单位冲激函数的傅里叶变换
冲激函数傅里叶变换
冲激函数傅里叶变换
冲激函数傅里叶变换是一种常用的数学工具，主要用于表示和分
析时间域的信号的频域特性。
它主要利用傅里叶变换将一个复杂的周
期函数转换为一组周期正弦和余弦序列。
这种变换很重要，因为它可
以在频域中显示复杂信号的局部特征，并提供有关信号的统计信息，
而这可以用于系统的分析，调节和设计。
冲激函数傅里叶变换实际上是一种特殊的傅里叶变换，是一种单
次时间域孤立信号的变换。
这意味着该函数在某个时间段之后没有任
何影响，因此可以将它看作是一个短的响尾，也可以将它看作一个单
次的方波。
与传统的傅里叶变换不同，冲激函数傅里叶变换可以将时
域的冲激函数转换为正弦和余弦的线性组合。
由于冲激函数的变化不
影响信号的局部特征，因此可以通过傅里叶变换来描述这种变换。
傅里叶变换的公式如下：
F（s）= ∫响应函数f（t）e ^-iωt dt
其中，s是复数，ω是角频率，Ω是圆频率，e是欧拉数，i是虚
数单位。
冲激函数傅里叶变换有几个重要的应用：
1）可以用来确定系统特性，如传导延迟，最大延迟，截止频率等；
2）可以用来把时域的输入信号转换为频域的输出信号，从而精确
的检测系统的频域特性；
3）可以用来确定信号的幅度和相位，并用来调节系统的滤波器；
4）可以用来分析振荡器、谐振器和悬挂系统的特性；
5）可以进行模拟和数字信号处理。
冲激函数傅里叶变换可以帮助我们分析和设计各种系统，它能够
准确的描述系统的动态特性，并有效的实现系统的调节和设计。
因此，
冲激函数傅里叶变换是一个有用的数学工具，它可以有效的分析和控制时间域的信号特性。
脉冲函数的傅里叶变换
脉冲函数的傅里叶变换脉冲函数是信号处理中常用的一种函数，它在数学上可以用来描述一个瞬时突变的信号。
脉冲函数也被称为单位冲激函数或Dirac函数，通常用符号δ(t)表示。
脉冲函数在时域上的图像是一个非常狭窄的峰值，幅度为无穷大，宽度为无穷小的函数。
在信号处理中，我们经常需要对信号进行频域分析，而傅里叶变换是一种常用的频域分析方法。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，将信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数。
对于脉冲函数来说，它的傅里叶变换可以用数学公式表示为：F(ω) = ∫[−∞,+∞] δ(t)e^(−jωt) dt其中，F(ω)表示脉冲函数在频域上的表示，δ(t)表示脉冲函数在时域上的表示，e^(−jωt)表示复指数函数。
根据傅里叶变换的定义，我们可以将脉冲函数的傅里叶变换分为两步进行计算。
首先，我们需要将复指数函数 e^(−jωt) 与脉冲函数δ(t) 进行卷积运算。
由于脉冲函数在时域上的表示是一个峰值，所以卷积运算的结果就是复指数函数在该峰值位置上的幅度。
其次，我们需要将这个幅度值关于频率ω进行积分，得到脉冲函数在频域上的表示。
脉冲函数的傅里叶变换具有一些特殊的性质。
首先，脉冲函数的傅里叶变换是一个常数，即对于任意的频率ω，脉冲函数的傅里叶变换值都是相同的。
这是因为脉冲函数在时域上的表示是一个峰值，而复指数函数的幅度在任意频率下都是恒定的。
其次，脉冲函数的傅里叶变换在频域上是一个平面波，即幅度恒定，相位随频率变化。
脉冲函数的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
首先，它可以用来分析信号的频谱特性。
通过计算信号在频域上的表示，我们可以了解信号中包含的不同频率成分的强弱关系。
其次，脉冲函数的傅里叶变换可以用于滤波器的设计。
通过选择适当的滤波器函数，我们可以实现对特定频率范围内的信号进行增强或抑制。
此外，脉冲函数的傅里叶变换还可以用于信号的压缩和解压缩，以及信号的编码和解码等领域。
总结起来，脉冲函数的傅里叶变换是一种重要的信号处理工具。
信号与系统试题及答案
信号与系统试题及答案一、选择题1. 信号f(t)=cos(2πt+π/4)是（）。
- A. 偶函数- B. 奇函数- C. 周期函数- D. 非周期函数答案：C2. 系统分析中，如果输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，那么系统的冲激响应h(t)与输出信号y(t)的关系是（）。
- A. y(t) = x(t) * h(t)- B. y(t) = ∫x(t)h(t)dt- C. y(t) = x(t) + h(t)- D. y(t) = x(t) - h(t)答案：B3. 一个线性时不变(LTI)系统，其频率响应H(ω)是输入信号X(ω)的傅里叶变换与系统冲激响应的乘积，那么该系统的逆傅里叶变换是（）。
- A. X(ω) * H(ω)- B. X(ω) / H(ω)- C. 1 / (X(ω) * H(ω))- D. H(ω) / X(ω)答案：A二、简答题1. 解释什么是单位冲激函数，并说明它在信号与系统分析中的作用。
答案：单位冲激函数是一种理想化的信号，其在t=0时的值为1，其他时间的值为0。
数学上通常表示为δ(t)。
在信号与系统分析中，单位冲激函数是系统冲激响应分析的基础，它允许我们通过将输入信号分解为单位冲激函数的叠加来分析系统的响应。
单位冲激函数的傅里叶变换是常数1，这使得它在频域分析中也非常重要。
2. 描述连续时间信号的傅里叶变换及其物理意义。
答案：连续时间信号的傅里叶变换是一种数学变换，它将时域信号转换为频域信号。
对于一个连续时间信号x(t)，其傅里叶变换X(ω)可以表示为：\[ X(ω) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-jωt} dt \] 其中，e^(-jωt)是指数形式的复指数函数。
物理意义上，傅里叶变换揭示了信号的频率成分，即信号由哪些频率的正弦波和余弦波组成。
通过分析X(ω)，我们可以了解信号的频率特性，这对于信号处理和系统分析至关重要。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。
3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。
5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。
6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。
卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。
7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。
8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。
9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。
除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。
冲激函数傅里叶变换
冲激函数傅里叶变换
冲激函数傅里叶变换（Impulse Function Fourier Transformation ，IFFT）是在频域进行信号处理的一种重要的方法，
它是Fourier变换的一种特殊形式。
Fourier变换将时域信号转换为频域，而IFFT则相反，它可以将频域信号转换为时域。
IFFT最广泛应用
于数字信号处理，它可以利用时域的冲激函数来实现对频域信号的操作。
简而言之，它是使用傅立叶变换将频率信号转换成冲激响应的过程，可以被用来显示某些计算方法的性能特性。
IFFT具有一些优势，例如可以提高信号处理效率，而不改变实际
的频域信号。
它允许我们同时操作多个频域信号，比单独操作更方便，而且运算结果也更准确，可以得出更准确的数据。
IFFT同时也有一些不足，比如当输入良好时，输出往往不太理想，这就需要经过一定的优化以获得更好的结果。
此外，如果IFFT的输入
信号不是正确的格式，也会出现问题，影响最终的结果。
因此，在使
用IFFT之前必须对输入信号做一定的优化，才能够得出有用的数据。
总的来说，冲激函数傅里叶变换是一种简单有效的信号处理方式，它的应用已经涉及到许多人工智能、计算机视觉和机器学习等领域。
此外，随着计算机技术不断发展，IFFT也会发展出更多新的应用，为
各种信号处理提供帮助。
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
单位冲激序列傅里叶变换
单位冲激序列傅里叶变换单位冲激序列在信号处理中扮演着重要的角色，是我们理解和分析信号的基础。
傅里叶变换则是对信号进行频域分析的常用工具，能够将信号从时域转换到频域。
掌握这两个概念对于信号处理工程师来说至关重要。
单位冲激序列是一种在离散时间点上的脉冲序列，其中只有一个时间点具有非零值，其余时间点上都为零。
这个非零值通常为1，因此也被称为单位脉冲信号。
单位冲激序列在很多实际环境中都有应用，例如系统的脉冲响应或采样与重构过程中的插值。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
通过傅里叶变换，我们可以将时域中的信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种频域表示使得我们能够更好地理解信号的频谱特性，包括频率成分和幅度信息。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域。
将单位冲激序列进行傅里叶变换，可以得到频域上的脉冲响应。
脉冲响应描述了系统对单位冲激信号的响应情况，可以用于分析系统的频率特性和滤波效果。
在实际应用中，我们经常通过将一个信号与单位冲激序列卷积来实现信号的滤波和频率域处理。
随着技术的发展，单位冲激序列和傅里叶变换在各个领域都发挥着重要作用。
在数字音频和图像处理中，我们可以通过傅里叶变换将信号转换成频域，然后对频域信号进行滤波、增强等处理，再通过傅里叶逆变换将信号恢复到时域。
这种频域处理的方法极大地提高了信号处理的效率和质量。
除了基本的单位冲激序列和傅里叶变换，我们还可以利用这些概念进行更高级的信号处理。
例如，我们可以通过将多个单位冲激序列叠加来生成复杂的信号，然后通过傅里叶变换分析其频谱特性。
在数字通信系统中，我们可以对信号进行调制和解调，利用傅里叶变换分析信道特性和噪声影响。
总之，单位冲激序列和傅里叶变换是信号处理中不可或缺的概念。
了解这些概念的原理和应用对于信号处理工程师来说至关重要。
通过对单位冲激序列的傅里叶变换，我们能够更好地理解信号的频域特性，从而实现更高效、更精确的信号处理。
单位冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种重要的数学工具，它最初由拉斐尔傅里叶提出并开发出来，用于解决积分问题和求解微分方程。
它是近代数学中最有用的工具之一，用于几乎所有的科学研究。
它可以将信号的时间域表示法转换为频率域表示法，因此在信号处理中被广泛应用。
单位冲激函数f(x)是通常的时间域的函数，它可以被用来描述多个信号。
它的特点是在原点x=0处有个零值，然后在x>0处有一个变化瞬时的值，如果x<0时，它又跳回零值。
在这里，我们将详细讨论单位冲激函数f(x)的傅里叶变换。
首先，我们来熟悉一下单位冲激函数f(x)。
它可以用来描述多个信号，它有零值而且在x>0处有变化瞬时的值，当x<0时，它又跳回零值。
它是一个常用的时间域函数，也是一个非常重要的信号处理工具。
接下来我们来看看单位冲激函数的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将信号的时间域表示转换为频率域表示，而单位冲激函数也可以用傅里叶变换来求解。
根据傅里叶变换的定义，它可以定义为：F (ω)=-∞∞ f(x)e^(-jωx)dx不管f(x)是什么函数，它的傅里叶变换都是上面的这个形式。
为了更好地理解这个公式，我们来看一个简单的例子，即单位冲激函数的傅里叶变换。
单位冲激函数的傅里叶变换的公式为：F (ω) = 1/π∫-ππ e^(-jωx)dx我们可以用分部积分和积分的方法来解决上面的积分问题，其中一种方法是：F (ω) = [e^(-jωx)]/ω，x取-π→π最终，我们可以求出单位冲激函数的傅里叶变换：F (ω) = 2/ωsin(ω/2)以上就是单位冲激函数的傅里叶变换的简单推导过程，显然，这个变换能够更好地描述信号，并可以帮助我们更好地处理信号。
这种变换有着广泛的应用，特别是在信号处理和通信领域，受到许多学者关注。
傅里叶变换在信号处理中的应用已经得到了广泛的认可，因为它可以有效地从时间域上分析出信号的特征，从而更好地还原信号，从而提高信号的处理效率，从而满足实际应用的需求。
计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换
标题：计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换在信号与系统的学习中，冲激信号是一种非常重要的信号类型。
它在信号处理、控制系统等领域有着广泛的应用。
而冲激信号的傅里叶变换在频域分析和频谱分析中也扮演着重要角色。
计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换是很有意义的。
1. 冲激函数的定义与性质冲激函数（Impulse function）又称为δ函数（Delta function），是一种特殊的函数。
它在数学上的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0冲激函数具有以下性质：（1）积分性质：∫δ(t)dt = 1（2）脉冲性质：δ(at) = 1/|a| * δ(t)（3）位移性质：δ(t-b) = δ(t)2. 冲激信号eδ(t)的定义冲激信号eδ(t)定义为：eδ(t) = e * δ(t)3. 傅里叶变换的定义在信号与系统中，傅里叶变换是一种十分重要的数学工具。
对于一个信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jwt)dt4. 计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换现在，我们来计算冲激信号eδ(t)的傅里叶变换。
根据傅里叶变换的定义，冲激信号eδ(t)的傅里叶变换可以表示为：E(ω) = ∫eδ(t)e^(-jwt)dt= e∫δ(t)e^(-jwt)dt由于δ(t)只在t=0的时候有值，因此积分的结果只有在t=0的时候才取得非零值。
所以：E(ω) = e * e^0= e冲激信号eδ(t)的傅里叶变换为常数e。
5. 总结通过以上计算，我们得出冲激信号eδ(t)的傅里叶变换为常数e，这个结果在频域分析中具有重要的意义。
在实际的信号处理和系统分析中，对冲激信号的傅里叶变换有着深远的影响。
冲激信号eδ(t)的傅里叶变换是一项重要的计算内容，它不仅有着理论上的意义，也在工程实践中有着重要的应用。
希望本文能够帮助读者更好地理解冲激信号的傅里叶变换，并在实际应用中发挥作用。
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)
E
u
t
2
1
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()
( )
22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
F () 1 ,
j
（复函数）
F ()
2
2
1
2
0, 0
(
)
2
第四章-傅里叶变换
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
matlab画单位冲激函数傅里叶频谱
文章标题：探索MATLAB画单位冲激函数的傅里叶频谱1. 前言在信号处理和傅里叶变换的学习中，单位冲激函数是一个非常重要的信号。
在MATLAB中，通过绘制单位冲激函数的傅里叶频谱，我们可以更深入地理解信号的频谱特性和傅里叶变换的应用。
本文将深入探讨MATLAB画单位冲激函数的傅里叶频谱的方法和意义。
2. 单位冲激函数的概念单位冲激函数（又称为δ函数）在信号处理中是一个极其重要的函数，通常表示为δ(t)。
它在时域上的表示为在t=0时取值为无穷大，在其他时刻取值为0。
单位冲激函数在傅里叶变换中起着至关重要的作用，它是许多信号和系统的基础。
3. MATLAB绘制单位冲激函数的傅里叶频谱在MATLAB中，可以利用fft函数来计算单位冲激函数的傅里叶变换，并通过频谱绘图来展示其频域特性。
我们可以使用以下代码生成一个单位冲激函数：```matlabt = -10:0.01:10;delta = t==0;plot(t,delta);```上述代码中，我们利用t生成了一个时间序列，然后通过t==0生成了对应的单位冲激函数，并用plot函数进行绘制。
接下来，我们可以使用fft函数计算单位冲激函数的傅里叶频谱，并利用频谱绘图展示其频域特性：```matlabFs = 1000; % 采样频率L = length(t); % 信号长度Y = fft(delta);P2 = abs(Y/L);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs*(0:(L/2))/L;plot(f,P1);```通过上述代码，我们可以得到单位冲激函数的傅里叶频谱图，从而更直观地理解其频域特性。
4. 傅里叶频谱的意义和应用单位冲激函数的傅里叶频谱是其频域特性的表现，它能够展示信号在频域上的成分和能量分布。
通过观察傅里叶频谱，我们可以了解信号中各个频率成分的相对强度和相位信息。
在实际应用中，傅里叶频谱常常用于分析信号的频率特性、滤波处理以及频域编码等领域，对于理解和处理信号具有重要意义。
冲激函数的傅里叶变换计算
冲激函数的傅里叶变换计算可以通过以下步骤进行： 1. 定义冲激函数：冲激函数通常用 δ(t) 表示，其中 t 表示时间。冲激函数在 t=0 时刻取 值为无穷大，其他时刻取值为零。
2. 冲激函数的傅里叶变换：冲激函数的傅里叶变换可以表示为 F(ω) = ∫[从负无穷到正无 穷] δ(t) * e^(-jωt) dt，其中 F(ω) 表示傅里叶变换后的结果，ω表示频率。
3. 计算傅里叶变换：由于冲激函数在 t=0 时刻取值为无穷大，而其他时刻取值为零，因 此可以将积分范围缩小为从 -ε 到 ε，其中 ε 为一个无穷小的正数。这样，傅里叶变换可以简 化为 F(ω) = ∫[从 -ε 到 ε] δ(t) * e^(-jωt) dt。
冲激函数的傅里叶变换计算
4. 计算结果：由于冲激函数在 t=0 时刻取值为无穷大，因此在积分范围内，只有当 t=0 时，δ(t) * e^(-jωt) 才有非零值。因此，傅里叶变换的结果可以表示为 F(ω) = ∫[从 -ε 到 ε] δ(t) * e^(-jωt) dt = e^(-jω*0) = 1，即冲激函数的傅里叶变换结果为常数1。
总结起来，冲激函数的傅里叶变换结果为常数1。这是因为冲激函数在时域上的特性导致 其频域上的傅里叶变换结果为常数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章3典型信号傅里叶变换 性质1
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
a
1
j
a
1
j
2a
a2 2
F () f (t)e jtdt
0 eate jt dt eate jt dt
0
1
e(a j )t
(a j)
0
(a
1
j)
e(a
j )t
0
1
a j
a
1
j
a2
j2 2
F () F () e j()
a2 2 利用对称性质求解。
由：ea t
2a
a2 2
可知：
1 e t 2
1
1
2
t
2
1
1
2
1 e 2
e
2.线性
若 f1(t) F1() f2 (t) F2 ()
则有：
a 1
f1(t)ຫໍສະໝຸດ a 2f2 (t)a 1
F1
(
)
a 2
F2
(
)
3.奇偶虚实性
1.若f (t)为实偶函数，则F()为的实偶函数 2.若f (t)为实奇函数，则F()为的虚奇函数 3.实信号的幅频特性 F() 为的偶函数，相频特性()为的奇函数
信号主要能量集中的频带范围，有多种定义 方式； 傅里叶变换的性质：线性、对称性、奇偶虚 实性、时移特性
正确理解傅里叶变换及信号频谱的物理意义
作业：
3-21 3-22
•学习傅里叶变换的其他性质
F () f (t)e jtdt
ea t e jt dt
常用傅里叶变换表
常用傅里叶变换表在数学和工程领域，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它能够将一个时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和处理各种信号。
为了方便使用，人们总结出了常用的傅里叶变换表。
傅里叶变换的基本概念是将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
通过这种变换，我们可以从不同的角度分析信号的特性，例如频率成分、能量分布等。
常见的函数及其傅里叶变换如下：1、单位冲激函数（δ函数）单位冲激函数在时域中是一个在某一时刻瞬间出现的极大值，而在其他时刻为零。
它的傅里叶变换是常数 1。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数在时域中从某一时刻开始值为 1。
其傅里叶变换为 1 ／（jω) ＋πδ(ω) 。
3、正弦函数正弦函数sin(ω₀t) 的傅里叶变换为π δ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
4、余弦函数余弦函数cos(ω₀t) 的傅里叶变换为π δ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 。
5、指数函数指数函数 e^（αt) u(t) （其中 u(t) 为单位阶跃函数，α ＞ 0）的傅里叶变换为 1 ／（α ＋jω) 。
6、矩形脉冲函数矩形脉冲函数在一定区间内值为 1，其他区间为 0。
其傅里叶变换可以通过计算得到特定的表达式。
这些只是傅里叶变换表中的一部分常见函数。
在实际应用中，我们常常需要对复杂的信号进行傅里叶变换。
通过将复杂信号分解为上述常见函数的组合，再利用傅里叶变换的线性性质（即多个函数之和的傅里叶变换等于各个函数傅里叶变换之和），可以方便地求出复杂信号的频域表示。
傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用。
在通信领域，它用于信号的调制和解调、频谱分析等。
在图像处理中，傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频率特性，从而进行图像增强、滤波等操作。
在控制系统中，它可以用于分析系统的频率响应，帮助设计控制器。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将声音信号从时域转换到频域，从而识别出不同的频率成分，实现音频的滤波、降噪等处理。
单位冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种可以将时域信号转换为频域信号的方法，它是研究电子电路、信号处理和通信工程中一种重要的技术手段。
其中，单位冲激函数是一种重要的信号，在信号处理和通信技术中有广泛的应用。
研究单位冲激函数的傅里叶变换意义重大，它既可以提高信号处理和通信工程的实际效果，又可以帮助我们深入理解单位冲激函数的特性。
1. 什么是傅里叶变换傅立叶变换是一种可以将时域信号转换为频域信号的方法。
具体来说，傅里叶变换可以将时域信号分解为由不同频率分量组成的信号。
传统的傅里叶变换是一种线性变换，即将时域信号变换为频域信号。
2.位冲激函数单位冲激函数是一种重要的信号，它由定义的形式表示：$$h(t)=begin{cases}1, & t=00, & teq 0 end{cases}$$单位冲激函数是一种有限的、非连续的信号。
从数学上讲，它在时间t=0的地方定义了一个尖峰，可以用来模拟短暂的信号，比如磁脉冲、空气波等。
3.位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换是将时域中单位冲激函数转换为频域信号的手段。
通过计算可知，单位冲激函数的傅里叶变换为：$$H(omega)=2pi delta(omega)$$其中$delta (omega)$表示频率$omega$处信号为零，否则信号为无穷大。
可以看出，傅里叶变换将单位冲激函数转换为频域信号时，新的信号只有一个零频率分量，而其他频率分量的大小均为零。
由此可见，在傅里叶变换中，单位冲激函数只有一个零频率分量，其他频率分量的大小均为零。
4.位冲激函数的傅里叶变换的意义一般来说，单位冲激函数的傅里叶变换可以增强信号处理和通信技术。
它可以有效地用于信号之间的滤波，包括数字信号处理、数字图像处理、数字信号处理等。
例如，可以使用单位冲激函数的傅里叶变换来对图像进行锐化和去噪处理，从而提高图像的清晰度和可见性。
此外，研究单位冲激函数的傅里叶变换还有助于更深入地理解单位冲激函数的特性。
常用信号的傅里叶变换
2π
f t
1
O
t
F j
1
O
第 7
页
F j
1
O
1 f t
2π
O
t
X
五．符号函数
第 8
不满足绝对
页
f
(t
)
sgnt
1, 1,
t 0 可积条件 t0
s gn( t )
1
e t
处理方法：做一个双边函数
f1 t sgnt e t ，求F1 j ，
e t O 1
t
求极限得到F j。lim e t 1
f (t) E, t
不满足绝对可积 条件，不能直接
f t
用定义求 F j
E
O
t
(t) (t)e jtdt =1
(t ) 1 1 e jtd 2
(t) 1
1
e
jt
d
2
() 1
1
e
jt
dt
2
t ,
E 2π E
t
X
比较
(t) 1
E 2E ( )
F1
j
0
e
0
et j t
d
t
e t ej t d t
0
1
j
1
j
j2 2 2
F j
limF1 j 0
j2
lim 0 2 2
2
j
X
频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F
j
2 2
2
F j 是偶函数
arctan
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 由 cos 0 t
1 j 0 t j 0 t (e e )， 2 有 F2 ( ) [ f 2 ( t )]
1 j 0 t j 0 t [ ]) [ ] e ( e 2 π ( 0 ) π ( 0 ) .
0
0
休息一下 ……
11
§8.2 单位冲激函数 第 附：单位冲激函数的其它定义方式 八 1 / , 0 t , 章 方式一 令 ( t ) 其它 , 0, 傅 里 则 ( t ) lim ( t ) . 叶 0 变 换 方式二 (20 世纪 50 年代，Schwarz) 单位冲激函数 ( t ) 满足
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
§8.2 单位冲激函数
一、为什么要引入单位冲激函数 二、单位冲激函数的概念及性质 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 四、周期函数的 Fourier 变换
1
§8.2 单位冲激函数 第 上次要点： (1) Fourier 变换(简称傅氏正变换) 八 章 F (ω) f ( t ) e j t d t [ f ( t )] (2) Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换) 傅 1 j t 1 里 f (t ) F ( ) e d [ F ( )] 2π 叶 （3） f(t) 的傅里叶积分公式： 变 1 换 j t j t f (t ) [ f ( t ) e d t ] e dω 2π 1 t Re 0 (4) 3个常用公式： e dt ,
1 Βιβλιοθήκη (t )t (t ) (t ) d t (0) ,
其中， ( t ) C 称为检验函数。
(返回)
12
就可表示为 P ( x ) m ( x ) .
3
§8.2 单位冲激函数 第 2. 单位冲激函数的性质 八 章 性质 (1) 筛选性质 傅 里 叶 变 换
P193 性质 8.1
设函数 f (t ) 是定义在 ( , ) 上的有界函数， 且在 t 0 处连续，则
(t ) f (t ) d t
j t e d 2 π (t ) . 重要公式
5
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P195 例8.7 修改
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
1 e j t d t
2 π ( ) 2 π ( ) .
1 2π ( 0 ) 2 π ( 0 ) 2i i π ( 0 ) ( 0 ) .
8
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
练习2 求函数 f (t)= e
i 0t
的傅里叶变换.
i( 0 ) t e d
即得 F2 ( )
6
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
P195 例8.7 部分 P196 例8.9
解 (1) F1 ( )
[ f1 ( t ) ]
e
j 0 t
e j t d t
F2 ( ) π
j ( 0 ) t e d t 2 π ( 0 ) 2 π ( 0 ) .
(2) 将等式
j t e d t 2 π ( ) 的两边对 求导，有
( j t ) e j t d t 2 π ( ) , t e j t d t 2 π j ( ) ,
[ f 2 ( t )] 2 π j ( ) .
f (t0 ) .
f ( 0) .
一般地，若 f (t ) 在 t t 0 点连续，则
(t t0 ) f (t ) d t
P194 性质 8.2
(2) 对称性质
函数为偶函数，即 (t ) (t ) .
4
§8.2 单位冲激函数 第 三、单位冲激函数的 Fourier 变换 八 利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： 章 j t 1. [ ( t ) ] ( t ) e j t d t e t 0 傅 里 即 ( t ) 与 1 构成Fourier变换对 (t ) 1 . 叶 按照 Fourier 逆变换公式有 变 换
0
e e 余弦函数 cosz 2
iz
iz
,
e e 正弦函数 sin z 2j
iz
iz
.
2
§8.2 单位冲激函数 第 二、单位冲激函数的概念及性质 八 章 1. 单位冲激函数的概念 定义 单位冲激函数 ( t ) 满足： 傅 里 P193 (1) 当 t 0 时， (t ) 0 ; 叶 变 (2) ( t ) d t 1 . 换 单位冲激函数 ( t )又称为 Dirac 函数或者 函数。 显然，借助单位冲激函数，前面引例中质点的密度函数
解
F ( )
i 0t i t e e dt
2π ( 0 ),
ei0t和 2π ( 0 ) 互为傅里叶变换和傅里叶逆变换.
9
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
课后练习
P210：习题八 6（2）。
10
10 10
§8.2 单位冲激函数 第 八 章 傅 里 叶 变 换
7
§8.2 单位冲激函数 第 练习1 求正弦函数 f (t)=sin 0t 的傅里叶变换. 八 i 0t i 0t e e i t 章 解 F ( ) sin t e i t dt e dt 傅 里 叶 变 换
0
2i
1 i( 0 ) t i( 0 ) t e e dt 2i