第二章静电场题解
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 静电场
(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）
2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中
心处放置电荷量为Q 的点电荷。问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。
解 如图建立坐标系，可得
x x x x a Q a a q E e e e 2/12242122142
22
⨯
⨯
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⨯+=
πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2
/12
2421
221420
22
0⨯
⨯
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⨯+=
πεπε
据题设条件，令 022421=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+Q q ， 解得 ()2214
+-=q Q
2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。
1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位；
2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。 解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为
()x x
x
e E -=
2
04d d πετ，x
x
04d d πετϕ
=
由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为
()()()x l
l
x l
l
l
x
x
e e E E -=
-=
=
⎰⎰032
0364d d 0πετ
πετ
()3ln 44d d 00
303l
πε
τ
πετϕϕ=
=
=
⎰
⎰
l
l
l
x
x
2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴
上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为
()r r
y
e E -=
2
04d d πετ，r
y
04d d πετϕ
=
式中，θ
θ2
cos d 2d l
y =，θ
cos 2l r =
，5
14sin 2
2
=
+=
l
l l
α，分别代入上两式，并
考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为
()l
l
l
r
y
l x
x
x
x 000
00
2
00
54sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπετα
α
αe e e e E E =
=
=
==⎰
⎰
⎰
()0
1
00
24.042
1tan
21tan ln 2cos d 4d 20,2πετ
ππε
τ
θ
θπε
τ
ϕϕα
α
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=
=
=-⎰
⎰l
2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。求圆盘轴线上到圆心距离为b 的场点的电位和电场强度。
解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z 轴与面电荷轴线重合。场点P 的坐标为()b ,,0α。在带电圆盘上取一个电荷元σα'''r r d d ，源点坐标为()''r ,,α0。由电荷元产生的电位 d d d ϕσαπε=
'''r r R
40
计算P 点电位时，场点坐标()b ,,0α不变，源点坐标()''r ,,α0中'r 'α是变量。 2
2b r R +'=
整个圆盘形面电荷产生的电位为
(
)
(
)
b
b a b
b
a a b
r r r a
b
r r r -+-+=
+'''=
+''''=
⎰
⎰⎰
2
2
2
2
20
2
2
20
2
20
2=
22d 4d d εσεσεσπε
ασϕπ
根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有e z 方向的分量 z z z b
a b b
b b
a b z
e e e E ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
-
+-
=-=-∇=2
2
02
2
2
0122εσεσ∂∂ϕϕ
2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。
1）34e e e y x z +- 2）x y z x z e e e y +-4 3） y z x x z e e e y +-4 4）r r e （球坐标系）5）r 2e α（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得
1）()01
43
43=-∂∂∂∂∂∂=
-+⨯∇z y x x y x
z x e e e e e e y
2）()044=-∂∂∂∂∂∂=
-+⨯∇z
y x
z y x z y x x y x
z x e e e e e e y