人教版数学备课资料浅谈数学归纳法的应用

浅谈数学归纳法的应用

数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.

下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1

时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －

1－1），

由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －

1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.

由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.

二、用数学归纳法证明恒等式问题

对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．

例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12

)

1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．

解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：

)10113(12

)

1()1(32212222+++=

+•++•+•n n n n n n 令2

22)1(3221+•++•+•=n n S n

假设k n =时上式成立，即)10113(12

)

1(2+++=

k k k k S k 那么2

1)2)(1(+++=+k k S S k k

22)2)(1()10113(12)

1(++++++=

k k k k k k 2)2)(1()53)(2(12

)1(++++++=k k k k k k

)101253(12

)2)(1(2+++++=k k k k k

]10)1(11)1(3[12

)2)(1(2++++++=k k k k

这就是说，等式当1+=k n 时也成立． 综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立．

三、用数学归纳法证明不等式问题

用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．

例3．已知函数).1(1

3

)(-≠++=

x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*

21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=

（Ⅰ）用数学归纳法证明1

2

)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.33

2

2

1)(,0≥++

=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2

)13(1

--≤n n

n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，

（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1

--≤

k k

k b 那么 k

k k k a a a b +--=

-=+-1|3|)13(|3|11

.2)13(2131

k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1

--≤

n n

n b 所以 1

2212

)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n

n n b b b S

2131)

213(

1)13(----⋅-=n

.3322

1311)13(=--

⋅-<

故对任意.33

2

,<

∈*n S N n 例4．已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ； （2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋

n

b 1

），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与 2

1

lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论． 解：（1）容易得ｂn ＝2n －1.

（2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋1

21-n ） ＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋1

21

-n ）. 又

2

1

1g b n ＋１＝1g 12+n ， 因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋1

21

-n ）

与12+n 的大小. 取n =1，2，3时可以发现：前者大于后者，由此推测

（1+1）（1+

31）· …· （１＋1

21-n ）＞12+n . ① 下面用数学归纳法证明上面猜想： 当n =1时，不等式①成立.

假设n =k 时，不等式①成立，即

（1＋1）（1＋31）·…·（１＋1

21

-k ）＞12+k .

那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121

+k ）

＞12+k （１＋1

21

+k ）＝1212)1(2+++k k k .

又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，

∴1

212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k

∴当n =k +1时①成立.

综上所述，n ∈N*时①成立．

由函数单调性可判定S n ＞2

1

1g b n ＋１.