2020年河南开封市二模 文科数学试卷
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已知函数 f x ex x 1. .
（1）证明 f x 0 ；
（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n， 1
1 2
1
1 22
1
1 2n
m
，求
m
的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.[选修 4—4：坐标系ຫໍສະໝຸດ Baidu参数方程]（10 分）
B，求
AB
.
23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f x x 1 ， M 为不等式 f x +f x+1 2 的解集.
2
（1）求 M ；
（2）证明：当 a, b M 时， a+b 1 ab .
3（文科）
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
3
2
2
2
11.已知线段 AB=4 ， E ， F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值
为
A. 5
B. 3
C. 0
D. 3
12.已知正项数列{an}满足 a1= 2 ，an21 an2 2n，n N* ，Tn 为 an 的前 n 项的积，则使得Tn 218
C. 4 2
D. 7
9
9
8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是（1,0,1）（, 1,1,0）（, 0,1,1）（, 0,0,0）,
画该四面体三视图中的正视图时，以 zox 平面为投影面，得到的正视图可以为
9.关于渐近线方程为 x±y=0 的双曲线有下述四个结论：
①实轴长与虚轴长相等，②离心率是 2 ，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段
A.1 B. 2
C. 1 5
D. 1
6.已知单位向量 a ， b 满足 a + b =1，则 a 与 b 的夹角为
A.
B. 5
C.
D. 2
6
6
3
3
7.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 1 ， 3
则 cos
A. 1
B. 7 9
C, D 两点，则 CD =
.
16.已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，满足 f x +f 2 x 0 ，且当 x 0,1 时，f x x2 .
则 f 1
，g x f x lg x ，则函数 g x 的零点共有
个（. 本题第一空 2
分，第二空 3 分.）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
的 n 的最小值为
A. 8
B. 9
C.10
D.11
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y x+1ex 在点 0,1 处的切线方程为
.
14.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四 种不同型号的防疫物资，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽 取 60 件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取________ 件． 15.已知直线 l : x 2 y 4 0 与圆 x2 +y2 4 交于 A, B 两点，过 A, B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于
第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 cos B 1 ， 2
．△ABC 的面积
是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由.
(a b)(c d)(a c)(b d) ．
20.（12 分）
已知抛物线
x2
y
，点
A
1 2
,
1 4
，
B
3 2
,
9 4
，抛物线上的点
P(x,
y)(
1 2
x
3) 2
．
（1）求直线 AP 斜率的取值范围；
（2）延长 AP 与以 AB 为直径的圆交于点 Q，求 AP PQ 的最大值．
21.（12 分）
长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2 .其中所有正确结论的编号
是
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
1（文科）
10.已知 F1, F2
是椭圆
E：x a
2 2
+
y2 b2
1a
b
0 的左，右焦点，点 M
在 E 上， MF2 与
x
轴垂直，
sin
MF1F2
1 3
，则
E
的离心率为
开封市 2020 届高三模拟考试 数学（文科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A 2, 1,0,1, 2， B x | x2 1 0 ，则 A B
A. 2, 2
B. 1,1
C.0,1
D. 1, 0,1
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
4 cos , 4 4sin
为参数
，P
是
C1
上的动点，M
是 OP 的中点，M 点的轨迹为曲线 C2 .以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；
（2）射线 = 3
与 C1 的异于极点的交点为
A，与 C2 的异于极点的交点为
（2）当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离.
19.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，
2（文科）
测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
P（K2≥k） 0.050
附：
k
3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
K2
n(ad bc)2
2.若
z
1
2i
，则
z
4i z 1
A.1
B. 1
C. i
D. i
3.已知命题 p : n N , n2 2n ，则 p 为
A. n N , n2 2n B. n N , n2 2n
4.函数
f
x
ex
ex x2
的图象大致为
C. n N , n2 2n
D. n N , n2 =2n
5.设等比数列an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a1=
从① a c 2 ，② b 3a 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.（12 分）
如图，正方形 ABCD 的边长为 2，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED
的中点，N 是线段 AC 上的动点.
（1）探究 M，N，B，E 四点共面时，N 点位置，并证明；
（1）证明 f x 0 ；
（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n， 1
1 2
1
1 22
1
1 2n
m
，求
m
的最小值.
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.[选修 4—4：坐标系ຫໍສະໝຸດ Baidu参数方程]（10 分）
B，求
AB
.
23.[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f x x 1 ， M 为不等式 f x +f x+1 2 的解集.
2
（1）求 M ；
（2）证明：当 a, b M 时， a+b 1 ab .
3（文科）
A. 1
B. 1
C. 2
D. 3
3
2
2
2
11.已知线段 AB=4 ， E ， F 是 AB 垂直平分线上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值
为
A. 5
B. 3
C. 0
D. 3
12.已知正项数列{an}满足 a1= 2 ，an21 an2 2n，n N* ，Tn 为 an 的前 n 项的积，则使得Tn 218
C. 4 2
D. 7
9
9
8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是（1,0,1）（, 1,1,0）（, 0,1,1）（, 0,0,0）,
画该四面体三视图中的正视图时，以 zox 平面为投影面，得到的正视图可以为
9.关于渐近线方程为 x±y=0 的双曲线有下述四个结论：
①实轴长与虚轴长相等，②离心率是 2 ，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段
A.1 B. 2
C. 1 5
D. 1
6.已知单位向量 a ， b 满足 a + b =1，则 a 与 b 的夹角为
A.
B. 5
C.
D. 2
6
6
3
3
7.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin 1 ， 3
则 cos
A. 1
B. 7 9
C, D 两点，则 CD =
.
16.已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，满足 f x +f 2 x 0 ，且当 x 0,1 时，f x x2 .
则 f 1
，g x f x lg x ，则函数 g x 的零点共有
个（. 本题第一空 2
分，第二空 3 分.）
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
的 n 的最小值为
A. 8
B. 9
C.10
D.11
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 y x+1ex 在点 0,1 处的切线方程为
.
14.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资，某工厂转产甲、乙、丙、丁四 种不同型号的防疫物资，产量分别为 200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层 抽样的方法从以上所有的产品中抽 取 60 件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取________ 件． 15.已知直线 l : x 2 y 4 0 与圆 x2 +y2 4 交于 A, B 两点，过 A, B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于
第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 cos B 1 ， 2
．△ABC 的面积
是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由.
(a b)(c d)(a c)(b d) ．
20.（12 分）
已知抛物线
x2
y
，点
A
1 2
,
1 4
，
B
3 2
,
9 4
，抛物线上的点
P(x,
y)(
1 2
x
3) 2
．
（1）求直线 AP 斜率的取值范围；
（2）延长 AP 与以 AB 为直径的圆交于点 Q，求 AP PQ 的最大值．
21.（12 分）
长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2 .其中所有正确结论的编号
是
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
1（文科）
10.已知 F1, F2
是椭圆
E：x a
2 2
+
y2 b2
1a
b
0 的左，右焦点，点 M
在 E 上， MF2 与
x
轴垂直，
sin
MF1F2
1 3
，则
E
的离心率为
开封市 2020 届高三模拟考试 数学（文科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A 2, 1,0,1, 2， B x | x2 1 0 ，则 A B
A. 2, 2
B. 1,1
C.0,1
D. 1, 0,1
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
y
4 cos , 4 4sin
为参数
，P
是
C1
上的动点，M
是 OP 的中点，M 点的轨迹为曲线 C2 .以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；
（2）射线 = 3
与 C1 的异于极点的交点为
A，与 C2 的异于极点的交点为
（2）当 M，N，B，E 四点共面时，求 C 到平面 MNBE 的距离.
19.（12 分） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，
2（文科）
测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
（1）记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．
P（K2≥k） 0.050
附：
k
3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
K2
n(ad bc)2
2.若
z
1
2i
，则
z
4i z 1
A.1
B. 1
C. i
D. i
3.已知命题 p : n N , n2 2n ，则 p 为
A. n N , n2 2n B. n N , n2 2n
4.函数
f
x
ex
ex x2
的图象大致为
C. n N , n2 2n
D. n N , n2 =2n
5.设等比数列an 满足 a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则 a1=
从① a c 2 ，② b 3a 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.（12 分）
如图，正方形 ABCD 的边长为 2，△ECD 为正三角形，平面 ECD⊥平面 ABCD，M 是线段 ED
的中点，N 是线段 AC 上的动点.
（1）探究 M，N，B，E 四点共面时，N 点位置，并证明；