场论基本公式PPT课件

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()PdxQdy
C1逆 AB C2顺 BA
PdxQdy PdxQdy
C1 C2
D
推论 在定理1的条件下, D 的面积记为 A，
则
1
Ad
D
x
d y x
2D
dyyd.x
证明只须在 Green 公式 中令
Py,Qx, 即得。
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例 1 计算 xy2dyyx2dx, 其中 C (1) C 为圆周x2y2R2 的正向；(2) C 为上半
凸单连通区域：
A yy1(x)
oa
bx
D {x ,( y )y 1 (x ) y y 2 (x )a , x b }由,于
P dxdy
b
y2 ( x) P
dx
dy
D y
a
y1 ( x) y
6
b
a[P (x,y2(x) )P (x,y1(x))d]x
b
a
a
P(x,
y1(x))d
4
5
定理 1 (Green公式)
D R 2为平面有界闭区域； L为 D 的边界曲线 (也记作D), 是由有
限条分段光滑的简单闭曲线围成；
函P 数 ,QC1(D); 则
D Q x P yd
x
d yPdxQdy L
5
证 不失一般性，以下
y
C
yy2(x)
分三种情况作证明.
DB
(1) 先设积分区域 D是
A
可以把 D分割成几个凸 y 单连通区域, 在每个子域 C 1
3 C3
上由 (1) 知公式成立 , 再
1 C
用积分的可加性
o
2 L
B C2
x
8
D
Q x
P y
dxdy
123
Q x Pydxdy
3
PdxQdy PdxQdy
k1 Ck
L(D)
最后一个等号成立， 是因作为 1,2,3
的正向边界，由A B C 段的线积分恰好
1. 梯度、散度、旋度 2. 旋度与环量，Stokes公式的向量形式 3. 散度与通量，Gauss公式的向量形式 4. 几种场 —无旋场 、无源场 、调合场
3
§6 Stokes公式—多元微积分学基本定理 一、多元微积分学基本定理 1. Green 公式
Green公式反映了第二型平面线积分与 曲线所围区域上的二重积分的联系. 平面上的单连通域与复连通域：
Gauss公式给出空间区域 D上的三重积分与 其边界面 S (也记作 D) 上的第二型曲面积分 之间的关系。
定理 2（Gauss公式）设
DR3 为空间有界闭区域； D的边界D 由分片光滑曲面组成；则 函数P,Q,RC1(D);
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D P x Q y R zdxdy SD (外 d)Pzd yQ dzd zR dx dx
Stokes
与场论初步
(1)
这部分内容的主要目的在于提高对多元微 积分中微分与积分这对主要矛盾的认识，并 了解其简单应用——场论初步。
其内容分为两个部分: 第一，多元微积分学基本定理——
1 Green定理 2 Gauss定理 统称 Stokes公式 3 Stokes定理
2
第二，学习和了解向量场的三“度” (梯度，旋度，散度)和 Stokes 公式 的向量形式；
0.6 0.4 0.2
B-(1R,0-)0.5
需要补上有向线段 BA 0.5 A(R1,0) 才能形成闭曲线
L：AmBBA，
xy2dyyx2dx
AmB
xy2dyyx2dx xy2dyyx2dx
LAmBBA
BA
y0,dy0
Green公式 (x2 y2)dxdy (00dx) R 4 2
圆周 y R2 x2, 方向从A (R ,0 )到 B ( R ,0 )。
解(1) 用格林公式计算这个线积分更方便些,
xy2dyyx2dx C
[(x2 y)(yx 2)d ] xdy
x D:x2y2R2
y
(y2x2)dxdy 2d Rr2rdr R 4
D
0
0
2
12
1m
0.8
(2) 这个上半圆非闭曲线，
所以
xdy ydx
xdy ydx
C
2
x2 y2
C
x2
y2
x cos
xdy ydx
x y 2
2
Cx2 y2 2
y sin
0 2co tc so t s2sit(n sit)n dt2
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作业—
P. 245-习题6.8 —— N.1, 2, 4
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2. Gauss 公式
在相反方向上各取一次而互相抵消。
(3) 对于复连通区域 D
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我们可以如右图将 D
y
割一刀，将复连通域
C 2顺 B
变成单连通域，于是 D 的边界 (正向) 是如 下构成的:
D
A
C 1逆
o DC1逆C2顺 x
L C 1 逆 A B C 2 顺 BA
因此公式 仍成立
D Q x P ydxd L yPdxQdy
于是
P y2 x2 Q y (x2 y2)2 x
I
C1
xdy x2
ydx y2
1
Q x Pydxdy0
(2) C 的内部含有原点 (0,0), 如 C 2 , 这时
P, Q不满足Green公式条件,不能直接
用公式, 为能用公式只须除去(0,0)奇点，
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为此，作一个半径足够小的圆C ，使其
D
BA
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例2
求
I
C
xdy x2
yyd2 x，其中C
为任一不
通过原点的分段光滑的正向简单闭曲线.
y
C
1
解 C 不通过原点有两种情况
(1) C 的内部不含原点
C
2
D
C
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o
如虚线 C 1 所示, 则
x
y P(x, y) x2 y2
与
Q(x, y)
x x2 y2
均在 C
内有连续偏导，
1
14
使用 Green 公式，因
x
b
P(x,
y2(x))dx
Pdx
CA
AB
BC
y
Pdx L
同理，若 D 为
d
xx1(y)
D{x (,y)|x1(y)xx2(y), c
xx2(y)
cyd} o
x
类似可证：
Q
D
dxdy
x
L
Qdy
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把上 两式相加，便得到Green公式
DQ xP ydxdyDLPdxQdy
(2) 当D为非凸单连通区域时，如图
证 (只就 D为标准区域情形作证明)
并只证明
R
Dz
dxdydzRdxdy 外
其它两项的证明类似。 设区域：
D {x ,( y ,z )z 1 ( x ,y ) z z 2 ( x ,y )( x ,,y ) x } y
包含原点而又完全含在 C 2 所围区域之内，
于是在 C2所围区域除去 (C小 )的圆 D内,
P,QC1(D),满足Green公式条件, 因此
y
C
2
D
C
o
C
1
PdxQdy PdxQdy
D
C2 C
PdxQdyPdxQdy
x C2
C
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Gre公 en式 D\x2y22 Q x P ydxd 0y