三个正数的算术-几何平均不等式 说课稿 教案 教学设计

A

课 题： 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：

1、重要的结论：

已知x ，y 都是正数，则：

(1)、如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值P 2； (2)、如果和x+y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值2

4

1S 。 二、典型例题：

例1、当x 取什么值时，函数2

2

9

4x x y +=有最小值？最小值是多少？

例2、求函数1

6

22++-=x x x y （0≥x ）的最小值。

例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？

分析：

例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A 点的水平距离是a ，那么电灯距离桌面的高度h 等于多少时，A 点处最亮？（亮度公式：θsin 2r

k

I =

，这里k 为常数，r 是电灯到照射点的距离，θ分析：

例5、求函数)0(,3

22

>+

=x x

x y 的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一： 33222

432

12311232=⋅⋅≥++=+

=x

x x x x x x x y ∴3min 43=y

解二：x x x x x y 623223222

=⋅≥+=当x

x 322

=即2123=x 时

633

min 324212322

12

62==⋅

=y 答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x 使得x

x x 2

122

==；解二错在x 62不是定值（常数）

正确的解法是：333222

362

32932323232323232==⋅⋅≥++=+

=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322

=即263=x 时3min 362

3

=y

例6、若14<<-x ，求2

22

22-+-x x x 的最值。

解：

])

1(1

)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x

0)

1(1

>--x

从而2])1(1)1([≥--+

--x x 1])

1(1

)1([21-≤--+---x x

即1)2

22

2(

min 2-=-+-x x x 。

例7、设+

∈R x 且12

2

2

=+y x ，求21y x +的最大值 解：∵0>x ∴)2

21(212

2

2

y x y x +⋅=+

又2

321)2()221(22

22

=++=++y x y x ∴42

3)2321(212

=⋅≤

+y x 即4

2

3)1(max 2

=

+y x 例8、已知+

∈R y x b a ,,,且

1=+y

b

x a ，求y x +的最小值 解：y x +y

xb x ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))(

(1)( 2)(2

b a y

xb x ay b a +=⋅++≥ 当且仅当

y xb x ay =即b

a y x =时2

min )()(b a y x +=+

三、小结：