第四章 三角函数4-4

(时间：45分钟 满分：75分)

一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)

1．(2010·福建卷)计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于、

( ) A.12 B.3

3 C.22 D.3

2

解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝1

2.

答案：A

2．设sin α＝35⎝⎛⎭⎫π

2＜α＜π，tan(π－β)＝1

2，则tan(α－2β)＝

( ) A ．－24

7 B ．－724 C.247 D.7

24

解析：∵sin α＝3

5，α∈⎝⎛⎭⎫π

2，π，∴cos α＝－4

5，

∴tan α＝－3

4.又∵tan(π－β)＝1

2，∴tan β＝－1

2，

∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－43，∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β

1＋tan αtan 2β

＝－34－⎝⎛⎭⎫－431＋⎝⎛⎭⎫－3

4·⎝⎛⎭

⎫－4

3＝7

24.

答案：D

3．若cos 2αsin ⎝⎛⎭

⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin

α的值为

( )

A ．－7

2 B ．－1

2 C.1

2 D.7

2

解析：由已知得cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝

cos 2α－sin 2α

22(sin α－cos α)

＝－2(sin α＋cos α)＝－2

2.∴sin α＋cos α＝1

2.

答案：C

4．已知sin α－cos α＝sin αcos α，则sin 2α的值为

( ) A.2－1 B ．1－ 2 C ．2－2 2 D ．22－2

解析：将sin α－cos α＝sin αcos α

平方得：1－2sin αcos α＝(sin αcos α)2

即14

sin 22α＋sin 2α－1＝0，解得：sin 2α＝22－2. 答案：D

5．(2011·广西南宁调研)在△ABC 中，sin 2A ＋cos 2B ＝1，则cos A ＋cos B ＋cos C 的最大值为

( )

A.54

B. 2 C ．1 D.32

解析：由sin 2A ＋cos 2B ＝1，得sin 2A ＝sin 2B ，

∴A ＝B ，故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos 2A

＝－2cos 2A ＋2cos A ＋1.又0＜A ＜π2

，0＜cos A ＜1. ∴cos A ＝12时，有最大值32

. 答案：D

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

6．(2011·四川成都诊断)若tan θ2＝2，则cos 2θ1＋sin 2θ

的值为________． 解析：∵tan θ＝2tan

θ21－tan 2θ2＝2×21－4＝－43， ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ

＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－431＋⎝⎛⎭

⎫－43＝－7. 答案：－7

7．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.

解析：∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，

∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，

即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)，

∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3(1－tan αtan β)1－tan αtan β

＝ 3.

又∵0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π3

. 答案：π3

8．cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°＝________.

解析：∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α

， ∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°

＝sin (180°－20°)16sin 20°＝116

. 答案：116

9．使方程2－sin 2x ＝m (2＋sin 2x )有解的m 的取值范围是________．

解析：由已知2－sin 2x ＝m (2＋sin 2x )

得m ＝2－sin 2x 2＋sin 2x ＝－1＋42＋sin 2x

. ∵sin 2x ∈[－1,1]，∴2＋sin 2x ∈[1,3]，

∴42＋sin 2x ∈⎣⎡⎦

⎤43，4， ∴－1＋42＋sin 2x ∈⎣⎡⎦

⎤13，3， ∴m ∈⎣⎡⎦⎤13，3.

答案：⎣⎡⎦⎤13，3

三、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分)

10．已知sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－14

，求cos 4x 的值． 解：sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4cos ⎝⎛⎭

⎫x －π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－14

∴cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝14

. 而cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＝1＋sin 2x 2＝14

∴sin 2x ＝－12，∴cos 4x ＝1－2sin 22x ＝12

. 11.已知函数f (x )＝2a sin x cos x ＋2b cos 2x ，且f (0)＝8，f ⎝⎛⎭⎫π6＝12.