正多面体与球

正多面体与球一、 正方体与球如图：正方体1111ABCD A B C D -中，设其棱长为a问题1：正方体1111ABCD A B C D -（如：AC 、BD 、1AB 等）共有_____条，它们的长度均为__________（用正方体的棱长a表示）；正方体1111ABCD A B C D -（如：1AC 、1BD 等）共有_____条，长度均为__________（用正方体的棱长a 表示）．问题2： 过正方体1111ABCD A B C D -的三个顶点A 、1B 、1D 作该正方体的截面11AB D ，再过顶点1C 、B 、D 也作该正方体的截面1C BD ，你感受到这两个截面有什么位置关系？这两个截面将正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1AC 分成三条线段，你知道这三条线段的长度有什么关系吗？你可以利用等体积法证明你的结论．结论：_______________________________________________________．问题3：在初中的学习过程中,我们知道内切圆与外接圆．类比正方形的内切圆与外接圆，设想一下正方体有内切球和外接球吗？⑴正方形的内切圆与正方形的__________相切；由此可以类比：正方体的内切球的球面与正方体的__________相切．⑵正方形的__________都在它的外接圆上；由此可以类比：正方体的__________都在它的外接球的球面上．⑶正方形的边长为a ，则它的内切圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的内切球的半径为_________．⑷正方形的边长为a ，则它的外接圆的半径为__________；由此可以类比：正方体的棱长为a ，则它的外接球的半径为_________．注意：类比得到的结论不一定正确．这里，你得到的结论是正确的吗？再仔细考虑一下，看看能不能证明你的结论．问题4：在正方体1111ABCD A B C D -中还有一种球，它的球面和正方体的12条棱都相切，它的半径应该比该正方体的内切球的半径_____，比该正方体的外接球的半径_____（填“大”或“小”）．想正方体的底面平行的平面）有什么关系？利用这一点，你可以求出这个正方体的棱切球的半径为_____（用正方体的棱长a 表示）．二、 正四面体与球如图：正四面体ABCD 中,设其棱长为b ．问题5：顶点A 在底面BCD 内的正投影应该为底面BCD ∆的_____心．问题6：在BCD ∆中，M 为CD 的中点，则线段BM 的长度为_____（用正四面体的棱长b 表示）．问题7：在BCD ∆中，它的内心（内切圆的圆心）与外心（外接圆的圆心）应重合为一点，我们称其为这个等边BCD ∆的中心（注：只有正多边形和正多面体才有“中心”）．在等边三角形中，它的中心到顶点的距离与到对边中点的距离的比值为_____，于是：1BO =_____，1=O M _____（用正四面体的棱长b 表示）．问题8：如图正四面体ABCD 中,线段AM 与BM 的长度有什么关系？图中的1AO B ∆与1AO M 均为直角三角形，你感觉到了吗？到这里，你有多种方法可以求出这个正四面体的高（提示：⑴勾股定理，⑵等面积法）． 则这个正四面体的高1AO = _____（用正四面体的棱长b表示）．问题9：我们知道，正三角形有内切圆与外接圆，并且内切圆的圆心与外接圆的圆心重合为一点．类比这一性质，我们可以想象，正四面体应该有内切球和外接球，并且内切球的球心和外接球的球心重合为一点；我们还知道，正三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为_____（同问题7），类比这一性质，我们还可以想象，正四面体的内切球半径和外接球半径的比应该为_____．注意：类比得到的结论不一定正确．在这里，你得到的结论是正确的吗？问题10：设点O 为该正四面体ABCD 的中心，这个点也应该是它的内切球和外接球的球心，我们可以知道，1OO 应是内切球的半径，OA 、OB 、OC 、OD 均为外接球的半径．你能求出内切球半径与外接球半径的长度吗？设内切球半径为r ，外接球半径为R ，则r =_____，=R _____，r R=_____（其中r 、R 用正四面体的棱长b 表示）． （提示：利用OA OB =并且在1OO B ∆中利用勾股定理）问题11：到这里，回头看一下，在问题9中你类比得到的结论是正确的吗？如果是错误的，为什么会犯这样的错误呢？我们可以这样来想：第一步，线段的重心（一维空间）；第二步，正三角形的重心（二维空间）；第三步，正四面体的重心（三维空间）．展开你的想象，你会得到正确的结论． 结论：⑴．线段的重心(即中点)到两个顶点的距离的比是_____．是_____．是_____．由此可知：正三角形的外接圆半径与内切圆半径的比是_____；正四面体的外接球半径与内切球半径的比是_____．问题12：正四面体也会有棱切球，这个球应该比__________（填内切球或外接球）的半径大，比_________（填内切球或外接球）的半径小．我们暂时不容易求出它的半径，不妨等一会儿再说．三、 正八面体与球如图：在正八面体ABCDEF 中，设其棱长为c ．问题13：在正八面体ABCDEF 中，你能找到正方形吗？有几个，它们分别是__________________________________________________．问题14：由问题13我们可以知道，EF AC BD ==，这几条线段与这个正八面体的外接球有什么关系？由此，你可以得到正八面体的外接球半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．问题15：在正八面体ABCDEF 中，它的棱切球与正方形ABCD 有什么关系？故可知正八面体的棱切球的半径为_____（用正八面体的棱长c 表示）．正八面体的内切球的半径与棱长的关系一时不容易求得，我们再想办法吧！四、 组合体与球问题16：在正方体1111ABCD A B C D -中，设其棱长为a ．我们连接几条面对角线，如图，得到的几何体11ACB D 为_______________（填名称），它的棱长为正方体棱长的_____（用正方体的棱长a 表示）．在这里，你能发现正四面体的棱切球与正四面体以及正方体的关系了吧． 你的结论是：正四面体的棱切球的半径为_____（用正四面体的棱长b 表示）．问题17：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接各个面的中心，则构成一个新的几何体，你知道这个几何体的名字吗？设这个几何体的棱长为c ，则c 与正方体的棱长a 有什么关系？问题18：如图： 过E 、M 、N 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面11AB D 有什么关系？再有，过F 、P 、Q 三点的平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面1BC D 有什么关系？这两个平行的截面间的距离为正方体的体对角线的_____，这两个平行截面与这个正八面体的内切球有什么关系？至此，你可以求出正八面体的内切球的半径了吧!你的结论是：正八面体的内切球的半径为其棱长的_____．五、 回顾与总结问题19：在以上研究问题的过程中，你得到了很多有用的结论，把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．问题20：在以上研究问题的过程中，你用到了很多方法，哪种方法你觉得将来还会用到？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．问题21：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．六、成功与体验在以上研究问题的过程中，你体会到成功的快乐了吗？当你忘乎一切地思考问题，想到脑子发胀，回首休息一下的时候，正是你快乐的时候，这正是数学的魅力所在．再回头看看走过的路，你会发现，你已远远超越了自己．七、巩固与提高：1.正方体的外接球与内切球的体积的比是______．2.直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB BC AA a ==，这个三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为_______．3.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，且1SA =，这个四棱锥的外接球的体积是_______．4.三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是正三角形，PA 、PB 、PC 两两垂直且长度都为1，这个三棱锥的外接球的体积是______．5.三棱锥P ABC -中，90ABC ∠= ，=1AB BC =，PA ⊥底面ABC ，1PA =，这个三棱锥的外接球的表面积是______．6.正四面体的外接球与内切球的体积的比为______．7.，它的棱切球的表面积为______．8.正四棱锥S ABCD -的所有棱长均为a ，它的外接球的体积为______．9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面， 2AB AC ==，90BAC ∠= ，12AA =且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．12π10.已知底面边长为P ABC -的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．2πC ．43π D ．4π11.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =________________． 12.面积为_______________．13.已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+O 的体积等于（ ）ABCD14.在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60BAD ∠= ，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）ABCD15.正四棱锥S ABCD -的底面边长点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_____________．16.设正方体的棱长为a ，利用如图所示的几何体的关系，填写下表．其它几何体与球一、长方体与球问题1．我们已经了解了正方体的外接球，由此，你很容易想到长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的外接球的直径为__________，半径为__________．问题2．长方体的内切球（与长方体的所有面都相切）与棱切球（与长方体的所有棱都相切）存在吗？请你仔细想想这个问题．二、正三棱柱与球问题3．正三棱柱若存在内切球，这个正三棱柱的底面边长a与高h必存在一定的关系，若内切球的半径设为r，则底面边长a与高h的关系为__________，内切球的半径r与底面边长a的关系为__________，内切球的半径r与高h的关系为__________．问题4．正三棱柱若存在棱切球，这个正三棱柱的底面边长a与高h也应该存在一定的关系，若棱切球的半径设为r，则底面边长a与高h的关系为__________，棱切球的半径r与底面边长a的关系为__________，棱切球的半径r与高h的关系为__________．问题5．正三棱柱的外接球的球心必为上下底面中心连线的中点，设这个正三棱柱的底面边长为a，高为h，如图：利用直角三角形和勾股定理，你一定能求得外接球的半径R与边长a和高h的关系．三、正六棱柱与球问题6．正六棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，你一定能的底面边长为a，高为，你一定能求得它的外接球的半径R与边长a和高h的关系．正六棱柱的内切球与棱切球我们不再统一研究，有兴趣的同学自己研究．问题７．问题5中的正三棱锥一定可以放入一个正六棱柱中，此时，正三棱柱的外接球与正六棱柱的外接球为同一个球，利用正六棱柱的外接球你也可以求得正三棱柱的外接球的半径．设正三棱柱的底面边长为a，则正六棱柱的底面边长为__________（用正三棱柱的底面边长a表示），若正三棱柱和正六棱柱的共同的高为h，则它们的外接球直径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示），半径为__________（用正三棱柱的底面边长a和高h表示）．四、圆柱体与球问题８．圆柱体的内切球课本上28页已经研究过了，我们要注意体会这里的结论和方法．⑴．球的体积是圆柱体的体积的__________；⑵．球的表面积是圆柱体的表面积的__________；⑶．球的表面积等于圆柱体的侧面积．问题９．圆柱体的外接球的直径更容易考虑，自己想想吧！设圆柱底面半径为r，高为h，则外接球的半径为__________（用圆柱底面半径r和高h 表示）．五、 地球仪与球地球仪是我们最熟悉的球体，地球仪里面有经线、纬线，经度、纬度，南极、北极，我们很容易用它们来刻画球里的各种特征．请你认真体会，能给你帮上大忙．六、 三棱锥与球问题１０．你能用面积法求三角形的内切圆半径吗？如：ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ， ABC ∆的面积为S ，设内切圆的半径为r ，则内切圆的半径r =__________．问题１１．类比问题１０，你能考虑三棱锥的内切球的半径与三棱锥的各个面的关系吗？写出你的结论．问题１２．如果一个三棱锥能放入一个长方体、正方体、三棱柱、六棱柱、圆柱或地球仪中，这个三棱锥的外接球的直径或半径我们就可以求出．认真体会这一思想，它能帮你解决好多问题．七、 回顾与总结问题１３：在以上研究问题的过程中，我们得到了哪些有用的结论？把你认为有用的结论用红笔标注出来，认真体会．问题１４：在以上研究问题的过程中，我们用到了哪些方法？多多体会这些方法，它将给你带来很多好处．问题１５：在以上研究问题的过程中，你感觉我们用到了哪些数学思想．对数学思想多加认识，它将使你受益终生．八、 巩固与提高1球面上，则此球的体积为___________________。