，，，则AB 的长是 ．10．在△ABC 中，AB=5，BC=a ，AC=b ，如果a ，b 满足（a+5）(a-5)-b 2=0，那么△ABC 的形状是 ．11．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．12．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm ，4cm ，3cm ，则能放进木箱中的直木棒最长为cm ．三、解答题13．如图，在ABC 中，CD 是高，BC=7，BD=6．若DE BC ，DEC DCB ∠=∠求CE 的长．14．已知ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a-b=8，ab=2，17c =ABC 的形状，并说明理由．15．已知：如图，直线a ，b 被c 所截，△1，△2是同位角，且△1≠△2.求证：a 不平行于b.16．在Rt ABC 中90C ∠=︒，若34a b =：：，10c =求a ，b 的长．四、综合题17．如图，在四边形ABCD 中=60A ∠︒，=90B D ∠=∠︒和BC=6，CD=4，求：（1）AB 的长；（2）四边形ABCD 的面积．18．如图，在ABC 中，AB 长比AC 长大1，15BC =，D 是AB 上一点9BD =和12CD =．（1）求证：CD AB ⊥； （2）求AC 长．19．如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B 或C 处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．20．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；②若某三角形的三边长分别为17，2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；（2）探究：在Rt ABC中，两边长分别是a，c，且250c=则这个三角形是否是奇异a=，2100三角形？请说明理由．参考答案与解析1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、12+22=5，32=9，5≠9，故不是勾股数；B 、42+122=160，132=169，160≠169，故不是勾股数；C 、82+152=189=172，故是勾股数；D 、42+52=41，62=36，41≠36，故不是勾股数. 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵a=1.5，b=2，c=3∴a 2+b 2=1.52+22=6.25≠c 2=9∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B 、∵a=7，b=24，c=25 ∴a 2+b 2=72+242=625=c 2=252=625∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、∵a△b△c=3△4△5，设a=3x ，b=4x ，c=5x ∴a 2+b 2=（3x ）2+（4x ）22=25x 2=c 2=（5x ）2=25x 2∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、∵a=9，b=12，c=15 ∴a 2+b 2=92+122=225=c 2=152=225∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三条线段的长度满足较小两条长的平方和等于最大一条长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：5m AB = 3m BC = AC BC ⊥则224m AC AB BC =-=即该竹竿的顶端A 离地竖直高度为4m 故答案为：C ．【分析】直角利用勾股定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC 中，△B=90°由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5 ∵四边形ADEC 是正方形 ∴S 正方形ADEC =AC 2=5 故答案为：C ．【分析】利用勾股定理求出AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，再利用正方形的面积公式可得S 正方形ADEC =AC 2=5。
八年级数学《勾股定理》单元测试题(B卷)
八年级数学《勾股定理》单元测试题（B 卷）一．选择题（共10小题）1．已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c 下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5 B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 C ．∠A ﹣∠B ＝∠CD ．a 2＝b 2﹣c 22．以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ） A ．3k ，4k ，5k （k ＞0） B ．32，42，52 C ．13，14，15D ．√3，√4，√53．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．b 2＝a 2﹣c 2B ．∠A ＝∠B +∠C C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a 2：b 2：c 2＝1：2：34．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ．26B ．18C ．20D ．215．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．27D ．5√26．小明从家出发向正北方向走了60m ，接着向正东方向走到离家100m 远的地方，小明向正东方向走了（ ） A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．160 m7．如图，长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）A．√5B．√5−1C．√10D．√10−18．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三边长之比为3：4：5B．三内角之比为3：4：5C．三内角之比为1：2：3D．三边长的平方之比为1：2：39．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19610．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共5小题）11．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．12．已知直角坐标平面内两点A（6，4）和B（2，1），则线段AB的长为．13．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，若AC＝2cm，AD=52cm，则BD的长度为cm．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，则AD的长是．15．如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为米．三．解答题（共8小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若EF＝2，求CF的长．18．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．19．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.3米，将秋千AD往前推送BC＝1.5米，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为0.8米，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度；（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千AD往前推送米．20．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．（1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：；（2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件）21．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．22．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据边的长度①测得水平距离BC的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？23．每周一我们都会举行升旗仪式，看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．。
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步练习题（附答案）1．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（）A．6或12B．4或12C．4或6D．6或82．在直角三角形中，若两条边的长分别是1cm、2cm，则第三边的长为（）A．3cm B．cm C．2cm或cm D．cm或cm 3．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（）A．169B．196C．392D．5884．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阴影部分的面积之和，则一定能求出（）A．正方形ABED的面积B．正方形ACFG的面积C．正方形BCMN的面积D．△ABC的面积5．△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2B．a2：b2：c2＝1：2：3C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C6．已知△ABC的三边长分别是6，8，10，则△ABC的面积是（）A．12B．15C．20D．247．下列各组数为勾股数的是（）A．6，12，13B．10，24，26C．3，4，7D．8，15，168．如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，观测者从测点A、B分别测得∠BAC＝90°，又量得AC＝9m，BC＝15m，则A、B两点之间的距离为（）A．10m B．11m C．12m D．13m9．如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（）A．13cm B．8cm C．7cm D．15cm10．如图，若圆柱的底面周长是50cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是（）A．170cm B．70cm C．145cm D．130cm11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC＝．12．我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该三角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等边三角形的边长为2，则它的“等周径”长为．在中Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝4，BC＝3，若直线l为Rt△ABC的“等周线”，请直接写出△ABC的所有“等周径”长为．13．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为．14．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是度．15．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD 面积为．16．如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝°（点A、B、C、D、E 是网格线交点）．17．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．18．已知：如图等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8．求△ABC的面积S△ABC．19．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．20．现有三块两直角边长分别为1和2的直角三角形纸板，借助下面5×5的网格，用全部纸板分别拼出3个面积为3且周长不同的四边形，并写出相应四边形的周长．21．如图1，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．（1）小明发现图2中∠ABC是直角，请在图1补全他的思路；（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上（1）直接写出边AB、AC、BC的长．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．23．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．24．如图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉．经测量，∠EDC＝90°，DC ＝6m，CE＝10m，BD＝14m，AB＝16m，AE＝2m．（1）求DE的长；（2）求四边形ABDE的面积．25．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．参考答案1．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12，故选：B．2．解：①若直角边长分别为1cm、2cm，则由勾股定理可得斜边长为：＝（cm）；②若斜边为2cm，则第三边为直角边，由勾股定理得：＝（cm）．综上，第三边的长为cm或cm．故选：D．3．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF2＝142+142＝392，故选：C．4．解：∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，即S正方形ABDE+S正方形ACFG＝S正方形BCMN，∴S阴影＝2S△ABC，故选：D．5．解：A．∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a2：b2：c2＝1：2：3，∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．6．解：∵△ABC的三边长分别是6，8，10，∴62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积是＝24，故选：D．7．解：A．∵62+122≠132，∴6，12，13不是勾股数，故本选项不符合题意；B．∵102+242＝262，∴10，24，26是勾股数，故本选项符合题意；C．∵32+42≠72，∴3，4，7不是勾股数，故本选项不符合题意；D．∵82+152≠162，∴8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意；故选：B．8．解：∵∠BAC＝90°，AC＝9m，BC＝15m，∴AB＝（m），故选：C．9．解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝13，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13＝7（cm）．故选：C．10．解：如图，圆柱侧面展开图是矩形，矩形的长为120cm，宽为圆柱的底面周长50cm，根据勾股定理得：AB＝＝130（cm），根据两点之间线段最短，可得丝线的最小长度为130cm，故选：D．11．解：连接AC，由勾股定理得：AB＝AC＝，BC＝，∴BC2＝AC2+AB2，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故答案为：45°．12．解：分三种情况讨论：①当“等周线”经过点C时，直线1交AB于点E，设BE＝x，则AE＝5﹣x，作CH⊥AB于H，由题意：3+x＝4+5﹣x，解得：x＝3，∵CH＝＝，∴BH＝＝，∴EH＝3﹣＝，在Rt△ECH中，CE＝＝，∴“等周径”长为；②当“等周径”经过点A时，直线l交BC于点E，设BE＝x，则CE＝3﹣x，由题意得：4+3﹣x＝5+x，解得：x＝1，∴EC＝2，在Rt△ACE中，AE＝＝2，∴“等周径”长为2；③当∴“等周径”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE＝x，则CE＝4﹣x，由题意：3+4﹣x＝5+x，解得：x＝1，CE＝3，在Rt△BCE中，BE＝＝3，∴“等周径”长为3，故答案为：或2或3．13．解：直角三角形直角边的较短边为，正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49．故答案为：49．14．解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：∴∠CAB＝∠EAB，由勾股定理得：AD＝，DE＝，AE＝，∴AD2+DE2＝AE2，∴△AED是直角三角形，∵AD＝DE，∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，故答案为：45．15．解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，∴BD＝＝10，∵BD2+AB2＝102+242＝262＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝144．故答案为：14416．解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠F AG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠F AG＝∠CAG＝45°．故答案为：45．17．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．解：∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，BD＝8，BC＝10，∴CD＝6，设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴（x﹣6）2+82＝x2，∴x＝，∴．19．解：（1）（答案不唯一）如图；（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，∴（a+b）2＝c2+4×ab，即a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．20．解；如图所示：21．解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，根据勾股定理的逆定理，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，故答案为：，2，AB2+BC2＝AC2，勾股定理的逆定理；（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°，∵D，B，E三点共线，∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°，∴∠ABC是直角．22．解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5；（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．23．解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．24．解：（1）在Rt△EDC中，∠EDC＝90°，DC＝6m，CE＝10m，∴m；（2）如图，连接BE，在Rt△EBD中，BD＝14m，ED＝8m，∴BE2＝BD2+ED2＝142+82＝260，∵AB＝16m，AE＝2m，∴AB2+AE2＝162+22＝260，∴AB2+AE2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，∠A＝90°，∴S△ABE＝×16×2＝16（m2）．又∵S△BDE＝×14×8＝56（m2）．∴四边形ABDE的面积＝S△ABE+S△BDE＝72（m2）．25．解：李叔叔不超速，理由如下：如图，Rt△ABC中，AC＝7，AB＝25，由勾股定理得：BC＝＝24，v＝24÷1.5＝16（m/s）＝57.6（km/h），∵57.6＜60，∴李叔叔不超速．。
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》同步达标训练(附答案)
1．如图所示，圆柱形玻璃容器，高19cm，底面周长为30cm，在外侧下底面点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，则蝴蛛所走的最短路线的长度是（ ）
A．20cmB．25cmC．23cmD．24cm
A．40mB．45mC．30mD．35m
11．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120m，乙往南偏东45°方向走了90m，这时甲、乙相距m．
12．如图，在一个池塘旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置），测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝58米，则AC＝米．
OA22＝（ ）2+1＝2，S1＝ ；
OA32＝12+（ ）2＝3，S2＝ ；
OA42＝12+（ ）2＝4，S3＝ ；
…
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S33+…+S102的值．
20．如图是由边长为1的小正方形拼成的网格．
（2）如图2，在边长均为1的正方形网格中，画出线段AB（A、B均为格点），使得AB长为 ；
（3）已知Rt△ABC的面积为5，点A、B、C均为格点，点A如图所示．请在图3网格中画出Rt△ABC．
19．如图所示，△OA1A2、△OA2A3、△OA3A4、△OA4A5、…都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
2．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地AB＝2.1米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（ ）
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，点()1,2P 到原点的距离是( ) A.1 B.13 C.5 D.22.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离AB 是( )米. A.6 B.7 C.8 D.93.如图，已知正方形A 的面积为3，正方形B 的面积为4，则正方形C 的面积为( )A.7B.5C.25D.14.如图，点C 所表示的数是( )A.5B.3-C.5-D.55.已知钓鱼杆AC 的长为10米，露在水上的鱼线BC 长为6m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长度为8米，则BB '的长为( )A.4米B.3米C.2米D.1米6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm 7.已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，且()2724250a b c --+-=，则ABC △的面积为( )A.30B.84C.168D.无法计算8.如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，AB=5，BC=3，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交，AC 于点E ，F ，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为( )A.35B.34C.43D.539.如图，线段AB 是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C 处安装一个监控装置，对主干道AB 进行监控，已知30m AC = 40m BC = AC BC ⊥监控的半径为30m ，路段AD 在监控范围内，路段BD 为监控盲区，则BD 的长为( )ABA. B. C.16mD.20m10.如图，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB=5，AC=12，BD 平分ABC ∠交边AC 于点D ，点E 、F 分别是边BD 、AB 上的动点，当AE EF +的值最小时，最小值为( )A.6B.125C.6013D.12013二、填空题（每小题4分，共20分）11.在ABC △中90C ∠=︒ A ∠ B ∠ C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，若3c =，则²²²a b c ++=____________.12.如图5AB AC ==，BC=6，AD BC ⊥于D ，则AD =_____.13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺.问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B 离原处竹子C 的距离BC 为3尺，则原处还有竹子AC =______尺.(请直接写出答案，注：1丈10=尺.) 12m 14m14.如图,在四边形ABCD 中 已知3AB = 4AD = 12BC = 13CD = 90A ∠=︒ 则四边形ABCD 面积是______.15.如图,在ABC 中,点D 为BC 的中点 5AB = 3AC = 2AD = 则ABC 边BC 上的高为______.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度1m DE =，将它往前推送4m （水平距离4m BC =）时，秋千的踏板离地的垂直高度3m BF =，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.17.（8分）已知如图：AB BC ⊥ DC BC ⊥ AE DE ⊥ 且12AE = 3CD = 4CE = 求：AD 的长.18.（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地且距离旗杆底部A处4m.(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？=，点D是边BC上的一点，连接AD. 19.（10分）如图，ABC是等腰三角形，AB AC(1)若ABC的周长是32，CD=6，点D是BC的中点，求AD的长；BD=，AD=12，AB=15，求ABC的面积.(2)若920.（12分）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，BD=米如图，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上.经测量，24AD=米，10△的面积；（1）求ABD（2）求小路DE的长.21.（12分）如图，ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC =（1）设点P 在AB 上，若 PAC PCA ∠=∠.求AP 的长；（2）设点M 在AC 上.若MBC △为等腰三角形，求AM 的长.参考答案及解析1.答案：C解析：点(1,2P 到原点的距离是22125+=.故选：C.2.答案：C解析：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB 构成的直角三角形的斜边又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米∴221068AB =-=米故选：C.3.答案：A解析：正方体A 的面积为3，正方体B 的面积为4∴正方体C 的面积347=+=故选：A.4.答案：C解析：根据勾股定理得：2222125AB OA OB =+=+=5AC AB ∴==∴点C 表示的数是15-.故选：C.5.答案：C解析：在Rt ABC △中10m AC = 6m BC =22221068(m)AB AC BC ∴=-=-=在Rt AB C ''△中10m AC '= 8m B C ''=226(m)AB AC B C ''∴=-=862(m)BB AB AB ''∴=-=-=故选:C.6.答案：B解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm由勾股定理得：()22222023325x =++⨯⎦=⎡⎤⎣ 解得.故选B.7.答案：B解析:()2724250a b c -+-+-=70a ∴-= 240b -= 250c -=7a ∴= 24b = 25c =()233dm +⨯25x =2222724625a b +=+= 2225625c ==222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形ABC ∴△的面积12ab = 1724842=⨯⨯= 故选:B.8.答案：D解析：作DM AB ⊥于M由题意知AD 平分BAC ∠DC AC ⊥CD DM ∴= 90C ∠=︒ 5AB = 3BC =224AC AB BC ∴=-=ABC △的面积ACD =△的面积ABD +△的面积111222AC BC AC CD AB MD ∴⋅=⋅+⋅4345CD CD ∴⨯=+43CD ∴=45333BD BC CD ∴=-=-=. 故选：D.9.答案：B解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E∵AC BC ⊥∴90ACB ∠=︒ ∴()2222304050m AB AC BC =+=+=∵∴∵监控的半径为∴∴∵ ∴∴∴在中，由勾股定理，得()2222302418m AE AC CE =-=-=∴236m AD AE ==∴()503614m BD AB AD =-=-=.故选：B.10.答案：C解析：如图所示，在BC 边上截取BG BF =，连接EG ，过点A 做AH BC ⊥交于点HCE AB ⊥90AEC BEC ∠=∠=︒30m 30m AC DC ==2AD AE =Rt 1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△304050CE ⨯=304050CE ⨯=24m CE =Rt ACE △∵BD 平分ABC ∠∴FBE GBE ∠=∠∵BG BF = BE BE =∴BGE BFE ≌△△∴EF EG =∴AE EF AE EG +=+当且仅当A 、E 、G 共线，且与BC 垂直时，AE EF +的值最小，即BC 边上的垂线段AH ∵5AB = 12AC = 90BAC ∠=︒ ∴2213BC AB AC =+= ∵1122ABC S AB AC BC AH =⋅=⋅△ ∴. ∴当的值最小时，最小值为. 故选：C.11.答案：18解析：90C ∠=︒ 3c =2229a b c +==2²²²218a b c c ++==故答案为：18.12.答案：4解析：∵5AB AC == AD BC ⊥ 6BC = ∴132BD CD BC === ∴224AD AB BD =-=.故答案为：4.13.答案：9120解析：设折断后的竹子AC 为x 尺，则斜边AB 为(10)x -尺 512601313AB AC AH BC ⋅⨯===AE +6013在Rt ABC △中，根据勾股定理得:2223(10),x x +=-解得:9120x = 故答案为:9120. 14.答案：36解析：如图，连接BD由勾股定理得225BD AB AD =+=∵22251216913+==∴222BD BC CD +=∴BCD △是直角三角形90CBD ∠=︒∴11345123622ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=四边形△△故答案为：36.15.答案：61313 解析：如图，延长AD 到E ，使得2DE AD ==，连接BE ，作AF BC ⊥于点F 则24AE AD ==.∵点D 为BC 的中点∴CD BD =在ADC △和EDB △中AD ED ADC EDBCD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADC EDB ≌∴3BE CA ==∴22223425BE AE +=+=∵22525AB ==∴222BE AE AB +=∴90E ∠=︒ ∴132BDE SBD DE =⋅= 22223213BD BE DE =+=+=∴3ADC BDE S S == 13CD BD ==∵AF BC ⊥ ∴12ADC AF S ⋅= 即1332AF = ∴61313AF =. 故答案为：61313 16.答案：5m 解析：3m CE BF == 1m DE =312m CD CE DE ∴=-=-=在Rt ACB △中222AC BC AB += 4m BC =设秋千的绳索长为m x ，则()2mAC x =-故2224(2)x x =+-解得：5x =答：绳索AD 的长度是5m.17.答案：13AD =解析：∵DC BC ⊥，∴90C ∠=︒∴在Rt DCE △中，根据勾股定理得：2222345DE DC CE =+=+=∵AE DE ⊥∴90AED ∠=︒∴在Rt ADE △中，根据勾股定理得：222251213AD DE AE =+=+=.18.答案：(1)旗杆在距地面3米处折断(2)距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险解析：(1)由题意可知，8m AC BC +=，设m AC x =，则()8m BC x =-. 90A ∠=︒ 4m AB =222AB AC BC ∴+= 即2224(8)x x +=-，解得3x =3m AC ∴= 5m BC =故旗杆在距地面3米处折断.(2)如图，若大风将旗杆从点D 处吹断，旗杆顶部B 落到B '处. D 点距地面的高度为()3 1.25 1.75m AD =-=()8 1.75 6.25m B D ∴=-='()226m AB B D AD ∴-'==' ∴距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险.19.答案：(1)8(2)108解析：（1）因为点D 是BC 的中点，CD=6，所以12BC =. 因为ABC 的周长是32，AB=AC ，所以()132102AB AC BC ==-=. 因为ABC 是等腰三角形，AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥. 在Rt ACD 中，AC=10，CD=6，所以228AD AC CD =-=.（2）因为BD=9，AD=12，AB=15所以22291215+=，即222BD AD AB +=，所以90ADB ∠=︒. 因为AB AC =，所以9BD CD ==所以18BC = 所以112181082ABC S =⨯⨯=△. 20.答案：（1）()2120米（2）小路的长为725米 解析：（1）26AB =米，24AD =米222AB BD AD ∴=+90ADB ∴∠=︒ABD S ∴△12BD AD =⋅⋅210242=⨯⨯()2120=米. 答：ABD △的面积是()2120米.（2）由（1）知，90ADB ADC ∠=∠=︒AC 比DC 长12米12AC CD ∴=+.由勾股定理知：222CD AD AC +=，即()2222412CD CD +=+. 18CD ∴=米.30AC ∴=米DE AC ⊥1722ADC S AD CD ∴=⋅=△241872305AD DC DE AC ⋅⨯∴===（米）. 答：小路的长为725米. 21.答案：（1）1258 （2）10，7 252 解析：（1）ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC = ∴2222251520AB AC BC =-=-=PAC PCA ∠=∠PA PC ∴=设PA PC x == 则20PB x =-在Rt PBC △中222PB BC PC +=即()2222015x x -+= 解得1258x =即1258PA =.（2）MBC △为等腰三角形 ∴①当BC CM =时，此时有：∴251510AM AC CM =-=-=；②当BC BM =时，此时： 如下图过B 作BN AC ⊥1122ABC S AC BN AB BC ∴=⋅=⋅⋅△∴12BN =∴222BN CN BC +=即2221215CN +=∴9CN =∴218CM CN ==∴25187AM =-=；③当BM CM =时 ∴MBC MCB ∠=∠又90MBC ABM ∠+∠=︒ 90MCB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ABM ∠=∠ ∴AM BM = ∴12522AC AM CM ===.。
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》达标训练(附答案)
2021-2022学年华师大版八年级数学上册《第14章勾股定理》达标训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B作BD⊥AC交AC于点D，则AD＝（）A．B．C．D．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（）A．16B．20C．21D．243．如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．10米B．15米C．16米D．20米4．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）A．米B．米C．米D．5米5．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（）A．17B．20C．25D．316．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a 和b，那么（a+b）2的值为（）A．18B．22C．28D．367．在△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC上的高AD长为15，则△ABC的面积为（）A．210B．90C．210或90D．84或1208．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12m处，则大树折断前的高度是（）A．14m B．16m C．18m D．20m9．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝b，∠C＝45°C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．a＝9，b＝40，c＝4110．下面四组数，其中是勾股数的一组是（）A．32，42，52B．0.3，0.4，0.5C．3，4，5D．6，7，811．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（）A．12cm B．cm C．cm D．cm12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB＝（）A．5B．7C．D．13．《几何原本》关于毕达哥拉斯定理，欧几里德用图给出证明．如图，Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，以AC，BC，AB为边分别向外作正方形，连结CD，CE，过C作CF⊥DE，△ADC的面积为S1，△BCE的面积为S2，若S2＝9S1，CF＝13，则正方形BCGH的边长（）A．2B．2C．3D．314．若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52B．a：b：c＝5：12：13C．（c+b）（c﹣b）＝a2D．∠A+∠B＝∠C15．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a：b：c＝5：12：13B．b2＝（a+c）（a﹣c）C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：516．如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（）A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm17．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A．﹣5B．5C．﹣5或D．5或18．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为．20．直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，D为CA延长线上一点，DE⊥BC交AB于点F．点F为AB中点，且BC＝12，则DF＝．22．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，CD＝9，AD＝12，BC＝8，AB＝17．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD＝2，BD＝4．（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求DE的长．24．一个13m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离12m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？为什么？25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，AD平分∠CAB交CB于点D，求CD的长．26．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．27．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所走的最短路线的长是多少？28．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵以AB为边的正方形的面积为9，∴AB2＝9，∵以BC为斜边的等腰直角三角形的面积为4，∴等腰直角三角形的腰长为2，∴BC2＝16，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，则AC＝＝＝5，∵S△ABC＝×AB×AC＝×AC×BD，∴×3×4＝×5×BD，解得：BD＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，故选：C．2．解：∵AB＝15，BC＝9，∴AC＝＝＝12，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．故选：C．3．解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．故选：B．4．解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2＝22+1.52＝6.25，∴AC＝2.5（米），∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故选：D．5．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∵S1＝9，S2＝16，∴S3＝S1+S2＝7+24＝31．故选：D．6．解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，即得a2+b2＝42＝16，ab＝3，由题意4×3+（a﹣b）2＝16，ab＝6，所以（a﹣b）2＝4，所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×6＝28，故选：C．7．解：分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15，根据勾股定理得：BD＝＝20，在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15，根据勾股定理得：DC＝＝8，∴BC＝BD+DC＝20+8＝28，则S△ABC＝BC•AD＝210；②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB＝25，AD＝15，根据勾股定理得：BD＝＝20，在Rt△ADC中，AC＝17，AD＝15，根据勾股定理得：DC＝＝8，∴BC＝BD﹣DC＝20﹣8＝12，则S△ABC＝BC•AD＝90．综上所述，△ABC的面积为210或90，故选：C．8．解：如图，作BO⊥DC于点O，由题意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，∵DC＝12m，∴OC＝8m，∴由勾股定理得：BC＝（m），∴大树的高度为10+10＝20（m），故选：D．9．解：A、由题意知，a2+b2＝c2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C、由题意知∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D、由题意知，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．10．解：A、（32）2+（42）2≠（52），不能构成勾股数，故错误；B、0.32+0.42＝0.52，但是它们不是整数，所以能不是勾股数，故错误；C、32+42＝52能构成勾股数，故正确；D、62+72≠82不能构成勾股数，故错误；故选：C．11．解：过点A作AD⊥BC于D，过点B作BE⊥AC于E，∵AD⊥BC于D，∴BD＝DC，∵BC＝10，∴BD＝DC＝5，在Rt△ABD中，AD＝＝12，由于BC•AD＝AC•BE∴BE＝，故选：C．12．解：∵以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，∴BC＝4，AC＝3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得，AB＝，故选：A．13．解：∵S1＝×AD×DF，S2＝×BE×EF，且S2＝9S1，∴9DF＝EF，设正方形ABED的边长为10x，则DF＝x，EF＝9x，△ABC的高为h，∴h＝13﹣10x，由勾股定理得：AC2＝x2+h2，BC2＝81x2+h2，∴x2+h2+81x2+h2＝100x2，∴82x2+2（13﹣10x）2＝100x2，整理得182x2﹣520x+338＝0，即7x2﹣20x+13＝0，解得x1＝1，x2＝（舍），∴BC＝3．故选：C．14．解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：A．∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵b2＝（a+c）（a﹣c），∴c2+b2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠C＝∠A﹣∠B，∴∠B+∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°∴最大角∠C＝×180°＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．16．解：底面圆周长为4πcm，底面半圆弧长为2πcm≈6cm，展开得：BC＝6cm，AC＝6cm，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝＝6（cm）．故选：A．17．解：∵3、4、a为勾股数，∴当a最大时，此时a＝＝5，当4时最大时，a＝＝，不能构成勾股数，故选：B．18．解：如图所示，将长方体展开，连接AB，根据题意可知，BD＝6+10＝16（cm），AD＝20cm，由勾股定理得：AB＝＝＝＝4（cm）；如图所示，将长方体展开，连接AB，根据题意可知，AC＝10+20＝30（cm），BC＝6cm，由勾股定理得：AB＝＝＝＝2（cm）；如图所示，将长方体展开，连接AB，根据题意可知，BE＝20+6＝26（cm），AE＝10cm，由勾股定理得：AB＝＝＝＝2（cm）；因为＜＜，所以需要爬行的最短距离是4cm．故选：D．19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，由勾股定理得：BC＝＝8（cm），①当AB＝AP时，如图1所示：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴PC＝BC＝8（cm），∴BP＝16（cm），∴t＝16÷2＝8（s），②当BP＝BA＝10cm时，如图2所示：∴t＝10÷2＝5（s），③当P A＝PB时，如图3所示：设BP＝xcm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62＝x2，∴x＝，∴BP＝cm，∴t＝÷2＝（s）；综上所述，t的值为8或5或，故答案为：8或5或．20．解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，∵DE2+BE2＝BD2，∴（6﹣BD）2+22＝BD2，∴BD＝，故答案为：．21．解：过A点作AG⊥BC于G，∵DE⊥BC交AB于点F．点F为AB中点，∴EF∥AG，∴EF是△ABG的中线，∵AB＝AC＝10，AG⊥BC，∴BG＝GC＝BC＝6，由勾股定理得：AG＝，∴EF＝AG＝4，BF＝AB＝5，由勾股定理得：BE＝，∴EC＝BC﹣BE＝12﹣3＝9，∵AG∥EF，∴DE＝12，∴DF＝DE﹣EF＝12﹣4＝8，故答案为：8．22．（1）证明：连接AC，如图所示：∵∠ADC＝90°，CD＝9，AD＝12，∴AC＝＝＝15，∵AC2+BC2＝152+82＝289，AB2＝172＝289，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：四边形ABCD的面积＝△ACD的面积+ACB的面积＝×9×12+×15×8＝54+60＝114．故四边形ABCD的面积为114．23．解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝，∵AD2+BD2＝（2）2+（4）2＝100＝AB2，∴△ABD是直角三角形，（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，∴△ABD的面积＝AB•DE＝AD•BD，∴DE＝．24．解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO＝（米），在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO＝（米），所以BD＝DO﹣BO＝﹣5（米）．故梯子的底端B外移了﹣5米．25．解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，∴CD＝DE，在Rt△ACB中，∵AB＝13，AC＝5，∠C＝90°，∴BC＝＝12，∵CD＝DE，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴CD＝DE，AC＝AE＝5，∴BE＝8，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中，∵BD2＝DE2+EB2，∴（12﹣x）2＝x2+82，∴x＝，∴CD＝．26．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm），由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（2）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．27．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．28．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，∴t＝12﹣3t，解得：t＝3，答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）①若∠APQ＝90°，则△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP，∴12﹣3t＝2t，∴t＝，②若∠AQP＝90°，则△APQ是直角三角形，∵∠A＝60°，∴∠APQ＝30°，∴AP＝2AQ，∴t＝2（12﹣3t），∴t＝．∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．。
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八年级上册单元测试 第14章<<勾股定理>> （时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题
1、若线段a 、b 、c 是某直角三角形的三边，则它们的比可以是（ ） A.2:3:4 B.3:4:6 C.5:12:13 D.4:6:7
2、 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
（第2题）（第5题）
3、若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:1，则它们所对的边的平方之比为（ ）
A.1:2:1
B.1:1:2
C.1:4:1
D.1:3:1
4. 下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32
、42
、52
；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2
-n 2
、2mn 、m 2
+n 2
（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（ ） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组
5. 4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m ．那么梯子的顶端与地面的距离是（ ） A.3.2m B.4.0m C.4.1m D.5.0m
6. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
7. 三角形的三边长为a 、b 、c ，若（a+b ）2
=c 2
+2ab,则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.锐角三角形
8. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
7
1524
25
20715
2024
25
157
25
20
24
25
7
202415
(A)
(B)
(C)
(D)
9. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.m 2 B.m 3 C.m 4 D.m 5
（第8题）（第13题）（第14题）（第15题）
10、下列叙述中，正确的是（ ）
A 、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B 、如果一个三角形中，两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C 、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,若a 2+b 2=c 2,则∠A=90º
D 、△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,若∠B=90º，则c 2-a 2=b 2
二、填空题
11、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积是________
12、在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则AB 2 + BC 2 + AC 2 =____________
13如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD 2
=____________。
14如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为________ m 。
15. 如图，一扇卷闸门用一块宽18cm ，长80cm 的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门
撑起米高。
16 如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米。
（第16题）
（第17题）（第19题）
17. 如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1∶2，那么，两正方形的面积分别为。
18. 在ΔABC 中,若AB=30,AC=26,BC 上的高为24,则此三角形的周长为。
10
8
19. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
20 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是______ dm。
三、解答题
21、（5分）如图，正方形ABCD的面积为25cm2，△ABP为直角三角形，∠P=90º，且PB=3cm，试求AP的长
22、（5分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=90º，∠DBC=90º，AD=3，AB=4，BC=12，
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积
23（6分）“中华人民共和国道路交通管理条理”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪”正前方30米处，过了2秒后，测得“小汽车”与“车速检测仪”间的距离变为50 米，这辆“小汽车”超速了吗？24、（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠DAB = ∠DBA，若CD = 1.5，BD = 2.5，求AC长
25.（8分）把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F点重合，如下图，已知AB=8，BC=10，求EC的长。
26、（9分）如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且DF=
4
1
CD，连结BE、EF、BF，试问BE与EF的位置关系如何？并说明理由。
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八年级上册单元测试
第14章<<勾股定理>>
答案：
一、选择题
1. C
2.B。
3. A
4.B。
5.B。
6. A 。
7. C 。
8. C 。
9. B 。
10.10、B
二、填空题
11、48
12、8
13． 7。
14．480。
15． 82。
16． 17。
17． 12、24。
18． 84或64。
19． 15。
20． 25。
三、解答题
21、 4cm， 22、13 36 23．超速了。
24、2 25、3 26垂直。