小船过河问题

v船 cos ？ 实际 v水 v d v船 v d 船 v 水 v水 S α(
S
v实际 v船 v水 d
虚线所示即为最短路径v船<v水 S
d
α(
v实际 v船 v水
d
v船 cos v水
v 船 v水 d S
v水 S d v船
【例4】一只船从河岸A处渡河 ，河宽d=30m， v水=10m/s，距A 40m的下游有瀑布，为使小船 靠岸时，不至被冲进瀑布中，船的最小速度为 多少？ v = 6m/s d
90
0
d t v船
θ
v水
v合垂直河岸，合位移最短等于河宽d，但必须 v船＞v水
重要结论---小船的两种过河方式 1.最短时间过河 v船 d v水 v实际 d v水 过河路径最短； s = d (v船>v水) 2.最短位移过河 v船 v实际
过河时间最短；
t = d / v船
【例3】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在 静水中v 船 =2m/s，水流速度v 水 =4m/s。求：要 使船能在最短距离内渡河，应向何方划船？
• 分别对小球A和B的速度进行分解，设杆上 的速度为v • 则对A球速度分解，分解为沿着杆方向和垂 直于杆方向的两个速度。 • v=vAcosα • 对B球进行速度分解，得到v=vBsinα • 联立得到vA=vBtanα
α(
S d v船
瀑 布
v实际
v水
A x
【例5】一条河流宽为l，河水以速度v流动， 船以u＜v的对水速度渡河，问： (1)为了使船到达对岸的时间最短，船头与河 岸应成多少度角？最短时间是多少？到达对岸 时，船在下游何处？ (2)为了使船冲向下游的距离最短，船头与河 岸应成多少度角？到达对岸时，船在下游何处？ 需要多少时间？
航向α= 53° ，
船速v= 20m/min ， 河宽d =200m 。
【例9】汽船顺流从甲地到乙地，历时3h， 返回时需6h，如汽船关闭发动机顺流从甲地 漂到乙地，则所需时间为( D ) A．3h C．9h B．6h D．12h
【例10】游泳运动员以恒定的速率垂直河岸 横渡．当水速突然增大时，对运动员横渡经 历的路程、时间发生的影响是( C ) A．路程增长、时间增长 B．路程增长、时间缩短 C．路程增长、时间不变 D．路程与时间均与水速无关
v水 cos v船
d t v 船 sin
v船
α(
源自文库v实际
d v水
【例2】河宽d，船在静水中的速度为v 船 ，水 流速度为v水，v船与河岸的夹角为θ。 v船＞v水 ①求渡河所用的时间及横向位移，并讨论θ等 于多少时，渡河时间最短。 ②怎样渡河，船的合位移最小？此时对船速有 何要求？ v船 d d v 船 cos v水 t s v 船 sin v 船 sin
练习1
• 如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定 滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上， 若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水 平面的夹角分别为α和β时，B车的速度 是多少？
1.vB=
vB=
cos v0 cos
图4-1
练习2
• 如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B， 不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水 平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为 α，求此时A球速度和加速度大小
l t u sin
u cos v
l vl l t u sin u v 2 u 2 u
90 ,
0
t min
s vtmin
lv u
s v u cos t l v u u
2 2
【例6】有一艘船以v甲的船速用最短的时间 横渡过河，另一艘船以v乙的船速从同一地点 以最短的距离过河，两船的轨迹恰好重合 （设河水速度保持不变），求两船过河所用 时间之比。
速度关联类问题求解· 速度的 合成与分解
图4-12
［例1］如图4-3所示，在一光滑水平面上放 一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮 拉物体，使物体在水平面上运动，人以大 小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ 角时，物体前进的瞬时速度是多大？
图4-3
解法一:应用微 元法
图4-5
设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图4-5所示.过C 点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可 以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD， 即为在Δt时间内绳子收缩的长度.图4-5 BD 由图可知：BC= cos ① s1 BC 由速度的定义：物体移动的速度为v物= ② t t 人拉绳子的速度v= s 2 BD ③
cos
图4-6
［例2］一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另 一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高 为h的物块上，如图4-7所示，若物块与地面摩 擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球 A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）.
• 选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点 与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点 运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度 （实际速度）也就是物块速度v；B点 又在棒上，参与沿 棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将 这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量 分解图得：v2=vsinθ. • 设此时OB长度为a，则a=h/sinθ. • 令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h. • 故A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h.
小船过河问题
【例1】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在 静水中v船=4m/s，水流速度v水=2m/s。求： ①要使船能在最短时间内渡 河，应向何方划船？
演示
v船
d t v船
v实际 d v水
v水 s v水 t d v船
【例1】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在 静水中v船=4m/s，水流速度v水=2m/s。求： ②要使船能够垂直地渡过河 演示 去，那么应向何方划船？
t甲 v t乙 v
2 乙 2 甲
【例7】某人乘船横渡一条河，船在静水中 的速度及水速一定，此人过河最短时间T1， 若此船用最短的位移过河，所需时间T2，若 船速大于水速，则船速与水速之比为？
v船 T2 2 2 v水 T2 T1
【例8】有人驾船从河岸A处出发，如果使船头 垂直河岸航行，经10min到达正对岸下游120m 的C处；若使船头指向与上游河岸成α角的方向 航行，经12.5min到达正对岸的B点，求水速u， 航向α ，船速v，河宽d ． 水速u= 12m/min ，
t
t
由①②③解之：v物=
v cos
解法二:应用合运动与分运动的关系
• 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个 运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合 速度，将v物按如图4-6所示进行分解.其中:v=v物cosθ，使 绳子收缩.v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动. • 所以v物= v