极坐标和直角坐标的互化
直角坐标和极坐标互化公式
直角坐标和极坐标互化公式在我们学习数学的奇妙世界里，直角坐标和极坐标就像是两个独特的小伙伴，它们有着自己的特点和魅力，还能相互转化呢！先来说说直角坐标，它就像是我们熟悉的小地图，用横坐标 x 和纵坐标 y 就能准确地找到一个点的位置。
比如说，（3，4）这个点，我们一下子就能在平面上找到它的位置。
而极坐标呢，则像是一个有方向有距离的小导航。
它用极径 r 和极角θ 来确定点的位置。
比如说，（5，60°），这就表示从极点出发，沿着 60°的方向走 5 个单位长度就能找到这个点啦。
那它们怎么相互转化呢？这就得靠神奇的公式啦！从直角坐标（x，y）转化为极坐标（r，θ），公式是r = √(x² + y²) ，θ = arctan(y / x) 。
这里要注意哦，如果 x 是 0 ，那θ就得单独讨论啦。
比如说，有个点的直角坐标是（4，3），那 r 就等于√(4² + 3²) = 5 ，θ 等于 arctan(3 / 4) ，大概是 36.87°。
反过来，从极坐标（r，θ）转化为直角坐标（x，y），公式就是 x= r * cosθ ，y = r * sinθ 。
举个例子，一个点的极坐标是（6，120°），那 x 就等于 6 * cos120°= -3 ，y 等于6 * sin120° = 3√3 。
我记得有一次，在课堂上，老师出了一道题：一个点的极坐标是（8，45°），让我们转化为直角坐标。
同学们都埋头苦算，我也不例外。
我心里想着公式，嘴里念念有词：“x 等于 r 乘以cosθ ，y 等于 r乘以sinθ 。
” 我先算 x ，8 乘以 cos45°，我赶紧在草稿纸上写下计算过程，得出 x 等于4√2 。
再算 y ，8 乘以 sin45°，又是一阵紧张的计算，得出 y 也等于4√2 。
当我算出答案的时候，心里别提多有成就感啦！直角坐标和极坐标的互化公式在很多实际问题中都特别有用呢。
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标的互化公式
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。
直角坐标是另一种描述平面上点位置的坐标系，它由x轴和y轴两个参数组成。
在实际应用中，我们经常需要将极坐标和直角坐标进行互化，以便更好地理解和计算。
极坐标和直角坐标的互化公式如下：
直角坐标系中的点(x,y)可以表示为极坐标系中的点(r,θ)，其中：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
反之，极坐标系中的点(r,θ)可以表示为直角坐标系中的点(x,y)，其中：
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
这些公式可以帮助我们在不同的坐标系之间进行转换。
例如，如果我们知道一个点在极坐标系中的位置，但需要将其转换为直角坐标系中的位置，我们可以使用上述公式计算出x和y的值。
同样地，如果我们知道一个点在直角坐标系中的位置，但需要将其转换为极
坐标系中的位置，我们也可以使用上述公式计算出r和θ的值。
极坐标和直角坐标的互化公式在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们经常需要计算旋转物体的位置和速度。
这些计算通常使用极坐标系，因为它更适合描述旋转运动。
然而，在计算机辅助设计和制造中，我们通常使用直角坐标系，因为它更适合描述平面上的几何形状。
极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
通过使用极坐标和直角坐标的互化公式，我们可以在不同的坐标系之间进行转换，以便更好地理解和计算。
极坐标与直角坐标的互化公式例题
极坐标与直角坐标的互化公式例题引言在解决数学问题时，我们常常会遇到不同坐标系之间的转换问题。
极坐标和直角坐标是常用的两种坐标系，它们之间存在着互化公式。
本文将通过几个例子来介绍极坐标与直角坐标的互化公式，以帮助读者更好地理解和运用这些公式。
例一：极坐标转直角坐标已知一个点P的极坐标表示为(r, θ)，其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与正方向x轴的夹角。
我们需要将该点的极坐标转换为直角坐标表示。
假设点P的极坐标为(3, π/6)，现在我们来求其对应的直角坐标。
根据极坐标与直角坐标之间的关系，点P的直角坐标表示为(x, y)。
根据互化公式，可以得到以下关系：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)将已知的极坐标(3, π/6)代入上述公式，可以计算出点P的直角坐标：x = 3 * cos(π/6) = 3 * √3 / 2 = 3√3 / 2 y = 3 * sin(π/6) = 3 * 1/2 = 3/2所以，点P的直角坐标为(x, y) = (3√3/2, 3/2)。
例二：直角坐标转极坐标现在，我们考虑将直角坐标转换为极坐标的情况。
给定一个点Q的直角坐标表示为(x, y)，我们需要求出其对应的极坐标。
假设点Q的直角坐标为(4, 4√3)，我们来求解其极坐标。
根据互化公式，我们得到以下关系：r = √(x^2 + y^2) θ = atan(y/x)将已知的直角坐标(4, 4√3)代入上述公式，可以计算出点Q的极坐标：r = √(4^2 + (4√3)^2) = √(16 + 48) = √64 = 8 θ = atan((4√3)/4) = atan(√3) =π/3因此，点Q的极坐标为(r, θ) = (8, π/3)。
例三：极坐标系与直角坐标系图示通过以上两个例题的互化，我们可以更好地理解极坐标和直角坐标之间的转换关系。
下面我将通过图示来展示这种转换。
首先，我们绘制一个以极坐标为基准的坐标系。
直线极坐标与直角坐标的互化问题
直线极坐标与直角坐标的互化问题直线极坐标和直角坐标是数学中常见的两种坐标系，它们在表示平面上的点或空间中的物体位置时具有不同的优势和应用场景。
直线极坐标系由极径和极角两个参数组成，可以描述一个点到原点的距离和与正半轴的夹角；而直角坐标系则由直角坐标轴上的横轴和纵轴两个参数组成，可以描述一个点在平面上的具体位置。
因此，如何将直线极坐标和直角坐标互相转换是一个重要的问题。
1.直线极坐标转直角坐标直线极坐标转换为直角坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的极角θ和极径r，计算出直线极坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y。
- 利用三角函数的关系，x = r * cos(θ)，y = r * sin(θ)。
2.直角坐标转直线极坐标直角坐标转换为直线极坐标可以简化为以下步骤： - 根据给定的直角坐标系下的点的横坐标x和纵坐标y，计算出直线极坐标系下的极径r和极角θ。
- 利用三角函数的反函数，r = √(x2+y2)，θ = arctan(y/x)。
综上所述，直线极坐标与直角坐标的互化问题可以通过以上步骤进行转换。
这种转换在不同的数学问题和应用中具有重要的意义和作用。
例如，在工程计算中，直角坐标系常用于描述平面上的工程结构，而直线极坐标系则用于描述圆形或者具有对称结构的工程问题。
在同一个工程问题中，可能需要在直角坐标系和直线极坐标系之间进行转换，以便更好地分析和解决工程问题。
比如，在计算机图形学中，直线极坐标系可以优化圆形图形的表示和计算，而直角坐标系则适合表示和计算任意形状的图形。
总之，直线极坐标与直角坐标的互化问题是数学中的基本问题之一，它们在数学、工程、物理等领域都有广泛的应用。
了解如何进行直线极坐标和直角坐标的转换，可以帮助我们更好地理解和应用不同坐标系下的数学模型和理论。
极坐标系与直角坐标的互化 课件
点的极坐标和直角坐标的互化 1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点 ，x 轴的正半轴作为 极轴 ，并在两
种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图所示．
2．互化公式：设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ， θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
故点的极坐标为2
2，34π.
(2)由 ρ＝ x2＋y2＝1，
tan θ＝xy＝－ 33，
且角 θ 的终边经过点 23，－12， 当 θ∈[0,2π)时，θ＝116π，
故点的极坐标为1，116π. (3)由 ρ＝ x2＋y2＝ 6，且角 θ 的终边经过点(0，－ 6)，当 θ∈[0,2π)时，θ＝32π，
故点的极坐标为
6，32π.
点的直角坐标化为极坐标的注意事项 化点的直角坐标为极坐标时，一般取 ρ≥0，θ∈[0,2π)，即 θ 取最小正角，由 tan θ＝xy(x≠0)求 θ 时，必须根据角 θ 的终边经过点(x，y)所在的象限来确定 θ 的值．
2．已知点的直角坐标分别为 A(3，－ 3)，B0， 35，C(－2,2 3)，求它们的极坐标， 其中极角 θ∈[0,2π)． 解析：根据 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)，
[解析] (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ3＝1， y＝ρsin θ＝2sinπ3＝ 3， ∴点的极坐标2，π3化为直角坐标为(1， 3)． (2)∵x＝ρcos θ＝4cos－π2＝0， y＝ρsin θ＝4sin－π2＝－4， ∴点的极坐标4，－π2化为直角坐标为(0，－4)．
(3)∵x＝ρcos θ＝5cos(－5)＝5cos 5， y＝ρsin θ＝5sin(－5)＝－5sin 5， ∴点的极坐标(5，－5)化为直角坐标为(5cos 5，－5sin 5)．
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
极坐标和直角坐标的互化zst
（ 2）极坐标方程 曲线是
sin 2 cos 所表示的
解：将极坐标方程化为 曲线的形状，因为给定 乘方程的两边得
2
直角坐标方程即可判断 的 不恒等于零，用
同
＝ sin 2 cos
x y y 2x
2 2 2
化成直角坐标方程为 即 ( x 1) ( y
练习：
在极坐标中，若等边 5 B ( 2， )，那么顶点 4 ABC 的两个顶点 C 的坐标是 （ A ( 2， )、 4
）
C
A
O
X
B
C′
由题设可知，A,B两点关于极点O对称，即O 是AB的中点，
又 AB ＝ 4， ABC 为正三角形， OC ＝ 2 3， AOC ＝
2
， C 对应的极角
3） 1） （
2 2
3 1 2，
1 3
3 3
。
因为点 M 在第三象限，所以 因此，点 M 的极坐标为（
7 6
。
7 2， ）。 6
（1）
3 4
的直角坐标方程是
解：根据极坐标的定义 tan y x 即 y x( y 0) tan 3 4 y x
2
1 2
)
5 4
这是以点 (1,
1 2
) 为圆心，
半径为
5 2
的圆。
3、在极坐标系中，已知 则 AB
点 A (5,
3
), B ( 6 ,
2 3
),
小节：
1、极坐标化为平面直角坐标
2、平面直角坐标化为极坐标
＝
直角坐标和极坐标互化公式
直角坐标和极坐标互化公式坐标系，这东西说起来似乎很专业，但其实咱们平时也常接触到。
想象一下，直角坐标和极坐标就是两种不同的“地图”来帮我们定位。
今天咱们就来聊聊这两种坐标系怎么互相转化，轻松搞定数学难题。
1. 什么是直角坐标和极坐标？1.1 直角坐标首先，直角坐标系其实就是大家熟悉的“平面坐标系”。
咱们用两个轴——横轴和纵轴来表示位置。
想象一下，你在一个大平面上，位置用 (x, y) 来标记。
比如说，你在书桌上的一个小角落，这时候你的坐标就是那两个轴上的距离。
1.2 极坐标而极坐标系就有点像你在超大的圆圈里找位置。
这里用两个参数来描述一个点的位置：一个是半径 r，另一个是角度θ。
r 就是从原点到你所在点的直线距离，θ 则是从某个固定方向（通常是水平轴）开始，旋转到你那点的位置的角度。
简单来说，就是你离原点有多远，以及你朝哪个方向看。
2. 直角坐标和极坐标怎么互化？2.1 从极坐标到直角坐标我们首先来看看怎么把极坐标转成直角坐标。
假设你有极坐标(r, θ)，也就是你离原点 r 距离，和角度θ。
要把它转成直角坐标系下的 (x, y)，其实很简单。
x = r * co s(θ)y = r * sin(θ)打个比方，你在一个大圆的某个位置，你离原点的距离 r 就是你直线上的长度，cos 和 sin 就是帮助你找到在横轴和纵轴上的位置。
好比你从一个位置出发，沿着某个方向走了 r 米，然后转了角度θ，最后就在直角坐标上找到了你的位置。
2.2 从直角坐标到极坐标那反过来呢？怎么把直角坐标转换为极坐标呢？假设你有直角坐标 (x, y)，要找到对应的极坐标(r, θ)。
r = √(x² + y²)θ = arctan(y / x)这里 r 就是你到原点的直线距离，通过勾股定理就能算出。
θ 就是用 arctan 函数（也就是反正切函数）来算出你相对于横轴的角度。
换句话说，你先算出你离原点有多远，然后再找到你面对的方向。
极坐标和直角坐标系的互化公式
极坐标和直角坐标系的互化公式1. 引言在数学中，坐标系是一种描述点的位置的系统。
常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系使用平面上的两个垂直轴表示点的位置，而极坐标系使用极径和极角来表示点的位置。
本文将介绍极坐标和直角坐标系之间的互化公式。
2. 极坐标系和直角坐标系简介2.1 极坐标系极坐标系是一种使用极径和极角来表示点的位置的坐标系。
极径（r）表示点到极点（如原点）的距离，而极角（θ）表示点与特定轴（如x轴）之间的夹角。
通常，极径为非负数，极角可以使用度数或弧度进行表示。
2.2 直角坐标系直角坐标系是一种使用平面上的两个垂直轴来表示点的位置的坐标系。
通常，水平轴表示为x轴，垂直轴表示为y轴。
一个点在直角坐标系下的位置由该点与x轴和y轴之间的水平和垂直距离确定。
3. 极坐标系转换为直角坐标系极坐标系可以通过以下公式转换为直角坐标系：•x = r * cos(θ)•y = r * sin(θ)其中，x和y分别是点在直角坐标系下的坐标，r是极径，θ是极角。
4. 直角坐标系转换为极坐标系直角坐标系可以通过以下公式转换为极坐标系：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = atan2(y, x)其中，r是点到原点的距离，θ是点与x轴之间的夹角，atan2(y, x)是一个函数，表示点(x, y)与x轴正向的夹角。
需要注意的是，atan2函数可以得到完整的360度范围内的夹角。
5. 示例5.1 极坐标转换为直角坐标假设我们有一个点P，其极坐标为(r = 2, θ = π/4)。
我们可以使用公式：•x = 2 * cos(π/4) = √2•y = 2 * sin(π/4) = √2因此，点P在直角坐标系下的坐标为(x = √2, y = √2)。
5.2 直角坐标转换为极坐标假设我们有一个点Q，其直角坐标为(x = -3, y = 3)。
我们可以使用公式：•r = sqrt((-3)^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3√2•θ = atan2(3, -3)根据实际计算结果，我们可以得到θ的值为π/4 + π = 5π/4。
极坐标直角坐标互化公式
极坐标直角坐标互化公式极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系统，它们在数学和物理学等领域中广泛应用。
极坐标直角坐标互化公式是将一个点在极坐标和直角坐标之间进行转换的公式。
本文将介绍极坐标和直角坐标的基本概念，并详细阐述极坐标直角坐标互化公式的推导和应用。
一、极坐标和直角坐标的基本概念1. 极坐标：极坐标是一种使用极径和极角来表示点的坐标系统。
在极坐标中，点的位置由极径r和极角θ唯一确定。
其中，极径r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角。
2. 直角坐标：直角坐标是一种使用横坐标和纵坐标来表示点的坐标系统。
在直角坐标中，点的位置由横坐标x和纵坐标y唯一确定。
其中，横坐标x表示点在x轴上的投影，纵坐标y表示点在y轴上的投影。
1. 极坐标转直角坐标：设点P在极坐标中的坐标为(r, θ)，则点P在直角坐标中的坐标为(x, y)。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系式：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2. 直角坐标转极坐标：设点P在直角坐标中的坐标为(x, y)，则点P在极坐标中的坐标为(r, θ)。
根据三角函数的反函数定义，可以得到以下关系式：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y/x)三、极坐标直角坐标互化公式的应用1. 计算点的坐标：通过极坐标直角坐标互化公式，可以方便地计算出点在不同坐标系统中的坐标。
例如，已知点P在极坐标中的坐标为(r, θ)，可以使用公式x = r * cosθ和y = r * sinθ计算出点P在直角坐标中的坐标。
2. 描述曲线方程：通过极坐标直角坐标互化公式，可以将直角坐标系下的曲线方程转换为极坐标系下的方程，或者将极坐标系下的方程转换为直角坐标系下的方程。
这种转换可以简化曲线的描述和计算。
3. 解决相关问题：在物理学、工程学和计算机图形学等领域，常常需要在不同坐标系统中进行计算和分析。
通过极坐标直角坐标互化公式，可以将问题转化为更简单或更适合分析的形式，从而解决问题。
1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化
第04课时1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化 学习目标1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化学习过程一、学前准备情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 11～P 11，找出疑惑之处） 直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθρsin cos ==y x{xyy x =+=θρtan 222说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3、互化公式的三个前提条件（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同.◆应用示例例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。
（教材P 11例3） 解：例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标（教材P 11例4） 解：◆反馈练习1．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3π B ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈三、总结提升 ◆本节小结1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化学习评价一、自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A ．很好 B ．较好 C ． 一般 D ．较差课后作业1.若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___________，ABO S ∆=___________。
直线极坐标与直角坐标的互化公式
直线极坐标与直角坐标的互化公式直线极坐标和直角坐标是两种常见的坐标系统，它们在数学和物理学中被广泛应用。
为了方便计算和相互转换，在这两种坐标系统之间存在一些互化公式。
本文将介绍直线极坐标和直角坐标之间的互化公式，并提供详细的计算方法和示例。
一、直线极坐标坐标系介绍直线极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由两个参数组成：极径（r）和极角（θ）。
极径表示点与原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
在直线极坐标系统中，点的坐标可以通过极径和极角表示为(r, θ)。
其中，r为非负实数，θ为弧度制的角度，通常取值范围为[0, 2π)。
二、直角坐标系介绍直角坐标系是我们通常使用的坐标系统，也称为笛卡尔坐标系。
它由两个数轴组成：横轴（x轴）和纵轴（y轴）。
点的位置由它在这两个轴上的投影表示。
在直角坐标系中，点的坐标可以通过x轴和y轴的数值表示为(x, y)。
其中，x 表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
三、直线极坐标与直角坐标的互化公式直线极坐标和直角坐标之间存在一些互化公式，可以通过这些公式将一个坐标系统的点转换为另一个坐标系统的点。
下面是直线极坐标与直角坐标的互化公式：1.从直线极坐标到直角坐标的转换公式：–x = r * cos(θ)–y = r * sin(θ)2.从直角坐标到直线极坐标的转换公式：–r = sqrt(x^2 + y^2)–θ = atan2(y, x)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数，sqrt表示平方根函数，atan2表示反正切函数。
四、计算方法和示例对于直线极坐标与直角坐标的转换，我们可以使用上述互化公式进行计算。
下面将通过一个示例来演示计算的方法：示例：将直线极坐标点(3, π/4)转换为直角坐标。
首先，根据转换公式，我们可以计算得到： - x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.12 - y = 3 *sin(π/4) ≈ 2.12因此，点(3, π/4)在直角坐标系中的坐标为(2.12, 2.12)。
极坐标与直角坐标互化1
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1, ) 2
3 D ( , ) 2 4
3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M ( 3, 1)的直角坐标化成极坐标.
解: ( 3 ) （ 1 ）2
2 2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
y x
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
知识回顾 正弦、余弦、正切的三角函数值 θ
sinθ
cosθ 1 2
3 2
4
2 2 2 2
3
3 2
2
1
2 3
3 2
3 4
2 2
5 6 1 2
0
1 2
0
不存在
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
课堂小结
极坐标与直角坐标互化
探究新知
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ . O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, 3 )
1 2 3 1 2 2 2
3
0
3 3
1
3
1
1.2.2极坐标与直角坐标的互化
2
)
3 D ( 2, ) 4
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(x, y )
这个点如何用极坐标表示?
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的直角坐标 ( 3, 1) 化成极坐标.
练习1: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
B ( 5, 0 ) D (0,2)
C ( 3, 3)
平面内的一个点的极坐标是 ( , )
如何求这个点的极坐标?
2 例2. 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
练习2：已知下列点的极坐标，求它 们的直角坐标。
A ( 3, ) 6
C (1,
B ( 2, ) 2
计算器极坐标与直角坐标的互化
计算器极坐标与直角坐标的互化计算器中常见的两种坐标系统分别是极坐标和直角坐标。
极坐标系统使用极径和极角来描述点的位置，直角坐标系统则使用横坐标和纵坐标来描述点的位置。
在进行计算或者图形表示时，有时候需要将一个坐标系统中的点转换到另一个坐标系统中。
下面将分别介绍极坐标转直角坐标和直角坐标转极坐标的方法。
1. 极坐标转直角坐标：极坐标中的点由一个极径（r）和一个极角（θ）表示。
将一个极坐标点(P)转换为直角坐标系中的点(x, y)的方法是：- x = r * cos(θ)- y = r * sin(θ)这里的x和y分别是直角坐标系中的横坐标和纵坐标。
2. 直角坐标转极坐标：直角坐标系中的点由横坐标（x）和纵坐标（y）表示。
将一个直角坐标系中的点(P)转换为极坐标点(r, θ)的方法是：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y / x)这里的r表示点到原点的距离，θ表示点与正x轴的夹角。
通过这些转换公式，我们可以很方便地在极坐标和直角坐标之间进行转换。
在计算器上进行这些转换的时候，可以直接使用相关的函数和操作符。
例如，在大多数计算器上，可以使用sin、cos、sqrt和tan的函数按钮，以及乘法、除法和加减按钮来进行转换计算。
当我们在计算器上进行极坐标和直角坐标之间的转换时，可以使用以下步骤：- 极坐标转直角坐标：1. 将极径 r 和极角θ输入计算器。
2. 使用cos函数计算x = r * cos(θ) 的值。
3. 使用sin函数计算y = r * sin(θ) 的值。
4. 得到直角坐标系中的点 (x, y)。
- 直角坐标转极坐标：1. 将横坐标 x 和纵坐标 y 输入计算器。
2. 使用sqrt函数计算r = √(x^2 + y^2) 的值。
3. 使用arctan函数计算θ = arctan(y / x) 的值。
需要注意的是，在计算arctan时，应该考虑每个象限的特殊情况。
4. 得到极坐标系中的点 (r, θ)。
极坐标和直角坐标的互化
设点M的极坐标为(ρ,θ)
3 3 1 3 2 tan （ ） 1
2 2
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重 合;
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
D (0,2)
F (3,0)
课堂小结
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
[3]极坐标 ( , ) 与 ( , 2 k ) ( k Z ) 表示同一个点。
[4]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的 点和极坐标就可以 一一对应 了.
右图为某校园的平面示意图。假 设某同学在教学楼处，请回答 下列问题：
建立适当的极坐标系，写出 A,B,C,D,E的极坐标. (0≤θ＜2π)
2. 极轴与直角坐标系的x轴的
正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1.
2 将点M的极坐标 (5, ) 3
化成直角坐标.
2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2 5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为( , 2 2
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
M
X
指出：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0
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极坐标和直角坐标的互化1．极坐标系的概念(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6相同的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π6解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．答案：①③⑤3．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.答案：3由极坐标确定点的位置在极坐标系中，画出点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π4，再在射线θ＝π4上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 同样可作出点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π可写成D ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，如图位置．(1)由极坐标确定点的位置的方法建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．1.在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析：选C.与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不合适．2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：A (5，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－3π2.(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝7π6，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，所以点E 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2k π＋7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．①⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π4，所以x ＝ρcos θ＝4cos π4＝22，y ＝ρsin θ＝4sin π4＝22，所以点(4，π4)的直角坐标为(22，22)．②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π3＝－ 3.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3的直角坐标为(1，－3)．(2)①ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π4，所以点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. ②ρ＝42＋(－43)2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)在第四象限，所以θ＝5π3，所以点(4，－43)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.③ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0，2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6.(1)点的极坐标化为直角坐标的方法将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内，所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝32π.所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．(2)设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π2.所以|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝5＋4＝3.故填3.(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．(1)极坐标系中点的对称问题点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．(2)极坐标系中两点间的距离问题求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1＋ρ2|.1.点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－π6)，如图，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．已知M ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6，N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6也可写为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6，所以|MN |＝82＋52－2×8×5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－5π6＝64＋25－80cos π3＝7.答案：73．极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解：因为M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3， 所以M ′(3，5π3)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－π3)(k ∈Z)．1．对极坐标系的理解(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.2．极坐标与直角坐标的区别与联系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)由ρ2＝x 2＋y 2确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π2；③当x ＝0，y <0时，θ＝32π.1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )A ．(2 016，π)B ．(2 016，0)C ．(0，2 016)D ．(－2 016，0)解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③3．(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos7π6＝－3， y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. 4．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标．解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由△ABC 为等边三角形，故|BC |＝|AC |＝|AB |，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.[A 基础达标]1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6解析：选A.ρ＝ x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33.又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6.2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3 D ．5π6解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3，故选C.3．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( )A. 3 B ．2 C.1＋π29D ．4＋π29解析：选A.法一：因为(x －1)2＋y 2＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝22＋12－2×2×1×cos π3＝4＋1－2＝ 3.法二：将点(2，π3)化为直角坐标是(1，3)又(x －1)2＋y 2＝1的圆心的坐标是(1，0)，所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.5．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π12关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，7π12解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，∠xON ＝π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π12.6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0，2π))解析：(1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π68．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin7π6＝3. 答案：39．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，求△MON 的面积．解：sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 故S △MON ＝12×4×2×6＋24＝3＋1.10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，所以∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，所以∠OPO ′＝π3. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，所以∠PP ′x ＝2π3.所以∠PO ′x ′＝2π3. 所以P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.所以P 点的新坐标为(4，π2)．[B 能力提升]11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z)解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6， 所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π613．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3.(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OC |＝600，∠AOC ＝π6，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π6＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝56π.根据余弦定理，得 |CF |＝|OC |2＋|OF |2－2|OC |·|OF |·cos 56π＝6002＋3002－2×600×300×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝3005＋23(m)．所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.。