正多面体与球

正多面体与球
一、 正方体与球
如图：正方体1111ABCD A B C D -中，设
其棱长为a
问题1：正方体1111ABCD A B C D -（如：AC 、BD 、1AB 等）共有_____条，它
们的长度均为__________（用正方体的棱长a
表示）；正方体1111ABCD A B C D -（如：1AC 、1BD 等）共有_____条，长度均为__________（用正方体的棱长a 表示）．
问题2： 过正方体1111ABCD A B C D -的
三个顶点A 、1B 、1D 作该正方体的截面
11AB D ，再过顶点1C 、B 、D 也作该正
方体的截面1C BD ，你感受到这两个截面
有什么位置关系？这两个截面将正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 分成三条线段，你知道这三条线段的长度有什么关系吗？你可以利用等体积法证明你的结论．
结论：_______________________________________________________．
问题3：在初中的学习过程中,我们知道内切圆与外接圆．类比正方形的内切圆与外接圆，设想一下正方体有内切球和外接球吗？
⑴正方形的内切圆与正方形的__________相切；由此可以类比：正方体的内切球的球面与正方体的__________相切．
⑵正方形的__________都在它的外接圆上；由此可以类比：正方体的__________都在它的外接球的球面上．
⑶正方形的边长为a ，则它的内切圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为_________．
⑷正方形的边长为a ，则它的外接圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的外接球的半径为_________．
注意：类比得到的结论不一定正确．这里，你得到的结论是正确的吗？再仔细考虑一下，看看能不能证明你的结论．
问题4：在正方体1111ABCD A B C D -中还有一种球，它的球面和正方体的
12条棱都相切，它的半径应该比该正方体的内切球的半径_____，比该正方体的外接球的半径_____（填“大”或“小”）．想
正方体的底面平行的平面）有什么关系？利用这一点，你可以求出这个正方体的棱切球的半径为_____（用正方体的棱长a 表示）．
二、 正四面体与球
如图：正四面体ABCD 中,设其棱长为b ．
问题5：顶点A 在底面BCD 内的正投影
应该为底面BCD ∆的_____心．
问题6：在BCD ∆中，M 为CD 的中点，则线段BM 的长度为_____（用正四面体的棱长b 表示）．
问题7：在BCD ∆中，它的内心（内切圆的圆心）与外心（外接圆的圆心）应重合为一点，我们称其为这个等边BCD ∆的中心（注：只有正多边形和正多面体才有“中心”）．在等边三角形中，它的中心到顶点的距离与到对边中点的距离的比值为_____，于是：1BO =_____，1=O M _____（用正四面体的棱长b 表示）．
问题8：如图正四面体ABCD 中,线段AM 与BM 的长度有什么关系？图
中的1AO B ∆与1AO M 均为直角三角形，
你感觉到了吗？到这里，你有多种方法可
以求出这个正四面体的高（提示：⑴勾股
定理，⑵等面积法）． 则这个正四面体的
高1AO = _____（用正四面体的棱长b
表示）．
问题9：我们知道，正三角形有内切圆与外接圆，并且内切圆的圆心与外接圆的圆心重合为一点．类比这一性质，我们可以想象，正四面体应该有内切球和外接球，并且内切球的球心和外接球的球心重合为一点；我们还知道，正三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为_____（同问题7），类比这一性质，我们还可以想象，正四面体的内切球半径和外接球半径的比应该为_____．
注意：类比得到的结论不一定正确．在这里，你得到的结论是正确的吗？
问题10：设点O 为该正四面体ABCD 的中心，这个点也应该是它的内切球和外接球的球心，我们可以知道，1OO 应是内切球的半径，OA 、OB 、OC 、OD 均为外接球的半径．你能求出内切球半径与外接球半径的长度吗？设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则r =_____，=R _____，r R
=_____（其中r 、R 用正四面体的棱长b 表示）． （提示：利用OA OB =并且在1OO B ∆中利用勾股定理）
问题11：到这里，回头看一下，在问题9中你类比得到的结论是正确的吗？如果是错误的，为什么会犯这样的错误呢？我们可以这样来想：第一步，线段的重心（一维空间）；第二步，正三角形的重心（二维空间）；第三步，正四面体的重心（三维空间）．展开你的想象，你会得到正确的结论． 结论：
⑴．线段的重心(即中点)到两个顶点的距离的比是_____．
是_____．
是_____．
由此可知：正三角形的外接圆半径与内切圆半径的比是_____；正四面体的外接球半径与内切球半径的比是_____．
问题12：正四面体也会有棱切球，这个球应该比__________（填内切球或外接球）的半径大，比_________（填内切球或外接球）的半径小．我们暂时不容易求出它的半径，不妨等一会儿再说．
三、 正八面体与球
如图：在正八面体ABCDEF 中，设其棱长为c ．
问题13：在正八面体ABCDEF 中，你能找到
正方形吗？有几个，它们分别是
_______________________________________
___________．
问题14：由问题13我们可以知道，
EF AC BD ==，这几条线段与这个正八面体的外接球有什么关系？由此，你可以得到正八面体的外接球半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．
问题15：在正八面体ABCDEF 中，它的棱切球与正方形ABCD 有什么关系？故可知正八面体的棱切球的半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．
正八面体的内切球的半径与棱长的关系一时不容易求得，我们再想办法吧！
四、 组合体与球
问题16：在正方体
1111ABCD A B C D -中，设其棱长为
a ．我们连接几条面对角线，如图，
得到的几何体11ACB D 为
_______________（填名称），它的棱
长为正方体棱长的_____（用正方体的棱长a 表示）．
在这里，你能发现正四面体的棱切球与正四面体以及正方体的关系了吧． 你的结论是：正四面体的棱切球的半径为_____（用正四面体的棱长b 表示）．
问题17：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接各个面的中心，则构成一个新的几何体，你知道这个几何体的名字吗？设这个几何体的棱长为c ，则c 与正方体的棱长a 有什么关系？
问题18：如图： 过E 、M 、N 三
点的平面与正方体
1111ABCD A B C D -的截面11
AB D 有什么关系？再有，过F 、P 、Q 三
点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面1BC D 有什么关系？这两个平行的截面间的距离为正方体的体对角
线的_____，这两个平行截面与这个正八
面体的内切球有什么关系？至此，你可
以求出正八面体的内切球的半径了吧!你
的结论是：正八面体的内切球的半径为
其棱长的_____．
五、 回顾与总结
问题19：在以上研究问题的过程中，你得到了很多有用的结论，把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．
问题20：在以上研究问题的过程中，你用到了很多方法，哪种方法你觉得将来还会用到？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．
问题21：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．
六、成功与体验
在以上研究问题的过程中，你体会到成功的快乐了吗？当你忘乎一切地思考问题，想到脑子发胀，回首休息一下的时候，正是你快乐的时候，这正是数学的魅力所在．再回头看看走过的路，你会发现，你已远远超越了自己．
七、巩固与提高：
1.正方体的外接球与内切球的体积的比是______．
2.直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=
，1=AB BC AA a ==，这个三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为_______．
3.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且1SA =，这个四棱锥的外接球的体积是_______．
4.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是正三角形，PA 、PB 、PC 两两垂直且长度都为1，这个三棱锥的外接球的体积是______．
5.三棱锥P ABC -中，90ABC ∠= ，=1AB BC =，PA ⊥底面ABC ，1PA =，这个三棱锥的外接球的表面积是______．
6.正四面体的外接球与内切球的体积的比为______．
7.，它的棱切球的表面积为______．
8.正四棱锥S ABCD -的所有棱长均为a ，它的外接球的体积为______．
9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面， 2AB AC ==，90BAC ∠= ，12AA =且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．12π
10.已知底面边长为P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．2π
C ．43
π D ．4π
11.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12
S S =________________． 12.
面积为_______________．
13.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面
积等于4+O 的体积等于（ ）
A
B
C
D
14.在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60BAD ∠= ，E 为AB 的
中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）
A
B
C
D
15.正四棱锥S ABCD -的底面边长
点S 、A 、B 、
C 、
D 都在同一球面上，则该球的体
积为_____________．
16.设正方体的棱长为a ，利用如图所
示的几何体的关系，填写下表．
其它几何体与球
一、长方体与球
问题1．我们已经了解了正方体的外接球，由此，你很容易想到长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的外接球的直径为__________，半径为__________．
问题2．长方体的内切球（与长方体的所有面都相切）与棱切球（与长方体的所有棱都相切）存在吗？请你仔细想想这个问题．
二、正三棱柱与球
问题3．正三棱柱若存在内切球，这个正三棱柱的
底面边长a与高h必存在一定的关系，若内切球的
半径设为r，则底面边长a与高h的关系为
__________，内切球的半径r与底面边长a的关系
为__________，内切球的半径r与高h的关系为
__________．
问题4．正三棱柱若存在棱切球，这个正三棱柱
的底面边长a与高h也应该存在一定的关系，若
棱切球的半径设为r，则底面边长a与高h的关
系为__________，棱切球的半径r与底面边长a
的关系为__________，棱切球的半径r与高h的
关系为__________．
问题5．正三棱柱的外接球的球心必为上下底
面中心连线的中点，设这个正三棱柱的底面边
长为a，高为h，如图：利用直角三角形和勾
股定理，你一定能求得外接球的半径R与边长
a和高h的关系．
三、正六棱柱与球
问题6．正六棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，你一定能
的底面边长为a，高为，你一定能求得它的外接球的半径R与边长a和高h的关系．
正六棱柱的内切球与棱切球我们不再统一研究，有兴趣的同学自己研究．
问题７．问题5中的正三棱锥一定可以放入一个正六棱柱中，此时，正三棱柱的外接球与正六棱柱的外接球为同一个球，利用正六棱柱的外接球你也可以求得正三棱柱的外接球的半径．设正三棱柱的底面边长为a，则正六棱柱的底面边长为__________（用正三棱柱的底面边长a表示），若正三棱柱和正六棱柱的共同的高为h，则它们的外接球直径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示），半径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示）．
四、圆柱体与球
问题８．圆柱体的内切球课本上28页已经研究过了，我们要注意体会这里的结论和方法．
⑴．球的体积是圆柱体的体积的__________；
⑵．球的表面积是圆柱体的表面积的__________；
⑶．球的表面积等于圆柱体的侧面积．
问题９．圆柱体的外接球的直径更容易考虑，自己想想吧！设圆柱底面半径为r，高为h，则外接球的半径为__________（用圆柱底面半径r和高h 表示）．
五、 地球仪与球
地球仪是我们最熟悉的球体，地球仪里面有经线、纬线，经度、纬度，南极、北极，我们很容易用它们来刻画球里的各种特征．请你认真体会，能给你帮上大忙．
六、 三棱锥与球
问题１０．你能用面积法求三角形的内切圆半径吗？如：ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ， ABC ∆的面积为S ，设内切圆的半径为r ，则内切圆的半径r =__________．
问题１１．类比问题１０，你能考虑三棱锥的内切球的半径与三棱锥的各个面的关系吗？写出你的结论．
问题１２．如果一个三棱锥能放入一个长方体、正方体、三棱柱、六棱柱、圆柱或地球仪中，这个三棱锥的外接球的直径或半径我们就可以求出．认真体会这一思想，它能帮你解决好多问题．
七、 回顾与总结
问题１３：在以上研究问题的过程中，我们得到了哪些有用的结论？把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．
问题１４：在以上研究问题的过程中，我们用到了哪些方法？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．
问题１５：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．
八、 巩固与提高
1球面上，则此球的体积为___________________。

2．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3球面上，当正六棱柱的底
）
A ．
B
C ．
D ．3．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶
点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
98表面积为（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．43π
D ．83
π 4．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面，已知该六棱柱的顶点
3，那么这个球的体积为_____________。

5．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠= ，则此球的表面积为-___________________。

6．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若
12AB AC AA ===，120BAC ∠= ，则此球的表面积等于（ ）
A ．10π
B ．20π
C ．30π
D ．40π
7．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___________________。

8．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43
π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．9．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．24π
C ．
D ．48π
10．已知三棱锥O ABC -中，,,A B C 三点均在球心为O 的球面上，
1AB BC ==，120ABC ∠= ，三棱锥O ABC -O 的表面积为（ ）
A ．64π
B ．16π
C ．323
π D ．544π 11．已知ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，90ABC BCD ∠=∠= ，
AB a =，BC b =，CD c =，且2221a b c ++=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2
π 12．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π，则x 的值为______________。

13．在三棱柱111ABC A B C -中，'AA ⊥平面ABC ，'2AA =，BC =
2BAC π
∠=，且此三棱柱的各个顶点均在一个球面上，则球的体积为_______________。

14．三棱锥S A B -中，SA ⊥平面ABC ，,2,1AB BC SA AB BC ⊥===，则此三棱锥的外接球的表面积为___________________。

15．知三棱锥P ABC -中，90BPC ∠= ，PA ⊥平面BPC ，其中
AB =BC =，AC =,,,P A B C 四点均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．14π
C ．72
π D ．28π 16．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、
ACD ∆、ADB ∆的面积分别为
2、22
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．6π
C ．
D ．24π
17．设A 、B 、C 、D 为球O 上的四点，若,,AB AC AD 两两互相垂直，
且AB AC ==2AD =，则OD 与平面ABC 所成的角为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．6π
D ．2
π 18．三棱锥S ABC -中，侧棱,,SA SB SC 两两垂直，
,,SAB SBC SAC ∆∆∆的面积分别为31,,32
，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．10π
C ．12π
D ．14π 19．已知正方形123APP P 的边长为4，点B 、C 为边12PP ，23P P 的中点，
沿,,AB BC CA 折叠成一个三棱锥P ABC -（使123,,P P P 重合于点
P ），则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．96π
B ．48π
C ．24π
D ．12π
20．已知四面体A BCD -的外接球的球心O 在BD 上，且AO ⊥平面
BCD ，BC BD =，若四面体A BCD -的体积为32，则球O 的表面积为（ ）
A ．12π
B ．10π
C ．8π
D ．6π
21．已知球的半径为2，互相垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A ．1
B
C
D ．2
22．已知,,,A B C D 的球面上，且AC BD ==，5AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D A B C -的体积是________________。

23．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在一个半径为R 球面上，球心O 在
AB 上，PO ⊥平面ABC ，AC BC
=，则三棱锥与球的体积之比为________________。

24．已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
A B C ． D 25．一个四棱锥的底面是正方形，其顶点在底面上的射影为正方形的中心，已知该四棱锥的各个顶点都在同一个球面上，且该四棱锥的高为3，体积为6，则该球的表面积为（ ）
A ．10π
B ．16π
C ．12π
D ．18π
26．正四棱锥O ABCD -的所有棱长均为1，点A 、B 、C 、D 在球O 的表面上，延长CO 交球面于点S ，则四面体A SOB -的体积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．12
D 27．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，
则以1B 为
顶点，以平面1ACD 被球O 截所得的圆为底面的圆锥的全面积为______________。

28．矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个四
面体A B C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为___________________。

29．在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）
A ．12512π
B ．1259π
C ．1256π
D ．1253
π
30．平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A B ．3π C ．3
D ．2π 31．已知三边长分别为3、4、5的ABC ∆的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到ABC ∆的三个顶点的距离相等，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）
A ．
5 B ．10 C ．20 D ．30 32．设OA 是球O 的半径，M 是球O 的中点，过M 且与OA 成45 角的平面截球O 的表面得到圆C ，若圆C 的面积等于74
π，则球O 的表面积等于（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
33．已知球的直径4SC =，AB 是该球面上的两点，2AB =，45ABC BSC ∠=∠= ，则三棱锥S ABC -的体积为______________。