飞机多学科优化设计

i =1 i =1 j ≥ i m m m
式中xi是m 维自变量x的第i个分量，β0， βi ， βij ，是未知参数， 将它们按照一定次序排列，构成列向量β，求解多项式拟合模 型的关键就是求解向量β。 当最高次项只考虑到二次项时,其未知系数的个数为：
( m + 1)( m + 2 ) / 2
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代理模型
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代理模型的含义
• 所谓代理模型（Surrogate Models）是 指计算量小、但其计算结果与高精度模 型的计算结果相近的分析模型。 • 在设计优化过程中，可用代理模型替代 原有的高精度分析模型 。
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构造代理模型的个步骤
• • • 用某种方法产生设计变量的样本点； 用高精度分析模型对这些样本点进行分析，获得一组输入/输出 的数据； 用某种拟合方法来拟合这些输入/输出的样本数据，构造出近似 模型，并对该近似模型的可信度进行评估。
• 在求解模型的时候，样本点个数n通常总是大于，写成 向量乘积的形式，可以得到如下方程组：
f ( xi ) = X i β
的行向量，要满足如下条件 (i=1,……n）
其中Xi是由样本点xi的分量按照β中各对应分量的次序构成
f ( xi ) = y i
从而有
X ⋅β =Y
其中：
⎡ X1 ⎤ ⎢ ⎥ X =⎢ # ⎥ n ⎢ X ⎣ ⎥ ⎦
Π
ndv k =1
exp(−θ k d k 2 )
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Π
ndv k =1
exp(−θ k d k )
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– ndv is the number of design variables – θk are the unknown correlation parameters used to fit the model, – dk = xki – xkj which is the distance between the kth components of sample points xi and xj.
– L 代表正交表； – A表示表中有A个横行，也即总共所需的试验次数； – p表示因素的水平数； – q表示因素的个数。
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• • 使用正交表通常都要求各因素的水平数是相同； 当各因素水平数不等的试验，有两种方法可以用来安排正交试验， 其中一种是直接套用不等水平正交表，另一种则是采用拟水平法。
– 多项式响应面模型 – Kriging模型 – 径向基函数模型 – 人工神经网络模型
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多项式响应面模型
• 多项式响应面是多学科设计优化中最为常用的一种代 理模型，其基本数学表达形式 ：
f (x) = β 0 + ∑ β i ⋅ x i + ∑ ∑ β ij ⋅ x i x j + "
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– 第三批试验是在每个因素的坐标轴上，取臂长为的两 个对称点作为试验样本点，m个因素共有2m个点。 – 这样三次试验总共取了N个样本点：
N = n + n0 + 2m
• 特点：
针对二次多项式响应面模型 进行分批试验的一种试验设 计方法； 试验次数较少。
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拉丁超立方实验设计方法
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• 拉丁超立方抽样试验点可用下面的算法产生
x (ji ) =
其中：
π (j i ) + U (j i )
k
1≤ j ≤ n
1≤ i ≤ k
K 为样本点数量即试验次数 N 是设计变量的个数 U 为[0 1]之间的随机数， π 为0，1…，k-1独立随机排列，有k！种排列。 i 表示第i次试验（sample number） j 表示第j个变量（dimension index）
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中心复合试验设计
• 中心复合试验设计(Central Composite Experiment Design)是一种针对二次多项式响应 面模型进行分批试验的一种试验设计方法。 • 步骤
– 首先要根据每个因素的两个水平值(分别代表改因素的 最大和最小水平)，利用正交表构造一个Ln(2m)的试验 方案，进行n次试验。 – 在第一批试验结束之后，在中心点(0,0,…,0)作n0次重 复试验，由于数值计算试验的结果不存在物理试验那样 的不确定性，所以对数值试验来说，此步只作一次试验 即可，即n0＝1。 18
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L9(33)正交试验设计
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均匀试验设计
• 在不考虑整齐可比性，而完全保证样本点分布 的均匀性情况下所进行的一种试验设计方法。 • 在均匀试验中，每个因素的水平是在试验范围 内均匀分布的，而且每个水平都只作一次试验。 • 像用正交表来安排正交试验那样，均匀试验设 计也有专用的均匀设计表。
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ Y =⎜ # ⎟ ⎜ yn ⎟ ⎝ ⎠
解上式得：
T ⎤ X X X Y β =⎡ ⎣ ⎦ T −1
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特点
• 多项式响应面模型具有良好的连续性和可导性Hale Waihona Puke Baidu 能较好地去除数字噪声的影响，极易实现寻优。 • 根据多项式中各分量的系数的大小，可以判断 各项参数对整个系统响应影响的大小。 • 在处理非线性程度比较高的高维问题时，多项 式响应面的拟合预测效果不太理想了。 • 在多项式阶数较高时还会出现过拟合现象。
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拉丁超立方抽样特点
• 试验点较均匀； • 样本点是随机的，每次计算结果都不一样； • 试验次数等于水平数； • 试验次数可以是任何数值； • 应用广泛的计算机仿真试验设计，覆盖均匀，适用于 影响因素较多的情况，可显著减少试验规模。
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近似模型
• 利用近似方法(Approximation approaches)对 离散数据进行拟合的数学模型。 • 常用方法：
where R is the correlation matrix, and R(xi,xj) is the correlation function between any two of the ns sampled data points xi and xj. R is a ns x ns symmetric, positive definite matrix with ones along the diagonal. Many different correlation functions exist. The most common is a Gaussian correlation function
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均匀试验设计
• 均匀设计表：UA(pq)
– U 表示均匀设计表； – A 表示行数，即均匀试验的次数， – p 表示因素的水平数; – q 表示因素的个数，即该表最多所能安排的 因素数。
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X 2 和X 4
X 2 和X 3
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特点
• 采用U表的均匀试验设计的试验次数与表 的水平数相等。
数值计算噪声
气动数值计算所产生的躁声
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并行计算（离线）
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MDO集成
Optimization
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试验设计
• 试验设计方法是有关如何合理安排试验的数学方法。 • 它是代理模型的取样策略，决定了构造代理模型所需 样本点的个数和这些点的空间分布情况。 • 常用方法：
– 全析因试验设计 – 正交试验设计 – 中心复合试验设计 – 均匀试验设计 – 随机投点设计 – 拉丁方方法
• 是一种修正的蒙特卡罗方法。 • 方法：
– 设有n个设计变量，每个变量p个水平。 – 每个设计变量分为p个区间，若均匀分布，则p个区间 等间隔。整个变量空间分成pn个子区域。 – 遵循下列两个原则取试验点。 • 样本点在每个子区域随机选取； • 在任一维，即任一变量上的投影有p个区间每个区 间有且仅有一个样本点。
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– Once a correlation function has been selected, predicted estimates of the response, at untried values of x are given by:
l + rT ( x)R −1 ( y − f β l) y=β
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全析因试验设计
• 因素
– 系统的输入变量被称为因素
• 水平
– 因素在样本点处的值被称为水平
33全析因试验设计
• 全析因设计是指在一次完全试 验中，系统的所有因素的所有 水平可能的组合都要被研究到 的一种试验设计方法。
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全析因试验设计
• 优点：
– 能够分析因素对系统影响的大小和分析因素间的交 互作用。
where y is the column vector of length ns (number of sample points) which contains the values of the response at each sample point, f is a column vector of length ns which is filled with ones when f(x) in the first equation is taken as constant. rT(x) is the correlation vector of length ns, between an untried x and the sampled data points {x1, x2, …, xns} and is given by the following equation:
样本点生成 样本点生成 数值模拟 数值模拟 生成代理模型 生成代理模型
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为什么需要代理模型
• 克服工程优化中计算量过大的问题； • 过滤掉原分析模型有可能产生的数值计算噪声； • 有利于实现并行计算，缩短设计优化周期； • 有利于将各学科分析软件集成在MDO计算框架中。
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– While f(x) “globally” approximates the design space, Z(x) creates “localized” deviations so that the kriging model interpolates the ns sampled data points. – The covariance matrix of Z(x) which dictates the local deviations is as follows:
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正交试验设计的特点
• 是全析因试验的一种部分试验。 • 系统在任意两个因素之间进行的是 一次带有等重复的全面试验。 • 不会漏掉主要因素的各种可能搭配， 可以根据试验结果方便的分析各因 素及其交互作用对系统响应影响的 大小和规律，这被称为正交试验的 整齐可比性。 • 与全析因试验相比，大大减少了构 造模型所需的试验次数。
• 缺点：
– 当系统的因素和水平比较多时，模型样本点个数会 将会是一个很大的数字。 – 假定一个有10个设计变量的系统要进行2水平的全 析因试验设计，所需进行的试验次数为210次。 – 只用于低维低水平的试验设计问题中。
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正交试验设计
• 是按照一种已经拟定好的满足正交试验条件的 表格（正交表）来安排试验的试验设计方法。 • 正交表的形式为LA(pq)
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Kriging模型
• Kriging postulates a combination of a polynomial model and departures of the following form:
y (x ) = f (x ) + z (x )
where y(x) is the unknown function of interest f(x) is a known polynomial function of x, in many cases f(x) is simply taken to be a constant term β Z(x) is the realization of a stochastic process with mean zero, variance σ2, and nonzero covariance.