场论基本公式PPT课件
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第01章 场论
1.2 场的概念
显然，标量场 u 的等值面方程为 u = u ( x, y, z ) = C，C 为常数。C 取 不同的数值，就得到不同的等值面。如图所 示，当 C 遍取所有可能的值时，这组等值面 就充满标量场所在的空间，且两两互不相交。 这是因为，在每点 M 0 ( x0, y0 , z0 ) 都有一个等值 面 u ( x, y, z ) = u ( x0, y0 , z0 ) 通过，由于函数 u 是单 值的，所以一个点只能在一个等值面上。在 二维空间中，等值面退化为等值线。若按固定的差值 ∆C ，取一 系列常数 C，则可得到一系列场值等差的等值面(线)。这样这些 等值面(线)的疏密程度就反映了物理量变化的快慢，如等高线。
ˆ ˆ ˆ 同方向的单位矢量称为坐标矢量，如直角坐标系下的 x、y、z。这
ˆ ˆ ˆ 样，上面的矢量 A 可写成： Α = Ax x + Ay y + Az z
二、点积与叉积 1. 点积(或称标量积、内积) 设矢量 A 与 B 方向的夹角为
θ ∈ [ 0, π ]，则 A 与 B 的点积为：
Α ⋅ Β = A B cos θ
当 A、B 均不为0时，若 A × B = 0，则 A∥B (判断平行)
1.1 引言
三、常用矢量
ˆ 1. 曲线、曲面上任意一点处的法向单位矢量一般用 n 表示，切向
单位矢量一般用 tˆ 表示。 2. 矢径：起始于原点，终止于任意点 M(x,y,z) 的矢量定义为 M点 的矢径，记为 r ，则有：
ˆ ˆ ˆ r = xx + yy + zz， | r |= r = x 2 + y 2 + z 2
cos β、cos γ 称为方向余弦。
所以有： Ax = A cos α，Ay = A cos β，Az = A cos γ
数学分析课件 场论初步
则是对于曲线 L 的弧长元素向量. 对后者说明如下: 设 t (cos ,cos ,cos ) 是曲线 L 在各点处的正向 单位切向量, 弧长元素向量即为 ds t ds .
把公式 (3) 改写成 rot A n d S A t ds .
当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作
grad u u .
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注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”.
梯度有以下一些用 表示的基本性质:
1. 若 u, v 是数量函数, 则
( u v ) u v .
2. 若 u, v 是数量函数, 则
前页 后页 返回
z 2 2 2 3/ 2 z ( x y z )
0.
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因此引力场 F 在每一点处的散度都为零 ( 除原点没
有定义外 ).
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设 A( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q( x , y , z ) j R( x , y , z ) k
S L
(4)
对上式中的曲面积分应用中值定理, M S , 使得
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rot A n d S rot A n
S
M
S
L
A t ds .
在 S 上任取一点 M 0 . 令 S 收缩到 M 0 ( 记作 S M 0 ), 则同时有 M M 0 , 对上式取极限, 得到 1 rot A n lim A t ds . L S M 0 S M0
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
场论,标量场的梯度, 矢量场的散度和旋度ppt课件
若S 为闭合曲面
SA dS
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S
物理意义：表示流入和流出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 20
2、散度的物理意义及特点：
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 表示矢量场在一点处的流入或流出的大小
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间位置的函数；
22
divA 0
发射源／正源
divA 0
吸收源／负源
divA 0
无源
23
散度 Divergence of a vector field
L
l1 xex ;l2 yey ;
l3 x(ex );l4 y(ey )
l3 l4
Ax (3)
Ax (x,
y y, z)
Ax (1)
Ax y
y
Ay (2)
Ay (x
x,
y, z)
Ay (4)
Ay x
x
y
A
x
(x, y, z) l1
A•
dl
(
Ay
Ax
)xy
L
x y
( A)z xy ( A)nˆ S
21
散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
场论初步课件
m r
为引力势.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
散度场 ur 设 A( x, y, z) P( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
为 V 上的一个向量场. 称如下数量函数:
D( x, y, z) P Q R
则同时有 M M0 , 对上式取极限, 得到
Ò ur
div A(M0 )
lim V M0
1 V
ur uur A dS .
S
(2)
这个等式可以看作是散度的另一种定义形式.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
ur 散度的物理意义 联系本章§2中提到的, 流速为 A
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§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
相对应. 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数,
并假定它们有一阶连续偏导数.
设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 ur
方向都与向量函数 A 在该点的方向一致, 即
dx dy dz ,
方向上的方向导数.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§4 场论初步 场的概念 梯度场
散度场
旋度场
管量场与有势场
因为数量场 u( x, y, z) 的等值面 u( x, y, z) c 的法线
方向为
u x
,
u y
,
场论基础
( A) 0
推论：如果一个矢量场是无散的，则
该场可用矢量场的旋度表示
B 0 B A
51
亥姆霍兹定理应用举例
根据亥姆霍兹定理，任意矢量场可以分解 成无散场部分和无旋场部分的叠加
F Fcurl Fgrad
其中：
Fcurl 0 F Fgrad
其中， cosα、 cos β、 cos γ为l方向上的方向 余弦。
27
梯度的引入
u u u u cos cos cos l x y z
u u u u ( ex ey ez ) (cos ex cos ey cos ez ) l x y z
Fgrad 0 F Fcurl
52
亥姆霍兹定理应用举例
Fcurl 0 Fcurl A
Fgrad 0 Fgrad
任意矢量场可以表示为
F A
53
应掌握内容
三个坐标系统：直角坐标系、圆柱坐标 系和球坐标系；
A d l
L
该环量表示绕线 旋转趋势的大小。
43
环量面密度
d 1 lim dS S 0 S
L
A dl
取不同的路径，其环 量面密度不同。
44
引入旋度的原因
环量面密度描述的是一个面积上“旋转” 强度的情况，是一个“宏观”的物理量， 如果要知道场中一点处“旋转”最强的方 向，应如何考虑？
其中， el cosex cos ey cos ez 是l方向上的 单位矢量；
u u u ex ey ez 定义梯度：gradu x y z
场论中的常用基本公式
并且容易看到 Nabla 算子还是一个线性算子. 现在我们来考虑从 R 到 R 的算子 Φ ,显然 ∇ 与 Φ 的内积是有意义的.容易看到, ∇ 就
3 3
是一个 R 到 R 的算子,从而我们考虑 ∇ 与 ∇ 的内积
3 3
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
+ + dxdydz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z
∂Ω Ω
∂P∂Q∂R Fra bibliotek(9)
′ cos )′是 ∂Ω 上的与诱导定向同方向的单位法向量,并记 dS 是曲面 若记 n = (cos ′, cos ,
∂Ω 的面积微分,那么投影面积向量微分为 dS = ndS .若再记体积微分 dxdydz 为 dV ,那么(9)
我们把 ∆ 定义为 ∇ ⋅∇ ,并称 ∆ = ∇ ⋅∇ =
∂2 ∂2 ∂2 为 Laplace 算子. + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
3 3
现在我们考虑更一般的情况,不妨设 R 到 R 的算子 Φ 为
Φ ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) )
Ω ∂Ω
∂f
(16)
同理在(11)中令 Φ = f ∇g ,那么利用(13)就可以得到 Green 第二公式
∫∫∫ ( ∇f ⋅∇g + f ∆g ) dV = ∫∫ f ∂n dS
Ω ∂Ω
∂g
(17)
用(17)式减去(16)式可以得到
f − g dS ∫∫∫ ( f ∆g − g ∆f ) dV = ∫∫ ∂n ∂n
3 3
是一个 R 到 R 的算子,从而我们考虑 ∇ 与 ∇ 的内积
3 3
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
+ + dxdydz ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ∂x ∂y ∂z
∂Ω Ω
∂P∂Q∂R Fra bibliotek(9)
′ cos )′是 ∂Ω 上的与诱导定向同方向的单位法向量,并记 dS 是曲面 若记 n = (cos ′, cos ,
∂Ω 的面积微分,那么投影面积向量微分为 dS = ndS .若再记体积微分 dxdydz 为 dV ,那么(9)
我们把 ∆ 定义为 ∇ ⋅∇ ,并称 ∆ = ∇ ⋅∇ =
∂2 ∂2 ∂2 为 Laplace 算子. + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
3 3
现在我们考虑更一般的情况,不妨设 R 到 R 的算子 Φ 为
Φ ( x, y, z ) = ( P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ) )
Ω ∂Ω
∂f
(16)
同理在(11)中令 Φ = f ∇g ,那么利用(13)就可以得到 Green 第二公式
∫∫∫ ( ∇f ⋅∇g + f ∆g ) dV = ∫∫ f ∂n dS
Ω ∂Ω
∂g
(17)
用(17)式减去(16)式可以得到
f − g dS ∫∫∫ ( f ∆g − g ∆f ) dV = ∫∫ ∂n ∂n
数学物理方法课件：场论的基本概念
的模，称矢量G(M)为函数u在点M处的梯度
u |{u , u , u}| cos({cos , cos , cos },l0 )
l x y z
G gradu {u , u , u} x y z
G gradu u i u j u k x y z
i, j, k 分别是x, y, z方向的单位矢量。
间形成的电势场）
u 1
q
4 x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
引力场： u M
1
G x2 y2 z2
求解任意点M(x, y, z)的梯度。
方向导数、梯度的数理含义
数学含义： 数量场中每一点M处的梯度，必垂直于过该点的场 函数的等值面u(x, y, z)=c（常数）, 并指向函数增大 的方向。
场论的基本概念
《数理方法》课程必备基础； 在弹性力学、流体力学、电磁学等学科中具有应 用广泛； 掌握场论基本概念及其计算方法，对数理方程的 学习至关重要；
场的概念
场 如果在全空间或部分空间中的每一点，都对应 着某个物理量的一个确定的值，就称这空间里确定 了该物理量的场。
场的实例 温度场、密度场、电势场； 重力场、流场、加速度场；
x2 y2 z2
1
2k
a
3
x2 y2 z2
1 2
x
a
20
x2 y2 z2
grad及div a ,其中
x2 y2 z2
1. 2
解：grad i j k
x y z
x
x2 y2 z2
3
2 i y
x2 y2 z2
3
2j
z
x2 y2 z2
3
2k
场论基本公式
4
4
5
定理 1 (Green公式)
D R2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函数P, Q C 1(D);
则
D
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy
L
5
5
证 不失一般性，以下
y
C
y y2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
1
3
再用Gauss公式
29
29
1
1 4 3
3
(1 1 1)dxdydz
x2 y2 z2 2
3 3
3
4
3. Stokes 公式
将Green公式推广至空间，Stokes 公 式给出了沿空间曲线C的第二型线积分与 C上所张开的曲面的面积分之间的关系。 ( C 作为该曲面的边界曲线也可记为 D )
22
22
例3 求曲面积分
I x3dydz y3dzdx (z3 x2 y2 )dxdy
S
其中(1) S为球面 x2 y2 z2 R2外侧；
(2) S为上半球面 z R2 x2 y2上侧 .
解 (1) 由Gauss公式，可得
I
V
x
(x3)
y
(
y3)
z
(z3
x2
y2 )dxdydz
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
D R3 为空间有界闭区域； D 的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P, Q, R C 1(D);
4
5
定理 1 (Green公式)
D R2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函数P, Q C 1(D);
则
D
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy
L
5
5
证 不失一般性，以下
y
C
y y2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
1
3
再用Gauss公式
29
29
1
1 4 3
3
(1 1 1)dxdydz
x2 y2 z2 2
3 3
3
4
3. Stokes 公式
将Green公式推广至空间，Stokes 公 式给出了沿空间曲线C的第二型线积分与 C上所张开的曲面的面积分之间的关系。 ( C 作为该曲面的边界曲线也可记为 D )
22
22
例3 求曲面积分
I x3dydz y3dzdx (z3 x2 y2 )dxdy
S
其中(1) S为球面 x2 y2 z2 R2外侧；
(2) S为上半球面 z R2 x2 y2上侧 .
解 (1) 由Gauss公式，可得
I
V
x
(x3)
y
(
y3)
z
(z3
x2
y2 )dxdydz
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
D R3 为空间有界闭区域； D 的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P, Q, R C 1(D);
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1. 梯度、散度、旋度 2. 旋度与环量，Stokes公式的向量形式 3. 散度与通量，Gauss公式的向量形式 4. 几种场 —无旋场 、无源场 、调合场
3
§6 Stokes公式—多元微积分学基本定理 一、多元微积分学基本定理 1. Green 公式
Green公式反映了第二型平面线积分与 曲线所围区域上的二重积分的联系. 平面上的单连通域与复连通域：
凸单连通区域：
A yy1(x)
oa
bx
D {x ,( y )y 1 (x ) y y 2 (x )a , x b }由,于
P dxdy
b
y2 ( x) P
x) y
6
b
a[P (x,y2(x) )P (x,y1(x))d]x
b
a
a
P(x,
y1(x))d
所以
xdy ydx
xdy ydx
C
2
x2 y2
C
x2
y2
x cos
xdy ydx
x y 2
2
Cx2 y2 2
y sin
0 2co tc so t s2sit(n sit)n dt2
17
作业—
P. 245-习题6.8 —— N.1, 2, 4
18
2. Gauss 公式
10
()PdxQdy
C1逆 AB C2顺 BA
PdxQdy PdxQdy
C1 C2
D
推论 在定理1的条件下, D 的面积记为 A，
则
1
Ad
D
x
d y x
2D
dyyd.x
证明只须在 Green 公式 中令
Py,Qx, 即得。
11
例 1 计算 xy2dyyx2dx, 其中 C (1) C 为圆周x2y2R2 的正向；(2) C 为上半
在相反方向上各取一次而互相抵消。
(3) 对于复连通区域 D
9
我们可以如右图将 D
y
割一刀，将复连通域
C 2顺 B
变成单连通域，于是 D 的边界 (正向) 是如 下构成的:
D
A
C 1逆
o DC1逆C2顺 x
L C 1 逆 A B C 2 顺 BA
因此公式 仍成立
D Q x P ydxd L yPdxQdy
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
DR3 为空间有界闭区域； D的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P,Q,RC1(D);
19
D P x Q y R zdxdy SD (外 d)Pzd yQ dzd zR dx dx
Stokes
与场论初步
(1)
这部分内容的主要目的在于提高对多元微 积分中微分与积分这对主要矛盾的认识，并 了解其简单应用——场论初步。
其内容分为两个部分: 第一，多元微积分学基本定理——
1 Green定理 2 Gauss定理 统称 Stokes公式 3 Stokes定理
2
第二，学习和了解向量场的三“度” (梯度，旋度，散度)和 Stokes 公式 的向量形式；
0.6 0.4 0.2
B-(1R,0-)0.5
需要补上有向线段 BA 0.5 A(R1,0) 才能形成闭曲线
L：AmBBA，
xy2dyyx2dx
AmB
xy2dyyx2dx xy2dyyx2dx
LAmBBA
BA
y0,dy0
Green公式 (x2 y2)dxdy (00dx) R 4 2
D
BA
13
例2
求
I
C
xdy x2
yyd2 x，其中C
为任一不
通过原点的分段光滑的正向简单闭曲线.
y
C
1
解 C 不通过原点有两种情况
(1) C 的内部不含原点
C
2
D
C
o
如虚线 C 1 所示, 则
x
y P(x, y) x2 y2
与
Q(x, y)
x x2 y2
均在 C
内有连续偏导，
1
14
使用 Green 公式，因
x
b
P(x,
y2(x))dx
Pdx
CA
AB
BC
y
Pdx L
同理，若 D 为
d
xx1(y)
D{x (,y)|x1(y)xx2(y), c
xx2(y)
cyd} o
x
类似可证：
Q
D
dxdy
x
L
Qdy
7
把上 两式相加，便得到Green公式
DQ xP ydxdyDLPdxQdy
(2) 当D为非凸单连通区域时，如图
于是
P y2 x2 Q y (x2 y2)2 x
I
C1
xdy x2
ydx y2
1
Q x Pydxdy0
(2) C 的内部含有原点 (0,0), 如 C 2 , 这时
P, Q不满足Green公式条件,不能直接
用公式, 为能用公式只须除去(0,0)奇点，
15
为此，作一个半径足够小的圆C ，使其
A
可以把 D分割成几个凸 y 单连通区域, 在每个子域 C 1
3 C3
上由 (1) 知公式成立 , 再
1 C
用积分的可加性
o
2 L
B C2
x
8
D
Q x
P y
dxdy
123
Q x Pydxdy
3
PdxQdy PdxQdy
k1 Ck
L(D)
最后一个等号成立， 是因作为 1,2,3
的正向边界，由A B C 段的线积分恰好
圆周 y R2 x2, 方向从A (R ,0 )到 B ( R ,0 )。
解(1) 用格林公式计算这个线积分更方便些,
xy2dyyx2dx C
[(x2 y)(yx 2)d ] xdy
x D:x2y2R2
y
(y2x2)dxdy 2d Rr2rdr R 4
D
0
0
2
12
1m
0.8
(2) 这个上半圆非闭曲线，
4
5
定理 1 (Green公式)
D R 2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函P 数 ,QC1(D); 则
D Q x P yd
x
d yPdxQdy L
5
证 不失一般性，以下
y
C
yy2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
包含原点而又完全含在 C 2 所围区域之内，
于是在 C2所围区域除去 (C小 )的圆 D内,
P,QC1(D),满足Green公式条件, 因此
y
C
2
D
C
o
C
1
PdxQdy PdxQdy
D
C2 C
PdxQdyPdxQdy
x C2
C
16
Gre公 en式 D\x2y22 Q x P ydxd 0y
证 (只就 D为标准区域情形作证明)
并只证明
R
Dz
dxdydzRdxdy 外
其它两项的证明类似。 设区域：
D {x ,( y ,z )z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y )( x ,,y ) x } y
3
§6 Stokes公式—多元微积分学基本定理 一、多元微积分学基本定理 1. Green 公式
Green公式反映了第二型平面线积分与 曲线所围区域上的二重积分的联系. 平面上的单连通域与复连通域：
凸单连通区域：
A yy1(x)
oa
bx
D {x ,( y )y 1 (x ) y y 2 (x )a , x b }由,于
P dxdy
b
y2 ( x) P
x) y
6
b
a[P (x,y2(x) )P (x,y1(x))d]x
b
a
a
P(x,
y1(x))d
所以
xdy ydx
xdy ydx
C
2
x2 y2
C
x2
y2
x cos
xdy ydx
x y 2
2
Cx2 y2 2
y sin
0 2co tc so t s2sit(n sit)n dt2
17
作业—
P. 245-习题6.8 —— N.1, 2, 4
18
2. Gauss 公式
10
()PdxQdy
C1逆 AB C2顺 BA
PdxQdy PdxQdy
C1 C2
D
推论 在定理1的条件下, D 的面积记为 A，
则
1
Ad
D
x
d y x
2D
dyyd.x
证明只须在 Green 公式 中令
Py,Qx, 即得。
11
例 1 计算 xy2dyyx2dx, 其中 C (1) C 为圆周x2y2R2 的正向；(2) C 为上半
在相反方向上各取一次而互相抵消。
(3) 对于复连通区域 D
9
我们可以如右图将 D
y
割一刀，将复连通域
C 2顺 B
变成单连通域，于是 D 的边界 (正向) 是如 下构成的:
D
A
C 1逆
o DC1逆C2顺 x
L C 1 逆 A B C 2 顺 BA
因此公式 仍成立
D Q x P ydxd L yPdxQdy
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
DR3 为空间有界闭区域； D的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P,Q,RC1(D);
19
D P x Q y R zdxdy SD (外 d)Pzd yQ dzd zR dx dx
Stokes
与场论初步
(1)
这部分内容的主要目的在于提高对多元微 积分中微分与积分这对主要矛盾的认识，并 了解其简单应用——场论初步。
其内容分为两个部分: 第一，多元微积分学基本定理——
1 Green定理 2 Gauss定理 统称 Stokes公式 3 Stokes定理
2
第二，学习和了解向量场的三“度” (梯度，旋度，散度)和 Stokes 公式 的向量形式；
0.6 0.4 0.2
B-(1R,0-)0.5
需要补上有向线段 BA 0.5 A(R1,0) 才能形成闭曲线
L：AmBBA，
xy2dyyx2dx
AmB
xy2dyyx2dx xy2dyyx2dx
LAmBBA
BA
y0,dy0
Green公式 (x2 y2)dxdy (00dx) R 4 2
D
BA
13
例2
求
I
C
xdy x2
yyd2 x，其中C
为任一不
通过原点的分段光滑的正向简单闭曲线.
y
C
1
解 C 不通过原点有两种情况
(1) C 的内部不含原点
C
2
D
C
o
如虚线 C 1 所示, 则
x
y P(x, y) x2 y2
与
Q(x, y)
x x2 y2
均在 C
内有连续偏导，
1
14
使用 Green 公式，因
x
b
P(x,
y2(x))dx
Pdx
CA
AB
BC
y
Pdx L
同理，若 D 为
d
xx1(y)
D{x (,y)|x1(y)xx2(y), c
xx2(y)
cyd} o
x
类似可证：
Q
D
dxdy
x
L
Qdy
7
把上 两式相加，便得到Green公式
DQ xP ydxdyDLPdxQdy
(2) 当D为非凸单连通区域时，如图
于是
P y2 x2 Q y (x2 y2)2 x
I
C1
xdy x2
ydx y2
1
Q x Pydxdy0
(2) C 的内部含有原点 (0,0), 如 C 2 , 这时
P, Q不满足Green公式条件,不能直接
用公式, 为能用公式只须除去(0,0)奇点，
15
为此，作一个半径足够小的圆C ，使其
A
可以把 D分割成几个凸 y 单连通区域, 在每个子域 C 1
3 C3
上由 (1) 知公式成立 , 再
1 C
用积分的可加性
o
2 L
B C2
x
8
D
Q x
P y
dxdy
123
Q x Pydxdy
3
PdxQdy PdxQdy
k1 Ck
L(D)
最后一个等号成立， 是因作为 1,2,3
的正向边界，由A B C 段的线积分恰好
圆周 y R2 x2, 方向从A (R ,0 )到 B ( R ,0 )。
解(1) 用格林公式计算这个线积分更方便些,
xy2dyyx2dx C
[(x2 y)(yx 2)d ] xdy
x D:x2y2R2
y
(y2x2)dxdy 2d Rr2rdr R 4
D
0
0
2
12
1m
0.8
(2) 这个上半圆非闭曲线，
4
5
定理 1 (Green公式)
D R 2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函P 数 ,QC1(D); 则
D Q x P yd
x
d yPdxQdy L
5
证 不失一般性，以下
y
C
yy2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
包含原点而又完全含在 C 2 所围区域之内，
于是在 C2所围区域除去 (C小 )的圆 D内,
P,QC1(D),满足Green公式条件, 因此
y
C
2
D
C
o
C
1
PdxQdy PdxQdy
D
C2 C
PdxQdyPdxQdy
x C2
C
16
Gre公 en式 D\x2y22 Q x P ydxd 0y
证 (只就 D为标准区域情形作证明)
并只证明
R
Dz
dxdydzRdxdy 外
其它两项的证明类似。 设区域：
D {x ,( y ,z )z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y )( x ,,y ) x } y