浙教初一数学讲义：第十五讲 图形的初步认识-角

第十五讲 图形的初步认识－角
一、知识结构
·角的认识
1、 角的概念
静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边） 运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边）
2、 角的表示方法
（1）可以用三个大写字母来表示，如AOB ∠
（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如O ∠
（3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如2,1∠∠或βα∠∠,
3、角的大小
角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（张口大小）来决定。

(1) 计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转︒6，时针经过一小时转︒30） )"601('1,'601==︒ )'60
1("1,"60'1== (2) 角的大小比较
两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合）
（3）两个角的和或差
两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较
大角中去掉一个较小角后的角。

（4）角平分线
概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分
线
表示方法：如图，若OC 是AOB ∠的平分线，则①BOC AOC ∠=∠②AOB AOC BOC ∠=∠=∠21③BOC AOC AOB ∠=∠=∠22 B O C A 性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的
平分线上
（5）角的分类
锐角（大于︒0小于︒90的角）
直角（等于︒90的角）
钝角（大于︒90小于︒180的角）
平角（︒180的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形
成的角）
周角（︒360的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角） 1周角＝2平角＝4个直角
注：不能说“一个平角是一条直线，一条射线就是周角”
（6）补角、余角、对顶角和邻补角
补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。

①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即︒=∠+∠18021，则2,1∠∠互
为补角，简称互补，1∠是2∠的补角或2∠是1∠的补角。

同角或等角的补角相等。

②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即︒=∠+∠9021，则2,1∠∠互
为余角，简称互余，1∠是2∠的余角或2∠是1∠的余角。

同角或等角的余角相等。

③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。

对顶角相等，邻补角是特殊位
置上的补角。

如图(a)，两直线AB 、CD 相交于O ，则对顶角有两组：COB AOD BOD AOC ∠=∠∠=∠,；
邻补角有四组：AOC ∠和BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOD ∠和BOD ∠，BOD ∠和
BOC
∠
( b ) ( a ) ( c )
（7）方位角
方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。

具体表示时，是南（或北）在先， 再说偏东（或偏西）。

如上图(b)，OA 的方向为北偏东︒30，OB 的方向为南偏西︒45（即西南方向）
二、例题
1. 如图，DE∥AB，∠CAE= ∠CAB，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB是( )
A．70°B．65°C．60°D．55°
2.如图所示，∠1的邻补角是( )
A.∠BOC
B.∠BOE和∠AOF
C.∠AOF
D.∠BOC和∠AOF
3.如图所示，内错角共有( )
4.如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）
A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）
5.如图，点E在BC的延长线上，在下列四个条件中，不能判定AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2
B.∠B=∠DCE
C.∠3=∠4
D.∠D+∠DAB=180°
6.如图，如果AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为( )
A.α+β+γ=360°
B.α-β+γ=180°
C.α+β-γ=180°
D.α+β+γ=180°
7.如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是( )
A.∠A+∠P+∠C=90°
B.∠A+∠P+∠C=180°
C.∠A+∠P+∠C=360°
D.∠P+∠C=∠A
8.如图，AB∥CD，∠ABF= ∠ABE，∠CDF= ∠CDE，则∠E∶∠F等于（）
A．2：1 B．3：1 C ．3：2 D．4：3
9.如图，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：
10.观察图中角的位置关系，∠1和∠2是______角，∠3和∠1是_____角，∠1•和∠4是_______角，∠3和∠4是_____角，∠3和∠5是______角.
11.如图，已知CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=____度．
12.如图，AB∥CD，∠BAE = 120º，∠DCE = 30º，则∠AEC = ________度。

13.如图，按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角，并使∠1＝120 0，AB⊥BC，则∠2的度数为。

14.完成推理填空：如图：直线AB 、CD 被EF 所截，若已知AB 成推理填空：如图：已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD∥CE 。

请你认真完成下面的填空。

证明：∵∠A＝∠F （已知）
∴AC∥DF （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
∴∠D＝∠（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
又∵∠C＝∠D （已知），
∴∠1＝∠C （等量代换）
∴BD∥CE（）。

16.如图：已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：∠B ＋∠F ＝180°。

请你认真完成下面的填空。

证明：∵∠B＝∠BGD （已知）
∴AB∥CD （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
∵∠DGF＝∠F；（已知）
∴CD∥EF （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
∵AB∥EF （＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
∴∠B ＋∠F ＝180°（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）。

17.已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：
（1）∵∠1=∠ABC（已知），
∴AD∥______
（2）∵∠3=∠5（已知），
∴AB∥______, （_____________________________）
（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），
∴_______∥________,（___________________________）
18.已知，如图11，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N, 试说明：∠1=∠2. 解：∵∠BAE+∠AED=180°（已知）
∴∥（）
∴∠BAE= ∠AEC （）
又∵∠M=∠N（已知）
∴∥（）
∴∠NAE= ∠AEM （）
∴∠BAE-∠NAE= -
∴即∠1=∠2
19.如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。

将求∠AGD的过程填写完整。

解：∵EF∥AD（）
∴∠2 = 。

（）
∵∠1 = ∠2（）
∴∠1 = ∠3。

（）
∴ AB∥。

（）
∴∠BAC + = 180°。

（）
∵∠BAC = 70°，（）
∴∠AGD = 。

20.如图，∠5=∠CDA =∠ABC，∠1=∠4，∠2=∠3，∠BAD+∠CDA=180°，填空：
∵∠5=∠CDA（已知）
∴图，完成下列推理过程
已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB=∠EDO
证明：CF∥DO
22.如图，E在直线DF上，B为直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由.
23.如图，已知直线l 1 ∥ l 2 ，直线l 3 和直线l 1 、l 2 交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在 C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发
生变化.若点P 在 C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点 C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠ APB ，∠ PBD 之间的关系又是如何
24.如图，直线l与m相交于点C，∠C=∠β，AP、BP交于点P，且∠PAC=∠α，∠PBC=∠γ，求证：∠APB=α+∠β+∠γ．
25.如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③.（1）若∠DEF=20 0 ，则图③中∠CFE度数是多少
（2）若∠DEF=α，把图③中∠CFE用α表示.。