统计学基础知识

一、数据的特征值

（一）数据的位置特征值 1）平均值

如果从总体中抽取一个样本，得到一批数据x 1，x 2，x 3….x n ，则样本的平均值x 为：

n-数据个数； x i -第i 个数据数； ∑-求和。

2）中位数

有时，为减少计算，将数据x 1，x 2，x 3….x n 按大小次序排列，用位居于正中的那个数或中间两个数的平均值（当数据为偶数时）表示数据的总体平均水平。

3）中值M 测定值中的最大值x max 与最小值x min 的平均值，用M 表示。

4）众数

在用频数分布表示测定值时，频数最多的值即为众数。若测定值按区间做频数分布时，频数最多的区间代表值（一般取区间中值）也称众数。

（二）数据的离散特征值 1）极差R

测定值中的最大值x max 与最小值x min 之差称为极差。通常R 用于个数n 小于10的情况下，n 大于10时，一般采用标准偏差s 表示。

2）偏差平方和S 各测定值x i 与平均值 之差称为偏差。各测定值的偏差平方和称为偏差平方和，简称平方和，用S 表示。

无偏方差

各个测定值的偏差平方和除以（n-1）后所得的值称为无偏方差（简称方差），用s 2表示：

~

x _x _

x ∑

=--=-=n i i x x n n S s 1

2

_2)(1112

_

2

_

22

_

1)(...)

()

(x x x x x x n -+-+-∑=-n

i i x x 1

2

_

)(S = =

标准偏差s

2

（三）变异系数

以上反映数据离散程度的特征值，只反映产品质量的绝对波动大小。在工程实践中，测量较大的产品，绝对误差一般较大，反之亦然。因此要考虑相对波动的大小，在统计技术上

上式中σ和μ为总体均值和总体标准差，当过程在受控状态下，且样本容差较大时，可用样本标准差s 和样本均值 估计。

_x

Ca、Cp、Cpk的计算

过程准确度指数（Ca值）：表示过程特性中心位置的偏移程度，越小越好

Ca=（样本平均值-规格中心值）/（规格公差/2）

等级A：|Ca|≦12.5% 表示作业员遵守作业规范,并达规格要求

等级B ：12.5%< |Ca|≦25% 表示必要时尽可能提升至A级

等级C：25%< |Ca|≦50% 表示作业员可能看错或未按标准作业，或须修改规格及作业标准。等级D：50%< |Ca| 表示应采取紧急措施，全面整改可能影响之因素，必要时应停止生产。

过程精密度能力系数（Cp值）：表示过程特性分散的程度，值越大越集中。

Cp=(规格上限-规格下限)/（6×标准差）

合格：1.33≦Cp表示能力足够

警告：1.00 ≦Cp< 1.33表示能力无足够宽度,平均值稍有偏差时,不良率既会增加。

不合格：Cp< 1.00表示能力不足，有不合格品，须全数筛选，并设法缩小变异或整改规格公差。过程综合能力系数(Cpk值)：同时考虑“偏移”程度及“分散程度

Cpk=(1-Ca) ×Cp

此系数为过程评价用系数，用于过程改善

客户指定Cpk值时，欲达到此Cpk值，可先探讨Ca及Cp值：“准确度”“精密度”是否有适当能力

一般客户是指定值多数为≧1.33；Cpk值≧3.00时，表示过程能力已经足够了，继续维持即可；若想进一步改善，应考虑成本效益。

Cp=(Ucl-Lsl)/6δ

Cpku=(Ucl-Xbar)/3δ

Cpkl=(Xbar-Lsl)/3δ

Cpk=min(Cpku : Cpkl)

二、 回归分析

(一)什么是回归分析

回归分析是用来研究一个指标与几个变量间的相关关系的方法。

设有两个变量x 和y ，前者为自变量,后者为因变量,并均为随机变量。当自变量X 变化时，Y 会产生相应的变化，如果具有大量或较多的统计数据（x i ,y i ），则可以用数学方法找出两者之间的统计关系y ＝f(x)，这种数学方法称为回归分析。

当y ＝a ＋bx 时，称之为一元线性回归；

当y ＝f(x)为非线性函数关系时，称之为非线性回归；

当x 变量不止1个，有几个时，即有（x 1，x 2···，x n ），则y ＝f （x 1，x 2···，x n ）称之为多元回归。

当有y ＝a ＋b 1 x 1＋b 2 x 2＋···＋b n x n 时，称之为多元线性回归，否则为多元非线性回归。

回归分析可用于预测、质量控制等方面。

(二) 一元线性回归方程的计算方法

设一元线性回归方程的表达式为: y=a+bx

现在给出了n 对数据(x i , y i ),要求根据这些数据去估计a 与b 的值。则：

其中 L xx:----x 的离差平方和 L yy ----y 的离差平方和 L xy ----x ，y 的离差成积之和

2

n

1

i )

Lx x x x i -=∑

=（2

n

1

i )

Lyy y y i -=∑

=（x

b y -=a xx xy L L =b )y )(Lx y n

1

i y x x i i --=∑

=（

三、统计过程控制基本概念

Statistical Process Control（SPC---统计过程控制）的概念是：应用统计技术对过程中的各个阶段进行评估和检察，保持过程处于可接受的和稳定的水平，以保证产品与服务满足要求的均匀性。

这里的统计技术涉及到数理统计内容，但所应用的主要工具是控制图。

SPC可以判断过程的异常，及时告警。但是不能告知此异常是什么因素引起的，发生于何处。20世纪80年代起，我国的张公绪先生提出Statistical Process Diagnosis理论（SPD---统计过程诊断）。20世纪90年代起又发展为Statistical Process Adjustment （SPA---统计过程调整）。三者循环关系如下：

SPC---告诉过程是否有异常

SPD---告诉过程是否有异常，若异常，告知问题出在哪里

SPA---告诉过程是否有异常，若异常，告知问题出在哪里，如何进行调整

所以SPC是质量改进循环的首要步骤，应该熟练掌握运用。