线性代数知识点集锦

课时授课计划

课次序号： 8

一、课题：矩阵的初等变换与初等矩阵

二、课型：课堂讲授

三、目的要求：熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；知道矩阵等价的概念。知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系。掌握用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵的方法。

四、重点、难点：矩阵初等变换的方法；用初等变换求逆矩阵的方法。

五、教学方法及手段：采用课堂讲授的方法，并以多媒体课件辅助。

六、参考资料：

《线性代数学习辅导与习题选解》，同济大学应用数学系编，高等教育出版社

《线性代数学习与考试指导》，赵树源编，中国人民大学出版社

《工程数学例题与习题》，工程数学课程教学指导委员会本科组编，高等教育出版社1(1)(3),4

七、作业：P

79

八、授课记录：

九、授课效果分析：

十、教学进程（教学内容、教学环节及时间分配等） 1、复习

回顾高中阶段用消元法解线性方程组所用到的几种运算。

2、导入课题

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组，求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到重要的作用。为引进矩阵的初等变换，先来回忆一下以前所接触的用消元法解线性方程组。

在用消元法解线性方程组的时候，用到三种变换，即：交换方程的次序；以不等于零的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的k 倍。由于这三种变换都是可逆的，所以变换前后的方程组是同解的。

在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并没有参与运算。因此把线性方程组的系数和常数放在一个数表里，构成方程组的增广矩阵，即(),B A b =，那么上述对方程组的变换完全可以转化为对增广矩阵的变换。把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。 3、教学内容

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： （1）对调两行（对调,i j 两行，记作i j r r ↔）

（2）以数0k ≠乘某一行中的所有元素（第i 行乘k ，记作i r k ⨯）

（3）把某一行中所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去（第j 行的倍加到第i 行上，记作i j r kr +）

把定义中的行换成列，即得矩阵初等列变换的定义。初等行变换与初等列变换统称初等变换。

显然，三种初等变换都是可逆的，而且其逆变换是同一类型的初等变换。 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ，就称矩阵A 和B 是等价的，记作A B 。 矩阵之间的等价关系具有下列性质： （1）反身性 A A ；

（2）对称性 若,A B 则B A ；

（3）传递性 若,,A B B C 则A C 。

定义：矩阵A 称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。行阶梯形矩阵B 称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。对行最简形矩阵再

进行初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵，称为标准型r m n

E O

F O O ⨯⎛⎫

= ⎪

⎝⎭。 例1：设021302,230A -⎛⎫

⎪=- ⎪

⎪-⎝⎭

把(,)A E 化成行最简形。

21100(,)3

02010230001302010302010021100021100094023001946A E -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝

⎭

--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

解：

30018912100634020846010423001946001946⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 上式最后一个矩阵即为矩阵(A,E)的行最简形。

矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它有着广泛的应用。下面我们进一步介绍一些有关知识。

定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵。 1.对调两行或对调两列

把单位矩阵中第,i j 两行（列）对调，得初等矩阵

11011(,)11011E i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

用m 阶初等矩阵(,)m E i j 左乘矩阵(),ij m n A a ⨯=得

1112

1121212(,)n j j jn m i i in m m mn a a a a a a E i j A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等行变换：把A 的第i 行与第j 行对调。类似的，以n 阶初等矩阵(,)n E i j 右乘矩阵A ，其结果相当于对矩阵A 施行第一种初等列变换。 2.以数0k ≠乘某行或某列

以数0k ≠乘单位阵的第i 行（或第列）

11(())11E i k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

第i 行

可以验知：以(())m E i k 左乘矩阵A ，其结果相当于以数k 乘A 的第i 行；以(())n E i k 右乘矩阵A ，其结果相当于以数k 乘A 的第j 列。

3.以数k 乘某行（列）加到另一行（列）上去

以k 乘E 的第j 行加到第i 行上或以k 乘E 的第i 列加到第j 列上，得初等矩阵

11(())11k E ij k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

可以验知：以(())m E ij k 左乘矩阵A ，其结果相当于把A 的第j 行乘k 加到第i 行上，以(())n E ij k 右乘矩阵A ，其结果相当于把A 的第i 列乘加到第j 列上。

综上所述，可得下述定理。

定理1 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。

因为初等变换是可逆的，所以其对应的初等矩阵也是可逆的，并且

111

1

(,)(,),(())(()),

(())(())

k E i j E i j E i k E i E ij k E ij k ---===- 定理2 方阵A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使12.l A PP P = （证明略）

推论1 方阵A 可逆的充要条件是A E 。

推论 2 m n ⨯矩阵A 与B 等价的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ B =.

设有n 阶矩阵A 及n s ⨯矩阵B ，求矩阵X 使AX B =。如果A 可逆，则1X A B -=。而

当A 可逆时，根据定理2，有初等矩阵12,,,l P P P ，使12l A PP P =，从而111

1l A P P ---=。于是

1111

11

1

,

l l

P P A E P

P B A B

-----==

上式表明A 经一系列初等行变换化为E ，B 经同一系列初等行变换化成1A B -，即 1111(,)(,)l P P A B E A B ---=