第四节 电移 有电介质时的高斯定理

8-4 电位移 有电介质时的高斯定理

在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。由高斯定理，有

⎰'-=⋅s

Q Q 00

)

(1

d ε

S E （8-12）

式中Q Q '

和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出

r 00/εQ Q Q ='- （8-13）

把它代入（8-12）有

⎰

=

⋅s

Q r 00

d εεS E

或

⎰=⋅s

Q

r

0d S E εε （8-14）

现在不妨，令

E E D εεε==r 0 （8-15）

其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。那么式（8-14）可写成

⎰=⋅s

Q

d S D （8-16）

式中D 称作电位移，而⎰⋅s

S

D d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。D 的单位为

2m C -⋅

讨论：证明:

关于

r Q Q Q ε0

0=

'-的证明

电介质中的电场强度E 应为

E E E '+=0

考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为

r 0

0εE E E E =

'-=

故

r

r 1

E E εε-=

'

因为 0/εσ'

='E ，000/εσ=E

从而可得 0r

r 1

σεεσ-=

'

由于S Q 00σ=、S Q σ'

='，故上式亦可写成

0r

r 1

Q Q εε-=

'

即

r Q Q Q ε0

0=

'-

式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。故 有

电介质时的高斯定理可叙述如下：

在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为

⎰⋅s

S D d ∑

==n

i i

Q

1

0 （8-17）

可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。

电位移矢量D ，电场强度E 和电极化强度P 之间的关系为

P E D +=0ε （8-18）

讨论：E 、D 和P 之间的关系

下面简述一下电介质中电场强度E ，电极化强度P 和电位移D 之间关系。

设平板电容器两极板间充满了相对电容率为r ε的均匀电介质，在电介质中，极化电荷面密度为σ'，由极化电荷产生的电场强度

0εσ'

=

'E （1）

介质中的电场强度

E E E '-=0 （2）

实验证实

r

1

E E ε=

（3）

由式（2），式（3）得

r

r 1

E E εε-=

' （4）

将式（1）代入式（4）并利用σ'=P ，可得电介质中电极化强度P 与电场强度E 之间的

关系为

E P 0r )1(εεσ-='=

写成矢量有

E P 0r )1(εε-= （5）

电位移矢量的定义式

E D r 0εε= （6）

由式（5）和式（6），可得

E P D 0ε+=

该式虽然是从各向同性电介质的情形得到的，但无论是各向同性的或是各向异性的电介质都适用。 也就是说，在一般情况下，D 是两个矢量之和。 可见，D 是在考虑了电介质极化这个因素的情形下，被用来简化对电场规律的表述而设定的。

一、 例题1

例1 把一块相对电容率3r =ε的电介质，放在极板间相距mm 1=d 的平行平板电容器的两极之间。放入之前，两极板的电势差是1000V 。试求两极板间电介质内的电场强度E ，电极化强度P ，极板和电介质的电荷面密度，电介质内的电位移D 。

解 放入电介质前，电容器中的电场强度为

13130m kV 10m V 101000

---⋅=⋅==

d U E

放入电介质后，由式（8-9）知电介质中的电场强度为

1

216

r 0

m kV 1033.3m V 3

10--⋅⨯=⋅==εE E

由式8-15可得电介质中的电位移为

2

6000r 0m C 1085.8--⋅⨯====σεεεE E D

由式8-18可得电介质的电极化强度为

260m C 1089.5--⋅⨯=-=E D P ε

无论两极板间是否放入电介质，两极板自由电荷面密度的值为

262612000m C 1085.8m C 101085.8----⋅⨯=⋅⨯⨯==E εσ

由式（8-11），电介质中极化电荷面密度的值为

26m C 1089.5--⋅⨯=='P σ

二、例题2

一平行平板电容器充满两层厚度为21d d 和的电介质（图示），它们的相对电容率分别为

r2r1εε和，极板面积为S 。求（1）电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷密度的值为0σ时，

两介质分界面上的极化电荷面密度。

解 （1）设两极板上电荷面密度分别为+0σ和-0σ，两电介质中的电场强度分别为21 E E 和。在图中，选上、下底面积为1S 的正柱面为高斯面，上底面在导体极板内，下底面在相对电容率

为

r1ε的电介质内，侧面的法线与电场强度 1E 垂直。柱面内自由电荷为100S Q σ=。根据电介质

中的高斯定理，有

⎰=⋅1

d S σ

S D

得

0σ=D