三、二重积分的换元法
第二节二重积分的计算(3)
其中a, b为常数,
y 后区域D表示方式不变,则
从而
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内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
直角坐标系情形 : • 若积分区域为
则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
1
b
y2 ( x )
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
u 1 dudv ev 2 D
ee
1
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例9. 计算由
y2 x2 x2 by 2 ,v ,则 解: 令 u y qx y x y D y 2 px puq D : D 2 x ay a v b x 1 ( x, y ) 1 o J v (u , v) (u , v) 3 b D ( x, y ) a S d x d y u
V 2 c
D
1 r a b r d r d
2
2
2 abc
0
d
1
0
4 1 r r d r abc 3
2
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例11. 试计算
解: x
其中
三二重积分换元法
利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上,
①
故①式成立 .
又
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设
由对称性可知
*三、二重积分换元法
定积分换元法
满足
一阶导数连续;
雅可比行列式
(3) 变换
则
定理:
变换:
是一一对应的 ,
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
1. 设
且
求
提示:
交换积分顺序后, x , y互换
2. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
作业
P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2)
例8. 计算
其中D 是 x 轴 y 轴和直线
所围成的闭域.
解: 令
则
例9. 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S .
解: 令
则
例10. 试计算椭球体
解:
由对称性
令
则D 的原象为
的体积V.
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
直角坐标系情形 :
若积分区域为
则
若积分区域为
则
则
(2) 一般换元公式
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 ,
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分是微积分中的一个重要概念，也是数学计算中常用的工具之一、它是对二元函数在一些区域上的求和，可以用来计算曲线下面的面积、质心、重心、弯矩等问题。
在进行二重积分的计算时，有四个基本的运算公式，分别是加法公式、乘法公式、换元公式和分部积分公式。
下面将详细介绍这四个公式以及它们的应用。
一、加法公式加法公式是用来计算两个区域上的二重积分的和的公式，具体形式如下：∬(R1∪R2)f(x,y)dA=∬R1f(x,y)dA+∬R2f(x,y)dA其中，R1和R2是两个不相交的区域，f(x,y)是定义在R1∪R2上的函数，dA表示面积元素。
加法公式的应用非常广泛，可以用于计算不规则区域上的积分，将区域分成若干个小区域，然后分别计算每个小区域上的积分再求和即可。
二、乘法公式乘法公式是用来计算两个函数的乘积的积分的公式，具体形式如下：∬Rf(x,y)g(x,y)dA=∬Rf(x,y)dA·∬Rg(x,y)dA其中，f(x,y)和g(x,y)是定义在区域R上的函数，dA表示面积元素。
乘法公式可以简化积分的计算，将二重积分分成两个单变量的积分，分别计算再相乘即可。
三、换元公式换元公式是用来进行变量替换的公式，可以将一个二元函数在坐标变换后的区域上的积分转化为原区域上的积分，具体形式如下：∬Rf(x,y) dA = ∬R'(f(g(u,v),h(u,v)) ，J(u,v)， du dv其中，R是原区域，R'是通过坐标变换得到的新区域，f(x,y)是定义在R上的函数，J(u,v)，是变换后的雅可比行列式。
换元公式可以简化积分的计算，通过适当的坐标变换可以将原积分转化为更简单的形式，例如将直角坐标系中的积分转化为极坐标系中的积分等。
四、分部积分公式分部积分公式是用来计算二重积分中的积分运算的公式，具体形式如下：∬R(∂f/∂x + ∂g/∂y) dA = ∮C(f dx + g dy)其中，R是区域，C是区域R的边界曲线，f(x,y)和g(x,y)是定义在R上的函数，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示函数f和g关于x和y的偏导数。
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
重积分的换元法
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
二、三重积分的换元法
定理 设 f (x, y, z) 在 空间区域 上 连续，变换 T : x x(u, v, w), y y(u, v, w) z z(u, v, w)将 ouvw空间的闭区域 变为Oxyz 空间的闭区域，且满足
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
21 1 v
3
y x
例2 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D,即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; u v D u v
x y 2 v 2.
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
说明: 通过换元可将较复杂的被积函数形式化简
例3
计算
D
1
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分的换元法
Dxy {( x , y ) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 1}.
于是所求立体体积为
V
Dxy
2 2 2 2 [ 2 x x 2 y y x y 1 ( x y )]d 0 0 0 0
[1 ( x x0 ) D
( x, y) 1 1 J 1, ( u, v ) 0 1
D : x y 1 u 1, x 0 u v 0, y 0 v 0.
O
x uv D
v
O
u
原式 f ( u, v ) | J | dudv
D
du
0
1
即 z 2 x0 x 2 y0 y x y 1,
2 0 2 0
该切平面与曲面 z x 2 y 2交线为
2 2 z 2 x0 x 2 y0 y x0 y0 1 2 2 z x y
消去z得 : ( x x0 )2 ( y y0 )2 1,
y x y x
vu vu x ,y . 2 2
1 1 1 ( x, y) 2 2 , J 1 1 2 ( u, v ) 2 2
v v2 D u v u v
2
O
2 u
故
e D
y x y x
1 dxdy e dudv 2 D
b
O
x a cos , y b sin ,
a
x
D D {( , ) 0 1 , 0 2π},
( x , y ) a cos J ( , ) b sin
a sin b cos
第三讲 二重积分的换元法
第三讲 二重积分的换元法回顾上节内容直角坐标系下二重积分的计算本节教学内容1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
【教学目的与要求】1.掌握二重积分的换元积分公式；2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
【教学重点与难点】换元公式和极坐标系下二重积分的计算§7.3 二重积分的换元法一、二重积分的换元公式在某些情况下，利用直角坐标计算二重积分很不方便，而利用其它坐标如极坐标等可能会很容易求得结果，这就需要对直角坐标系下的二重积分进行变量代换．关于二重积分的变量代换，有如下定理．定理 设),(y x f 在D 上连续，),(),,(v u y y v u x x ==在平面uOv 上的某区域*D 上具有连续的一阶偏导数且雅可比.)Jacobi,( C.G.J 行列式0≠''''=vu vu y y x x J ， *D 对应于xOy 平面上的区域D ，则⎰⎰Df dudv J v u y v u x f dxdy y x D )],(),,([),(*⎰⎰=． （１）公式（１）称为二重积分的换元公式．二、极坐标系下二重积分的计算极坐标与直角坐标的关系为θθsin cos r y r x ==⎪⎩⎪⎨⎧ ． （２）其中，r 是极径，θ是极角．由极坐标的特殊性，以坐标原点O 向外发散的区域D ，如圆、圆环、扇形等，用极坐标表示是比较方便的，而且如果二重积分的被积函数也能够用极坐标简单表示（比如被积函数为)(22y x f +等），则利用极坐标，计算更方便．利用公式（１）可给出极坐标下二重积分的计算公式．由式（２）θθy y x x J rr''''=r r r r =+=-=)s i n (c o s c o ss i n s i n c o s 22θθθθθθ． 即r r J ==，从而极坐标系下二重积分的计算公式为⎰⎰⎰⎰=*)sin ,cos (),(D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ． （３）例１ 计算积分dxdy e Dy x⎰⎰--22，D 是圆心在原点，半径为R 的闭圆．解 这里D ={}222),(R y x y x ≤+，在极坐标系下}20,0),{(*πθθ≤≤≤≤=R r r D ，且222r y x =+，于是dxdy e Dy x⎰⎰--22为)1(212222*220R Rr r R D r e e dr red rdrd e-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰⎰ππθθπ．例２ 计算二重积分⎰⎰Ddxdy x 2，D 是由圆122=+y x 及422=+y x 所围成的环形区域.解 环区域D 在极坐标系中可表示为}20,21),{(*πθθ≤≤≤≤=r r D ，所以⎰⎰⎰⎰=DDrdrd r dxdy x θθ222cos =⎰⎰πθθ203212cos dr r d π415=. 例3 计算⎰⎰--Ddxdy y x a 2224，D 是半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图7-9）．解 在极坐标系中，域D 可表示为}20,cos 20),{(*πθθθ≤≤≤≤=a r r D ，于是⎰⎰--Ddxdy y x a 2224⎰⎰-=*224D rdrd r a θ图7－10图7－9⎰⎰-=20cos 20224πθθa rdr r a d=⎰-=-20333)322(38)sin 1(38ππθθa d a ．例4 计算⎰⎰Dxydxdy ，其中D {}x y x y y x 21,0),(22≤+≤>=．解 区域D 见图7－10（阴影部分），在极坐标下*D {}0,cos 21),(πθθθ≤≤≤≤=r r ,于是⎰⎰Dxydxdy ⎰⎰⋅⋅=*sin cos D rdrd r r θθθ⎰⎰=3cos 213sin cos πθθθθdr r dθθθθπd r cos 214041sin cos 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰θθθθπd )41cos 4(sin cos 04⎰-=图7—11 θθθπcos )cos 41cos 4(305d --=⎰169cos 64cos 81062=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθ． 例5 计算⎰⎰Ddxdy ，其中D 为椭圆12222=+by a x 所围成的闭区域．解 作广义极坐标变换⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x 其中πθ20,0,0,0≤≤≥>>r b a ，在此代换下，与D 相应的区域{}πθθ20,10),(*≤≤≤≤=r r D雅可比行列式 θθy y x x J rr ''''=abr br b ar a =-=θθθθcos sin sin cos ，从而⎰⎰Ddxdy ab abrdr d drd J D πθθπ===⎰⎰⎰⎰120*．由二重积分的几何意义，ab π即为椭圆12222=+by a x 所围成的面积．例6 计算⎰⎰Ddxdy y x 22，其中D 是由曲线2,1==xy xy 和直线xy x y 4,==所围成的第一象限的区域（图7－11）．解 该积分利用直角坐标或极坐标比较麻烦，根据积分区域，作变换.,v x y u xy ==⎩⎨⎧ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==.,v u x uv y 可得v J 21=． 于是⎰⎰D dxdy y x 22dv v du u dudv v u D ⎰⎰⎰⎰==41212212121*[]2ln 37ln 312141213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u ．三、广义二重积分前面我们讨论的都是有界区域D 上有界函数的二重积分．若将积分区域推广到无界区域，或者被积函数有无穷型间断点，则有广义二重积分．其定义与计算与一元函数的广义积分类似． 定义 设函数),(y x f z =在xOy 平面上的无界区域D 上连续．在D 上任取一有界区域1D ，则),(y x f z =在1D 上的二重积分存在，若此积分当D D →1时的极限存在，则称该极限为无界区域D 上的广义二重积分，即⎰⎰⎰⎰→=11),(lim ),(D DD Dd y x f d y x f σσ．可以证明，若),(y x f z =在D 上不变号，则广义二重积分的值与D D →1的方式无关．例7 证明概率积分π=⎰∞+∞--dx e x 2．证明 考虑广义二重积分σd e Dy x⎰⎰--22，其中D 是xOy 平面．取1D 为圆心在原点，半径为R 的圆，当D D →1时，+∞→R ．根据例1求得的结果，σd e Dy x ⎰⎰--22=DD →1limππ=-=-+∞→--⎰⎰)1(lim 2122R R D y x e dxdy e ．另一方面，令{}R y R x y x D ≤≤=,),(2（图7－12）， 则当D D →2时，+∞→R ．dxdy e dxdy e D y x DD Dy x⎰⎰⎰⎰--→--==222222limπ图7－12⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰----+∞→R R R R y x R dy e dx e 22lim2222lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰∞+∞----+∞→dx e dx e x R R x R ，于是 π=⎰∞+∞--dx e x 2．若函数),(y x f z =在xOy 平面上的有界区域D 上有无穷间断点，或在D 内的某一条曲线上有无穷间断点，此时，可取D D ⊂1，而),(y x f 在1D 上连续，定义广义二重积分⎰⎰⎰⎰→=11),(lim),(D DD Dd y x f d y x f σσ．例8 计算广义积分,22⎰⎰+Dyx d σ其中，{}222),(R y x y x D ≤+=．解 对于被积函数来说，点)0,0(为其无穷间断点．设R a <<0，则在环型区域1D {}2222),(R y x a y x ≤+≤=上，被积函数连续，且当D D →1时，0→a ，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰→→=+=+R aa D DD Drdr rd yx d yx d 22022221lim lim11πθσσR a R a ππ2)(2lim 0=-=→．小结1.二重积分的换元积分公式；2.极坐标系下二重积分的计算。
二重积分的所有变换
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
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一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分定义为积分和式的极限． 二重积分定义为积分和式的极限 ． 如果直接用 二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的， 二重积分的定义去计算它的值 ， 是相当困难的 ， 甚 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义— 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义 几何意义 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方 法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积 即二次积分. 分，即二次积分.
o
a
x
b
x
其中 A( x ) 是垂直于 x 轴的平面与曲顶柱体相交部分 的面积. 是一个曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积 的面积.即 A( x )是一个曲边梯形的面积.
对固定的 x ,此曲边梯形 曲边是由方程 的曲边是由方程 z = f ( x, y ) 确定的关于 y 的一元函数 的曲线, 的曲线,而底边沿着 y 方 向从 ϕ1 ( x) 变到 ϕ2 ( x) .故 其面 A( x ) 积为
A( x ) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
z
A( x)
y
y = ϕ2 ( x)
o
a
x
b
y = ϕ1 ( x)
x
f ( x, y )dy
从而
ϕ2 ( x) f (x, y)dy dx (1) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫a ∫ϕ1(x) D D
二重积分的换元法
机动
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*三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
1
D3
机动
o
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8
重积分换元法
重积分换元法1. 二维情况（二重积分）- 在平面直角坐标系中，对于二重积分∬_{D}f(x,y)dxdy，如果我们作变量替换x = x(u,v)，y=y(u,v)。
- 这里(u,v)是新的变量，并且函数x(u,v)和y(u,v)具有一阶连续偏导数。
- 根据雅可比行列式的定义，雅可比行列式J=(∂(x,y))/(∂(u,v))=<=ftbegin{array}{ll}(∂ x)/(∂ u)&(∂ x)/(∂ v)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂v)end{array}right。
- 那么二重积分的换元公式为∬_{D}f(x,y)dxdy=∬_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]| J| dudv，其中D'是D在uv平面上对应的区域。
2. 三维情况（三重积分）- 对于三重积分∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz，设变换x = x(u,v,w)，y = y(u,v,w)，z=z(u,v,w)。
- 雅可比行列式J=(∂(x,y,z))/(∂(u,v,w))=<=ftbegin{array}{lll}(∂ x)/(∂ u)&(∂x)/(∂ v)&(∂ x)/(∂ w)(∂ y)/(∂ u)&(∂ y)/(∂ v)&(∂ y)/(∂ w)(∂ z)/(∂ u)&(∂ z)/(∂ v)&(∂z)/(∂ w)end{array}right。
- 换元公式为∭_{Ω}f(x,y,z)dxdydz=∭_{Ω'}f[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)]| J| dudvdw，其中Ω'是Ω在uvw空间中对应的区域。
1. 简化积分区域- 很多时候，原积分区域D（或Ω）的形状比较复杂，通过合适的变量替换，可以将其转化为比较规则的区域D'（或Ω'）。
例如，将一个由复杂曲线围成的平面区域通过极坐标变换转化为矩形区域。
计算二重积分的几种简便方法
计算二重积分的几种简便方法计算二重积分是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中有着广泛的应用。
但是对于初学者来说，计算二重积分可能是一个比较困难的任务。
有一些简便的方法可以帮助我们更轻松地计算二重积分。
本文将介绍几种简便方法来计算二重积分，希望能对大家的学习有所帮助。
一、直角坐标系下的计算我们首先回顾一下在直角坐标系下计算二重积分的过程。
设积分区域为D，函数为f(x, y)，则二重积分的计算公式为：∬ f(x, y) dA = ∫∫D f(x, y) dx dy其中D表示积分区域，dA表示面积元素，f(x, y)表示要被积的函数。
在直角坐标系下，我们通常通过将积分区域D分解为水平方向和垂直方向的两个部分，然后进行累次积分的方法来计算二重积分。
这种方法在处理一些复杂的积分区域时可能会比较繁琐，下面我们就介绍一些简便的方法来计算二重积分。
对于一些具有旋转对称性的积分区域，我们可以转换到极坐标系下来简化计算过程。
极坐标系的坐标变换公式为：x = rcosθy = rsinθr表示从原点到点(x, y)的距离，θ表示向量OP与x轴的夹角。
在极坐标系下，面积元素dA可以表示为:dA = rdrdθ利用这个变换，我们可以将二重积分转化为极坐标下的累次积分。
具体来说，我们首先确定极坐标系中r和θ的取值范围，然后进行r方向和θ方向的累次积分。
这样做可以帮助我们简化积分区域，并且在计算上也更加方便。
三、换元法除了极坐标系下的计算方法，换元法也是计算二重积分的一种简便方法。
换元法是一种常用的积分技巧，在解决一些复杂函数积分时特别有用。
换元法的基本思想是通过一些代数变换来简化被积函数或者积分区域。
对于二重积分来说，我们可以通过一些变换来将原积分转化为一个更容易计算的积分。
当积分区域为一个矩形时，我们可以通过线性变换来将其变为单位矩形，这样做可以大大简化计算过程。
换元法在实际应用中需要具体问题具体分析，需要我们灵活运用。
多元函数积分的换元法
多元函数积分的换元法在计算多元函数的积分时，经常会遇到比较复杂的函数形式，这时候使用换元法是一个非常有效的方法。
多元函数的积分也可以通过类似于一元函数的换元法来简化问题，使得积分计算更加方便。
本文将介绍多元函数积分的换元法，并通过具体的例子展示如何应用该方法。
1. 二重积分中的换元法对于二重积分$$ \\iint_D f(x,y)dxdy $$可以通过变换x=g(u,v),y=ℎ(u,v)将积分区域D映射到uv平面上的一个新区域D∗，令$y=h(u,v), dy=\\frac{\\partial h}{\\partial u}du+\\frac{\\partialh}{\\partial v}dv$，$x=g(u,v), dx=\\frac{\\partial g}{\\partialu}du+\\frac{\\partial g}{\\partial v}dv$。
则有$$ \\iint_{D^*} f(g(u,v), h(u,v))|J|dudv = \\iint_D f(x,y)|J|dxdy $$其中J为Jacobi行列式。
2. 三重积分中的换元法对于三重积分$$ \\iiint_V f(x,y,z)dxdydz $$类似地，可以通过变换x=u(s,t),y=v(s,t),z=w(s,t)将积分区域V映射到st 平面上的新区域V∗。
令 \begin{aligned} x&=u(s,t) \\ y&=v(s,t) \\ z&=w(s,t)\end{aligned} 则有$$ \\iiint_{V^*} f(u(s,t),v(s,t),w(s,t))|J|dsdt = \\iiint_{V} f(x,y,z)|J|dxdydz $$其中J为Jacobi行列式。
3. 常用的换元公式在具体的计算中，常用的换元公式包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
例如，对于极坐标 \begin{aligned} x&=r\cos\theta \\ y&=r\sin\theta \end{aligned} 则有$$ dxdy = rdrd\\theta $$通过这些换元公式，可以将复杂的多元函数积分问题转化为简单的一元函数积分问题，从而更容易求解。
二重积分的换元法
（1）极点 O 在区域 D 的外部
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin )
r dr
r r2( )
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
(2) 在 D 上雅可比式 u, v )
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分.
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
r2( ) f (r cos ,r sin )rdr
r1 ( )
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr
0
重积分总结
多重积分的方法总结计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．一．二重积分的计算重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤；二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤； 直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二．三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y ay x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y cx y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()z dD cf z S dz =⎰其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r rdrd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v uu u D D vvvij k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰ 注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．。
重积分与曲线曲面积分的换元法
重积分与曲线曲面积分的换元法重积分和曲线曲面积分是微积分中的重要概念，它们在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
在计算这些积分的过程中，经常会遇到需要进行换元的情况。
本文将介绍重积分与曲线曲面积分的换元法，帮助读者更好地理解和应用这些数学概念。
一、重积分的换元法重积分是将一个函数在三维空间中的区域上进行积分，通常用来计算质量、质心、重心、物理系统的动量和能量等问题。
当积分区域的表示较为复杂时，使用换元法可以简化计算过程。
假设有某函数 f(x,y,z)，我们要计算函数在由区域 D 所围成的空间中的积分。
首先，我们需要找到一个合适的变换，将原坐标系下的积分区域 D 映射到新的坐标系下的积分区域 R。
设变换为 x=g(u,v,w)，y=h(u,v,w)，z=k(u,v,w)，其中(u,v,w) 属于R。
根据重积分的换元公式，原重积分可以转换为在 R 上的相应积分：∬∬∬_D f(x,y,z)dxdydz = ∬∬∬_R f[g(u,v,w),h(u,v,w),k(u,v,w)] |J| dudvdw其中 J 为变换的雅可比矩阵，由偏导数构成。
通过适当选择变换函数 g(u,v,w)，h(u,v,w)，k(u,v,w)，我们可以使得积分区域 R 更简单，从而简化积分计算。
换元法的关键在于找到适合的变换函数，需要通过对问题的分析和适当的数学方法进行判断。
二、曲线曲面积分的换元法曲线曲面积分是将一个函数在曲线或曲面上的各点上的值与曲线长度或曲面面积之积相加而得到的积分。
常用于求解电场、磁场、电荷分布等物理问题。
在计算曲线曲面积分时，我们也常常需要进行换元操作。
对于二重积分，设有曲线 C 上的参数方程为 x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中 (u,v) 属于某个曲线区域 D。
根据曲线曲面积分的换元公式，曲线曲面积分可以表示为：∬_S F(x,y,z)dS = ∫∫_D (F[f(u,v),g(u,v),h(u,v)] |N|) dudv其中 F(x,y,z) 为在曲面 S 上的某个函数，N 为曲面 S 的法向量。
二重积分的计算方法资料
二重积分的计算方法资料二重积分是微积分中的重要内容，在物理、工程、统计学等领域都有广泛应用。
本文将介绍二重积分的计算方法，包括定积分计算与几何应用两个方面。
一、定积分计算方法（一）极坐标下的二重积分计算：在极坐标下，平面上的一个点可以用极径和极角来表示。
设区域D由曲线r=f(θ)和两直线θ=a，θ=b（0≤a≤b≤2π）所围成。
要计算D上的二重积分，可以通过极坐标转换来简化计算。
1.若函数f为连续函数，则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫f(r，θ) r dθ dr2.计算时，先按θ积分，再按r积分。
3.需要注意的是，r的取值范围是由f(θ)和直线θ=a，θ=b所围成的区域。
（二）直角坐标下的二重积分计算：在直角坐标系下，可以利用定积分的性质计算二重积分。
设区域D的上下界分别为y=g1(x)和y=g2(x)（a≤x≤b），则有二重积分I = ∬D f(x,y) dA = ∫ab ∫g2(x) g1(x) f(x,y) dy dx1.计算时，先按y积分，再按x积分。
2.需要注意的是，y的取值范围是由g1(x)和g2(x)所围成的区域。
对于一些复杂的积分，可以通过换元法来简化计算。
一般来说，选择适当的变量替换可以使原积分转化为更简单的形式。
1.平面区域变换：设变换为x = φ(u,v)，y = ψ(u,v)，则有 dA = ，J， du dv，其中J为变换的雅可比行列式，可利用行列式的性质计算。
2.极坐标变换：设变换为x = r cos(θ)，y = r sin(θ)，则有dA = r dr dθ。
3.球坐标变换：设变换为x = ρ sinφ cosθ，y = ρ sinφ sinθ，z = ρcosφ，则有dV = ρ^2 sinφ dρ dφ dθ。
（四）离散型二重积分与曲边梯形面积：如果函数f(x,y)是有界函数，并且在区域D上有无穷多个不连续点，则可以通过计算曲边梯形面积来近似计算二重积分：I ≈ ∑f(xi,yi) ΔA = ∑f(xi,yi) Δx Δy其中(Δx,Δy)为曲边梯形的底边与两侧边长，(xi,yi)为底边上的任意点。
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且对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在, 则累次 c
积分
b
dx
d
f ( x, y)dy 也存在,
且
a
c
f ( x, y)d
b
dx
d
f ( x, y)dy.
D
a
c
d
A(x) c f (x, y)dy
4
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证明 I( x)
d
f ( x, y)dy,
d
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
如果函数 I( x) 也在[a,b]上可积, 则得积分
b
bd
a I( x)dx a (c f ( x, y)dy)dx .
此积分称为累次积分.
记为
b
d
dx f ( x, y)dy.
a
c
2
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类似理解 :
d
b
对 y [c,d], 积分 cb f ( x, y)dx 都存在. a
8
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例1 设 f ( x, y) 1 x y
计算 f ( x, y)d , 其中 D [0,1][0,1].
D
y
解 因为f (x, y)满足推论2.1 1
的条件, 所以
x y 1
f ( x, y)d
x [a,b].
c
对[a,b],[c,d ]的分割
x : a x0 x1 xn b,
y : c y0 y1 ym d ,
令 Ii [ xi1, xi ], i 1,,n, J j [ y j1, y j ], j 1,, m.
因此子矩形Ii J j形成了D的分割 x y
D {( x, y) | y1( x) y y2( x),a x b}
特点：穿过区域且平行于 y
y轴的直线与区域
y y2(x)
边界相交不多于两 个交点.
y y1( x)
a
bx
10
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Y型区域
D {( x, y) | x1( y) x x2( y),c y d }
令A fd 由定义， 0, 0,
D
当分割满足 时，有
nm
A
f (i , j )xiy j A . (1)
i1 j1
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5
现取 x , y
n
,则
2
n
在（1）中取
inf f (i , J j )y j
sup f (i , J j )y j
j1
j 1
D
[a,b][c,d ]
a
c
b
dx
y2( x) F ( x, y)dy
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy.
a
y1 ( x )
a
y1 ( x )
14
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第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、矩形区域上的二重积分的计算
设 D [a,b][c,d ], f : D R, 如对 x [a,b],
函数 f ( x, ) 在[c,d ]上可积, 则可得如下函数：
矩形区域[a,b][c,d ] D, 作定义在[a,b][c,d ]
上的辅助函数
F
(
x,
y)
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
可以验证F ( x, y)在[a,b][c,d ]上可积, 而且
f (x, y)d
F ( x, y)d
b
d
dx F ( x, y)dy
D
6
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定理2.2
设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
且对 y [c,d ], 积分 b f ( x, y)dx 都存在, 则累次 a
积分
d
dy
b
f ( x, y)dx 也存在,
且
c
a
f ( x, y)d
d
b
dy f ( x, y)dx.
1
dx
1
f ( x, y)dy
0
0
0
x 1x
D
1
1
而 0 f ( x, y)dy 0 (1 x y)dy
1
1
0 (1 x)dy 0 ydy
(1 x) 1 1 x
所以
f
( x,
y)d
2 1
(
12
x)dx
0.
D
02
9
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二、一般区域上的二重积分的计算
X 型区域
y
特点：穿过区域且平行于 d
x 轴的直线与区域
边界相交不多于两 c
x
个交点.
11
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一般区域
分解成有限个无公共
内点的X型区域 或
Y型区域.
D3 D1
D2
因此 一般区域上的二重积分计算问题归结到
X型区域 或 Y型区域上的二重积分计算问题.
12
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定理2.3 设f (x, y)在X型区域 D上连续, 其中 y1( x)
db
c dya f ( x, y)dx c (a f ( x, y)dx)dy .
问题 :
? f (x, y)d
D
b
d
a dxc f ( x, y)dy,
d
b
c dya f ( x, y)dx.
3
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定理2.1 设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
分别是f (i ,)在[c,d]上的上和与下和
n
inf f (i , J j )y j
j1
d c
f (i , y)dy
n
sup
j1
f (i , J j )y j
n
A I(i )xi A
i 1 n
lim
x 0
j1
I (i )xi
A
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy.
D
c
a
证明 类似于定理1.
7
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推论2.1设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上连续,
则有
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx.
累次积分交换顺序的充分条件 :
f ( x, y)在 D上可积, 对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在,
y2( x)在[a,b]上连续, 则
f ( x, y)d
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
分析 :
d y y2(x)
y y1( x)
c
a
F
(
x,
y)
f
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
bx
13
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证 由于 y1( x), y2( x)在[a,b]上连续, 故总存在