浙教版-数学-九年级上册-4.5 相似三角形的性质及其应用(2) 教案

相似三角形的性质及其应用（2）

教学目标：

1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.

2、进一步检验数学的应用价值.

重点与难点：

1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.

知识要点：

1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.

2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.

重要方法：

1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.

2、在测量宽度时，可采用下面的方法.

教学过程：

一、复习提问

我们已经学习相似三角形的性质有哪些？

1、相似三角形对应角相等。

A

B

E

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

∵△A ′B ′C ′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A ′ ， ∠B= ∠B ′ ∠C= ∠C ′

2、相似三角形对应边成比例。

∵△ABC ∽△ABC ∴AB A ′B ′ ＝BC B ′C ′ ＝CA

C ′A ′

3、相似三角形的周长之比等于相似比；

4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.

思考：你能够将上面生活中的问题 转化为数学问题吗？

二、例题讲解

1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？

A B

C

A ′

B ′

C ′

把一小镜子放在离树（AB ）8米的点E 处，然后沿着 直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ， 再用皮尺量得DE=2.8m ，观察者目高CD=1.6m 。

这时树高多少？你能解决这个问题吗？

把长为2.40m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2.80m ，标杆的影长为1.47m 。这时树高多少？你能解决这个问题吗？

分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m ）

请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？

2、如图，屋架跨度的一半OP=5m ，高度OQ=2. 25 m 。现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m ，AB 在水平位置。求AB 的长度。（结果保留3个有效数字）

D

C A

C A

B

C

O

P

Q

三、练一练 1、课内练习

步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE 为80cm ，步枪上准星宽度AB 为2mm ，目标的正面宽度CD 为50cm ，求眼睛到目标的距离OF 。

2、反馈练习

（1）某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米，则树高 4米 .

（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米， 长臂OB=10米，短臂端下降

AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。

3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时，要使球恰好能打过网 ，而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h 应为（ A ） 。

A 、2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D. 6米 思考题：

1、如图，已知零件的外径为a ，要求它的厚度x ，需先求出内孔的直径AB ，现用一个交叉

E

A B

O

C

F 准星

A B

A

O

B

C 5m

10m

0.9m h

卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n ，且量得CD=b ，求厚度x 。

分析：如图，要想求厚度x ，根据条件可知，首先得求出内孔

直径AB 。而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而 求出AB 的长度。

解：∵ OA:OC ＝OB:OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD ∴△AOB ∽△COD

∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n 又∵CD ＝b

∴AB=CD·n ＝nb

∴x ＝a －AB 2 ＝a －nb 2

2、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB.A C 上，这个正方形零件的边

长是多少？

解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。 设正方形PQMN 的边长为x 毫米。 因为PN ∥BC ，所以△APN ∽ △ABC

O

A

B

C

D

E

P

Q

N

所以AE AD ＝PN BC

因此80－x 80 ＝x 120 得 x=48（毫米）。

答：这个正方形零件的边长是48毫米。

四、课堂小结

1、相似三角形的应用主要有如下两个方面 （1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) （2）测距(不能直接测量的两点间的距离)

2、测高的方法

测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.

3、测距的方法

测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.

4、解决实际问题时（如测高、测距），

一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题

五、布置作业 1、见作业本2 2、书本 作业题 3、课外活动

设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.