中考数学几何综合压轴

专题二 几何综合压轴题

考点精要解析

几何综合题大致可分为几何计算综合题与几何论证型综合题，这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题，还有代数与几何的综合几何题．

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查学生分析问题，探究问题，综合应用数学知识解决实际问题的能力．

以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面：

1．以证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系） 2．证明图形的位置关系； 3．几何计算问题； 4．动态几何问题．

高频考点过关

考点一：三大变换之对称

例题1．如右图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，把△BCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于点G ；E 、F 分别是C′D 和BD 上的点，线段EF 交AD 于点H ，把△FDE 沿EF 折叠，使点D 落在D′处，点D′恰好与点A 重合． （1）求证：△ABG ≌△C′DG ； （2）求tan ∠ABG 的值； （3）求EF 的长．

解：（1）∵△BDC ′由△BDC 翻折而成， ∴∠C ＝∠C ′＝∠BAG ＝90°，C ′D ＝AB ＝CD ，∠AGB ＝∠DGC ′， ∴△ABG ≌△C ′DG ．

（2）由（1）可知△ABG ≌△C ′DG ，∴GD ＝GB ，∴AG ＋GB ＝AD ，设AG ＝x ，则GB ＝8－x ，

在Rt △ABG 中，∵AB 2＋AG 2＝BG 2，即62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝7

4 ，

∴tan ∠ABG ＝

AG AB ＝7 24

． （3）∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分AD ，∴HD ＝1

2 AD ＝4，

∴tan ∠ABG ＝tan ∠ADE ＝

7 24 ，∴EH ＝HD ×7 24 ＝4×7 24 ＝7 6

． ∵EF 垂直平分AD ，AB ⊥AD ，∴HF 是△ABD 的中位线， ∴HF ＝1 2 AB ＝1

2 ×6＝3．

∴EF ＝EH ＋HF ＝25

6

．

例题2．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF，CF．

（1）如图（a）所示，，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图（b）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图（c）所示，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC ＝22，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

（a）（b）（c）

解：（1）线段DF，CF之间的数量和位置关系分别是相等和垂直．

（2）（1）中的结论仍然成立．

证明：如右图所示，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．

∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．

∴DE＝GB，DF＝GF．

又∵AD＝DE，AC＝BC，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，

∴DF＝CF，DF⊥CF．

（3）线段CF的长为10 2．

例题3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别为AB，AC上的点．

（1）如图（a）所示，CE＝AB，BD＝AE，过点C作CF∥EB，且CF＝EB，连接DF交EB

于点G，请你直接写出EB

DC的值；

（2）如图（b）所示，，CE＝kAB，BD＝kAE，EB

DC＝

1

2，求k的值．

（a）（b）

解：（1）EB

DC＝

2

2．

（2）如右图所示，过点C作CF∥BE且CF＝BE，连接DF交EB于点G，连接BF．

∴四边形BFCE是平行四边形，∴CE∥BF且CE＝BF，∴∠ABF＝∠A＝90°，

∵BF＝CE＝kAB，BD＝kAE，

∴BF

AB＝k．∵BD＝kAE，∴

BD

AE＝k．∴

BF

AB＝

BD

AE．∴

△DBF∽△EAB．∴DF BE＝

k,∠GDB=∠AEB.

∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°.

∵.∴.∴

考点四：几何综合之动态问题

例题4.已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF.如图（a）所示，线由一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一条直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图（b）s所示，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN 与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

解：（1）在Rt△GMN中，GN=6，GM=8，∴MN=10.由题意，易知点G的运动线路平行于BC.如下图所示，过点G作BC的平行线，分别交AE，AF于点Q，R.

∵∠AED=∠EGM=90°，∴AE∥GM.∴四边形QEMG为平行四边形，∴QG=EM=10.∴t=10. （2）存在符合条件的点P.

在Rt△ABE中，AB=12，BE=16，由勾股定理得：AE=20.设∠AEB=，

则sin，cos=.∵NE=t，∴QE=NE·cos=t，AQ=AE-QE=20-t.

△APQ是等腰三角形，有三种肯能的情形：

①AP=PQ，如下左图所示：过点P作PK⊥AE于点K，则AK=AP·cos=t.

∵AQ=2AK,∴20-t=2×t，解得:t=.

②AP=AQ.如下中土所示：t=20-t，解得:t=.

③AQ=PQ，如下右图所示：过点Q作QK⊥AP于点K，则AK=AQ·cos=（20-t）×=16-t.

∵AP=2AK,∴t=2（16-t），解得t=.

综上所述，当t=，，

秒时，

使△APQ 是等腰三角形.