结构力学课件位移法对称性
结构力学第8章位移法(f).
9 Fl 22 Fl 2 Z1 ， Z2 552 i 552 i
结构的最后弯矩图可由叠加法绘制： M
M1Z1 M 2 Z 2 M P
内力图校核同力法，略。
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
位移法计算步骤
（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加
一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
6i r12 l
Fl R1P 8
6i r21 l
15i r22 2 l
F R2 P 2
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
§8-3 位移法的基本未知量和基本结构
确定独立的结点线位移另种一方法
把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。 此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。 此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变， 添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水 平支座链杆，体系成为几何不变的。
自由项 作
位移法基本方程
Z1 1 及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。
由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i 由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN· m
i
EI 8m
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
将 r11和R1P代入方程求出
R1P 4kN m Z1 r11 i
r11Z1 r1i Z i r1n Z n R1P 0 ri1Z1 rii Z i rin Z n RiP 0 rn1Z1 rni Z i rnn Z n RnP 0
结构力学位移法PPT_图文
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移 结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架 和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度 方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元 刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作 用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架
西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用
7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。
截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。
EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。
2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。
可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。
因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。
对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。
在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。
1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。
（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。
1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。
结构力学位移法ppt课件
为了消除基本结构与原
Z1
结构的差别，在结点1的附
R11
加约束上人为地加上一个外
Z1
力矩R11，迫使结点1正好转
动了一个转角Z1，于是变形
复原到原先给定的结构。
.
R1P
P
基本结构
=
+
Z1
R11
Z1
.
结点1正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再 起作用，其数学表达式为：
R1=0 即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附 加约束反力矩等于零。
.
R1P
P
在基本结构上加上原来的 力P，由于附加刚臂不允许结 点1转动，此时只有梁lB发生 变形，梁1A则不变形。
基本结构
此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时 针为正。于是，基本结构与原结构就发生了差别，表现为：
1．由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动 的。
.
2．由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有 这个约束反力矩的。
结构 力学Ⅱ
STRUCTURE MECHANICS
南华大学建资学院道桥教研室
.
结构力学Ⅱ
讲 授： 课件制作：
刘华良 刘华良
南华大学建资学院道桥教研室 衡阳 2005年
.
第八章 位移法
(Displacement Method)
.
内容
位移法的基本概念
等截面直杆的物理方程
位移法基本未知量数目的确定
位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程
+
2i A
B
2iB
4iB
y 由线性小变形，由叠加原理可得
+
6iAB/l
结构力学-第六章-位移法1
§8-2 等截面直杆的转角位移方程 3、一端固定、一端定向的等截面直杆
MAB A A
A
β AB
F EI
B
B
AB
F S AB
l F S AB
MBA
令式（8-3）的 FSBA=0,ΔAB是θA 和θB的 函数，转角位移方程 为
F M AB i AB A i AB B M AB F M BA i AB A i AB B M BA
2. 荷载等外因引起的弯矩 荷载等外因引起的弯矩成为固端弯矩，同样可 F F 用力法求解，表示 M AB ，M BA 。 由杆端位移及荷载等外因共同引起的弯矩为：
6i F X M 4 i 2 i M AB A B AB AB 1 l X M 4i 2i 6i M F 2 BA B A AB BA l
qzhou85126com位移法概述等截面直杆的转角位移方程位移法的基本未知量和基本结构位移法的典型方程及计算步骤直接由平衡条件建立位移法基本方程对称性的利用6616666基本要求掌握位移法的基本原理和方法以及基本未知量和基本结构的确定
3` 1
Structural Mechanics
结构力学
周 强
土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85@
第6章
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4
§6-5 §6-6
位移法
概述
等截面直杆的转角位移方程
位移法的基本未知量和基本结构
位移法的典型方程及计算步骤
直接由平衡条件建立位移法基本方程 对称性的利用
基本要求
掌握位移法的基本原理和方法，以及基本未知量和基本
结构力学位移法解析
第十章位移法§10－1 概述位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。
基本概念：以刚架为例（图10-1）基本思路：以角位移Z1为基本未知量平衡条件——结点1的力矩平衡位移法要点：一分一合①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力）③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程§10－2 等截面直杆的转角位移方程单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程矩阵形式一、端（B端）有不同支座时的刚度方程（1）B端固定支座（2）B端饺支座（3）B端滑动支座二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20）（1）两端固定（2）一端固定，一端简支（3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出）三、一般公式叠加原理杆端位移与荷载共同作用杆端弯矩：（10-1）位移法意义（对于静定、超静定解法相同）基本未知量－被动（由荷载等因素引起）→按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力→结点满足平衡正负号规则——结点转角（杆端转角）弦转角——顺时针为正杆端弯矩位移法三要素：1.基本未知量－独立的结点位移2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。
3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致（平衡条件）§10－3基本未知量的确定角位移数＝刚结点数（不计固定端）线位移数＝独立的结点线位移观察几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点铰结体系的自由度数＝线位移数――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。
§10－4典型方程及计算步骤典型方程（10－5、6）无侧移刚架的计算无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ∆∆==、图（3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ（4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ）(5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－5 直接建立位移法方程求解步骤：（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，（2）写杆端弯矩（转角位移方程）（3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i(4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=§10－6 对称性利用对称结构对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称（M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称）反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称（M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称）—— 取半跨对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载§10－7支座位移和温度改变时的计算一、支座位移的计算超静定结构：支座有已知位移 —— 引起内力位移法计算：基本未知量、（基本体系）、基本方程及解题步骤与荷载作用时一样 区别在于固端力——自由项： R 1P ——荷载引起R 1C —— 支座位移引起二、温度改变时的计算与支座位移相同，超静定结构：温度改变 —— 内力固端力（相当荷载作用）（表11—1，5、11、15）Δt = t 1 — t 2 ——M 图，受拉面在温度铰低一侧。
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学-位移法-PPT(1)
五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和 原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB
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rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影 响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反 力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平 仅某一几何不变部分承受一平 衡力系时，其它部分仍将产生 衡力系时，其它部分不受力。 内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属 部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢 谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章 位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化 作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M
系数（j = 1，2）;
33 表示单位多余未知力引起的本方向的位移影响系数。
由反力－位移互等定理 kij ji
2
M M P Zi M i X 3M 3 i 1
Z1 1 r21
r11 4i
2Ai
2i 4i 4i
δ31
M1
2i
l
r13
r23
A
δ33
2i
r12
Z2 1
r22
4i
A
2i 4i 4i δ32
在荷载作用下，仅利用平衡条 在荷载作用下，需同时考虑平
件即可求得全部反力和内力。 衡、变形和应力应变关系才可
解答具有唯一性。内力分布仅 唯一确定解答。内力分布不仅
与杆件的几何尺寸有关，与杆 与杆件的几何尺寸有关，而且
件刚度无关。
与杆件间的相对刚度有关。
静定结构
超静定结构
非荷载因素作用不仅可以引起变形，
l
l
l
解 （1）各柱子温度均匀升高只引起柱顶的竖向位移，没有 引起内力。
（2）各横梁温度均匀升高引起横梁的轴向伸长，使各柱 子顶点发生水平侧移。
每个横梁的伸长为
tl
则各柱顶的水平侧移如图所示。
2 3 2
温度变化引起的位移 与EI大小无关，内力 与EI大小有关。
5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
ql
q
l
A
l
l
l
l
ql
Z1 q Z2 A X3
r11Z1 r12Z 2 r13 X 3 R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r23 X 3 R2P 0
31Z1 32Z2 33 X 3 3P 0
基本方程
r11Z1 r12Z 2 r13 X 3 R1P 0 r21Z1 r22Z 2 r23 X 3 R2P 0
第六章 位移法
6.4 对称性的利用
Utilization of symmetry of structures
1. 对称性的利用
EI 2q EI
EI
2EI
EI
l
l
正对称
q
h
反对称
q
q
q
对称结构在正对称荷载作
q
用下内力、反力和变形皆正对
称，故取半结构计算。由半结
构特点采用位移法较好。
q
q
对称结构在反对称荷载作
3i / 8l 3i / 4l
R1c 3i / l
R1C
3i l
MC
Z1 3 / 8l
M M1Z1 Mc
支座移动引起的位移与EI大 小无关，内力与EI大小有关。
2. 温度变化
求图示排架由于温度均匀升高t℃所产生的弯矩。各横梁的 截面尺寸相同，各立柱线刚度i 相同，温度膨胀系数为α。
h
l
l
M2
2i
1 8
ql
2
R1P
R2P
A ql 2 Δ3P
X3 1
M3
MP
第六章 位移法
6.7 超静定结构的特性
Characteristics of statically indeterminate structures
将静定结构与超静定结构进行比较
静定结构
无多余约束的几何不变体系
超静定结构
有多余约束的几何不变体系
method
1. 位移法和力法的比较
• 共同点：原结构 基本结构 消除差别 典型方程 • 基本未知量 • 基本结构 • 基本方程：方程的物理意义；系数的意义、特点和计算方法；
最后的弯矩图的绘制。 • 内力图的校核 • 适用范围
2. 位移法和力法#43; P/2
P/2
EI
非荷载因素作用不引起反力和内力， 而且可能引起反力和内力。反力和
但能引起变形和位移。
内力的大小与杆件的绝对刚度成正
比。
几何不变部分上的外荷载作等效变换 任何超静定部分上荷载有所变化时
时，仅影响荷载变换部分的内力，荷 都将影响其它部分的内力，荷载作
载作用的影响是局部的。
用的影响是全局的。
几何不变部分在保持连接方式和荷载 超静定结构内力与结构的刚度分布 不变的情况下，用其它几何不变部分 有关，所以改变几何不变部分将使 代替，结构的其它部分内力不变。 结构内力产生变化。
用下内力、反力和变形皆反对
q
称，故取半结构计算。而此半
结构仍具有对称结构特点。继
续分解。
q/2
q/2 q/2
q
q/2
q/2 q/2
利用对称性将结构分解成最简形式，而每个最简形式都是只 含一个变量的超静定结构，可分别采用位移法和力法求解（联合 法）。最后将半结构的结果叠加得原结构的解答。
第六章 位移法
力法:6个未知量
P/2
P/2
位移法:6个未知量
部分力法,部分位移法:4个未知量
3. 位移法和力法的混合应用
联合法是一个计算简图用同一种方法，联合应用力法、位移法。
混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。 超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。 超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。