组合数学第一章基本计数问题

组合数学
一、基本计数问题 二、鸽巢原理 三、容斥原理 四、递推关系 五、生成函数
一、基本计数问题 1.1 加法原则与乘法原则 1.2 排列与组合 1.3 多重集合的排列与组合 1.4 二项式系数 1.5 集合的分划与第二类Stirling数 1.6 正整数的分拆 1.7 分配问题
1.1 加法原则与乘法原则
推论1.1.2 设n个有限集合
则
则
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例2： 从5位先生、6位女士、2位男孩和4位女孩中选取 1位先生、1位女士、1位男孩和1位女孩，有多少 种方式？从中选取一个人的方式有多少种？ 例3： 从1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？
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1.2 排列与组合
当n为奇数时，有
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组合恒等式： 组合恒等式： 等式1：
等式2：
等式3：
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等式4：
等式5：
等式6：
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定理1.4.3 (多项式定理) 多项式定理) 则 设n为一正整数，
其中： 求和号是对所有满足 序列 求和。
多项式系数 的非负整数
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就称其为X上长度为
例如 若M={a,b,c,d},且有顺序a<b<c<d,则acc是一个增字. 定理1.3.5 设集合 长度为n的增字共有 是一全序集， 则X上
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1.4 二项式系数
定理1.4.1 (二项式定理) 设n为一正整数， 则对任意 二项式定理) 的x和y，有
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n元集合S的一个r 排列是指从S中选出r个元素,然后 将其按次序排列。 记为P(n,r)。当r=n时，称为全排列。 则 定理1.2.1 设n，r为正整数，
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例1： 将a,b,c,d,e,f 进行排列，问： （1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？ （2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？ 例2： 从{1,2,…,9}中选出不同的7个数字组成七位数， 要求5与6不相邻， 问有多少种方法？
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定理1.4.2 对一切实数α和x (|x|<1), 有
当α=-n时：
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当α=1/2时：
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二项式系数的基本性质： 二项式系数的基本性质： 当n,r为非负整数，且n≥ r时： （1）对称关系：
（2）递推关系：
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（3）单峰性： 当n为偶数时，有
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例1： 展开 系数是多少？ 例2： 展开 多少？ 问
问
的
的系数是
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多项式系数的基本性质： 多项式系数的基本性质：
1.若端求和号中所包含的项数是方程： 的非负整数解的数目， 2.在多项式定理中，令 则有
的n 排列数
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例1： 用26个英文字母可以构造出多少个包含4个元音 字母、长度为8的字符串。
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定理1.3.2 多重集合 排列数为： 例2：
的全
(m,n) 从(0,0)点沿水平和垂直 道路可以走到(m,n)点， 问有多少种走法？
(0,0) 例3： 将6个蓝球，5个红球，4个白球，3个黄球排成一 行， 要求黄球不挨着， 问有多少种排列方式？
加法原则:设事件A有m种选取方式,事件B有n种选取方式, : 则选A或B共有m+n种方式. 定理1.1.1 设A,B为有限集， 则
推论1.1.1 设n个有限集合
满足
则
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例1： 在所有六位二进制数中， 至少有连续4位是1的有 多少个？
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乘法原则:设事件A有m种选取方式,事件B有n种选取方式, : 则选取A以后再选取B共有m·n种方式. 定理1.1.2 设A,B为有限集， 则
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定理1.3.3 多重集合
的r组合
例4： 从M={1,2, …,n}中能够取出多少个长为r的递增序 列 使得 要求
定理1.3.4 多重集合 至少出现一次的r组合数为
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定义1.3.1 设集合
是一个全序集， 那么由X 中的n个字母构成的字符串
只要 n的增字。
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定理1.2.2 n元集合的r圆排列数为：
例如：集合S={1,2,3,4}有6个4圆排列。 例3： 10个男生和5个女生聚餐，围坐在圆桌旁， 任意两 个女生不相邻的坐法有多少种？
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n元集合S的一个r组合是指从S中选出r个元素的一种 无序选择。 其组合数记为
定理1.2.3
则
推论1.2.1
则
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例4： 系里欲将6名保送研究生推荐给3个单位， 每个单 位2名，问有多少种方案？ 如果没有三条对角 例5： 在一个凸n(n>3)边形C的内部， 线共点， 求其全部对角线在C内部的交点的个数。
定理1.2.4 对任意正整数n ，有
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例6： 单射函数
的个数等于P(m,n)， 其中，
例7： 求至少出现一个6且能被3整除的五位数的个数。 例8： 某车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人， 问9人小组共有多少种进站方案？
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1.3 多重集合的排列与组合
多重集合表示为： 为M中所有的互不相同的元素， M中有 是正整数， 也可以是∞。 定理1.3.1 多重集合 的r排列 其中