专题15 取对数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练

的最大值是（ ）.
A. 1 e
B. e 3
C. e
D. 2e
【提示一】 x2
ln
x
m
me x
0 变形为 ln
x eln x
m
m
ex
，构造函数
x
g
x
xex
x
0
，等价转化为 ln
x
m x
，即
m
x
ln
x
，只需 m
x ln
x min
e，
答案为 C .
2021 高考数学
【提示二】
x2
ln
x
m
me x
且 ln x ln z ey ，则 x 的最小值为
．
z
y
【答案】 e2 .
【提示】1 y 3 ，ln x ey ，令 y t ，1 t 3，ln x ln x ln z et lnt .
3z
zz
z
3
yzy
3.若函数 f (x) ax（ a 0 且 a 1）的定义域[m，n] 上的值域是[m2，n2]
满足 x1ex1 e3 ， x2 ln x2 2 e5 ，则 x1x2 ______.
【答案】 e5
2021 高考数学
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令
ln x2 2 t, x2 et2 ，得到 tet e3 ，研究函数 f (x) xex 的单调性，求
出 x1,t 关系，即可求解.
∴当 0 t 1时， g(t) 0 ；当 t 1时， g(t) 0
∴ g(t)max g(1) 1，
∴ ln y 1， 0<y 1
e
又 lnx≠0 时， y 0
∴源自文库
f
x
ln2 x xln x
的值域为[0，
1 e
]，
∴函数
f
x
ln2 xln
x
x
的值域为[0，
1 e
]．
2021 高考数学
x
所以 f (x) 在 (0, ) 单调递增， f (x) 3 的解只有一个.
∴ x1 ln x2 2 ， ∴ x1x2 ln x2 2 x2 e5 【解析二】实数 x1 ， x2 满足 x1ex1 e3 ， x2 ln x2 2 e5 ，
x1 0, x2 e2 ， ln x2 2 t 0, x2 et2 ，则 tet e3 ， f (x) xex (x 0), f (x) (x 1)ex 0(x 0) ，
所以 f (x) 在 (0, ) 单调递增，而 f (x1) f (t) e3 ， x1 t ln x2 2, x1x2 x2 (ln x2 2) e 5 .
点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结
构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程
求解.
[强化训练]
（1<m<n），则实数 a 的取值范围是
．
2
【答案】 (1,ee )
4. 若函数 f (x) ax x2 （ a 1）有且只有三个零点，则实数 a 的取值
范围是
．
2
【答案】 (1,ee )
m
5. 设实数 m 0 ，若对任意的 x e ，不等式 x2 ln x me x 0 恒成立，则 m
专题 15 取对数型
[真题再现]
例 1 （2020·镇江丹阳高中、镇江一中、镇江中学三校 5 月调研·14）
设正实数
x，则
f
x
ln2 x xln x
的值域为_____．
【答案】[0，
1 e
]
【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人
“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可
ex mx2 ，x 0
ex = mx2 （ x 0 ）有两个零点
易知 m 0 ，两边均为曲线，较难求解.
两边取自然对数， x=ln m 2ln x ，即 x ln m 2ln x
问题即为： g(x) x ln m 与 h(x) 2ln x 有两个交点
先考察直线 y x b 与 h(x) 2ln x 相切，即只有一点交点的“临界状
例2
（2020·南通五月模拟·13）已知函数
f
(x)
1 ex
mx2
，x
0，
ex mx2 ，x 0 ，
若函数 f (x) 有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是
．
【答案】 (, e2 )
4
【解析】
f
(x)
1 ex
mx2 ，x 0，是 偶函 数， 问题 转 化为
ex
mx 2
=0
，即
1.（2020·新课标Ⅲ·理科·12）已知 55<84，134<85．设 a=log53，
b=log85，c=log138，则（ ）
A. a<b<c B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<a<b
2021 高考数学
【答案】A 2.(2020·田家炳 10 月考·14)若存在正实数 x，y，z 满足3y2 3z2 10yz ，
【解法一】对 x1ex1 e3 两边取自然对数得： ln x1 x1 3，
对 x2 ln x2 2 e5 两边取自然对数得：ln x2 ln ln x2 2 5
（※）
为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：
ln x2 2 ln ln x2 2 3
设 f (x) ln x x ，则 f (x) 1 1 0
态”
设切点为 (x0 , 2 ln x0 ) ，则 h(x0 )
2 x0
1 ，解得 x0
2 ，此时切点为 (2, 2ln 2)
代入 b 2 ln 2 2
再求 g(x) x ln m 与 h(x) 2ln x 有两个交点时，m 的取值范围
由图象知，当 g(x) x ln m 在直线 y x b 下方时，满足题意
以“拨开浓雾终见日”了.
【 解 析 】 当 lnx ≠ 0 时 ， 两 边 取 对 数 得 ：
ln y ln ln2 x ln xlnx 2ln ln x ln2 x
令 lnx＝t
∴设 g(t) ln y 2ln t t2
∵ g(t) 2 2t 2(1 t)(1 t)
t
t
故 ln m b 2ln 2 2 ，解之得 m e2 ，此时也符合 m 0
4
所以实数 m 的取值范围是 (, e2 ) ．
4
点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，
取对数不影响零点的个数. 例 3 （2020·淮阴中学、姜堰中学 12 月考·14）)已知实数 x1 ， x2
0
变形为 ln
x eln x
m
m
ex
，两边取对数
x
ln(ln x) ln x ln m m ，构造函数 g x x ln x x 0 ，该函数单增，故