高中数学 第三章 空间向量及其运算复习 新人教版选修2-1

栏 目
所以E→D＝－12B→C1，又 ED 和 BC1 不共线，所以 ED∥BC1，
又 DE⊂平面 CA1D，BC1⊄平面 CA1D，
故 BC1∥平面 CA1D.
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研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 2 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，AA1＝A1C ＝AC＝2，AB＝BC，且 AB⊥BC，O 为
专 又 AB＝BC，AB⊥BC，
题 栏
所以 OB＝12AC＝1.
目 所以 O(0,0,0)，A(0，－1,0)，A1(0,0， 3)，C(0,1,0)，C1(0,2，
3)，B(1,0,0)，则有A→1C＝(0,1，－ 3)，A→A1＝(0,1， 3)，
A→B＝(1,1,0)．
设平面 A1AB 的法向量为 n＝(x，y，z)，
________． 解析 容易推出：S→A－S→B＋S→C－S→D＝B→A＋D→C＝0，
所以③正确；
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又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA＝SB＝SC＝
SD＝2，所以S→A·S→B＝2·2·cos∠ASB，S→C·S→D＝2·2·cos∠CSD，
本 专
＝42＋32＋52＋20＋10＋125＝85.
所以 AC1 的长为 85.
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题型二 利用空间向量证明空间中的位置关系
向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中
的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便
利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置
本 关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．用
＝BB1.
本
求证：(1)BC1⊥AB1；
专 (2)BC1∥平面 CA1D.
题 栏
证明 如图，以 C1 为原点，分别以 C1A1，C1B1，
目 C1C 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直
角坐标系．设 AC＝BC＝BB1＝2，则 A(2,0,2)，
B(0,2,2) ， C(0,0,2) ， A1(2,0,0) ， B1(0,2,0) ，
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本 专 题 栏 目
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本 专 题 栏 目
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题型一 空间向量及其运算
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量
本 专
积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、
题 运算律与平面向量基本一致．
栏
目
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例 1 如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面
ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、
C、D 的距离都等于 2.给出以下结论：
本
①S→A＋S→B＋S→C＋S→D＝0；②S→A＋S→B－
专 题
S→C－S→D＝0；③S→A－S→B＋S→C－S→D＝0；
栏 目
④S→A·S→B＝S→C·S→D；⑤S→A·S→C＝0，其中正确结论的序号是
C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
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(1)由于B→C1＝(0，－2，－2)，A→B1＝(－2,2，－2)， 因此B→C1·A→B1＝0－4＋4＝0，因此B→C1⊥A→B1，
故 BC1⊥AB1.
本 专 题
(2)取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)， 所以E→D＝(0,1,1)，又B→C1＝(0，－2，－2)，
本
求 解
A由C1题的意长可．得，A→B·A→D＝0，A→B·A→A1＝4×5×cos
60°＝10，
专 题 栏 目
因A→D为·A→A→AC1＝1＝3A×→B5＋×B→cCos＋6C0→°C＝1＝125A→. B＋A→D＋A→A1， 所以|A→C1|2＝(A→B＋A→D＋A→A1)2
＝|A→B|2＋|A→D|2＋|A→A1|2＋2(A→B·A→D＋A→B·A→A1＋A→D·A→A1)
专
题 空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下． 栏 1．线线平行
目
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共
线向量．
2．线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，
则 a⊥b⇔a·b＝0.
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3．线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
又由题意可知，平面 AA1C1C⊥平面 ABC，交线为 AC， 且 A1O⊂平面 AA1C1C，所精以品课A件1O⊥平面 ABC.
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(2)解 如图，以 O 为原点，OB，OC，OA1 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标 系．
本 由题意可知，A1A＝A1C＝AC＝2，
而∠ASB＝∠CSD，于是S→A·S→B＝S→C·S→D，因此④正确，其
题 余三个都不正确，
栏
目 故正确结论的序号是③④.
答案 ③④
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跟踪训练 1 如图，四棱柱 ABCD—
A1B1C1D1 的底面 ABCD 是矩形，AB＝4，
AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是
本
专
共线向量；
题 栏
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线
目
向量用直线的方向向量线性表示．
4．线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 精品课件
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5．面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
本
专
②转化为线面平行、线线平行问题．
题Baidu Nhomakorabea6．面面垂直
栏
目
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
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例 2 如图，已知在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC⊥BC，D 为 AB 的中点，AC＝BC
AC 的中点．
本
(1)证明：A1O⊥平面 ABC；
专 题
(2)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值；
栏
(3)在 BC1 上是否存在一点 E，使得 OE∥平面 A1AB，若
目
不存在，说明理由；若存在，确定点 E 的位置．
(1)证明 因为 A1A＝A1C，且 O 为 AC 的中点， 所以 A1O⊥AC.