《复变函数与积分变换》(西安交大-第四版)课后答案解析

{ } { } Re i8 − 4i21 + i = 1, Im i8 − 4i21 + i = −3
网 c ⎜⎝⎛i8 − 4i21 + i⎟⎠⎞ = 1+ 3i ，| i8 − 4i21 + i |= 10 案 . ( ) ( ) Arg i8 − 4i21 + i = arg i8 − 4i21 + i + 2kπ = arg(1− 3i)+ 2kπ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
1）平移公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 y1
+ +
a1, b1;
2）旋转公式：
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x1 x1
cosα sin α
− +
y1 y1
sinα , cos α .
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有 1） z = z1 + A ；2） z = z1(cosα + i sinα ) = z1eiα 。
故 n = 4k, k = 0, ±1, ±2,"。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根 （2）求微分方程 y'''+8y = 0 的一般解。
( )1
π i
(1+
2k
)
解 （1） z = −8 3 = 2e 3 ，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
−
5π 6
⎞ ⎟⎠
+
isin
⎛ ⎜⎝
−
5π 6
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
=
−16
3 −16i
答 ( ) w （2）(1+
i)6
=
⎡ ⎢
⎣
2
⎛ ⎜⎝
1+ 2
i 2
⎞⎤6 ⎟⎠⎥⎦
=
2eiπ /4 6 = 8e3πi/2 = −8i 。
后 a 1
( 课) （3） 6 −1 = eiπ+2kπ 6 = eiπ(2k+1)/6 ,k = 0,1,2,3,4, 5 。可知 6 −1 的 6 个值分别是
= 1 + |a|
网 c 故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
案 . （1）i； 答 w （4）1− cosϕ + isinϕ(0 ≤ ϕ ≤ π)；
（2）-1； （5） 2i ；
−1+ i
（3）1+ 3 i；
（6）((ccooss53ϕϕ
+ −
isin5ϕ isin3ϕ
答 w 证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) + (z1 − z2 )(z1 − z2 )
= 2(z1 z1 + z2 z2 )
后 a = 2(| z1 |2 + | z2 |2) 课 d 其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
m 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
o ( ) 解：设复数 z =| z | eiArgz ，则 z − i
=|
z
|
ei Arg z
⋅
−i π
e2
i⎜⎛ Arg z− π
= |z|e ⎝ 2
⎟⎞ ⎠
，可知复数的模不变，
网 c 辐角减少π 。 2
案 . 11．证明：| z1 + z2 |2 + | z1 − z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ，并说明其几何意义。
=
1
i⎜⎛ − π +2kπ ⎟⎞ 3
2e−iπ/4 3 = 6 2e ⎝ 4 ⎠ ,
k = 0,1,2 。
w 可知(1− i)1/3 的 3 个值分别是
w 6 2e−iπ /2 = 6 2⎜⎛cos π − i sin π ⎟⎞,
w ⎝ 12
12 ⎠
6 2ei7π /12 = 6 2⎜⎛ cos 7π + i sin 7π ⎟⎞,
5．对任何 z ， z2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
值才成立？
解：设 z = x + iy ，则要使 z2 =| z |2 成立有
x2 − y2 + 2ixy = x2 + y2 ，即 x2 − y2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
案 . −z, z,−z, 1 , 1 ,− 1 。 zz z
2sin 2
ϕ 2
+ i2sin
ϕ 2
ϕ cos
2
=
2sin
ϕ 2
⎛ ⎜⎝
sin
ϕ 2
+
ϕ icos
2
⎞ ⎟⎠
w=
2sin
ϕ
⎜⎛ cos
π
−ϕ
+ isin
π
−ϕ
⎟⎞
=
2sin
ϕ
i π−ϕ
e2
, (0
≤ϕ
≤
π)
；
2⎝ 2
2⎠
2
w（5） 2i = 1 2i(−1− i) = 1− i = w −1+i 2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2
arctan
26 7
−
π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) （4） i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i
om 所以
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
)2 )3
后 a 解：（1）i
=
cos
π
+
isin
π
=
π i
e2
；
2
2
课 d （2） −1 = cosπ + isinπ = eiπ
h （3）1 + i
3
=
2⎜⎜⎝⎛
1 2
+
i
3 2
⎟⎞ ⎟⎠
=
2⎜⎛ cos ⎝
π 3
+
isin
π 3
⎟⎞ ⎠
=
i
2e
π 3
；
.k （4）1 − cosϕ
+
isinϕ
=
或
⎧ 5x + 3y = 38 ⎩⎨− 3x + 5y = 52
解得 x = 1, y = 11 。
ww3．证明虚单位i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
4．证明
1) | z |2 = zz
#
6) Re(z) = 1 (z + z), Im(z) = 1 (z − z )
2
2i
2
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。
⎫ ⎬ ⎭
=
3 2
,
hIm⎩⎨⎧1i
−
3i 1−
i
⎫ ⎬ ⎭
=
−
5 2
k ⎜⎛1 − 3i ⎟⎞ = 3 + i 5 ， 1 − 3i = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛− 5 ⎟⎞2 = 34 ，
⎝ i 1−i⎠ 2 2 i 1−i ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2
. Arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−i
⎟⎞ ⎠
（1） zn
+
1 zn
= 2cos nt
；
（2） zn − 1 = 2 i sin nt zn
解 （1） zn + 1 = eint + e−int = eint + eint = 2sin nt zn
（2） zn
−
1 zn
= eint
− e−int
= eint
− eint
= 2 i sin nt
14．求下列各式的值
w a0zn + a1zn−1 +" + an−1z + an = 0
w 的根，那么 a − ib 也是它的根。
w证 1） R(z) = P(z) = P(z)Q(z) = Re(P(z)Q(z)) + Im(P(z)Q(z)) ;
Q(z) Q(z)Q(z)
q(x, y)
q(x, y)
2）
R(z )
2 ⎜⎜⎝⎛
1 −i 2
1 2
⎟⎟⎠⎞
= 2⎜⎛ cos π − isin π ⎟⎞
⎝4
4⎠
−i π
= 2e 4
( ) ( ) (( )) （6）
cos5ϕ + isin5ϕ cos3ϕ − isin3ϕ
2
=
3
ei5ϕ
2
/
e−i3ϕ
3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
3
= cos19ϕ + isin19ϕ
+
4i)(2
−
5i)⎫
⎬
=
−
7
，
⎩ 2i ⎭ 2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13
，
1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)⎤
⎥ ⎦
=
−
7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ，
2i
2
Arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i
−
5
i)⎤
⎥⎦
=
arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
=
arg⎜⎛ ⎝
1 i
−
3i 1−
i
⎟⎞ ⎠
+
2kπ
w= −arctan 5 + 2kπ, 3
k = 0,±1,±2,".
ww（3）
(3
+
4i)(2
2i
−
5i)
=
(3
+
4i)(2 − (2i)(−
5i)(− 2i)
2i)
=
(26
−
7i)(−
4
2i)
= −7 − 26i = − 7 −13i
2
2
所以
Re⎨⎧ (3
12．证明下列各题：
h 1）任何有理分式函数 R(z) = P(z) 可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具 Q(z)
k 有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；
. 2）如果 R(z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R(z ) = X − iY ；
3）如果复数 a + ib 是实系数方程
( ) m （1） 3 − i 5 ； （2） (1+ i)6 ； （3） 6 −1 ；
1
（4） (1 − i)3
( ) o ( ) 解
（1）
3 − i 5 = ⎢⎢⎣⎡2⎜⎜⎝⎛
3 2
−
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤5
=
2e−iπ / 6 5 = 32e−i5π / 6
案网 .c =
32
⎡ ⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝
6．当 | z |≤ 1 时，求 | zn + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
解：由于
zn
+
a
≤ |z|n
+ |a| ≤ 1 + |a| ，且当
z
=
arg a i
en
时，有
om ( ) | zn + a|=
⎜⎜⎝⎛
i
e
arg n
a
⎟⎞n ⎟⎠
+ |a|eiarg a
=
1+ a
ei arg a
d eiπ/6 = 3 + i , eiπ/2 = i ， eii5π/6 = − 3 + i
h2 2
22
kei7π/6 = − 3 − i ， ei3π/2 = − i ， ei11π/4 = 3 − i 。
22
22
1
. ( ) （4）
(1
−
i
)1 3
=
⎡ ⎢
⎣
2 ⎜⎜⎝⎛
1− 2
i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤ 3
m （2）原方程的特征方程 λ3 + 8 = 0 有根 λ1 = 1+ 3 i ， λ2 = −2 ， λ3 = 1− 3i ，故其 o 一般形式为
( ) y = C1e−2x + ex C2 cos 3x + C3 sin 3x
网 c 17．在平面上任意选一点 z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
⎝ 12
12 ⎠
6 2ei5π / 4 = 6 2⎜⎛ cos 5π + i sin 5π ⎟⎞ 。
⎝4
4⎠
15．若 (1+ i)n = (1− i)n ，试求 n 的值。
5
解 由题意即 ( 2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ / 4 )n , einπ / 4 = e−inπ / 4 ， sin n π = 0 ， 4
= −arctan3 + 2kπ k = 0,±1,±2,".
答 w 2．如果等式 x +1+ i(y − 3) = 1+ i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i
后 a 解：由于
课 d x
+
1+ i(y
5 + 3i
−
3)
=
[x
+1 + i(y − 3)](5 − (5 + 3i)(5 − 3i)
1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13
，
Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=
2i) ， 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛− 3 ⎟⎞2 = 13 ，
o 3+2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛
网 c ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
=
P(z ) Q(z )
=
P(z) Q(z)
=
⎛ ⎜ ⎝
P(z) Q(z)
⎞ ⎟ ⎠
=
X
+ iY
=
X
− iY
;
3）事实上
( ) P z = a0 z n + a1z n−1 +" + an−1z + an